概率论第一章习题详解

第一章 概率论的基本概念

习题一 随机试验、随机事件

一、判断题

下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，∅表示不可能事件 1、()

A B B A -= （ 否 ）

解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时

2、A

BC ABC = （ 否 ）

解：ABC A B C =

3、()

AB AB =∅ （ 是 ） 解：()()()

AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,A

C B C A B ==则 （ 否 ）

显然,A C C B C A B ==≠但

5、若,A B A AB ⊂=则 （ 是 ）

6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 （ 是 ）

7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则

（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。 （ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =∅ 互逆事件：A

B A B =∅=Ω且

二、填空题

1、一次掷两颗骰子，

（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为

(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ；

（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为

{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .

2、化简事件()()()A B A B A B =AB .

解：

()()()()()()()()()()()()()()

()()

() A

B A

B A B A B A

B A

A B B A B AA

BA AB BB A B BA AB A

B BA AB A B BA

A B A B B ⎡⎤=⎣⎦

⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()

() A A B A B BA AB

⎡⎤

⎡⎤⎣⎦

⎣⎦

=∅= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件：

（1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ；

（3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ；

（5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 A

B C ；

（6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ；

（7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABC

ABC ；

（8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 AB

AC BC ；

（9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABC

ABC ABC .

三、选择题

1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）

A 、A 与D 是互不相容的

B 、A 与

C 是相容的

C 、B 与C 是相容的

D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ）

A 、ABC A =

B 、A

B C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂

解：ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间

1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；

2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；

3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；

4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解：1、0,1,2,,100i

S i n n ⎧⎫==⎨

⎬⎩⎭

2、()()()()()()()()()()123124125134135145234235245345S ⎧⎫⎪⎪

=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

3、{}1,2,3,S i i ==

4、()(){}(){}

2

2,,1,1 ,1S x y x y or S x y x

y =

∈-=+<

五、在分别标有1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张。设事件A 表示“抽得一

张标号不大于4的卡片”；事件B 表示“抽得一张标号为偶数的卡片”；事件C 表示“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本结果表示如下事件： (),,,,,,,A

B AB B A B B A B

C B C A B C --

解：

{}{}{}1,2,3,4,2,4,6,8,1,3,5,7A B C ===

{}{}{}{}{}(){}

1,2,3,4,6,8 2,4 1,3,5,7 1,3 6,8 1,3A B AB B A B B A BC B C A B C ∴===-=-==∅=∅=

六、在计算机系的学生中任选一名学生，设事件A 表示“被选学生是女生”，事件B 表示“被选学生是一年级学生”，事件C 表示“被选学生是运动员”。 1、叙述事件ABC 的意义； 2、什么时候=ABC C ； 3、什么时候=A B ？

解：1、该生是一年级女生，且不是运动员； 2、计算机系的运动员都是一年级女生； 3、计算机系的一年级学生都是男生，，而其他年级都是女生时。