状态估计卡尔曼滤波

yk zk
ayk1 x nk
zk
式中，zk与非递归情况相同；a是一个小于1的滤波器加权系数，
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
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k时刻的输出： yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出
yk
m i1
(x
ni )
E(x)
x0
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2、递归估值器
一阶递归估值器：
yk
zk
＋ ∑
＋
z－ 1
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Xˆ k 1－a
a
a为滤波器的加权系数，a<1。
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递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器，它有无限的脉 冲响应，有阶数少的优点， 但其暂态过程较长。关于信号和噪 声的基本假设与非递归情况相同。上图给出的一阶递归滤波器 输入输出信号关系如下：
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第七讲 状态估计—卡尔曼滤波
状态估计的主要内容
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应用： 通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态
向量。
1、确定运动目标的当前位置与速度；
2、确定运动目标的未来位置与速度；
3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
2
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状态估计主要内容：位置与速度估计。 位置估计：距离、方位和高度或仰角的估计； 速度估计：速度、加速度估计。
2、扩展Kalman滤波针对卡尔曼滤波在笛卡儿坐 标系中才能使用的局限而提出。
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卡尔曼滤波器
▪ 卡尔曼滤波器的应用:
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通信、雷达、导航、自动控制等领域；
航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自 动控制等。
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卡尔曼滤波器的应用特点
n jni
1 m2
j
n2 ji
i
当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0，有
ij m
最后得：
P
2 n
m
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结论
^
①估计值 是X用m个采样值的平均值作为被
估参量x的近似值；
②估值器的均方误差随着m的增加而减少；
③该估值器是一个无偏估值器。
E(Xˆ )
E
1 m
源自文库
1 ak 1 a
x
k i 1
ak ini
由于│a│＜1，故随着k值的增加，yk趋近于x/(1-a)。这样，如
果以(1-a)yk作为x的估计值，
Xˆ k (1 a) yk
k
则
Xˆ k (1 ak )x (1 a) akini
i 1
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此时信号x和估值之间只差一个噪声项。当k值较大时，
一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器 2、递归估值器
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1、非递归估值器
采样平均估值器：
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z1 h1
z－ 1 z2 h2
z－ 1 z3 h3
∑
… Xˆ
z－ 1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中
估计信号x。
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根据数字信号处理我们知道，所谓非递归数字滤波器是一 种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的， 在许多领域有着广泛的应用。
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1. 非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
m
Xˆ hi zi
i 1 m
P E[(Xˆ x)2 ] E[( hi zi x)2 ]
i 1
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对m个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
▪ 对机动目标跟踪中具有良好的性能；
▪ 为最佳估计并能够进行递推计算；
▪ 只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测 值就能进行状态估计。
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卡尔曼滤波器的局限性
▪ 卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问 题时，动态方程和测量方程均为线性。
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(k
1 1)
b
2 n
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假定用zk表示观测值，
zk=x+nk
式中： x — nk —观测噪声采样
假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。
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h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的 加权系数。滤波器的输出
m
Xˆ hi zi
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2
由前可知， 非递归估值器可以表示为
k
k
Xˆ k hi zi hi (k)zi
i 1
i 1
条件与前面相同。对k+1次取样，相应的估计量
相应的估计误差
k 1
k 1
Xˆ k1 hi zi hi (k 1)zi
i 1
i 1
P
(k)
k
1
b
2 n
P
(k
1)
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状态估计的主要方法
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波 3、卡尔曼滤波
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这些方法针对匀速或匀加速目标提出，如目标 真实运动与采用的目标模型不一致，滤波器发散。
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算法的改进及适应性
状态估计难点：机动目标的跟踪
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1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善 对机动目标的跟踪能力。
P
E[( Xˆ
x)2]
m
1
b
2 n
Xˆ
1 mb
m i 1
zi
其中，b=σ2n/σ2x，在b<<m时，这种估计近似于采样平均。在噪
声方差σ2n较大时，其性能明显优于非最佳情况。这种最小均方
误差准则下的线性滤波，通常称作标量维纳滤波。
hj与非最优情况的不同，这里的滤波器的加权系数为
1
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h1 h2 hm m b
估值的均方误差
P
E[(Xˆ k
x)2 ]
1 1
a a
2 n
而一次取样的均方误差
P 1
E[(
x
nk
x)2 ]
E(nk2 )
2 n
故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
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二、线性均方估计
1、最优非递归估计（标量维纳滤波） 2、递归估计
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i 1
当h1=h2=…=hm=1/m时，
Xˆ
1 m
m i 1
zi
该式表明，估计Xˆ 是用m个采样值的平均值作为被估参量x的
近似值的，故称其为采样平均估值器。
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估计的均方误差以Pε表示，有
P
E( 2 ) E ( Xˆ x)2
E
1 m2
m j1
m i1