算法与数据结构讲义四(数据结构——树)

第十四课数据结构——树12.0 树型结构（一）树的定义树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次逻辑关系的集合。

把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

它具有以下的特点：(1)每个结点有零个或多个子结点；(2)每一个子结点只有一个父结点；(3)没有前驱的结点为根结点；(4)除了根结点外，每个子结点可以分为m个不相交的子树；（二）树的有关术语(1)节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；(2)叶节点或终端节点：度为零的节点称为叶节点；(3)非终端节点或分支节点：度不为零的节点；(4)双亲节点或父节点：若一个结点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；(5)孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；(6)兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；(7)树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；(8)节点的层次：从根开始定义起，根为第0层，根的子结点为第1层，以此类推；(9)树的高度或深度：树中节点的最大层次；(10)堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；(11)节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；(12)子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

(13)森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；（三）树的物理存储一般使用数组来线性存储树中各节点的数据本身，但为了记录各节点之间的父子关系，需要附加存储父亲或孩子节点所在的位置。

1、双亲表示法：可以存储为：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11优点：（1）节省空间。

（2）便于从下向上访问（记录了从孩子到父亲的逻辑关系）。

（3）便于随时插入新的子树。

缺点：不利于从上向下的访问。

（未记录父亲到孩子的逻辑关系）。

例如：利用所给边集创建双亲表达树输入：第一行两个整数n，m，表示节点个数和边的条数下面m行，每行2个整数，表示两个节点存在父子关系输出：如上的双亲表示法的树program maketree; //时间复杂度O(nlogn)const maxn=12;var inf,outf:text;bian:array[1..maxn,1..2]of integer; //存储边集tree,num:array[1..maxn]of integer; //存储树、各节点的度t:array[1..maxn]of boolean; //哈希n,m,i,j,k:integer;///////////////////////////////////////////////procedure init;beginassign(inf,'maketree.in'); assign(outf,'maketree.out');reset(inf);readln(inf,n,m);for i:=1 to m dobeginreadln(inf,bian[i,1],bian[i,2]);inc(num[bian[i,1]]); inc(num[bian[i,2]]); //统计各节点的度end;end;///////////////////////////////////////////////procedure make;begini:=1; k:=0;fillchar(t,sizeof(t),true);while k<m dobeginwhile num[i]<>1 do i:=i mod n+1; //查找度为1的节点j:=1;while not(t[j]and((bian[j,1]=i)or(bian[j,2]=i))) do inc(j); //找到包含该if j>n then break; //节点的边t[j]:=false;if bian[j,1]=i then tree[i]:=bian[j,2];if bian[j,2]=i then tree[i]:=bian[j,1];dec(num[bian[j,1]]); dec(num[bian[j,2]]);inc(k);end;end;///////////////////////////////////////////////procedure print;beginrewrite(outf);for i:=1 to n do write(outf,i:3); writeln(outf);for i:=1 to n do write(outf,tree[i]:3);close(outf);end;///////////////////////////////////////////////begininit;make;print;end.2、孩子表示法：（一般二叉树使用）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11优点：（1）便于从上向下的访问。

（2）便于随时删除子树。

缺点：占用空间过大且不确定（使用链表时例外）。

3、混合表示法：既记录双亲关系又记录孩子关系。

12.1 树的应用（一）并查集并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。

常常在使用中以森林来表示。

并查集的存储一般采用双亲表示法。

一般为了提高使用效率，会附加储存一些信息，如：该节点下属节点个数、该节点到达根的距离等。

1、基本操作：一开始时，所有元素都分属于各个独立的集合。

（1）查找某结点的根：function get_father(x:integer):integer; //传入待查找的结点序号beginwhile father[x]<>0 do x:=father[x];get_father:=x;end;（2）合并两个不相交的集合：procedure join(x,y:integer);var xx,yy:integer;beginxx:=get_father(x); yy:=get_father(y);if xx<>yy then father[xx]:=yy;end;（3）判断两个结点是否属于一个集合：function same(x,y:integer):boolean;beginif get_father(x)=get_father(y) then same:=trueelse same:=false;end;2、并查集的优化：并查集在使用时，一旦结点多起来，就有可能退化成为一条链，这时，查找结点的祖先或判断两个结点是否是同一集合的复杂度就会称为O(n)。

（1）合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度高的集合。

（附加存储集合中根的深度rank[i]）procedure join_rank(x,y:integer);var xx,yy:integer;beginxx:=get_father(x);yy:=get_father(y);if rank[xx]>rank[yy] then father[yy]:=xxelse father[xx]:=yy;if rank[xx]=rank[yy] then inc(rank[yy]);end;（2）路径压缩我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面。

function get_father(x:integer):integer;var xx,y:integer;beginxx:=x;while father[xx]<>0 do xx:=father[xx];while father[x]<>xx dobeginy:=father[x];father[x]:=xx;x:=y;end;end;3、例题：(1) 亲戚(Relations)或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲戚。

他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥的表姐的孙子。

如果能得到完整的家谱，判断两个人是否亲戚应该是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非人力所能及.在这种情况下，最好的帮手就是计算机。

为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如同Marry和Tom是亲戚，Tom和B en是亲戚，等等。

从这些信息中，你可以推出Marry和Ben是亲戚。

请写一个程序，对于我们的关心的亲戚关系的提问，以最快的速度给出答案。

输入格式输入由两部分组成。

第一部分以N，M开始。

N为问题涉及的人的个数(1 ≤ N ≤ 20000)。

这些人的编号为1,2,3,…,N。

下面有M行(1 ≤ M ≤ 1000000)，每行有两个数ai, bi，表示已知ai和bi是亲戚.第二部分以Q开始。

以下Q行有Q个询问(1 ≤ Q ≤ 1 000 000)，每行为ci, di，表示询问ci和di是否为亲戚。

对于每个询问ci, di，若ci和di为亲戚，则输出Yes，否则输出No。

样例输入与输出输入relation.in10 72 45 71 38 91 25 62 333 47 108 9输出relation.outYesNoYes(2) 银河英雄传说【问题描述】公元五八○一年，地球居民迁移至金牛座α第二行星，在那里发表银河联邦创立宣言，同年改元为宇宙历元年，并开始向银河系深处拓展。

宇宙历七九九年，银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。

泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌。

杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难免恣生骄气。

在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成30000列，每列依次编号为1, 2, …, 30000。

之后，他把自己的战舰也依次编号为1, 2, …, 30000，让第i号战舰处于第i列(i = 1, 2, …, 30000)，形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。

这是初始阵形。

当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。

合并指令为M i j，含义为让第i号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第j号战舰所在的战舰队列的尾部。

显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。

合并指令的执行结果会使队列增大。

然而，老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。

在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。

在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令：C i j。

该指令意思是，询问电脑，杨威利的第i号战舰与第j号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。