算法与数据结构讲义四(数据结构——树)

第十四课数据结构——树

12.0 树型结构

（一）树的定义

树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次逻辑关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶

朝下的。它具有以下的特点：

(1)每个结点有零个或多个子结点；

(2)每一个子结点只有一个父结点；

(3)没有前驱的结点为根结点；

(4)除了根结点外，每个子结点可以分为m个不相交的子树；

（二）树的有关术语

(1)节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；

(2)叶节点或终端节点：度为零的节点称为叶节点；

(3)非终端节点或分支节点：度不为零的节点；

(4)双亲节点或父节点：若一个结点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

(5)孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

(6)兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；

(7)树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

(8)节点的层次：从根开始定义起，根为第0层，根的子结点为第1层，以此类推；

(9)树的高度或深度：树中节点的最大层次；

(10)堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；

(11)节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；

(12)子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

(13)森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

（三）树的物理存储

一般使用数组来线性存储树中各节点的数据本身，但为了记录各节点之间的父

子关系，需要附加存储父亲或孩子节点所在的位置。

1、双亲表示法：

可以存储为：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

优点：

（1）节省空间。

（2）便于从下向上访问（记录了从孩子到父亲的逻辑关系）。

（3）便于随时插入新的子树。

缺点：不利于从上向下的访问。（未记录父亲到孩子的逻辑关系）。

例如：利用所给边集创建双亲表达树

输入：第一行两个整数n，m，表示节点个数和边的条数

下面m行，每行2个整数，表示两个节点存在父子关系输出：如上的双亲表示法的树

program maketree; //时间复杂度O(nlogn)

const maxn=12;

var inf,outf:text;

bian:array[1..maxn,1..2]of integer; //存储边集

tree,num:array[1..maxn]of integer; //存储树、各节点的度

t:array[1..maxn]of boolean; //哈希

n,m,i,j,k:integer;

///////////////////////////////////////////////

procedure init;

begin

assign(inf,'maketree.in'); assign(outf,'maketree.out');reset(inf);

readln(inf,n,m);

for i:=1 to m do

begin

readln(inf,bian[i,1],bian[i,2]);

inc(num[bian[i,1]]); inc(num[bian[i,2]]); //统计各节点的度

end;

end;

///////////////////////////////////////////////

procedure make;

begin

i:=1; k:=0;

fillchar(t,sizeof(t),true);

while k

begin

while num[i]<>1 do i:=i mod n+1; //查找度为1的节点

j:=1;

while not(t[j]and((bian[j,1]=i)or(bian[j,2]=i))) do inc(j); //找到包含该

if j>n then break; //节点的边

t[j]:=false;

if bian[j,1]=i then tree[i]:=bian[j,2];

if bian[j,2]=i then tree[i]:=bian[j,1];

dec(num[bian[j,1]]); dec(num[bian[j,2]]);

inc(k);

end;

end;

///////////////////////////////////////////////

procedure print;

begin

rewrite(outf);

for i:=1 to n do write(outf,i:3); writeln(outf);

for i:=1 to n do write(outf,tree[i]:3);

close(outf);

end;

///////////////////////////////////////////////

begin

init;

make;

print;

end.

2、孩子表示法：（一般二叉树使用）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11