【经典高考】高考数学 圆锥曲线齐次式与点乘双根法

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值
例1：12,Q Q 为椭圆22
2212x y b b
+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂
线OD ，求D 的轨迹方程.
解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，
联立22
221
2y kx m
x y b
b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 22222221212222222
2()(2)
,22b m b b m b k x x y y b k b b k b
+-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以
222222222222
121222222222
2()(2)2()2=0222121
b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)
m b k ∴=+*
又因为直线12Q Q 方程等价于为0
000()x y y x x y -=--，即200000
x x y x y y y =-++
对比于
y kx m =+，则00200
x k y x y m
y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：22
20023x y b +=.
解法二（齐次式）：
设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222
2
222211
11022mx ny mx ny x y x y b b b b
+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 222
22()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b
+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2
x ，则
222
2
2
2
22
1222
12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n
---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，22
22
12122m b b n
-=-- 22232()
b m n ∴=+*
又因为直线12Q Q 方程等价于为0
000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于
1mx ny +=，则0
2200022
00
x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：22
20023x y b +=.
例2：已知椭圆2
214
x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB
的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.
解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：
旧坐标 新坐标
(,)(',')x y x y ⇒
即(0,1)(0,0)⇒
所以''
'1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨
⎨
=-→⎩⎩
原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒
+=-则转换到新坐标就成为：1212''
1''
y y x x +=- 12''1k k +=-即
设直线l 方程为：''1mx ny +=
原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=
展开得：22'4'8'0x y y ++=
构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=
整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=
两边同时除以2
'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=
所以128''148m k k n +=-
=-+所以1
2212
m n m n -=⇒=+
而''1mx ny +=1
'
()''1('')102
2
x n x ny n x y ∴++=⇒++
-=对于任意n 都成立. 则：''0
'2''2102
x y x x y +=⎧=⎧⎪
⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22
182
x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.
解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：
旧坐标 新坐标
(,)(',')x y x y ⇒
即(2,1)(0,0)⇒
所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨
=-→⎩⎩
原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒
+=--则转换到新坐标就成为：1212''
0''
y y x x += 12''0k k +=即
设直线AB 方程为：''1mx ny +=
原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=
展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=
构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=
整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=
两边同时除以2
'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=
所以1248''048n m
k k n
++=-
=+所以2n m =-
而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=
2
k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12
.
二，点乘双根法
例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段
12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.
（1）求其椭圆的方程
（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.
解：（1）
22
1204x y +=
（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，
所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0
x y x y x x k x x --=⇒--+++=*
现联立22222(2)5(2)200
1204y k x x k x x y =+⎧⎪
⇒++-=⎨+
=⎪⎩
则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()
x k x k x x x x ++-=+--
令2x =，22
2
12122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=
+
令2x =-，2
12122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=
+
结合2
1212(2)(2)(2)(2)0
x x k x x --+++=*化简可得：222
801616
01515k k k --+=++
222211
8016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±
所以直线l 方程为：1
(2)2
y x =±
+.。