单元节点和积分点有什么区别

单元节点和积分节点的联系和区别 有限元方法的实质：

通过变分原理极小值转化为矩阵的极小值（(变分原理)→ (最小势能原理) (虚功原理)

变分原理：把一个物理学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题 （或其他学科的问题）的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier ）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。

最小势能原理：最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇宙万物，如果其势能未达到“最小”（局部概念），它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正的势能（非最小），因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁”）（其力学本质是其处于一种不稳平衡状态）。因此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其达到一个相对平稳的状态。λ 最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中取最小值。形象的说，当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望尽早回到地上，但其实只要你不动你也是平衡的，因为驻值也可以是极大值（此时称为随遇平衡）。而当你在一百米高的大楼里的办公室里时，你并不害怕，因为周围的物体的势能均不比你小，此时驻值取的是极小值而不是最小值。在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时，满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。公式如下：

在江见鲸的有限元就很清晰的介绍了有限元的原理，再参考汪新老师的ppt ，理解就十分透彻。以下是我在网上搜索到的关于有限元的书，很值得一看。另外cook 的书也很好，是陈贡发老师介绍的，很值得一看。

1《The Finite Element Method 》O.C.Zienkiewicz ，R.Taylor 著，第五版，三卷本，有中文译本

《有限元法》(英)监凯维奇著（第四版中译本1985年出版，上下册，尹泽勇等译，权威著作，有限元研究者必读；第五版译名改成了《有限单元法》，曾攀译，2008年出版~~）

2.《Nonlinear Finite Element for Continua and Structures 》T .Belytschko 等著，有中文译本

《连续体和结构的非线性有限元》庄茁译，清华大学出版社，固体力学非线性有限元的集大成之作~~

：外力对系统作的功势能：W U 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∏⎰⎰⎰dS dV dV W U S T V T V T σf u f u εσ

3.《Concepts and Applications of Finite Element Analysis》Cook R.D.著，有中文译本

《有限元分析的概念和应用》程耿东等译，第一版1981年出版，第二版1989年出版，年代较久远内容很经典~~

PS：国内的有限元书籍中，比较全面的是王勖成的《有限单元法》（第三版），该书的第二版叫做《有限单元法基本原理和数值方法》。把一个物理学问题（或其他学科的问题）用化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题（或其他学科的问题）的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。

单元节点和积分节点的联系和区别：

在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。而节点值是在节点处的对应物理量。

以简单矩形单元的温度为例：四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn. 则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为：T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}

Si=1/4(1-x)(1-y)

Sj=1/4(1+x)(1-y)

Sm=1/4(1+x)(1+y)

Sn=1/4(1-x)(1+y)

单元的形函数我们可以从手册中查到，从而我们知道了温度在单元内的分

布。我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y 无关，我们只需要考虑对形函数积分。采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。

3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。

从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积