2018高等数学E高等数学复习大纲

期末复习大纲

上课认真听，作业认真写，复习资料认真做，考试就是一个小测试而已。养成不应付的好习惯，认真和自律的人从来不担心脚下是否有路。

预祝大学考得好成绩！

第一章 函数与极限

函数的定义：设有两个变量,x y ，且x D ∈（非空集合），若对每个x D ∈，通过法则f ，有唯一的y R ∈和它对应，称f 为定义在D 上的函数。

常用的函数：[]y x =（取整函数），sgn y x =（符号函数），||y x =（绝对值函数） 函数的特性：单调性：若对任意12x x <，有12()()f x f x <，称函数单调递增。 若对任意12x x <，有12()()f x f x >，称函数单调递减。 周期性：若对任意x ，恒有()()f x f x T =+，称T 为函数周期。 奇偶性：若()()f x f x -=-，为奇函数，图像关于原点对称。 若()()f x f x -=，为偶函数，图像关于y 轴对称。 有界性：存在0M >，使得|()|f x M <。

掌握反函数，复合函数定义。

反三角函数定义域及值域：

初等函数定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数。例如

21x y -=, y =sin 2x , 2

cot

x y =等都是初等函数。 例 求下列函数的定义域

1(1)

a r c c o s 3x y -=； 1(2)sin 1

y x =- 例 判断下列函数的奇偶性

sin

(1)2cos x x y x

=+ (2)ln(y x =

例 判断下列函数的性有界性

2(1)sin cos sin cos y x x x x =++⋅

数列的极限：

描述性定义 当n 无限增大时，对应的x n 无限接近于某个确定的常数a ，那么常数a 就称为数列x n 的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为

a x n n =∞

→lim 或x n →a (n →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.

严格定义

例 求下列数列的极限

31(1)lim 4n n n →∞+ 1(1)(2)lim n n n n

-→∞+-

函数的极限定义：

描述性定义 当|x|无限增大时，对应的分f(x) 无限接近于某个确定的常数A ，那么常数A 就称为函数f(x) 的极限, 或者称函数f(x) 收敛于A , 记为

f(x)→A (x →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.

当自变量趋于0x x →

当自变量趋于x →∞

了解无穷小与无穷大的概念：无穷小与无穷大本质上都是函数。

无穷小：lim ()0f x =。

无穷大：lim |()|f x =∞

例如：因为0

lim sin 0x x →=，所以sin y x =是0x →的无穷小。 无穷小与无穷大关系：在自变量的同一变化过程中， 如果f (x )为无穷大。

则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0 ，则)

(1x f 为无穷大。 无穷小的性质：1、有限个无穷小的和也是无穷小.

2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小

3、常数与无穷小的乘积是无穷小.

4、有限个无穷小的乘积也是无穷小.

极限的四则运算准则：

定理：如果lim f (x )=A , lim g (x )=B , 那么 （注意这是极限四则运算的前提）

(1) lim [f (x )±g (x )] = lim f (x ) ±lim g (x ) =A ± B ;

(2) lim f (x )⋅g (x ) = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) =A ⋅B ;

(3)B

A x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim (

B ≠0). （0B =是不能用该准则） 复合函数的极限运算法则：设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成,若0)(lim 0u x g x x =→, 0

0lim ()()u u f u f u A →==,（即外函数连续，内函数极限存在） 则00lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→== （说明求极限中可以换元，即把()g x 令成整体u ） 且 00

lim [()](lim ())x x x x f g x f g x A →→==（说明极限可以穿过外函数求到里面去）。

例 求22356lim 815

x x x x x →-+-+ 例 求 3113lim .11

x x x →--（-）

例（P50，3（2））：求0

x →（答案：12，提示：看到根号难以计算就可以考虑有理化）

例（P47，例5）：. 求3232342lim 753x x x x x →∞-++-. （答案：37

） 提示：

1010010100

0 lim lim n n n n m m m

x x m n m a x a x a a x a n m b x b x b b x b n m

--→∞→∞⎧<⎪++⋅⋅⋅+⎪===⎨++⋅⋅⋅+⎪⎪∞>⎩. 例：232,0,()1,01,2,1,x x f x x x x x

⎧⎪+<⎪=+≤≤⎨⎪⎪>⎩ 分别讨论0,1x x →→时的极限.

两个重要极限：00sin lim lim 1sin x x x x x x

→→==. e x

x x =+∞→)11(lim 或者1

0lim(1)x x x e →+= 两个重要极限的推广形式（重要）：若()0x α→（前提） 则：sin ()()lim lim 1()sin ()

x x x x αααα== 1

()lim[1()]x x e α+=

注意：()x α是x 趋于某一过程的无穷小，则上面两个极限也是同一过程的。

例 : 201c o s 2l i m

x x x

→- 例 : 0s i n 3l i m t a n 5

x x x → 例 : 123lim()21x x x x +→∞++ 例 : 32l i m (1)x x x →∞+

无穷小的比较：设(),()x x αβ都是无穷小，以下简记为,αβ

若lim 0βα

=，则β是α的高阶无穷小，记为()o βα=； 若lim βα

=∞，则β是α的低阶无穷小；