结构力学 位移计算分解
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
结构力学 位移计算
MK
1
1
MK
θ
∆
已知K点发生剪切位移，求B端位移 B
K
∆i =
∑ ∫ [N
i
δε
+ Q i δγ
+ M i δθ
] ds
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 对于由线弹性直杆组成的结构， 线弹性直杆组成的结构 适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 所加单位广义力与所求广义位移相对应 该单位 广义力在所求广义位移上做功. 广义力在所求广义位移上做功 B A P 例: 1)求A点水平位移 求 点水平位移 2)求A截面转角 求 截面转角 3)求AB两点相对水平位移 求 两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角 求 两截面相对转角
P=1
C
P=1
(f)
ϕC
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
ϕA = ?
A B P=1 P=1
(h)
ϕ AB = ?
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
q A
h b
N i ( x) = 0, N P ( x) = 0
Qi ( x) = 1, QP ( x) = q(l − x)
M i ( x) = x − l , M P ( x) = −q (l − x) 2 / 2
1
1
MK
θ
∆
已知K点发生剪切位移，求B端位移 B
K
∆i =
∑ ∫ [N
i
δε
+ Q i δγ
+ M i δθ
] ds
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 对于由线弹性直杆组成的结构， 线弹性直杆组成的结构 适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 所加单位广义力与所求广义位移相对应 该单位 广义力在所求广义位移上做功. 广义力在所求广义位移上做功 B A P 例: 1)求A点水平位移 求 点水平位移 2)求A截面转角 求 截面转角 3)求AB两点相对水平位移 求 两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角 求 两截面相对转角
P=1
C
P=1
(f)
ϕC
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
ϕA = ?
A B P=1 P=1
(h)
ϕ AB = ?
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
q A
h b
N i ( x) = 0, N P ( x) = 0
Qi ( x) = 1, QP ( x) = q(l − x)
M i ( x) = x − l , M P ( x) = −q (l − x) 2 / 2
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
结构力学 第4章 静定结构的位移计算
YA = − b / a
1 ⋅ ∆ + YA ⋅ c = 0
∆ = b⋅c / a
这是单位荷载法 这是单位荷载法 。
求多跨静定梁在C点的支座反力F 例2. 求多跨静定梁在C点的支座反力 C。
F E F D C B A (a)
a
2a
a
2a
a
F E
F D C FC B A (b)
E δ2
δ1
D
δC=1 C
一、公式的进一步推导
∆ KH N P N KQP Q M P M = ∑ ∫ ( N dλ + Qdη + M dϕ ) = ∑ ∫ EA + GA + EI
dϕ
ds
ds
dλ
dη
dλ σ NP ε= ⇒ dλ = εds = ds = ds ds E EA QP dη = γds = k ds GA MP 1 dϕ = ds = ds ρ EI
3.虚功原理的应用 3.虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设单位位移法:已知一个力状态， 虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时， 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原 理也称为虚位移原理。 理也称为虚位移原理。 2）虚设力系求位移（虚力原理） 虚设力系求位移（虚力原理） 虚设单位荷载法:已知一个位移状态， 虚设单位荷载法:已知一个位移状态，虚设一个单位力 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时， 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚 功原理也称为虚力原理。 功原理也称为虚力原理。
钢筋混凝土结构G≈0.4E 钢筋混凝土结构 矩形截面, 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
结构力学5-3结构位移计算的一般公式
FQP FNP MP , 0 k , 按照材料力学有： EA GA EI A S2 截面系数： k 2 A 2 dA I b
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
结构位移计算(第四章)
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
l
P B
l
Mi
1
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
2 A1 lh 3
1 A2 lh 3
二次抛物线
2 A lh 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
B
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
)
用单位荷载法计算支座移动引起的位移计算 步骤如下：
（1）沿拟求△方向虚设相应的单位荷载； （2）求RK,根据静力平衡条件求单位荷载作用下 相应于支座移动cK的支座反力RK； （3）求△
ic Ri Ci
注意：当R与c方向一致时，乘积为正；反之为负。
§4-7 线弹性结构的互等定理
1. 功的互等定理: 方法一
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
结构位移的计算
AB A B
A
A
p A
A
B
p B
AB
AB A B
4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义 位移相对应的力称为“广义力”。 二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600. 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
相邻微段k、j、i连续，变形协调，位移相等，而力为作用力 与反作用力， 虚功相互抵消，即W内=0，故：
全结构：W W外 (a)
18
A
B
力状态：静力平衡 位移状态：其它原因引起
ds
ds
(2) 按刚体虚功与变形虚功计算: 将ds虚位移分解为： 刚体虚位移: 变形虚位移: ABCD A'B'C'D' A'B'C'D' A''B''C''D''
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
b c1 a
R1
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
A
A
p A
A
B
p B
AB
AB A B
4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义 位移相对应的力称为“广义力”。 二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600. 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
相邻微段k、j、i连续，变形协调，位移相等，而力为作用力 与反作用力， 虚功相互抵消，即W内=0，故：
全结构：W W外 (a)
18
A
B
力状态：静力平衡 位移状态：其它原因引起
ds
ds
(2) 按刚体虚功与变形虚功计算: 将ds虚位移分解为： 刚体虚位移: 变形虚位移: ABCD A'B'C'D' A'B'C'D' A''B''C''D''
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
b c1 a
R1
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
结构力学第五章结构位移计算
M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K ,RK )
经分析：
a ds t0ds ;
ads 0
;
ads
t h
ds
;
RCA 0
将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：
y
d
MP(x)
dx
MK(X)
y yo
o
xA
Bx
xo
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
1 tg
EI
b
a xM Pdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0 P
1 EI
P
y0
（Mp图）
（Mk1图）
（Mk2图）
CV
M K M P ds 1 [( 6 6) ( 2 300) ( 2 6 45) ( 6 ) (6 6) (300)] 13860 0.0924m()
l EI
EI 2
3
3
2
EI
C
1 EI
[(300 6)(1) ( 2
位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割 面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。
用式子表达就是下面的虚功方程：
T=V
虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。 其具体表达式为：
结构力学 位移计算
n1
h
C
(n 1)l n2
l n2
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a EA
2P k
2P 2 2a] 2(1 2) Pa () a
2
Ni
1
EA
练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.
P
2P
0 a NP
P
1
0a k
2 0
Ni
kx
NP Nil EA
1 1 [P 1 a ( 2P)( 2) 2a]
EA
1
(1 2
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
,
P
kQP GA
,
P
MP EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
[
NP N EA
i
kQP Qi GA
M P M i ]ds EI
例 1：已知图示粱的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
Ah
Ni (x) 0, NP (x) 0
l
b
Qi (x) 1,QP (x) q(l x)
结构力学课件位移计算的一般公式
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
Q 1 M 100
例：求曲梁B点的竖向位移。
P B
R A
解：虚设力状态
O
M P PRsin , M i R sin
QP P cos , Qi cos
N P P sin , Ni sin
ds Rd
ip
[ N P N i k QPQi M P M i ]ds
EA
GA
EI
PR kPR PR3
Q 1 M 400
N 1 M 1200
小曲率杆可利用直杆公式近似计算。 轴向变形、剪切变形对位移的影响可略去不计。
2.各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架 （2）桁架 （3）组合结构
ip
M P M i ds EI
ip
N P N i ds EA
Ni NPl EA
ip
M P M i ds EI
dx
例 ：已知图示梁的E 、G，求A点的竖向位移。
解：虚设单位力状态 Ni (x) 0, NP (x) 0 Qi (x) 1, QP (x) q(l x)
M i (x) x l, M P (x) q(l x)2 / 2
山东建筑大学《结构力学》——互等定理
2
FN 2 EA
2
M2 EI
F N1 N2 M 1 M 2 kF Q1 Q2 F F + + ds W12 P1 2 EI GA EA
F Ｎ２N1 M 2 M 1 kF Q2 Q1 F F + + W21 F2 1 ds EI GA EA
（4-11） 位移互等定理：（P74） 在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应 的位移影响系数δ21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影 响系数δ12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移 δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12 。
4、图示结构桁架中，腹杆 截面的大小对C点的竖向位 14 移有影响。（ ） 题 5、虚位移原理等价于变形 图 协调条件，可用于求体系 的位移。（ ） 6、在荷载作用下，刚架和梁的位移主要由于各个杆的弯曲 变形引起。（ ）
7、图示桁架C点的水平位移不等于零。 7 （ ） 题 8、应用虚力原理求体系的位移时，虚 图 设力状态可在需求位移处添加相应的非 单位力，亦可求的该位移。（ ） 9、图示结构L>a>0 B点的水平位移是 （ ） A、向右 B、向左 C、等于零 D、不一定
四、互等定理 •适用条件 •内容 W12= W21
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
d12d 21
r12=r21 l
ql
B
EI
l
求B点竖向位移
M
1
BV
1 1 3 ql 2 l 2 l ql l 11 ql l EI 2 2 3 3 8 2 24 EI
第6章 结构位移计算
3.复杂图形图乘时的分解
1) 当yC所属M图为折线，或各段截面不等时，应分段图乘。 A1 A3
I3
A2
A3
A1
I1
A2
I2
y1
y2
y3
y1
y2
y3
练习： P118 6-5 判断正误
△=
(A1y1+A2y2+ A3y3)
36
2）当面积和形心不易确定时，分解成简单图形，分别与另 一图形相乘，最后再叠加。
标准二次抛物线
5l/8
A1 l/2
l
形心
l
A2
顶点 顶点 3l/4 l/4
顶点——抛物线上切线平行于底边的点； 标准抛物线——顶点在中点或端点的抛物线。
例 求图示梁( EI= 常数，跨长为l ) B截面的转角 B 。 q A
1 2 ql 8
1 2
1
B
1
MP图 2. 图乘计算。
M
图
解： 1. 作MP图、
4．计算结构位移的目的
1）校核刚度—不超过许用值，以防变形过大影响，正常使用。
吊车梁: 允许挠度 < 1/600 跨度； 高层建筑: 最大位移<1/1000高度；最大层间位移<1/800层高 铁路钢板桥和钢桁梁：最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
2）满足施工要求— 结构的变形(可能与正常使用时完全不同)。
W F cos S 常力功
S
F
1 W F 2
变力功
F d
W M
F
力偶功
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的乘积表示：
功=广义力×广义位移 广义力——集中力，力偶，一对力偶； 广义位移——沿力方向的线位移，沿力偶转向的角位移，相对 位移。
结构力学第六章位移法
由形常数作M i (D i 1引起的弯矩图)，由载常数作M P (荷载引起 的弯矩图) ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的反力矩，由截
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
结构力学课件第六章 结构位移计算1
（实际状态） 实际状态） （虚拟状态） 虚拟状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程： 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程：
1）写出虚拟状态弯矩表达式 ） AB段： M = − x1 段 BC段： M = −l 段 2）荷载作用下的弯矩表达式 ） qx12 AB段： M P = − 段
(2) 超静定、动力和稳定计算 超静定、 (3）施工要求 ）
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下， 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
∆
1 W = P∆ 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功 虚功：
+ t oC
P
∆ ∆t
W = P∆ t
在作功的过程中， 在作功的过程中，力 的大小保持不变， 的大小保持不变，这 样的功称为虚功。 样的功称为虚功。
∆ 21 ∆ 22
P2
P1
∆11
P1
∆12
力状态 （虚力状态）
P2
∆12
位移状态 （虚位移状态）
1.梁与刚架 只考虑弯曲变形 梁与刚架:只考虑弯曲变形 梁与刚架 MMP ∆ KP = ∑ ∫ ds EI 2.桁架 只有轴向变形 桁架:只有轴向变形 桁架
∆ KP F N FNP F N FNP = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds EA EA
∆ KP
3.组合结构 组合结构
F N FNP l =∑ EA
几点注意： 1．该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移； 2．该式既用于静定结构也用于超静定结构； 3．第一、二、三项分别表示弯曲变形、轴向变 形、剪切变形产生的位移； 4．E：弹性模量；G：剪切模量； 5．k：截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5；圆 形截面k=10/9。 6．结构的类型不同，三种变形对位移的影响有 很大的差别，位移计算公式可进行相应简化。
结构力学(I)-结构静力分析篇3 结构位移计算
26 / 42
第三章
练习
结构位移计算
K B l
k EI l2
如图具有弹性支座的梁，求K点竖向位移。
A l C l
27 / 42
第三章
练习
结构位移计算
如图桁架的上弦杆均做长8mm，求由此引 起的K点竖向位移。
E K F
8m
A
C
B
68m
D
28 / 42
第三章
结构位移计算
§3-6 互等定理
δWe Pi Pi q j qi ds
i i
δWi (FN δ FQδ Mδ M Z δ )d s
l i 0
P
i i
Pi
q j qi ds
i
l i 0
(FN δ FQδ Mδ M Z δ )d s
在变形虚位移上所作功的总和，将它理解为虚 内力功是有偏颇的。
由虚功原理派生出的虚位移原理和虚力原理是 在加进新的条件下的应用，所以多少还是有 所区别的。 平衡的变形体上的广义力和相对应的广义位移 之积形成虚功。“虚”表明作功的双方是相互 独立无关的。
7 / 42
第三章
结构位移计算
3-2-2 杆系结构的虚功方程
第三章
方法使用条件
结构位移计算
1、等刚直杆
2、至少有一直线图 3、yc应取自直线图中
3-4-2 需要的注意问题
和 yc取若在杆轴线同侧，则乘积为正； 反之为负。 拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通 过积分的方式求解
应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及 形心位置
17 / 42
典型例题解析-_静定结构位移计算分解
第5章静定结构位移计算§5 -1 基本概念5-1-1虚拟单位力状态构造方法•虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构；（2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。
如图3-1a刚架求C点竖向位移“CV和C截面转角(a)(b) 1;：C，图3-1b和图3-1c为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。
5-1-2位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力:F N , M , F Q , F Ri实际荷载作用下，引起的内力：F NP , M p , F QP•位移计算一般公式nC 求」CV& j F N du+E十瓦【FQ^ds —瓦F Ri C i•荷载作用产生位移的计算公式也=瓦（巳旦勺5+送j M^ds+Z J竺邑dSEA El GA1、梁或刚架结构2、桁架结构 A =11EA2 结构力学典型例题解析3、混合结构MM P , —ds El•支座移动引起位移计算公式•温度引起位移计算公式t 八FN： t o dx 亠二H M dx ht— 't o lF N」式中：：•为线膨胀系数,t o形心温度，氏温差，h截面高度A M虚拟状态弯矩图面积•有弹性支座情况的位移计算公式.八MJ^ds 'F R F R—'El业-F R鱼El k5-1-3图乘法图乘法公式：(-)Ay°El图乘法公式条件：•等截面直杆且EI=常数•求y。
图形必须为一条直线图3-2图乘法示意图正负号确定:面积A与y。
同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。
为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。
第3章静定结构位移计算3M求D竖向位移.D V例题3—1图【解】•求B截面转角:B EI EI1 A2 y 2 A3y3 _ 13q l 3 EI EIEI - 6EI(顺时针) •求D点的竖向位移:M MP ds八一Ay0El El二A% * Z + Z二7ql4)-EI EI EI _6EI ”d所示）。
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轴向 剪切 弯曲
式中： E 弹性模量； G A 横截面积； I
剪切模量； 截面惯性矩；
K
截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5; 圆形截面k=10/9。
内力的正负号规定如下：
轴力
N, NP
以拉力为正；
剪力 Q , Q 者为正；
P
使微段顺时针转动
弯矩 M P , M 只规定乘积的正负 号。使杆件同侧纤维受拉时， 其乘积取为正。
3. 对组合结构： kP
求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP 须分段写
M ( x) x l (0 x l )
A
EI x1 l/2 x2
P
B
l/2
B
l
0lΒιβλιοθήκη MPM dx EI2
Px l M P ( x) (0 x ) 2 2 P(l x) l M P ( x) ( x l) 2 2
N , M,Q , R
d , d , d , C
由单位载荷Pk=1引起的内力和反力 实际状态中的微段变形、支座位移 实际状态中拟求的位移
k
单位载荷法——马克斯威尔-莫尔 （Maxwell-Mohr）法
k 计算结果为正，所求的位移与单位力指向一致，
否则相反
K Nd Md Q d R C
§4.3 静定结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures
结构的位移 (Displacement of Structures)
角位移
FP
相对线位移
A
A
y
C
C
C D
FP
D
D
x
相对角位移
线位移
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
二、静定结构的位移计算
K Nd Md Q d R C
1.、载荷作用下的位移计算
kP Nd Q d Md
对于由线弹性直杆组成的结构，由材料力学有：
N P ds KQP ds M P ds d , d , d EA GA EI
N P , QP , M P
结构在载荷作用下实际状态中微段的内力
KP
NN P KQ QP MM P ds EA GA EI
m=1
0
Px x 1 ( ) dx 2 l EI
l l 2
P(l x) x 1 ( ) dx 2 l EI
Pl 2 16 EI
例 ：求刚架A点的竖向位移。
解：构造虚设状态
（实际状态） （虚拟状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图）
1 2 ql 2 1 2 qx 2
ql
虚设的力状态
B
K Bx ?
PK B
C
N ,Q, M
A
A
又设与内力 N , Q , M 对应的微段实际 变形分别为dλ、dη和dθ。 若结构有已知支座位移为ci ，与其对应 的由广义力 PK 引起的支座反力为R
实际位移状态
B
K ?
P C
虚设的力状态
PK B C
N ,Q, M
A
dλ、dη和dθ c
一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位 移计算的一般公式。
设待求的实际广义位移为ΔK ，与ΔK对应 的广义力为P。 设仅在水平力PK作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为 N , Q , M
实际位移状态
P C
支座移动 c、
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
A PK=1
A ?
PK=1 B
(a)
A PK=1
AB ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
Pk 1 d
C d A B
PK 1 d
(c)
BC ?
1 d1 1 d1
C
d1
(d)
B 1 d2
A
d2
AB AC ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
几点讨论（只有荷载作用）：
KP
NN P KQ QP MM P EA GA EI ds
MM P ds EI
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架： KP
2. 对桁架：
kP
NN P ds NN P l EA EA MM P ds NN P l EI EA
引起结构位移的原因
载荷、 温度改变 T、 制造误差 等 计算位移的目的 (1) 刚度要求 如： 在工程上， 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
公式的普遍性表现在： 1. 位移原因：载荷、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；
静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲、拉(压) 、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
R
外力虚功 内力虚功
W外虚 =ΣRi Ci+PKΔK
W内虚 Nd Md Q d
由虚功方程
W外虚 = W内虚
则结构虚功方程改写为 位移计算的一般公式
令PK=1
K Nd Md Q d R C
K Nd Md Q d R C
式中： E 弹性模量； G A 横截面积； I
剪切模量； 截面惯性矩；
K
截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5; 圆形截面k=10/9。
内力的正负号规定如下：
轴力
N, NP
以拉力为正；
剪力 Q , Q 者为正；
P
使微段顺时针转动
弯矩 M P , M 只规定乘积的正负 号。使杆件同侧纤维受拉时， 其乘积取为正。
3. 对组合结构： kP
求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP 须分段写
M ( x) x l (0 x l )
A
EI x1 l/2 x2
P
B
l/2
B
l
0lΒιβλιοθήκη MPM dx EI2
Px l M P ( x) (0 x ) 2 2 P(l x) l M P ( x) ( x l) 2 2
N , M,Q , R
d , d , d , C
由单位载荷Pk=1引起的内力和反力 实际状态中的微段变形、支座位移 实际状态中拟求的位移
k
单位载荷法——马克斯威尔-莫尔 （Maxwell-Mohr）法
k 计算结果为正，所求的位移与单位力指向一致，
否则相反
K Nd Md Q d R C
§4.3 静定结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures
结构的位移 (Displacement of Structures)
角位移
FP
相对线位移
A
A
y
C
C
C D
FP
D
D
x
相对角位移
线位移
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
二、静定结构的位移计算
K Nd Md Q d R C
1.、载荷作用下的位移计算
kP Nd Q d Md
对于由线弹性直杆组成的结构，由材料力学有：
N P ds KQP ds M P ds d , d , d EA GA EI
N P , QP , M P
结构在载荷作用下实际状态中微段的内力
KP
NN P KQ QP MM P ds EA GA EI
m=1
0
Px x 1 ( ) dx 2 l EI
l l 2
P(l x) x 1 ( ) dx 2 l EI
Pl 2 16 EI
例 ：求刚架A点的竖向位移。
解：构造虚设状态
（实际状态） （虚拟状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图）
1 2 ql 2 1 2 qx 2
ql
虚设的力状态
B
K Bx ?
PK B
C
N ,Q, M
A
A
又设与内力 N , Q , M 对应的微段实际 变形分别为dλ、dη和dθ。 若结构有已知支座位移为ci ，与其对应 的由广义力 PK 引起的支座反力为R
实际位移状态
B
K ?
P C
虚设的力状态
PK B C
N ,Q, M
A
dλ、dη和dθ c
一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位 移计算的一般公式。
设待求的实际广义位移为ΔK ，与ΔK对应 的广义力为P。 设仅在水平力PK作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为 N , Q , M
实际位移状态
P C
支座移动 c、
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
A PK=1
A ?
PK=1 B
(a)
A PK=1
AB ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
Pk 1 d
C d A B
PK 1 d
(c)
BC ?
1 d1 1 d1
C
d1
(d)
B 1 d2
A
d2
AB AC ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
几点讨论（只有荷载作用）：
KP
NN P KQ QP MM P EA GA EI ds
MM P ds EI
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架： KP
2. 对桁架：
kP
NN P ds NN P l EA EA MM P ds NN P l EI EA
引起结构位移的原因
载荷、 温度改变 T、 制造误差 等 计算位移的目的 (1) 刚度要求 如： 在工程上， 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
公式的普遍性表现在： 1. 位移原因：载荷、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；
静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲、拉(压) 、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
R
外力虚功 内力虚功
W外虚 =ΣRi Ci+PKΔK
W内虚 Nd Md Q d
由虚功方程
W外虚 = W内虚
则结构虚功方程改写为 位移计算的一般公式
令PK=1
K Nd Md Q d R C
K Nd Md Q d R C