材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
压杆稳定欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F Fcr
F ≥ Fcr
压杆稳定
压杆失稳
5
第二节 临界力的欧拉公式
对于弹性压杆，临界力的计算公式为
Fc r
π 2 EI
l
2
其中，E 为材料的弹性模量；I 为截面对中性轴 的惯性矩；l 为压杆长度； 为长度因数，取决 于压杆的两端约束 压杆一端固定一端自由： 压杆两端铰支： 压杆一端固定一端铰支：
3）圆环形截面
4 π 28 4 I 38 1 1012 7.22 108 m 64 38
A b 5.076 cm2
压杆临界力
Fcr π 2 EI min
l
2
35630 N
A c 5.18cm2
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式称为压杆的相当长度2在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下即各个方向上相等i应取最小值第三节第三节临界应力的欧拉公式临界应力的欧拉公式crcrcrcr压杆失稳一压杆的临界应力一压杆的临界应力定义定义crcr为压杆的临界应力为压杆的临界应力显然有显然有二压杆临界应力的欧拉公式二压杆临界应力的欧拉公式其中无量纲参量其中无量纲参量称为压杆的柔度或长细比其综合反映了压杆的两端约束长度和截面对压杆稳定性的影响可直接作为压杆稳定性的判据
欧拉公式的适用范围经验公式
解：在正视图平面内弯 曲时，截面将绕z轴转动，
A、B二处视为铰支约束；
bh3 μ = 1, Iz = 12 ,iz =
Iz A
=
h 23
λz
=
μl iz
= 132.6
在俯视图平面内弯曲时，截面将绕y轴转动，A、
B二处视为固定端约束；
μ
=
0.5, I y
=
b3h 12
,iy
=
Iy A
=
b 23
λy
=
欧拉公式的适用范围 及经验公式
当轴向压力F 等于临界压力Fcr时，压杆才可能 由直线平衡过渡到微弯状态保持平衡。
临界压力的双重性： 1、细长压杆保持直线平衡的最大载荷； 2、细长压杆保持微弯平衡的最小载荷。
细长压杆的临界压力（欧拉公式）
π 2 EI Fcr = (μl)2
注意：欧拉公式是在线弹性的条件下建立，只有材料 服从胡克定律，即杆内的应力不超过材料的比例极限， 才能用欧拉公式计算压杆的临界压力。
μl iy
= 99.5
由于 z>y 压杆将在正视图平面内失稳。
且有： λz = 132.6 > λp = 100
故，根据欧拉公式计算临界应力
cr
2E 2
2 205109
132.62
115.07MPa
临界载荷为
Fcr cr A cr (bh)
115.07 106 40 60 106 276.17kN
σcr
=
π2E λ2
σp
或者
λ
π2E σp
=
λp
p—仅与材料的弹性模量 E 及比例极限p有关。 即： ≥p 时，欧拉公式才成立。压杆称为大柔度杆。
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力（受压直杆在压力作用下，保持原有直线平衡状态的能力）。
受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构在压力作用下，都可能发生失稳。
构件的失稳往往是突然发生的，造成的事故往往是灾难性的。
因构件失稳而引起的重大事故，1907年加拿大劳伦斯河上，跨长五百多米的魁北克大桥，因压杆失稳而导致整座大桥倒塌，两次事故造成88人遇难。
倒塌的魁北克大桥魁北克大桥稳定失稳造成的事故现在仍时有发生，2000年10月25日，南京电视台演播中心工地，在施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌事故，部分施工人员被压，35人被送往医院抢救和治疗，并有5人死亡。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
下端固定、上端自由的杆件如上图 (a) 所示，下端固定、上端自由的杆件，受到压力F 作用。
当载荷小于某一个临界力Fcr，如图(b) 所示，杆件若受到某种微小干扰力f 作用下，使杆件发生微小弯曲变形，杆件偏离直线平衡位置，当撤除干扰力后，杆件又回到原来的直线平衡位置。
当压力F等于临界力Fcr时，杆件可以保持原有的直线平衡状态，受到微小干扰力f作用下，杆件发生微小弯曲变形，但是当撤除干扰力后，杆件不再回到直线平衡位置，而是保持微小弯曲变形的平衡状态，如图 (c) 所示。
但当压力F超过临界力Fcr时，在干扰力作用下，杆件不再回到直线平衡位置，载荷稍大于临界力，就足以使杆产生很大的挠度。
当F≥Fcr 时，原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，简称为临界力，用Fcr表示。
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件1. 引言在静力学中，我们经常遇到压杆稳定问题。
欧拉公式是研究压杆稳定性的重要工具之一。
本文将阐述欧拉公式成立的条件。
2. 什么是欧拉公式？欧拉公式是描述弹性直杆稳定性的一种公式。
它的数学表达式为：Fcr = (π² * E * I) / L²其中，Fcr代表临界压力，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。
3. 欧拉公式的作用欧拉公式可以用来判断压杆在不同条件下是否会发生稳定失效。
当施加的压力小于临界压力时，压杆稳定；当施加的压力大于临界压力时，压杆会发生屈曲失稳。
4. 欧拉公式的前提条件要保证欧拉公式成立，有以下几个关键的前提条件：•材料是均匀的弹性材料；•杆件是直线型的；•杆件的截面是均匀的；•杆件的两端是固定的。
如果以上条件不满足，欧拉公式可能不适用，需要采用其他方法进行稳定性分析。
5. 欧拉公式的局限性尽管欧拉公式在很多情况下都具有很好的适用性，但也存在一些局限性：•欧拉公式忽略了杆件在屈曲时的非线性行为，因此在较大的弯曲时可能不准确；•欧拉公式适用于线弹性材料，在非线性材料中应用时需要额外的修正或采用其他方法。
6. 结语欧拉公式提供了一种简单但有效的判断压杆稳定性的方法。
在满足一定的前提条件下，我们可以使用欧拉公式来判断压杆是否会发生屈曲失稳。
然而，在实际工程中，我们需要根据具体情况进行综合分析，避免忽略其他因素的影响。
参考文献： [1] 郭华东. 弹性力学[M]. 北京：高等教育出版社, 2014. [2] Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. (1961). Theory of elastic stability[M]. McGraw-Hill.以上为本文的主要内容，通过介绍欧拉公式的成立条件，我们可以更好地理解压杆稳定问题。
希望这篇文章对您有所帮助！。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
材料力学课件——压杆稳定计算
9.1 工程中压杆的稳定问题 9.2 细长压杆的临界力 9.3 欧拉公式的适用范围·临界应力的
经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
材料力学基本任务
构件的承载能力
问题
分析设计过程
失效方式
①强度 外力—内力—应力—强度条件 塑性屈服或脆断
②刚度 外力—变形—刚度条件 变形过大失去工作能力
P （压杆稳定性条件）
A
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
保国寺大殿的拼柱形式
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
1056年建，“双筒体”结 构，塔身平面为八角形。经 历了1305年的八级地震。
压杆的实验观察
总结以上实验观察，可得到如下结论： （1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆的约束有关； （2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关； （3）当尺寸确定、约束确定、加载方式确定的情况下， 存在一个临界载荷Plj：当P<Plj时，杆件处于稳定平衡状 态；当P>Plj时，处于不稳定平衡状态. 稳定问题的核心是寻找临界载荷。
解 螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压 杆，其长度系数 μ=2，为求此螺杆的临界力Plj，首先要计算此 螺杆的柔度λ，以确定此螺杆的临界应力Plj应当按哪一个公式 来计算。
l0
i
式中 l0=μl=2×500=1000(mm)
i
I A
d 4 / 64 d2/4
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
压杆稳定-欧拉公式适用条件30min课件
— 欧拉公式
临界应力
cr
Fcr A
2E 2
— 欧拉临界应力公式
柔度
（长细比）
l
i
量纲：1
{ 约束条件 l 杆长 i 截面形状尺寸
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
弯曲变形近似微分方程：
d2y M dx2 EI
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
i
A
•临界柔度
P
E
P
P — 比例极限
S
a s
bs — 屈服极限来自•临界应力P(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P S (中柔度杆) cr a b 直线公式
S (小柔度杆) cr s 强度问题
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
cr a b a、b — 材料常数
cr s
S
a s
b
当 S P cr a b
中柔度杆（中长杆）
S
cr s
小柔度杆（短粗杆）
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
C
cr
2E 2
D
P
内容回顾
稳定性：构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。 失 稳：压杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡
欧拉公式普遍形式：
2 EI Fcr (l )2
适用对象： ➢ 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） ➢ 线弹性，小变形
欧拉公式的适用范围和经验公式
差。反之， 越小，压杆的稳定性越好。由上式，欧拉公式的适用
范围为
π2E
2
p
或
π2E p
Hale Waihona Puke 令p π2E
p
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p是对应于比例极限的柔度值。由上可知，只有对柔度 ≥ p
的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度 ≥ p的压杆称为大 柔度压杆或细长压杆。
p≈100。对于木压杆， p≈110。
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
1.2 抛物线公式
< p的压杆称为中、小柔度压杆。这类压杆的临界应力通常
采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的, 目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。本书仅介绍抛物线公式， 其表达式为
cr= sa 2 式中：s——材料的屈服极限，单位为MPa；
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 【例10.3】 图示压杆的横截面为矩形，h=80mm，b=50mm，
杆长l=2m，材料为Q235钢，s=235MPa, C=123。在图(a)所示平面
内，杆端约束为两端铰支；在图(b)所示平面内,杆端约束为两端固 定。试求此压杆的临界力。
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
86.6
压杆在xz平面内，杆端约束为两端固定，μ=0.5。惯性半径为
柔度为
iz
b 50103 m 14.43103 m
12
12
y
l
iy
0.5 2 14.43103
69.3
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 由于z>y，故压杆将在xy平面内失稳。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件
杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
感谢观看
详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
60
铬钼钢
981 5.296 55
—
铸铁
332 1.454 80
—
硬铝
373 2.15 50
—
松木
28.7 0.19 59
—
cr a b
此经验公式的适用范围：对于塑性材料的压杆，要 求临界应力不超过压杆材料的屈服极限应力，以保 证压杆不会因强度不够而发生破坏。对塑性材料：
cr a b S
cr3 S 235 MPa Fcr1 cr1A 235106 0.00785N 1845 kN
S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
一、临界应力与压杆柔度
压杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横
截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界
应力，用 cr 表示。由公式知：
cr
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
i
)
2
cr
2E 2
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
材料力学压杆稳定公式
材料力学压杆稳定公式材料力学是物理学的一个分支，研究物质的力学性质和物理性质以及它们之间的相互作用。
材料力学中的压杆稳定性问题，在工程中应用非常广泛，是一种典型的应用力学问题。
本文将对压杆稳定公式进行详细解析，并探讨它在实际应用场景中的应用。
一、压杆稳定公式的原理当压力作用于杆的轴向时，可能会导致杆件翻转或折断，这种失稳现象称为压杆稳定性。
压杆稳定性是压力元素设计过程中必须考虑的关键问题。
压杆稳定公式是工程师计算杆件失稳情况的重要工具。
压杆稳定公式由欧拉公式和Johnson公式组成。
欧拉公式是描述简单结构（如棒杆）失稳所必需满足的基本条件，它给出了压杆稳定的临界条件。
欧拉公式的表达式为：Pcr = π²EI/l²Pcr为极限荷载（稳定负荷），E为杨氏模量，I为惯性矩，l为杆的长度。
Johnson公式是实际应用中采用的压杆稳定公式，它考虑了杆的附加载荷和杆的弯曲刚度对稳定性的影响。
Johnson公式的表达式为：Pcr= σcA/{1+(σs/σc)[(A/A0)^2-1]}Pcr为极限荷载，σc为杆的材料弹性极限，σs为附加载荷产生的应力，A为杆的横截面积，A0为杆的理论横截面积。
Johnson公式是以欧拉公式为基础的，可以用于计算矩形截面、圆形截面和其他截面形状的杆件的极限稳定荷载。
二、压杆稳定公式的实际应用场景1.结构设计压杆稳定公式在结构设计中是至关重要的。
当设计师有多种杆件形状和材质可供选择时，可以利用压杆稳定公式计算每种形状和材质的极限荷载，以找到最适合的材质和形状。
2.建筑施工压杆稳定公式在建筑施工中也有广泛的应用。
在桥梁、塔和钢构建筑的建设中，压杆稳定公式可以帮助工程师确定结构的稳定性。
它们还可以检查杆件的尺寸和重量是否适当。
3.飞机制造在飞机制造中，压杆稳定公式可以用来计算气动稳定性问题，以确保飞机在不同高度和气压下的稳定性。
这对于飞行安全至关重要。
4.交通工程压杆稳定公式在交通工程中也有广泛应用。
工程力学第3节 欧拉公式及经验公式
Fcr 2 EI cr A ( l ) 2 A
令
i
I A
2 2 2 Ei E cr 2 l 2 ( l ) ( )
cr a1 b12
2 cr 2E
P
例11-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固 定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 P 200 MPa， 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， a 304 MPa， S 235 MPa， b 1.12 MPa。试求各杆 的临界载荷。
cr a b S
a S S b
注意：仅当压杆的柔度 S时，才能用上式求解！ 例：对于 Q235 钢： S 235MPa ，a 304 MPa ，
b 1.12 MPa
a S 304 235 63 S 1.12 b
综述 （1）
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力 （2）S
cr 2E p
2
P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
cr a b
中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压 杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳 现象。
三、经验公式 若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再 按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用 以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。 1、直线型经验公式
3压杆稳定计算
nw=2.5。求容许轴向压力F。
Fx
A
l
B
y
解： (1) 计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用
惯性半径
I π (D4 - d 4 )/64 A π (D4 - d 4 )/4
i I/A
查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为
二、欧拉公式的适用范围 σ cr =
2E
λ2
1、小变形（挠曲线微分方程） 2、公式推导中，用到了中性层的曲率公 式，而曲率公式导出时用到了胡克定律， 因此，欧拉公式适用于胡克定律的适用范 围内：比例极限内。
∴ σcr ≤σp
说明: 1、σ cr ≤σp的杆件叫细长杆，或大 柔度杆。
2、当σcr =σp
I π (D4 - d 4 )/64 4.6010-6 m4
故有临界力
Fcr＝π(2lE)I2 7.41 105 N
而容许轴向压力为
F Fcr 296 kN
nw
此种直接根据稳定安全因数对压杆稳定计算的方法称为稳定安全因数法。
例4：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110, E=10GPa,由A、B两销子固定。 试
求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解：
l
（1）若在xoz平面内失稳，绕y轴转动
1,
Iy
bh3 12
8000
cm4 , l
7m
y
l
iy
l
/
Iy A
121 p
《材料力学 第2版》_顾晓勤第08章第3节 欧拉公式及经验公式
cr a1 b12
cr
2E 2
P
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章 压杆稳定
例8-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr2 cr2 A 214106 0.00785N 1680 kN
（c）第三根压杆的临界载荷
3
l3
i
2 0.5 0.025
40
P 60
该杆为小柔度压杆，临界应力应选取屈服极限：
cr3 S 235 MPa Fcr3 =cr3 A 235106 0.00785N 1845 kN
的临界载荷。
解：3 根杆相同的参数
P
E
P
100
2m 1m 0.5m
S
a S
b
61.6
A d 2
4
=0.00785 m2
(a)
(b)
(c)
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章 压杆稳定
i
I A
d 4
0.025 m
2
（a）第一根压杆的临界载荷
1
l1
i
22 0.025
160
P 100
cr1
第 3 节 欧拉公式及经验公式
第八章杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横
截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界
应力，用 cr 表示。由公式知：
cr
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
压杆稳定欧拉公式
压杆稳定欧拉公式首先，我们来看一下欧拉公式的表达式。
欧拉公式被记作：e^iπ+1=0e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个表达式将指数函数e^(ix)分解为一个实部cos(x)和一个虚部sin(x)之和。
这个等式揭示了欧拉公式与三角函数之间紧密的关系。
特别地，当x取π时，欧拉公式退化为欧拉恒等式（Euler's identity）：e^(iπ)+1=0这个等式表明，虚数单位i的指数函数e^(ix)在π这一特殊点上等于-1、这就是为什么欧拉公式通常被表达为e^(iπ) + 1 = 0。
欧拉公式在数学中的应用非常广泛，特别是在压杆稳定问题中。
压杆稳定问题是一个研究结构力学的经典难题，主要探讨物体在受外力作用下的平衡问题。
欧拉公式通过复数的指数函数形式，提供了一种简单而强大的数学工具，用于求解压杆的稳定性问题。
在压杆稳定问题中，我们可以用两个方程来描述物体的平衡条件。
第一个方程是力的平衡方程，它描述了物体在受到外力作用下的平衡状态。
第二个方程是扭矩的平衡方程，它描述了物体在受到外力作用下的旋转平衡状态。
通过这两个方程的求解，我们可以得到物体在受外力作用下的平衡状态。
欧拉公式在压杆稳定问题中的应用主要体现在力的平衡方程的求解中。
由于力是矢量，所以我们常常使用复数来表示力的方向和大小。
利用欧拉公式，我们可以将复数的指数函数形式应用到力的平衡方程中。
通过将力的分解为实部和虚部的和，我们可以方便地对力的方向和大小进行计算和求解。
另外，欧拉公式还可以在压杆稳定问题中应用于力的分析和优化。
通过对力的平衡方程进行求导和优化，我们可以得到物体受力最优的条件和方向。
这样，欧拉公式为我们提供了一种解决压杆稳定问题的数学工具和思路。
材料力学欧拉公式
材料力学欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要公式，描述了材料在应变和应力作用下的力学行为。
它是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中期提出的。
欧拉公式在应用于材料力学中，可以帮助我们理解和预测材料在力学加载下的响应行为。
在材料力学中，欧拉公式描述了杆件的弯曲行为。
杆件是一种具有一维长度和截面的结构，常常用于支撑物体或传递力量。
当在杆件的两端施加外力时，杆件会发生弯曲变形。
欧拉公式可以用来计算杆件的弯曲刚度和最大弯曲应力。
欧拉公式的基本形式是：(1)σ=E*ε*I/y其中，σ是杆件中心的弯曲应力，E是材料的弹性模量，ε是杆件的应变，I是截面的惯性矩，y是杆件绕截面中心轴的最大距离。
欧拉公式的本质是通过将杆件上的弯矩平衡和变形方程结合起来，得出了杆件的弯曲应力与外力和几何特性之间的关系。
这个公式可以帮助我们分析杆件在弯曲过程中的最大弯曲应力和应变分布。
根据欧拉公式，当杆件的应变达到临界值时，杆件发生屈曲，即出现了弹性失稳。
这个临界值可以通过欧拉公式进行计算，得出屈曲载荷。
除了上述的基本欧拉公式，还有一些拓展的欧拉公式可以用来分析不同类型的杆件和加载情况。
例如，对于长杆件的弯曲行为，可以使用欧拉公式的长杆件版本，它考虑了杆件端部的约束效应。
此外，欧拉公式还可以应用于其他力学问题中，如柱子的稳定性分析和梁的弯曲问题。
这些应用都基于欧拉公式中应变和应力之间的关系，可以帮助我们更好地理解和解决材料力学中的问题。
总之，欧拉公式是材料力学中的一项重要工具，它描述了杆件在弯曲加载下的应变和应力之间的关系。
通过欧拉公式，我们可以计算杆件的弯曲刚度、最大弯曲应力和屈曲载荷等重要参数。
欧拉公式的应用不仅局限于杆件，还可以扩展到其他材料力学问题中。
它对于深入理解材料的力学行为和解决实际工程问题具有重要意义。
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S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
定计算中的一个重要综合参数。
• 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值， 由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。 因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹
性范围内，推导出来的。因此只有当cr p 时欧拉
公式才适用，即
临界应力形式 的欧拉公式
临界应力形式 的欧拉公式
cr
2E 2
式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆
的长度 l 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 cr
的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔
度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 cr 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳
cr
2E 2
p
或
P
E
P
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2108 Pa、 E 21011Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用
范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
三、经验公式
若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再
cr a1 b12
cr
2E 2
P
例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
材料
（强度极限 b/ MPa ） （屈服点 S /MPa ）
a
b
（MPa） （MPa）
P
S
Q235 钢( b 372 , S 235 ) 304 1.12 100
62
优质碳钢( b 471 ,S 306 ) 461 2.568 100
60
硅钢 ( b 510 , S 353 ) 578 3.744 100
一、临界应力与压杆柔度
压杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横
截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界
应力，用 cr 表示。由公式知：
cr
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
i
)
2
cr
2E 2
按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用 以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。
1、直线型经验公式
cr a b
式中 为具体压杆的柔度，a﹑b为与材料的力学
性能有关的常数，单位为 MPa。表 7-2 中列出了几
种常用材料的 a、b 值。
表 7-2 几种常用材料的 a、b 的值
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
60
铬钼钢
981 5.296 55
—
铸铁
332 1.454 80
—
硬铝
373 2.15 50
—
松木
28.7 0.19 59
—
cr a b
此经验公式的适用范围：对于塑性材料的压杆，要 求临界应力不超过压杆材料的屈服极限应力，以保 证压杆不会因强度不够而发生破坏。对塑性材料：
cr a b S
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
cr a b
• 中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压
杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳
现象。
（3） S 的压杆，称为小柔度杆或短粗杆
应按强度问题处理
cr S
对绝大多数碳素
结构钢和优质碳素 结构钢来说，小柔
度杆的 在 0 ~ 60
之间。
cr S
cr (a b)
cr
2E 2
根据欧拉公式与抛
物线经验公式，得
低合金结构钢等压
杆的 cr 总图。
S
a
S
b
注意：仅当压杆的柔度 S时，才能用上式求解！
例：对于 Q235 钢：S 235 MPa ，a 304 MPa ， b 1.12 304 235 1.12
63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
cr3 S 235 MPa Fcr1 cr1A 235106 0.00785N 1845 kN
cr2 a b2 3041.1280MPa 214MPa
Fcr2 cr2 A 214106 0.00785N 1680 kN
（c）第三根压杆的临界载荷
3
l3
i
2 0.5 0.025
40
P 60
该杆为小柔度压杆，临界应力应选取屈服极限：
的临界载荷。
解：3 根杆相同的参数
P
E
P
100
2m 1m 0.5m
S
a S
b
61.6
A
d 2
4
0.00735 m2
(a)
(b)
(c)
i
I A
d 4
0.025
m
2
（a）第一根压杆的临界载荷
1
l1
i
22 0.025
160
P 100
cr1