实验六傅里叶变换及其反变换

实验六 傅里叶变换及其反变换
6.1实验目的
１．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶变换；
２．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶反变换；
3．学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图。

6.２实验原理及实例分析
1．连续时间信号傅里叶变换----CTFT
傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。

傅里叶变换和其逆变换定义如下：
⎰∞
∞--=
dt e t x j X t j ωω)()( 6.1
⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 6.2
连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。

按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量（frequency component ），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。

X(j ω)通常为关于的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：
X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)
其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。

给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。

对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。

２．用MATLAB 实现CTFT 的计算
MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。

1） MATLAB 符号运算求解法
MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。

常用的是：F=fourier(f) 默认返回值是关于ω的函数。

f=fourier(F,t) 返回值是关于t 的函数
例：利用MATLAB 求单边指数信号f(t) = e -2t u(t)的傅里叶变换，画出f(t)及其幅度谱和相位谱图。

syms t v w x phase im re ; %定义符号变量
f = exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)'); %f(t)=exp(-2*t)*u(t)
Fw = fourier(f); %求傅里叶变换
subplot(311);
ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形
axis([-1 2.5 0 1.1]);
subplot(312);
ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱
im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部
re = real(Fw); %计算F(w)的实部
phase = atan(im/re); %计算相位谱
subplot(313);
ezplot(phase); %绘制相位谱
%End
2） MATLAB 数值计算求解法
符号运算求解法的局限性在于，如果返回函数中有诸如δ（t ）等项，则用ezplot( )函数无法作图。

对某些信号求变换时，其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因而也不返回函数作图。

故有必要给出连续信号傅里叶变换的数值计算法。

采用数值计算算法的理论依据是：
⎰∞
∞-Ω-=
dt e t x j X t j )()(ω∑∞-∞=-→=k T jk T T e kT x ω)(lim 0
若信号为时限信号，当时间间隔T 取得足够小时，上式可演变为：
∑-=-=N N k T jk e kT x T
j X ωω)()(
T
e e e t x t x t x N t j t j t j N ],,,[)](,),(),([12211221+---+⋅=ωωω 上式用MA TLAB 表示为：
X=x*exp(-j*t ’*w)*T
其中X 为信号x(t)的傅里叶变换，w 为频率Ω，T 为时间步长。

相应的MA TLAB 程序：
T = 0.01; dw = 0.1; %时间和频率变化的步长
t = -10:T:10;
w = -4*pi:dw:4*pi;
%X(jω)可以按照下面的矩阵运算来进行：
X=x *exp(-j*t'*ω)*T %傅里叶变换
X1=abs(X); %计算幅度谱
phai=angle(X); %计算相位谱
为了使计算结果能够直观地表现出来，还需要用绘图函数将时间信号x(t)，信号的幅度谱|X(jω)|和相位谱∠ X(jω)分别以图形的方式表现出来，并对图形加以适当的标注。

6.3 编程练习
1. 设双边指数信号f(t) = e-a|t| (a>0)，用MA TLAB编程求其傅里叶变换，绘出频谱图。

要求
由键盘交互式地设置a的值，观察当a逐渐趋于0时，其频谱函数的变化趋势。

>> syms t v w x phase im re; %定义符号变量
a=input('请输入a=');
f = exp(-a*abs(t)) ; %f(t)= exp(-a*abs(t))
Fw = fourier(f); %求傅里叶变换
subplot(311);
ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形
axis([-1 2.5 0 1.1]);
subplot(312);
ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱
im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部
re = real(Fw); %计算F(w)的实部
phase = atan(im/re); %计算相位谱
subplot(313);
ezplot(phase); %绘制相位谱
请输入a=6
>> syms t v w x phase im re; %定义符号变量 a=input('请输入a=');
f = exp(-a*abs(t)) ; %f(t)= exp(-a*abs(t))
Fw = fourier(f); %求傅里叶变换 subplot(311);
ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis([-1 2.5 0 1.1]);
subplot(312);
ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱
im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部 re = real(Fw); %计算F(w)的实部 phase = atan(im/re); %计算相位谱 subplot(313);
ezplot(phase); %绘制相位谱 请输入a=2
2.求 211)(ω
ω+=F 的傅里叶反变换f(t)。

>> syms t v w x phase im re; %定义符号变量 Fw =1/(1+w^2);
f=fourier(Fw,t)
subplot(311);
ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis([-1 2.5 0 1.1]);
subplot(312);
ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱
im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部re = real(Fw); %计算F(w)的实部phase = atan(im/re); %计算相位谱subplot(313);
ezplot(phase); %绘制相位谱
f =
(pi*heaviside(t))/exp(t) + pi*heaviside(-t)*exp(t)。