石家庄市2015年第一次质检考试数学答案
石家庄市2015届高三复习教学质量检测(一)理科数学
2页3第4页 5第石家庄市2015届高三第一次质量检测数学理科答案一、选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA二、填空题：13．24y x =+ 14．1- 15． 16.3602 三、解答题 17.因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................10分 18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(33)3(312)d d +=+，得2d =或0d =(舍)，……………………2分所以{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分 （2）2(21)2nnn n b a n ==+123325272(21)2n n S n =+++++………………①…………②……………………6分①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分1+12(12)22(21)2122(21)2n n n n n +-=+-+-=---……………………10分∴1(21)22n n S n +=-+……………………12分 19. 解：（1）解：a=6 b=10……………………………2分222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos 2629100 (85)2c= (92)==∴===+-+-==-+==a bA B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分解得或分23412325272(21)2n n S n +=+++++6……….5分（2）P （Y=0）=632228=C P （Y=1）=282112128=C C P （Y=2）=112212=C …………………11分 5E（P ）=.…………………………12分 20(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME , ∴四边形MEFN 为平行四边形. -------------2∴EF ,∴EF ∥PAB 平面.(2) 棱PA ⊥底面ABCD ,所以A P ，轴轴，轴，z y x 的正方向，建立以(001),(000),B (1,0P A C D ，，，，，，，，，,1(0222E ，，所以,1(0)22EF =-，，, (0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB ==所以11022b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 所以(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8页7第设直线EF 与平面ABE 所成角为α, 于是1sin cos ,2EF n EF n EF nα=<>==.-------------10所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 解法2在平面PAD 内作EH ∥PA H 于, 因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以EH ⊥底面ABCD . -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABFS =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯=-------------8设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=11122ABES AB AE =⨯⨯=⨯=1133ABFABES EH Sh =,h =-------------10设直线EF 与平面ABE 所成角为α,1sin 2h EF α==,所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------1221.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x xy y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。
2015年石家庄市初中毕业班质量检测参考答案
2015年石家庄市初中毕业班质量检测参考答案1-5 ACCBB 6-10 CBCBB 11-15ABAAC 16-20BACBA 21-25CBCBC 26 – 30 BCDBA31-35 ACDAD 36-40 AABCD 41-45 BCAAC 46-50 DBDBD 51-55 BCCDD 56--60 BBAAC 61-65 ACDCB 66. studying 67. copy 68. every word 69. be afraid 70. fast71. if he or she wants to.72. It can bring us(me) to realize what is happening.73. study 74. (Here are) some ways on how to become a better student.75. 考试能帮助你记住(所学的)新知识。
76. parents 77. school 78. lonely 79.read 80. us81. Have you flown a kite?82. Lily decided to fly kites today.83. She saw many people flying kites in the park.84. She ran quickly and her kite flew high.85. How happily she played!86. On March 15th, 2015, Zhang Lei hurt his right leg when he was running after his classmate at school. As a result, he was in hospital for a month. I'm very sorry to hear that. So as a student I think keeping safe in school is very important. First , don't run in the hallway and never fight with others. Second, we should always obey the school rules. Most important of all, we should ask the teachers for help when we are in trouble.Please remember safety must come first.。
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知i为虚数单位，则复数=（）A.2+iB.2-iC.-1-2iD.-1+2i【答案】C【解析】解：=，故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=（）A.{0，1}B.{1，2}C.{0，1，2}D.∅【答案】B【解析】解：Q={y|y=3x}={y|y＞0}，则P∩Q={1，2}，故选：B根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=（）A.-B.C.±D.-k【答案】A【解析】解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π），∴sinα==，∴sin（π+α）=-sinα=-．故选：A．由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.下列说法中，不正确的是（）A.已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题B.命题“∃x0∈R，x02-x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2-x≤0”C.命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题D.“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件【答案】C【解析】解：A．若am2＜bm2，利用不等式的性质可得：a＜b，因此为真命题；B．命题“∃x0∈R，x02-x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2-x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题p和q命题至少有一个为真命题，因此不正确；D．“x＞3”⇒“x＞2”，反之不成立，因此“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件，正确．故选：C．A．利用不等式的基本性质即可判断出正误；B．利用命题的否定定义即可判断出正误；C．利用复合命题的真假判定方法即可判断出正误；D．“x＞3”⇒“x＞2”，反之不成立，即可判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定、不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题．5.设函数f（x）为偶函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=2sinx，当x∈[2，+∞）时f（x）=log2x，则=（）A. B.1 C.3 D.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）为偶函数，∴f（-）=f（），∵当x∈[0，2）时f（x）=2sinx，∴f（x）=2sin=2×=；∵当x∈[2，+∞）时f（x）=log2x，∴f（4）=log24=2，∴=+2，故选D；函数f（x）为偶函数，可得f（-）=f（）再将其代入f（x）=2sinx，进行求解，再根据x∈[2，+∞）时f（x）=log2x，求出f（4），从而进行求解；此题主要考查函数值的求解问题，解题的过程中需要注意函数的定义域，是一道基础题；6.执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为（）A.2B.2C.4D.6【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=1满足条件i≤4，S=1，i=2满足条件i≤4，S=，i=3满足条件i≤4，S=2，i=4满足条件i≤4，S=2，i=5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（-，-1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．设平面AB1C1所的一个法向量为=（x，y，z）则即，取z=1，则得=（，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选A．以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面AB1C1所的一个法向量的夹角，求出则BB1与平面AB1C1所成的角．本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．8.已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A.1-B.C.1-D.【答案】A【解析】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-=1-．故选：A．作出图形，以长度为测度，即可求出概率．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键．9.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A. B. C.1+ D.1+【答案】C【解析】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得c4-6a2c2+a4=0∴e4-6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：C．先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.64B.72C.80D.112【答案】B【解析】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8=72．故选B．由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．11.已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为（）A. B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】解：设AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得，x2=22+42-2×2×4cos B=20-16cos B，在△ACD中，由余弦定理可得，x2=32+52-2×3×5cos D=34-30cos D，即有15cos D-8cos B=7，又四边形ABCD面积S=×2×4sin B+×3×5sin D=（8sin B+15sin D），即有8sin B+15sin D=2S，又15cos D-8cos B=7，两式两边平方可得，64+225+240（sin B sin D-cos B cos D）=49+4s2，化简可得，-240cos（B+D）=4S2-240，由于-1≤cos（B+D）＜1，即有S≤2．当cos（B+D）=-1即B+D=π时，4S2-240=240，解得S=2．故S的最大值为2．故选B．设AC=x，在△ABC和△ACD中，由余弦定理可得，15cos D-8cos B=7，再由三角形的面积公式可得8sin B+15sin D=2S，两式两边平方结合两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可求得最大值．本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，同时考查两角和的余弦公式的运用和余弦函数的最值的求法，属于中档题．12.已知函数f（x）=，＞，，若关于x的方程f2（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）-bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2-bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：＞＜＜＞，化简得＜＞＜＜，此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得S=-×1×1=故选：A题中原方程f2（x）-bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K 在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查定积分等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|= ______ ．【答案】【解析】解：∵平面向量，的夹角为，||=2，||=1，∴=||•||cos=2×=-1，∴|+|2=（）2=||2+||2+2=4+1-2=3，即|+|=．故答案为：．运用数量积的定义求解得出=||•||cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=||2+||2+2，代入数据求解即可．本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为______ ．【答案】8【解析】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，设两个班为1班和2班，∴分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，若两个班分别为1人和3人，则1人只能为甲或乙，单独的1人可以在1班或2班，因此分法为：2×2=4，若两个班各2个人，则为总的分法减去甲乙在同一个班（都在1班或都在2班）的情况，即分法为：-2=4，因此不同的分法的总数为：4+4=8．故答案为：8．分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，据此解答．本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．15.设过曲线f（x）=-e x-x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为______ ．【答案】[-1，2]【解析】解：由f（x）=-e x-x，得f′（x）=-e x-1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a-2sinx，又-2sinx∈[-2，2]，∴a-2sinx∈[-2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=-e x-x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得-1≤a≤2．即a的取值范围为-1≤a≤2．故答案为：[-1，2]．求出函数f（x）=-e x-x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=-e x-x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．16.已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为______ ．【答案】πa2【解析】解：由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为S，延长F2S交F1P的延长线于Q，得PQ=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，连接OS，知OS是三角形F1F2Q的中位线，∴OS=a，即点S到原点的距离是定值a，由此知点S的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．同理可得，点R的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．故点R，S所形成的图形的面积为πa2．延长F2S交F1P的延长线于Q，可证得PQ=PF2，且S是PF2的中点，由此可求得OS的长度是定值，即可求点S的轨迹的几何特征．本题考查求轨迹方程，关键是证出OS是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出QF1的长度，进而求出OS的长度，再利用圆的定义得出点M的轨迹是一个圆，属于难题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠-1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．【答案】解：（1）∵a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠-1），∴当n≥2时，a n=λS n-1+1，∴a n+1-a n=λa n，即a n+1=（1+λ）a n，又a1=1，a2=λa1+1=λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3=（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得（λ-1）2=0，解得λ=1．∴a n=2n-1，b n=1+3（n-1）=3n-2．（2）a n b n=（3n-2）•2n-1，∴数列{a n b n}的前n项和T n=1+4×2+7×22+…+（3n-2）•2n-1，2T n=2+4×22+7×23+…+（3n-5）×2n-1+（3n-2）×2n，∴-T n=1+3×2+3×22+…+3×2n-1-（3n-2）×2n=-（3n-2）×2n=（5-3n）×2n-5，∴T n=（3n-5）×2n+5．【解析】（1）由a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠-1），当n≥2时，a n=λS n-1+1，可得a n+1=（1+λ）a n，利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【答案】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：∴EX=0×+100×+200×=．【解析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．（Ⅰ）当t=3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．【答案】解：（1）在棱PA上取点E，使得=，-------2连接AC，BD交于点F，因为AD∥BC，所以=，所以=，所以，EF∥PC因为PC⊄平面BDE，EF⊂平面BDE所以PC∥平面BDE-------------4（Ⅱ）取BC上一点G使得BG=，连结DG，则ABGD 为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG．AP=AD=AB，∠PAB=∠PAD=60°，所以△PAB和△PAD都是等边三角形，因此PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，---------------7以O坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．则O（0，0，0），P（0，0，1），A（-1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），G（1，0，0）设棱BC的长为t，则C（t，1-t，0），=（-1，0，-1），=（0，1，-1），=（t，1-t，-1），=（0，-1，-1）--------------9设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取=（-1，1，1）-----------10同理平面PCD的法向量=（1-，1，-1）-----------11由=0，解得t=2，即BC的长为2----------------12【解析】（Ⅰ）在棱PA上取点E，使得=，连接AC，BD交于点F，证明EF∥PC，即可证明PC∥平面BDE；（Ⅱ）取BC上一点G使得BG=，连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG，以O坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量=（-1，1，1）、同平面PCD的法向量=（1-，1，-1），由=0，解得BC的长．本题主要考查了线面平行的判定定理及性质，考查向量方法的运用，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．20.在平面直角坐标系x O y中，一动圆经过点（，0）且与直线x=-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设P是曲线E的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x-1）2+y2=1，求△PBC面积的最小值．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知圆心到（，0）的距离等于到直线x=-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y2=2x．（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），直线PB的方程为：（y0-b）x-x0y+x0b=0，又圆心（1，0）到PB的距离为1，即=1，整理得：（x0-2）b2+2y0b-x0=0，同理可得：（x0-2）c2+2y0c-x0=0，所以，可知b，c是方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根，所以b+c=，bc=，依题意bc＜0，即x0＞2，则（c-b）2=，因为y02=2x0，所以：|b-c|=||所以S=|b-c|•|x0|=（x0-2）++4≥8当x0=4时上式取得等号，所以△PBC面积最小值为8．【解析】（Ⅰ）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），求得直线PB的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PBC的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．【答案】解：（1）由，得′．因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，所以′≥0在[2，3]上恒成立，即在[2，3]上恒成立，设，则′＜，所以g（x）在[2，3]上单调递减，故g（x）max=g（2）=-7，所以a≥-7；（2）对于任意两个不相等的正数x1、x2有＞==＞＞，∴＞，而′，∴′′==＞，故：′′＞，即′′＞1，∴当a≤4时，＞．【解析】（1）由函数单调性，知其导函数≥0在[2，3]上恒成立，将问题转化为在[2，3]上单调递减即可求得结果；（2）根据题意，将′′写成，利用不等式的性质证明＞，所以′′＞，即得＞．本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．22.如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．【答案】证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．【解析】（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23.已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．【答案】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…（2分）由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，曲线C2的普通方程为x2+y2=4；…（4分）（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|==+…（6分）则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|=+=+…（6分）则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）因此|PM|+|PN|的最大值为．…（10分）【解析】（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程；（2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．24.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015届石家庄市高三数学(文科)一模试题与参考答案
2015届石家庄市高三数学(文科)一模试题与参考答案2015年，石家庄市高中毕业班进行了第一次模拟考试，以下是文科A卷的答案：一、选择题（A卷）1-5 CCBBA6-10 DBBAC11-12 CD一、选择题（B卷）1-5 DDBBA6-10 CBBAD11-12 DC二、填空题13 314 1 4 2 415 (0,1)16 [-1,2]三、解答题17.（本小题满分12分）解：（1）解法1：由a(n+1)=λS(n+1)+1(n∈N)，得a(n)=λS(n-1)+1(n≥2)。
因此，a(n+1)-a(n)=λa(n)，即a(n+1)=(λ+1)a(n)(n≥2)，λ+1≠0.又a(1)=1，a(2)=λS(1)+1=λ+1，所以数列{a(n)}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，因此a(3)=(λ+1)^2.由a(4)=4(λ+1)=1+(λ+1)+3，整理得λ-2λ+1=0，因此λ=1.所以a(n)=2^(n-1)，b(n)=3n-2.解法2：由a(1)=1，a(n+1)=λS(n+1)+1(n∈N)，得a(2)=λS(1)+1=λ+1，a(3)=λS(2)+1=λ(λ+1)+1=λ+2λ+1，因此a(4)=4(λ+1)=1+λ+2λ+1+3，整理得λ-2λ+1=0，因此λ=1.所以a(n)=2^(n-1)，b(n)=3n-2.2）a(n)b(n)=(3n-2)^2/[(n-1)]，因此T(n)=1*1+4*2+7*2+。
+(3n-2)*2n-1.则2T(n)=2+(3n-2)*2^(n-1)+。
+(3n-5)*2^2n-3+(3n-2)*2^2n-1.由①-②得-T(n)=1*1+3*2+3*2+。
+3*2n-2-2*(1-2^(n-1))。
证明一：已知四面体ABCD中，AB=AD=BC=2，CD=2√2，且∠ABC=∠ABD=90°，求证：CD垂直于平面ABD。
首先，根据勾股定理可得：BC=2×AD=2×AB=2×2=4，BD=2.又因为BD²+CD²=BC²，代入数值可得：2²+(2√2)²=4²，即BD垂直于CD。
2015年石家庄高三质检一考试理科数学试卷及答案
石家庄市2015届高三第一次质量检测数学理科答案一、 选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA二、填空题：13．24y x =+ 14．1- 15． 16.3602三、解答题17.因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................10分18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(33)3(312)d d +=+，得2d =或0d =(舍)，……………………2分所以{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分（2）2(21)2nn n n b a n ==+ 222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos 2629100.................852c=............92==∴===+-+-==-+==a bA B A B A a B B b a c b c B ac c c c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分解得或分123325272(21)2n n S n =+++++………………① …………②……………………6分①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分1+12(12)22(21)2122(21)2n n n n n +-=+-+-=---……………………10分 ∴1(21)22n n S n +=-+……………………12分19. 解：（1）解：a=6 b=10……………………………2分 ……….5分（2）P （Y=0）=13063240228=C C P （Y=1）=6528240112128=C C C P （Y=2）=13011240212=C C…………………11分 23412325272(21)2n n S n +=+++++35E （P ）=.…………………………12分 20(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME ,∴四边形M E F N为平行四边形.-------------2∴EF MN ∥,又,EF PAB ⊄平面,MN PAB ⊂平面∴EF ∥PAB 平面.- ------------4(2) 由已知得，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以AP AB AD ，，两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点,分别以,,为轴轴，轴，z y x 的正方向，建立空间直角坐标系xyz A -，所以(001),(000),B(1,0,0),(110),(010)P A C D ，，，，，，，，，,1111(0),(0)2222E F ，，，，, 所以,11(0)22EF =-，，, 11(0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB == 所以110220b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 所以(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8设直线EF 与平面ABE 所成角为α,于是1sin cos ,2EF nEF n EF n α=<>==.-------------10所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 解法2:在平面PAD 内作EH ∥PA H 于,因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以EH ⊥底面ABCD . -------------6 E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABF S =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯=-------------8 设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=1112224ABE S AB AE =⨯⨯=⨯⨯= 1133ABF ABE S EH S h =, 4h =. -------------10 设直线EF 与平面ABE 所成角为α,1sin 2h EF α==,所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 21.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x x y y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．已知i 为虚数单位，则复数13i1i-=+（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+ 答案：C考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2-----===--++-，故选：C ．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合{}0,1,2P =，{}3x Q y y ==，则P Q ⋂=（ ） A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．∅答案：B考点：交集及其运算． 专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：{}{}30x Q y y y y ===>，则{}1,2P Q ⋂=， 故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．已知cos k α=，k ∈R ，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin π+α=（ ）A ．C ．D ．k -答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sin α，从而由诱导公式即可得解．解答：解：cos k α=，k ∈R ，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α∴=()sin π+sin αα∴=-=故选：A ．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查． 4．下列说法中，不正确的是（ ）A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“x ∀∈R ，20x x -≤”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题均为真命题D ．“3x >”是“2x >”的充分不必要条件 答案：C考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑．分析：A ．利用不等式的基本性质即可判断出正误； B ．利用命题的否定定义即可判断出正误；C ．利用复合命题的真假判定方法即可判断出正误；D ．“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，即可判断出正误．解答：解：A ．若22am bm <，利用不等式的性质可得：a b <，因此为真命题；B ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“x ∀∈R ，20x x -≤”，正确； C ．“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题至少有一个为真命题，因此不正确；D ．“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，因此“3x >”是“2x >”的充分不必要条件，正确． 故选：C ．点评：本题考查了简易逻辑的判定、不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题．5．设函数()f x 为偶函数，且当[)0,2x ∈时，()2sin f x x =，当[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，则()π43f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ） A．2 B ．1 C ．3 D2=答案：D考点：函数的值． 专题：计算题．分析：函数()f x 为偶函数，可得ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再将其代入()2sin f x x =，进行求解，再根据[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，求出()4f ，从而进行求解；解答：解：函数()f x 为偶函数， ππ33f f ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[)0,2x ∈时()2sin f x x =，()π2sin23f x ∴=== 当[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，()24log 42f ∴==，()π423f f ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，故选D ；点评：此题主要考查函数值的求解问题，解题的过程中需要注意函数的定义域，是一道基础题； 6．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为（ ）A ．2B ．．4 D ．6答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当5i =时，不满足条件4i ≤，退出循环，输出S的值为解答：解：模拟执行程序框图，可得 1S =，1i =满足条件4i ≤，1S =，2i = 满足条件4i ≤，S =3i = 满足条件4i ≤，2S =，4i = 满足条件4i ≤，S =5i =不满足条件4i ≤，退出循环，输出S的值为 故选：B ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角是（ ）ACBC 1A 1B 1A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2 答案：A考点：直线与平面所成的角． 专题：计算题． 分析：以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用1BB 与平面11AB C 所的一个法向量的夹角，求出则1BB 与平面11AB C 所成的角．解答：解：以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，建立空间直角坐标系，则)1,0A，()10,0,3B ，()10,2,3C，()11,3AB =-，()110,2,0B C =，()10,0,3BB =．设平面11AB C 所的一个法向量为(),,n x y z =则11100AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3020y z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取1z =，则得()3,0,1n =，1cos BB <，1131322BB n n BB n⋅>===⨯，1BB ∴与平面11AB C 所成的角的正弦值为12， 1BB ∴与平面11AB C 所成的角为π6故选A ．点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．8．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A．1 BC．1- D ．12答案：A考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；概率与统计．分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率．解答：解：由题意，AOB △是直角三角形，2OA OB ==，所以AB =，O的范围为14个圆，与AB 相交于C ，D 两点，作OE AB ⊥，则OE =2CD =，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是11=．故选：A ．A点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD 是关键．9．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ） ABC．1 D．1+ 答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把2pc =代入整理得422460c a c a -+=等式两边同除以4a ，得到关于离心率e 的方程，进而可求得e ． 解答：解：由题意，两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程得222241p p a b-=， 又2pc =，代入化简得422460c a c a -+= 42e 6e 10∴-+=(22e 31∴=+1∴ 故选：C ．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：222c a b =+注意与椭圆的区别．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）正视图侧视图俯视图A ．64B ．72C ．80D ．112 答案：B考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为3464=，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积21143832⨯⨯⨯=，故该几何体的体积是64872+=． 故选B ．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．11．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则四边形ABCD 面积S 的最大值为（ ） A．C．D．答案：B考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：设AC x =，在ABC △和ACD △中，由余弦定理可得，15cos 8cos 7D B -=，再由三角形的面积公式可得8sin 15sin 2B D S +=，两式两边平方结合两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可求得最大值．解答：解：设AC x =，在ABC △中，由余弦定理可得， 22224224cos 2016cos x B B =+-⨯⨯=-，在ACD △中，由余弦定理可得，22235235cos 3430cos x D D =+-⨯⨯=-， 即有15cos 8cos 7D B -=，又四边形ABCD 面积1124sin 35sin 22S B D =⨯⨯+⨯⨯()18sin 15sin 2B D =+， 即有8sin 15sin 2B D S +=，又15cos 8cos 7D B -=，两式两边平方可得，()264225240sin sin cos cos 494B D B D s ++-=+， 化简可得， ()2240cos 4240B D S -+=-， 由于()1cos 1B D -+≤≤，即有S ≤． 当()cos 1B D +=-即πB D +=时，24240240S -=，解得S =S的最大值为 故选B ．点评：本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，同时考查两角和的余弦公式的运用和余弦函数的最值的求法，属于中档题．12．已知函数()2ln ,041,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++⎪⎩≤，若关于x 的方程()()()20,f x bf x c b c -+=∈R 有8个不同的实数根，则由点(),b c 确定的平面区域的面积为（ ）A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 答案：A考点：分段函数的应用． 专题：函数的性质及应用．分析：题中原方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解，即要求对应于()f x =某个常数K ，有2个不同的K ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出()f x 的简图，由图可知，只有满足条件的K 在开区间()0,1时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 解答：解：根据题意作出()f x 的简图：由图象可得当()(]0,1f x ∈时，有四个不同的x 与()f x 对应．再结合题中“方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k 的方程20k bx c -+=有两个不同的实数根1K 、2K ，且1K 和2K 均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：2224001200010b c b b c b c ⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-⨯+>⎪⎪-+⎩≥，化简得2410002b c b c c b ⎧<⎪⎪⎪-+⎨⎪>⎪<<⎪⎩≥， 此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得22011111426S b db ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭⎰ 故选：A点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查定积分等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解． 二、填空题：13．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，2a =，1b =，则a b +=．考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．分析：运用数量积的定义求解得出2πcos 3a b a b ⋅=⋅，结合向量的运算，与模的运算转化：()22222a b a ba b a b +=+=++⋅，代入数据求解即可．解答：解：平面向量a ，b 的夹角为2π3，2a =，1b =， 2π1cos=21132a b a b ⎛⎫∴⋅=⋅⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ()222224123a b a ba b a b ∴+=+=++⋅=+-=，即3a b +=．故答案为：点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．14．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为 ． 答案：8考点：计数原理的应用． 专题：计算题．分析：分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，据此解答．解答：解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，设两个班为1班和2班， ∴分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人， 若两个班分别为1人和3人，则1人只能为甲或乙，单独的1人可以在1班或2班，因此分法为：224⨯=，若两个班各2个人，则为总的分法减去甲乙在同一个班（都在1班或都在2班）的情况，即分法为：24C 24-=，因此不同的分法的总数为：448+=． 故答案为：8．点评：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．15.设过曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．答案：[]1,2-考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出函数()e x f x x =--的导函数，进一步求得()10,1e 1x ∈+，再求出()g x 的导函数的范围，然后把过曲线()e xf x x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥转化为集合间的关系求解．解答：解：由()e x f x x =--，得()'e 1x f x =--，e 11x +>，()10,1e 1x∴∈+， 由()2cos g x ax x =+，得()'2sin g x a x =-， 又[]2sin 2,2x -∈-，[]2sin 2,2a x a a ∴-∈-++， 要使过曲线()e x f x x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥， 则2021a a -+⎧⎨+⎩≤≥，解得12a -≤≤． 即a 的取值范围为12a -≤≤． 故答案为： []1,2-．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为l ，过1F ，2F 分别作l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为 ． 答案：2πa考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且S 是2PF 的中点，由此可求得OS 的长度是定值，即可求点S 的轨迹的几何特征．解答：解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为S ，延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==， 连接OS ，知OS 是三角形12F F Q 的中位线，OS a ∴=，即点SM 到原点的距离是定值a ，由此知点S 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆． 同理可得，点R 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆． 故点R ，S 所形成的图形的面积为2πa ．点评：本题考查求轨迹方程，关键是证出OS 是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出1QF 的长度，进而求出OS 的长度，再利用圆的定义得出点M 的轨迹是一个圆，属于难题． 三、解答题：17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，且1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和． 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，当2n ≥时，11n n a S λ-=+，可得()11n n a a λ+=+，利用等比数列的通项公式可得3a ，再利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出． 解答：解：（1）()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，∴当2n ≥时，11n n a S λ-=+，1n n n a a a λ+∴-=，即()11n n a a λ+=+，又11a =，2111a a λλ=+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，()231a λ∴=+， 1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．()()241113λλ∴+=+++，整理得()210λ-=，解得1λ=． 12n n a -∴=，()13132nb n n =+-=-．（2）()1322n n n a b n -=-⋅，∴数列{}n n a b 的前n 项和()2114272322n n T n -=+⨯+⨯++-⋅， ()()231224272352322n n n T n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯，()()()()121221132323232213322532521n n nn n n T n n n --⨯-∴-=+⨯+⨯+⨯--⨯=+⨯--⨯=-⨯--()3525n n T n ∴=-⨯+．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元． （Ⅰ）求集成电路E 需要维修的概率； （Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率1P 的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率2P 的值，再把1P 和2P 相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从52,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得()()100P X P k ξξ===的值，可得X 的分布列，从而求得X 的期望．解答：解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A ，B ，C ，则()12P A =，()12P B =，()23P C =．依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为()()()()1111122312P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=． ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为()()()211111111212232232233P P ABC P ABC P ABC ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以，集成电路E 需要维修的概率为1211512312P P +=+=． （Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从52,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而100X ξ=，()()2257100C 1212k kk P X P k ξξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2k =．010*******721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=． 点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，AP AD AB ==BC t =，PAB PAD α∠=∠=．（Ⅰ）当t =PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AEEP的值；（Ⅱ）当60α=︒时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．BAPDC考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质． 专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =，连接AC ，BD 交于点F ，证明EF PC ∥，即可证明PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）取BC 上一点G 使得BG =DG ，则ABGD 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA ，OB ，OD ，OG ，以O 坐标原点，分别以OG ,OB ,OF 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量()π1,1,1=-、同平面PCD 的法向量21,1,1n t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，由0m n ⋅=，解得BC 的长． 解答：解：（1）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =，连接AC ，BD 交于点F ，因为AD BC ∥，所以12AF AD FC BC ==，所以AE AFEP AC=，所以，EF PC ∥ 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE（Ⅱ）取BC 上一点G 使得BG =DG ，则ABGD 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA ，OB ，OD ，OG ． AP AD AB ==，60PAB PAD ∠=∠=︒，所以PAB △和PAD △都是等边三角形，因此PA PB PD ==， 所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABGD 对角线的交点，以O 坐标原点，分别以OG ,OB ,OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．则()0,0,0O ，()0,0,1P ，()1,0,0A -，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()1,0,0G设棱BC 的长为t ，则,1,0C ⎫⎪⎪⎝⎭， ()1,0,1PA =--，()0,1,1PB =-，2,1,1PC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()0,1,1PD =--设平面PAB 的法向量为()π,,x y z =，则 00x z y z --=⎧⎨-=⎩，取()π1,1,1=- 同理平面PCD 的法向量21,1,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭由0m n ⋅=，解得t =BC 的长为点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及性质，考查向量方法的运用，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．20．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设P 是曲线E 的动点，点B 、C 在y 轴上，PBC △的内切圆的方程为()2211x y -+=，求PBC △面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（Ⅱ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，求得直线PB 的方程，运用直线和圆相切的条件：d r =，求得b ，c 的关系，求得PBC △的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知圆心到1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =． （Ⅱ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ， 直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=， 又圆心()1,0到PB 的距离为11=，整理得：()2000220x b y b x -+-=，同理可得：()2000220x c y c x -+-=，所以，可知b ，c 是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，依题意0bc <，即02x >， 则()()222000204482x y x c b x +--=-，因为2002y x =，所以：0022x b c x -=- 所以()0001424822S b c x x x =-⋅=-++-≥ 当04x =时上式取得等号，所以PBC △面积最小值为8．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d r =，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数()22ln f x x a x x=++．（Ⅰ）若()f x 在区间[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设()f x 的导函数()'f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点()11,A x y 、()22,B x y 所在直线的斜率为k ，求证：当a ≤4时，1k >．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由函数单调性，知其导函数0≥在[]2,3上恒成立，将问题转化为()222g x x x=-在[]2,3上单调递减即可求得结果；（2）根据题意，将()()12''f x f x -写成()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-利用不等式的性质证明()12221212221x x ax x x x ++->，所以()()1212''f x f x x x ->-，即得1k >． 解答：解：（1）由()22ln f x x a x x =++，得()22'2a f x x x x=-+． 因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，所以()22'20af x x x x =-+≥在[]2,3上恒成立，即222a x x -≥在[]2,3上恒成立， 设()222g x x x =-，则()22'40g x x x=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故()()max 27g x g ==-，所以7a -≥； （2）对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有 ()121212122x x x x x x x x ++>+12x x =≥4.5a =>>，()12221212221x x ax x x x +∴+->， 而()22'2a f x x x x=-+， ()()121222112222''22a a f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12121222121222x x ax x x x x x x x +=-⋅+->-， 故：()()1212''f x f x x x ->-，即()()1212''1f x f x x x ->-，∴当4a ≤时，1k >．点评：本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，已知O 和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，直线BD 交O 于点C ，点G 为BD 中点，连接AG 分别交O 、BD 于点E 、F 连接CE ． （1）求证：AG EF CE GD ⋅=⋅；（2）求证：22GF EF AG CE =．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段． 专题：证明题；压轴题． 分析：（1）要证明AG EF CE GD ⋅=⋅我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得DAG GDF ∠=∠，又由公共角G ∠，故DFG AGD △∽△，易得2DG AG GF =⋅，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论． 解答： 证明：（1）连接AB ，AC ，AD 为M 的直径，90ABD ∴∠=︒，AC ∴为O 的直径，CEF AGD ∴∠=∠， DFG CFE ∠=∠，ECF GDF ∴∠=∠， G 为弧BD 中点，DAG GDF ∴∠=∠， ECB BAG ∠=∠，DAG ECF ∴∠=∠，CEF AGD ∴△∽△， CE AGEF GD∴=，AG EF CE GD ∴⋅=⋅ （2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠，DFG AGD ∴△∽△，2DG AG GF ∴=⋅,由（1）知2222EF GD CE AG =，22GF EF AG CE ∴=. 点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M 、N 分别为曲线1C 的上、下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PM PN +的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线1C 的普通方程，由222x y ρ=+和题意求出2C 的直角坐标方程；（2）方法一：求出曲线2C 参数方程，设P 点的参数坐标，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式求出PM PN +并化简，再化简()2PM PN +，利用正弦函数的最值求出()2PM PN +的最值，即可求出PM PN +的最大值；方法二：设P 点坐标为(),x y ，则224x y +=，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式求出PM PN +并化简，再化简()2PM PN +，再求出()2PM PN +的最值，即可求出PM PN +的最大值．解答：解：（1）因为曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为22143x y +=，…由曲线2C 的极坐标方程为2ρ=得， 曲线2C 的普通方程为224x y +=；…（2）方法一：由曲线222:4C x y +=，可得其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()2cos ,2sin αα，由题意可知(0,M ，(0,N ．因此PM PN +==则()214PM PN +=+ 所以当sin 0α=时，()2PM PN +有最大值28，因此PM PN +的最大值为方法二：设P 点坐标为(),x y ，则224x y +=，由题意可知(0,M ，(0,N ．因此PM PN +=则()214PM PN +=+ 所以当0y =时，()2PM PN +有最大值28,因此PM PN +的最大值为点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．考点：基本不等式；函数的定义域及其求法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）由函数定义域为R ，可得130x x m ++--≥恒成立，设函数()13g x x x =++-，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知4n =，变形()12174622432a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：（1）函数定义域为R ，130x x m ∴++--≥恒成立， 设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又()()13134x x x x ++-+--=≥，即()g x 的最小值为4，m ∴≤4． （2）由（1）知4n =，()()()23221211746225432423a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=++++=++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭195244⎛+⨯= ⎝≥, 当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==时取等号． 74a b ∴+的最小值为94． 点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
河北省石家庄市2015届高三毕业班教学质量检测(一)数学(理)试题
石家庄市2015届高三复习教学质量检测（一）高三数学（理科）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共60分） 1．复数21i i =- A ．1i + B ．1i - C ．1i - D ．12i -2．已知集合2{|230}A x x x =--≤，{0,1,2,3,4}B =，则AB =A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{0,1,2}3．已知向量(2,6)=--a ，||=b ，10⋅=-a b ，则向量a 与b 的夹角为 A ．150︒ B ．30-︒ C ．120︒ D ．60-︒4．已知双曲线2221()4x y a R a -=∈的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为A ．35 B C D 5．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，242,20(),,01x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f =A ．1-B ．1C ．12D ．0 6．设a 、b 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若a α⊥且a b ⊥，则//b α B ．若γα⊥且γβ⊥，则//αβ C ．若//a α且//a β，则//αβ D ．若//γα且//γβ，则//αβ7．已知函数3()sin 34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，'()f x 为()f x 的导函数，则(2014)(2014)'(2015)'(2015)f f f f +-+--=A ．8B ．2014C ．2015D ．08．为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点A ．向右平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度 C ．向左平行移动3π个单位长度 D ．向左平行移动6π个单位长度9．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A ．7B ．9C ．10D ．11 10．二项式71(2)x x+的展开式中31x的系数是 A ．42 B ．168 C ．84 D ．2111．某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为A ．4πB ．283π C ．443π D ．20π侧视图俯视图正视图12．设函数()2(,x f x e x a a R e =+-∈为自然对数的底数)，若曲线sin y x =上存在点00(,)x y ，使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是A ．1[1,1]e e --++B ．[1,1]e +C ．[,1]e e +D ．[1,]e二、填空题（每题5分，共20分） 13．曲线23(xy ee =+为自然对数的底数)在0x =处的切线方程为_____.14．实数,x y 满足402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则x y -的最小值为_____.15．已知圆22:1C x y +=，过第一象限内一点(,)P a b 作圆C 的两条切线，切点分别为A B 、，若60APB ∠=︒，则a b +的最大值为_____.16．观察右图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是_____.... ... ... ...11 27 40 40 27 119 18 22 18 97 11 11 75 6 53 31三、解答题（本大题共6个小题，共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3a =，2b =，2A B =，求c o s B 和c 的值．18．（本小题满分12分）已知{}n a 为公差不为0的等差数列，13a =，且1a 、4a 、13a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．19.（本小题满分12分）某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm ），身高分组区间及人数见下表：2148ba[175,180][170,175)[165,170)[160,165)[155,160)人数分组（I ）求a 、b 的值并根据题目补全频率分布直方图；（II ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y 为身高不低于170cm 的人数，求Y 的分布列及期望．20.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1PA AD ==，E 、F 分别为PD 、AC 的中点．（I ）求证：//EF 平面PAB ；（II ）求直线EF 与平面ABE 所成角的大小．21．（本小题满分12分）定长为3的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，动点P 满足2BP PA =． （I ）求点P 的的轨迹曲线C 的的方程；（II ）若过点(1,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求OM ON ⋅的最大值．22．(本小题满分12分)已知函数2()ln ,f x x x ax a R =+-∈． （I ）若3a =，求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 有两个极值点1x 、2x ，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线的斜率为k ，问是否存在a ，使22ak a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 石家庄市2015届高三第一次质量检测数学理科答案一、选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA 二、填空题：13．24y x =+ 14．1- 15．3602 三、解答题 17.因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................10分 18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(33)3(312)d d +=+，得2d =或0d =(舍)，……………………2分所以{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分 （2）2(21)2n n n n b a n ==+123325272(21)2n n S n =+++++………………①…………②……………………6分222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos 2629100 (85)2c= (92)==∴===+-+-==-+==a bA B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分解得或分23412325272(21)2n n S n +=+++++①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分1+12(12)22(21)2122(21)2n n n n n +-=+-+-=---……………………10分 ∴1(21)22n n S n +=-+……………………12分19. 解：（1）解：a=6 b=10……………………………2分……….5分（2）P （Y=0）=13063240228=C CP （Y=1）=6528240112128=C C C P （Y=2）=13011240212=C C35E （P ）=.…………………………12分20(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME ,∴四边形M E F N为平行四边形.-------------2∴EF MN ∥,又,EF PAB ⊄平面,MN PAB ⊂平面∴EF ∥PAB 平面.- ------------4(2) 由已知得，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以AP AB AD ，，两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点,分别以AP AD AB ,,为轴轴，轴，z y x 的正方向，建立空间直角坐标系xyz A -，所以(001),(000),B (1P A C D ，，，，，，，，，,1111(0),(0)2222E F ，，，，,所以,11(0)22EF =-，，, 11(0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB ==所以11022b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 所以(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8 设直线EF 与平面ABE 所成角为α, 于是1sin cos ,2EF n EF n EF nα=<>==.-------------10所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 解法2:在平面PAD 内作EH ∥PA H 于, 因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以EH ⊥底面ABCD . -------------6E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABFS =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯=-------------8 设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=11122ABESAB AE =⨯⨯=⨯= 1133ABFABESEH Sh =,4h =. -------------10设直线EF 与平面ABE 所成角为α,1sin 2h EF α==,所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------1221.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x x y y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。
河北省石家庄市2015届高三数学一模试卷(文科) Word版含解析
河北省石家庄市2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i为虚数单位，则复数=( ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( ) A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．? 3．命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是( ) A．p或q B．p且q C．q D．￢p 4．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=( ) A．﹣B．C．2 D．﹣2 5．已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( ) A．﹣B．C．±D．﹣k 6．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f（）的值是( ) A．﹣B．C．1 D． 7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为( ) A．2 B．2 C．4 D．6 8．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为( ) A．1 B． C．D．与M点的位置有关 9．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km 处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A．1﹣B．C．1﹣D． 10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( ) A．B．C．1+ D．1+ 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A．64 B．72 C．80 D．112 12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( ) A．（﹣∞，3）B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=__________． 14．已知等差数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为__________． 15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是__________． 16．设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为__________． 三、解答题（共8小题，满分70分） 17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和． 18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元 （1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式 （2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表： 日需求量 8 9 10 11 12 频数9 11 15 10 5 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率． 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α． （1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值； （2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD． 20．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E 交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程． 21．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x． （1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； （2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1． 22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE． （1）求证：AG?EF=CE?GD； （2）求证：． 23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2． （Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程． （Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值． 24．已知函数f（x）=的定义域为R． （Ⅰ）求实数m的取值范围． （Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值． 河北省石家庄市2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i为虚数单位，则复数=( ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 解答：解：=， 故选：C． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( ) A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．? 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可． 解答：解：∵集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}={y|y＞0}， ∴P∩Q={1，2}， 故选：C． 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3．命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是( ) A．p或q B．p且q C．q D．￢p 考点：复合命题的真假． 专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑． 分析：根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说命题p 是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项． 解答：解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y； ∴命题p是假命题； x2+y2≥2xy，这是基本不等式； ∴命题q是真命题； ∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题； ∴是假命题的是B． 故选B． 点评：考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系． 4．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=( ) A．﹣B．C．2 D．﹣2 考点：函数奇偶性的性质；函数的值． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据f（x）为偶函数，以及x＞0时f（x）的解析式即可得到f（﹣）=． 解答：解：f（x）为偶函数； ∴f（）=f（） 又x＞0时，f（x）=log2x； ∴=； 即f（﹣）=． 故选B． 点评：考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），以及对数的运算． 5．已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( ) A．﹣B．C．±D．﹣k 考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解． 解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π）， ∴sinα==， ∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣． 故选：A． 点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查． 6．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f（）的值是( ) A．﹣B．C．1 D． 考点：正切函数的图象． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：根据条件求出函数的周期和ω，即可得到结论． 解答：解：∵f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为， ∴函数的周期T=， 即=，则ω=2，则f（x）=tan2x 则f（）=tan（2×）=tan=， 故选：D 点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据条件求出函数的周期和ω是解决本题的关键． 7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为( ) A．2 B．2 C．4 D．6 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，不满足条件i ≤4，退出循环，输出S的值为2． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 S=1，i=1 满足条件i≤4，S=1，i=2 满足条件i≤4，S=，i=3 满足条件i≤4，S=2，i=4 满足条件i≤4，S=2，i=5 不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2． 故选：B． 点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 8．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为( ) A．1 B． C．D．与M点的位置有关 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：如图所示，连接BC1，取=，可得PN∥D1C1，=1，由于D1C1⊥平面BCC1B1，可得PN ⊥平面BCC1B1，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V三棱锥P﹣BCM=即可得出． 解答：解：如图所示，连接BC1，取=， 则PN∥D1C1，，PN=1， ∵D1C1⊥平面BCC1B1， ∴PN⊥平面BCC1B1， 即PN是三棱锥P﹣BCM的高． ∴V三棱锥M﹣PBC=V三棱锥P﹣BCM===． 故选：B． 点评：本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km 处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A．1﹣B．C．1﹣D． 考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；概率与统计． 分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率． 解答：解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2， O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣． 故选：A． 点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键． 10．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为( ) A．B．C．1+ D．1+ 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e． 解答：解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F ∴两条曲线交点为（，p）， 代入双曲线方程得， 又=c 代入化简得 c4﹣6a2c2+a4=0 ∴e4﹣6e2+1=0 ∴e2=3+2=（1+）2 ∴e=+1 故选：C． 点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别． 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A．64 B．72 C．80 D．112 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题． 分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可 解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64 上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积× 故该几何体的体积是64+8=72 故选B 点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题． 12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( ) A．（﹣∞，3）B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3） 考点：分段函数的应用． 专题：综合题；函数的性质及应用． 分析：题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 解答：解：根据题意作出f（x）的简图： 由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”， 可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数． 列式如下：，化简得， 此不等式组表示的区域如图： 令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0， 所以b+c的取值范围为（0，3）， 故选：D． 点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：运用数量积的定义求解得出=||?||cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=||2+||2+2，代入数据求解即可． 解答：解：∵平面向量，的夹角为，||=2，||=1， ∴=||?||cos=2×=﹣1， ∴|+|2=（）2=||2+||2+2=4+1﹣2=3， 即|+|=． 故答案为：． 点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题． 14．已知等差数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为24． 考点：等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由一元二次方程的根与系数关系求得a2，a4，进一步求出公差和首项，则答案可求． 解答：解：由a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，得 ，由已知得a4＞a2，∴解得a2=1，a4=5， ∴d=， 则a1=a2﹣d=1﹣2=﹣1， ∴． 故答案为：24． 点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题． 15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）． 考点：简单线性规划． 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用． 分析：由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围． 解答：解：由题意作出其平面区域， 当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形， 当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形； 故若区域为一个锐角三角形及其内部， 则0＜k＜1； 故答案为：（0，1）． 点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题． 16．设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆． 分析：求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解． 解答：解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1， ∵ex+1＞1，∴∈（0，1）， 由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx， 又﹣2sinx∈[﹣2，2]， ∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]， 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1， 总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2， 则，解得﹣1≤a≤2． 即a的取值范围为﹣1≤a≤2． 故答案为：[﹣1，2]． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题． 三、解答题（共8小题，满分70分） 17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和． 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）由an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），当n≥2时，an=λSn﹣1+1，可得an+1=（1+λ）an，利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出． 解答：解：（1）∵an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，an=λSn﹣1+1， ∴an+1﹣an=λan，即an+1=（1+λ）an， 又a1=1，a2=λa1+1=λ+1， ∴数列{an}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列， ∴a3=（λ+1）2， ∵a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项． ∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3， 整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1． ∴an=2n﹣1，bn=1+3（n﹣1）=3n﹣2． （2）anbn=（3n﹣2）?2n﹣1， ∴数列{anbn}的前n项和Tn=1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）?2n﹣1， 2Tn=2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n， ∴﹣Tn=1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n=﹣（3n﹣2）×2n=（5﹣3n）×2n﹣5， ∴Tn=（3n﹣5）×2n+5． 点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元 （1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式 （2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表： 日需求量 8 9 10 11 12 频数9 11 15 10 5 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率． 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润， （2）运用表格的数据求解：频数9天，380；频数11天，440；频数9，500；频数5，560，得出当天的利润在区间[400，500]有20天，即可求解概率． 解答：解：（1）当1≤n≤10时，y利润=50n+（10﹣n）×（﹣10）=60n﹣100， 当n＞10时，y利润=50×10+（10﹣n）×30=800﹣30n， 所以函数解析式y利润=， （2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8﹣10×2=380， 日需求量为9，频数11天，利润为50×9﹣10×=440， 日需求量为10，频数9，利润为50×10=500， 日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2=560， ∴当天的利润在区间[400，500]有11+9=20天， 故当天的利润在区间[400，500]的概率为=． 点评：本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，仔细阅读题意，得出有用的数据，理清关系，正确代入数据即可． 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α． （1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值； （2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD． 考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE； （2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD 的中点， 利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直． 解答：解：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC ∥平面BDE， 此时AE：EP=AO：OC=AD：BC=：=1：2； （2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD， 过A作AF⊥BD，则F为BD的中点， 所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=BD=1，所以PF2+AF2=PA2，所以PF⊥AF， 所以PF⊥平面ABCD， 所以PF⊥CD， 过D作DH⊥BC，则DH=AB=，HC=，所以CD=2，所以CD2+BD2=BC2，所以CD⊥BD， BD∩PF=F， 所以CD⊥平面PBD． 点评：本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答． 20．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）已知点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E 交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由抛物线的定义求得抛物线方程． （2）直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于m的函数，利用导数求得最大值． 解答：解：（1）由题意得圆心到（1，0）的距离等于直线x=﹣1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为：y2=4x． （2）由题意，可设l的方程为y=x﹣m，其中，0＜m＜5． 由方程组，消去y，得x2﹣（2m+4）x+m2=0，① 当0＜m＜5时，方程①的判别式△=（2m+4）2﹣4m2=16（1+m）＞0成立． 设M（x1，y1），N（x2，y2），则， ∴ 又∵点A到直线l的距离为 ∴ 令f（m）=m3﹣9m2+15m+25，（0＜m＜5） f'（m）=3m2﹣18m+15=3（m﹣1）（m﹣5），（0＜m＜5） ∴函数f（m）在（0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减． 当m=1时，f（m）有最大值32， 故当直线l的方程为y=x﹣1时，△AMN的最大面积为 点评：本题主要考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线的综合应用，属中档题，在2015届高考中属于常考题型． 21．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x． （1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； （2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1． 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；证明题；导数的综合应用． 分析：（1）先求f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域，再求导f′（x）=2（a+1）﹣a=，从而由题意知f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，从而化为最值问题； （2）由二次函数的性质易知g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，从而不妨设x1＞x2，从而可得g（x1）＞g（x2）；故＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）， 令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，从而利用导数证明H（x）=f（x）+g （x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数即可． 解答：解：（1）f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域为（0，+∞）， f′（x）=2（a+1）﹣a=， ∵f′（2）=1，又∵函数f（x）在定义域内为单调函数， ∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴a（2﹣x）+2≥0在（0，+∞）上恒成立， 即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立， 故， 解得，﹣1≤a≤0； （2）证明：∵g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数， ∴对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2， 则g（x1）＞g（x2）； 则＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2））， 即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）， 令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x， H′（x）=2（a+1）﹣a+x﹣1=， 令M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）， ①﹣1＜a≤1时，0＜a+1≤2， 故M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函数， 故M（x）＞M（1）=1﹣a﹣1+2a+2=a+2＞0， ②1＜a＜7时，M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）的对称轴x=∈（1，+∞）， 故M（x）≥（）2﹣（a+1）+2（a+1）=（a+1）（7﹣a）＞0， 故﹣1＜a＜7时，M（x）＞0在（1，+∞）上恒成立， 即H′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立， 故H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数， 故f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）， 故原式成立． 点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，属于难题． 22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE． （1）求证：AG?EF=CE?GD； （2）求证：． 考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段． 专题：证明题；压轴题． 分析：（1）要证明AG?EF=CE?GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题． （2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG?GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论． 解答：证明：（1）连接AB，AC， ∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°， ∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD， ∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF， ∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF， ∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF， ∴△CEF∽△AGD， ∴， ∴AG?EF=CE?GD （2）由（1）知∠DAG=∠GDF， ∠G=∠G， ∴△DFG∽△AGD， ∴DG2=AG?GF， 由（1）知， ∴． 点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程． 23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2． （Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程． （Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程； （2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值； 法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值． 解答：解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数）， 所以曲线C1的普通方程为，… 由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得， 曲线C2的普通方程为x2+y2=4；… （2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为， 所以P点坐标为（2cosα，2sinα）， 由题意可知M（0，），N（0，）． 因此|PM|+|PN|==+… 则（|PM|+|PN|）2=14+2． 所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，… 因此|PM|+|PN|的最大值为．… 法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4， 由题意可知M（0，），N（0，）． 因此|PM|+|PN|=+=+… 则（|PM|+|PN|）2=14+2． 所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，… 因此|PM|+|PN|的最大值为．… 点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力． 24．已知函数f（x）=的定义域为R． （Ⅰ）求实数m的取值范围． （Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值． 考点：基本不等式；函数的定义域及其求法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x ﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可； （2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：（1）∵函数定义域为R， ∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立， 设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值， 又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4． （2）由（1）知n=4， ∴7a+4b===， 当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号． ∴7a+4b的最小值为． 点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015年河北省石家庄市裕华区中考一模数学试卷(解析版)
4． （2 分）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 O，OF 平分∠AOE， ∠BOD＝15°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠AOF＝45° C．∠BOD 的余角等于 75°30′
B．∠BOD＝∠AOC D．∠AOD 与∠BOD 互为补角
5． （2 分）我国古代数学家利用“牟合方盖” （如图甲）找到了球体体积的计算 方法． “牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆 柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一 种模型，它的主视图是（ ）
第 3 页（共 33 页）
A．
B．
C．
D．
14． （3 分） 在直角坐标平面内的机器人接受指令 “[a， A]” （a≥0， 0°＜A＜180°） 后的行动结果为：在原地顺时针旋转 A 后，再向正前方沿直线行走 a 个单位 长度． 若机器人的位置在原点， 正前方为 y 轴的负半轴， 则它完成一次指令[2， 60°]后位置的坐标为（ A． （﹣1， ） ） ） C． （ ，﹣1） D． （ ，1）
19． （3 分）如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD＝ 度．
20． （3 分）射线 QN 与等边△ABC 的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且 AC∥ QN， AM＝MB＝2cm， QM＝4cm． 动点 P 从点 Q 出发， 沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P 为圆心， 相切（切点在边上） ，请写出 t 可取的一切值 cm 为半径的圆与△ABC 的边 （单位：秒）
2015 年河北省石家庄市裕华区中考数学一模试卷
一、选择题（共 16 小题，每小题 2 分，满分 42 分） 1． （2 分）﹣ 的绝对值是（ A．﹣ B． ） C．± ） B． （x+2）2＝x2+4 D． （﹣1）0＝1 D． ） C．5 D．﹣5
河北省石家庄市2015届高三一模考试数学试题(理科扫描版)
p
0 100 200
49 144
35 72
25 144
………………10 分
49 35 25 250 100 200 144 72 144 3 5 250 或 EX 100 E 100 2 . 12 3 EX 0
…………12 分
因为 EF ∥ PC , 所以
AE AF 1 = . -------------4 EP FC 3
证明二 在棱 PA 上取点 E ，使得 连接 AC，BD 交于点 F ,
AE 1 ,------------2 EP 3
因为AD ∥ BC,
AF AD 1 , FC BC 2 AE AF 所以 , EP FC 所以
所以， EF ∥ PC 因为 PC 平面 BDE ， EF
平面 BDE
所以 PC ∥平面 BDE -------------4 (2)取 BC 上一点 G 使得 BG 2, 连结 DG ,则 ABGD 为正方形. 过 P 作 PO ⊥平面 ABCD ,垂足为 O . 连结 OA, OB, OD, OG .
2
2 2 ∴ 4( 1) 1 ( 1) 3 ，整理得 2 1 0 ，得 1 ……………………4 分
∴ an 2
n 1
， bn 1 3(n 1) 3n 2 ………………………………………………6 分
解法 2：∵ a1 1, an1 Sn 1(n N ), ∴ a2 S1 1 1, a3 S2 1 (1 1) 1 2 1,
n
( ) , pB () 18 解： （Ⅰ） 三个电子元件能正常工作分别记为事件 A, B, C ， 则 pA
河北省石家庄市高邑县2015-2016学年七年级(上)第一次段考数学试卷(解析版)
2015-2016学年河北省石家庄市高邑县七年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题：1-6小题每小题2分；7-2小题每小题2分，共30分．在四个选项中只有一项是正确的．1．如果海平面以上200米记作+200米，则海平面以上50米记作（）A．﹣50B．50C．可能是+50米，也可能是﹣50米D．以上都不对2．（﹣2）3的相反数是（）A．﹣6 B．8 C．﹣8 D．63．下列说法错误的是（）A．0是最小的整数B．1是最小的正整数C．0是最小的自然数D．自然数是非负数4．下列各式中，结果为负数的是（）A．﹣（﹣1）B．（﹣1）2C．|﹣1| D．﹣|﹣1|5．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣36．如果x的倒数是﹣1，那么|﹣x﹣1|=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．27．一个数是10，另一个数比10的相反数小2，则这两个数的和为（）A．18 B．﹣2 C．﹣18 D．28．如果ab=0，那么一定有（）A．a=b=0 B．a=0C．a，b至少有一个为0 D．a，b最多有一个为09．在数﹣32、﹣|﹣2.5|、、﹣（﹣3）2、（﹣3）2、（﹣3）3中，负数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（）A．8 B．7 C．6 D．511．式子（﹣+）×4×25=（﹣+）×100=50﹣30+40中用的运算律是（）A．乘法交换律及乘法结合律B．乘法交换律及分配律C．加法结合律及分配律D．乘法结合律及分配律12．若，且a，b异号，则c的符号为（）A．大于0 B．小于0 C．大于等于0 D．小于等于0二、填空题：每小题3分，共18分．13．﹣22=；（﹣2）3=；﹣2的平方是．14．数轴上表示有理数﹣3.5与4.5两点的距离是．15．在数（﹣2）3，3，2.008，﹣，1，0，3.14，﹣|﹣4|中，整数有个．16．一天早晨的气温是﹣5℃，中午又上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是℃．17．已知|x|=1，|y|=2，且xy＞0，则x+y=．18．观察下列各数的个位数字的变化规律：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64…通过观察，你认为22015的个数数字应该是．三、解答题：共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．把下列各数填在相应的括号里：﹣2，+，﹣0.3，0，﹣3.14，π，﹣7，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）．正数集合{…}负数集合{…}有理数集合{…}分数集合{…}．20．计算：（1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|（2）（﹣+）×（﹣36）（3）﹣14﹣（2﹣3）2×（﹣2）3（4）﹣2×（﹣）+8÷（﹣2）2．21．（1）一个数与﹣的和等于﹣，这个数是多少？（2）﹣2减去﹣和的和，差是多少？22．a、b、c在数轴上的位置如图所示，则：（1）用“＜、＞、=”填空：a0，b0，c0；（2）用“＜、＞、=”填空：﹣a0，a﹣b0，c﹣a0；（3）化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|23．已知：有理数m所表示的点到点3距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：的值．24．设[x]表示不大于的所有整数中最大的整数，例如：[1.7]=1，[﹣1.7]=﹣2，根据此规定，完成下列运算：（1）[2.3]﹣[6.3]（2）[4]﹣[﹣2.5]（3）[﹣3.8]×[6.1]（4）[0]×[﹣4.5]．25．若|ab﹣2|+|b﹣1|=0，试求++…+的值．26．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？（2）盈利（或亏损）了多少钱？2015-2016学年河北省石家庄市高邑县七年级（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1-6小题每小题2分；7-2小题每小题2分，共30分．在四个选项中只有一项是正确的．1．如果海平面以上200米记作+200米，则海平面以上50米记作（）A．﹣50B．50C．可能是+50米，也可能是﹣50米D．以上都不对【考点】正数和负数．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：如果海平面以上200米记作+200米，则海平面以上50米记作+50米．故选：B．【点评】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．2．（﹣2）3的相反数是（）A．﹣6 B．8 C．﹣8 D．6【考点】相反数；有理数的乘方．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：（﹣2）3=﹣8，﹣8的相反数是8，故选：B．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．3．下列说法错误的是（）A．0是最小的整数B．1是最小的正整数C．0是最小的自然数D．自然数是非负数【考点】有理数．【专题】计算题．【分析】利用有理数的定义判断即可．【解答】解：A、0是最小的整数，错误，还有负整数比0小；B、1是最小的正整数，正确；C、0是最小的自然数，正确；D、自然数是非负数，正确，故选A【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的定义是解本题的关键．4．下列各式中，结果为负数的是（）A．﹣（﹣1）B．（﹣1）2C．|﹣1| D．﹣|﹣1|【考点】正数和负数．【分析】根据小于0的数是负数，可得答案．【解答】解：A、﹣（﹣1）=1，故A错误；B、负数的平方是正数，故B错误；C、|﹣1|=1，故C错误；D、﹣|﹣1|=﹣1，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了正数和负数，小于0的数是负数．5．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【考点】数轴．【分析】根据两点间的距离公式，可得答案．【解答】解：AB=5﹣B=8，B=﹣3，故选：D．【点评】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，用大数减小数．6．如果x的倒数是﹣1，那么|﹣x﹣1|=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．2【考点】绝对值；倒数．【分析】根据倒数，可得x的值，根据绝对值的意义，可得答案．【解答】解：x的倒数是﹣1，x=﹣1，|﹣x﹣1|=|1﹣1|=0，故选：A．【点评】本题考查了绝对值，先求出x值，再求出绝对值．7．一个数是10，另一个数比10的相反数小2，则这两个数的和为（）A．18 B．﹣2 C．﹣18 D．2【考点】有理数的减法；相反数；有理数的加法．【分析】先根据相反数的概念求出10的相反数，再根据有理数的减法求出比10的相反数小2，再把两数相加即可．【解答】解：∵10的相反数是﹣10，∴比10的相反数小2是﹣12，∴这两个数的和为10+（﹣12）=﹣2．故选B．【点评】解答此题的关键是熟知相反数的概念及有理数的加减法则．8．如果ab=0，那么一定有（）A．a=b=0 B．a=0C．a，b至少有一个为0 D．a，b最多有一个为0【考点】有理数的乘法．【分析】根据积为0的有理数乘法法则解答．【解答】解：如果ab=0，那么一定a=0，或b=0．故选C．【点评】有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同零相乘，都得0．9．在数﹣32、﹣|﹣2.5|、、﹣（﹣3）2、（﹣3）2、（﹣3）3中，负数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】正数和负数；绝对值；有理数的乘方．【专题】计算题．【分析】先根据乘方、绝对值、相反数的概念对各数进行化简，结合正负数的概念进行判断即可．【解答】解：因为：﹣32=﹣9，﹣|﹣2.5|=﹣2.5，﹣（﹣2）=2，﹣（﹣3）2=﹣9，（﹣3）2=9，（﹣3）3=﹣27，所以负数的个数是4个，故选：D．【点评】此题考查的知识点是正数和负数，关键是理解负数的概念，而且要把这些数化为最后结果才能得出正确答案．这就又要理解平方、立方、绝对值，正负号的变化等知识点．10．绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的性质，求出所有符合题意的数，进行计算求得结果．【解答】解：根据题意，得：符合题意的正整数为1，2，3，∴它们的和是1+2+3=6．故选C．【点评】此题考查了绝对值的性质．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．式子（﹣+）×4×25=（﹣+）×100=50﹣30+40中用的运算律是（）A．乘法交换律及乘法结合律B．乘法交换律及分配律C．加法结合律及分配律D．乘法结合律及分配律【考点】有理数的乘法．【分析】根据乘法运算的几种规律，结合题意即可作出判断．【解答】解：运算过程中，先运用了乘法结合律，然后运用了乘法分配律．故选D．【点评】本题考查了有理数的乘法运算，注意掌握乘法运算的几种规律．12．若，且a，b异号，则c的符号为（）A．大于0 B．小于0 C．大于等于0 D．小于等于0【考点】有理数的除法；有理数的乘法．【分析】根据同号得正，异号得负判断即可．【解答】解：∵a，b异号，∴ab＜0，∵＜0，∴c＞0．故选A．【点评】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键．二、填空题：每小题3分，共18分．13．﹣22=﹣4；（﹣2）3=﹣8；﹣2的平方是4．【考点】有理数的乘方．【分析】根据有理数的乘方，即可解答．【解答】解：﹣22=﹣4；（﹣2）3=﹣8；﹣2的平方是4，故答案为：﹣4，﹣8，4．【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．14．数轴上表示有理数﹣3.5与4.5两点的距离是8．【考点】数轴．【专题】计算题．【分析】有理数﹣3.5与4.5两点的距离实为两数差的绝对值．【解答】解：由题意得：有理数﹣3.5与4.5两点的距离为|﹣3.5﹣4.5|=8．故答案为：8．【点评】本题考查了数轴的知识，属于基础题，难度不大，注意两点之间的距离即是两数差的绝对值．15．在数（﹣2）3，3，2.008，﹣，1，0，3.14，﹣|﹣4|中，整数有4个．【考点】有理数．【分析】根据整数包括正整数、负整数、0，即可解答．【解答】解：（﹣2）3=﹣8，﹣|﹣4|=﹣4，整数有：（﹣2）3，3，0，﹣|﹣4|，共4个，故答案为：4．【点评】本题考查整数，解决本题的关键是熟记整数包括正整数、负整数、0．16．一天早晨的气温是﹣5℃，中午又上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是﹣3℃．【考点】有理数的加减混合运算．【专题】应用题．【分析】气温上升为正，下降为负，列出算式求解即可．【解答】解：根据题意列式为：﹣5+10﹣8=﹣13+10=﹣3℃．故应填3℃．【点评】本题主要考查用正负来表示具有相反意义的量，做题时一定要注意单位．17．已知|x|=1，|y|=2，且xy＞0，则x+y=﹣3或3．【考点】有理数的加法；绝对值；有理数的乘法．【分析】根据互为相反数的绝对值相等，可得绝对值表示的数，根据有理数的加法运算，可得答案．【解答】解：|x|=1，|y|=2，且xy＞0，x=1，y=2；x=﹣1，y=﹣2，x+y=1+2=3，x+y=﹣1+（﹣2）=﹣3，故答案为：±3．【点评】本题考查了有理数的加法，先求出绝对值表示的数，再求和．18．观察下列各数的个位数字的变化规律：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64…通过观察，你认为22015的个数数字应该是8．【考点】尾数特征．【分析】易得底数为2的幂的个位数字依次为2，4，8，6，那么让指数除以4看余数是几，得到相应的个位数字即可．【解答】解：∵2015÷4=503…3，∴22015的个位数字与23的个位数字相同，为8．故答案为：8．【点评】本题考查尾数特征，数字的变化规律，得到底数为2的幂的个位数字的循环规律是解决本题的突破点．三、解答题：共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．把下列各数填在相应的括号里：﹣2，+，﹣0.3，0，﹣3.14，π，﹣7，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）．正数集合{+，π，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）…}负数集合{﹣2，﹣0.3，﹣3.14，﹣7…}有理数集合{﹣2，+，﹣0.3，0，﹣3.14，﹣7，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）…}分数集合{+，﹣0.3，﹣3.14，π，﹣7，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）…}．【考点】有理数．【分析】根据实数的分类，即可解答．【解答】解：|﹣0.2|=0.2，﹣（﹣1.3）=1.3．正数集合{+，π，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）}负数集合{﹣2，﹣0.3，﹣3.14，﹣7}有理数集合{﹣2，+，﹣0.3，0，﹣3.14，﹣7，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）}分数集合{+，﹣0.3，﹣3.14，π，﹣7，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）}．故答案为：+，π，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）；﹣2，﹣0.3，﹣3.14，﹣7；﹣2，+，﹣0.3，0，﹣3.14，﹣7，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）；+，﹣0.3，﹣3.14，π，﹣7，|﹣0.2|，﹣（﹣1.3）．【点评】本题主要考查了实数的分类．实数分为：有理数和无理数．有理数分为：整数和分数；无理数分为：正无理数、负无理数（无限不循环小数）．20．计算：（1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|（2）（﹣+）×（﹣36）（3）﹣14﹣（2﹣3）2×（﹣2）3（4）﹣2×（﹣）+8÷（﹣2）2．【考点】有理数的混合运算．【分析】（1）先去括号及绝对值符号，再从左到右依次计算即可；（2）根据乘法分配律进行计算即可；（3）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．【解答】解：（1）原式=20+7﹣2=25；（2）原式=×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）=﹣12+20﹣33=﹣25；（3）原式=﹣1﹣1×（﹣8）=﹣1+8=7；（4）原式=﹣2×（﹣）+8÷4=1+2=3．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．21．（1）一个数与﹣的和等于﹣，这个数是多少？（2）﹣2减去﹣和的和，差是多少？【考点】有理数的加法；有理数的减法．【分析】（1）根据和减一个加数等于另一个加数列式计算即可；（2）先根据题意列出算式，然后进行计算即可．【解答】解：（1）﹣﹣（）=+=﹣；（2）﹣2﹣（﹣）=﹣2﹣=﹣．【点评】本题主要考查的是有理数的加减混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．22．a、b、c在数轴上的位置如图所示，则：（1）用“＜、＞、=”填空：a＜0，b＜0，c＞0；（2）用“＜、＞、=”填空：﹣a＞0，a﹣b＜0，c﹣a＞0；（3）化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|【考点】有理数大小比较；数轴；绝对值．【专题】计算题．【分析】（1）利用数轴表示数的方法进行判断；（2）利用负数的相反数为正数得到﹣a＞0，利用有理数的减法判断a﹣b和c﹣a的符号；（3）先去绝对值，然后合并即可．【解答】解：（1）a＜0，b＜0，c＞0；（2）﹣a＞0，a﹣b＜0，c﹣a＞0；（3）|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|=﹣a+a﹣b+c﹣a=﹣a﹣b+c．故答案为＜、＜、＞；＞、＜、＞．【点评】本题考查了由理数的大小比较：有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．也考查了绝对值．23．已知：有理数m所表示的点到点3距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：的值．【考点】相反数；绝对值；倒数；代数式求值．【专题】计算题；分类讨论；整体思想．【分析】此题的关键是由两点间的距离公式，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数得知：m=﹣1或7，a+b=0，=﹣1，cd=1；据此即可求得代数式的值．【解答】解：∵有理数m所表示的点到点3距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．∴m=﹣1或7，a+b=0，=﹣1，cd=1．∴当m=﹣1时，=2（a+b）+（﹣1﹣3）﹣（﹣1）=0﹣4+1=﹣3；当m=7时，=2（a+b）+（﹣1﹣3）﹣7=0﹣4﹣7=﹣11．故的值为：﹣3或﹣11．【点评】本题考查了相反数、倒数、绝对值等概念．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m，a+b，cd的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．24．设[x]表示不大于的所有整数中最大的整数，例如：[1.7]=1，[﹣1.7]=﹣2，根据此规定，完成下列运算：（1）[2.3]﹣[6.3]（2）[4]﹣[﹣2.5]（3）[﹣3.8]×[6.1]（4）[0]×[﹣4.5]．【考点】有理数的乘法；有理数大小比较；有理数的减法．【专题】新定义．【分析】根据对于实数x我们规定[x]不大于x最大整数，可得答案．【解答】解：（1）[2.3]﹣[6.3]=2﹣6=﹣4；（2）[4]﹣[﹣2.5]=4﹣（﹣3）=7；（3）[﹣3.8]×[6.1]=﹣4×6=﹣24；（4）[0]×[﹣4.5]=0×（﹣5）=0．【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是明确[x]表示不大于的所有整数中最大的整数．25．若|ab﹣2|+|b﹣1|=0，试求++…+的值．【考点】代数式求值；非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质求得a、b的值，然后利用拆项裂项法求得代数式的值即可．【解答】解：∵|ab﹣2|+|b﹣1|=0，∴b=1，a=2．∴原式=+++…+=1…+=1﹣=．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，利用拆项裂项法求解是解题的关键．26．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？（2）盈利（或亏损）了多少钱？【考点】有理数的加减混合运算；正数和负数．【专题】计算题．【分析】（1）以55元为标准记录的8个数字相加，再加上55，即可求出每件衣服的平均价钱，再乘以8，与400元比较，若大于400，则盈利；若小于400，则亏损；（2）若盈利，就用卖衣服的总价钱﹣400就是盈利的钱，若亏损，就用400﹣买衣服的总价钱，就是亏损的钱．【解答】解：根据题意得（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2=﹣3，55×8+（﹣3）=437元，∵437＞400，∴卖完后是盈利；（2）437﹣400=37元，故盈利37元．【点评】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解．。
2015年河北省石家庄市新乐市中考一模数学试卷(解析版)
2015年河北省石家庄市新乐市中考数学一模试卷一、选择题：共16小题，1～6小题，每小题2分，7′16小题，每小题2分，共42分2015年初中毕业生升学文化课模拟考试1．（2分）和﹣2的相反数相等的是（）A．﹣2的平方B．﹣2的倒数C．﹣2的绝对值D．4的平方根2．（2分）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，∠2＝55°，则∠3的度数是（）A．50°B．53°C．55°D．58°3．（2分）下列各式成立的是（）A．4＜＜5B．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2C．2﹣3＝3﹣2D．x3•x2＝x3﹣x24．（2分）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．5．（2分）a、b在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（）A．a﹣b＜0B．ab＞0C．﹣a＜b D．|a|＜|b|6．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2B．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）C．x2y﹣xy＝y（x2﹣x）D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+18．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）已知二次函数y＝﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤210．（3分）如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）A．6B．15C．24D．2711．（3分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm 12．（3分）△ABC中，AB＝AC，在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．甲同学的作法是（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、BC于E，D，再分别以E，D为圆心，大于ED的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF；（2）分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线GH，直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点．（作图痕迹如图1）乙同学的作法是：（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，BC于D，E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于F，作射线BF；（2）以C为圆心，以任意长为半径作弧分别交AC，BC于H，G再分别以G，H为圆心，以大于GH的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线CM，射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2），对于两人的作法，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．乙对，甲不对13．（3分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象相交于A，B两点，其中A（﹣1，3），直线y＝kx﹣k+2与坐标轴分别交于C，D两点，下列说法：①k＜0；②点B的坐标为（3，﹣1）；③当x ＜﹣1时，＜kx﹣k+2；④tan∠OCD＝﹣，其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④14．（3分）一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标有﹣2，0，1，2，随机从盒子里摸出两个小球，上面的数字之和不为0的概率为（）A．B．C．D．15．（3分）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4B．2C．7D．816．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm 的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y ＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分）17．（3分）4﹣＝．18．（3分）如果（x﹣）3＝ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d＝．19．（3分）对于x，y定义一种新运算“*”：x*y＝3x﹣2y，等式右边是通常的减法和乘法运算，如2*5＝3×2﹣2×5＝﹣4，那么（x+1）*（x﹣1）≥5的解集是．20．（3分）图1，是一个由边长为1的小正方形木块摆放在地上而成的图形，图2，图3也是由边长为1的小正方体木块叠放在地上而成，要给露在外面的小正方体表面涂上油漆（底面不涂），按照这样的规律继续叠放下去，到第7个叠放的图形中，涂到油漆部分的面积是．三、解答题（本题共6题，共66分）21．（10分）已知，m是不等式组的最小整数解，求•（m﹣）﹣3m的值．22．（10分）已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于A，与y轴交于C，以O，A，C为顶点在第一象限作矩形OABC．（1）求点B的坐标，并在坐标系中画出函数y＝﹣x+6的图象和矩形OABC．（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△OAC有公共点，求k的取值范围．（3）在线段AC上存在点P，以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出P点的坐标．23．（11分）如图1，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）如图2，若∠ABC＝60°，连接CF，并将△EFC绕点E顺时针旋转，使点F落在BC的延长线上点F′处，点C落在点C′处，求证：点C′和点F之间的距离等于平行四边形ABCD较短对角线的长．（3）在（2）的基础上，若AB＝6，AD＝8，求点C′和点F之间的距离．24．（11分）2015年某企业有4000名职工，为了了解职工本年度第一季度网上购物的情况，该企业从中随机抽取了350名职工，按年龄分布和对网上购物情况进行了调查统计，并将统计结果绘成了频数分布直方图（每个组距包含左边的数，但不包含右边的数）和扇形图．（1）这次调查中，如果被调查职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？（2）你估计这个企业的4000名职工中，从不网购的有多少人？（3）统计显示，买同样的商品，经常网购的人比在一般商店购买能节省20%，偶尔网购的人比在一般商店购买能节省15%，样本中，职工第一季度网购商品共消费24500元，这些商品若在一般商店购买需要30000元，请问，经常网购的一组和偶尔网购的一组本季度网购商品各消费多少元？（4）如果在样本中，本季度网购情况如下表：请你计算该样本中，本季度进行网购的人平均每人网上购物几次？25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将弧BC 沿弦BC翻折，交AB于点D，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设∠ABC＝a，则a的取值范围是．（3）当∠ABC＝15°时，点D和点O的距离是．（4）如图2，设所在圆的圆心是O′，当BE与⊙O相切时，求BE的长．26．（12分）近年来，国家大力提倡大学生创业，2015年小王就要毕业了，因为他学的是市场营销专业，所以毕业后想开一个商店，经过市场调研发现，若投资一个面积为x（单位：m2）的商铺，所需购买费用（单位：万元）与x+2成正比例，装修费用（单位：万元）与x2成正比例，并在调查过程中得到了表格中的数据：（1）如果小王用从银行贷款30万元、父亲资助20万元、自己大学期间勤工俭学的收入1.6万元，共51.6万元投资一个商铺，请计算小王投资的这个商铺的面积为多少平方米；（总费用＝购买费用+装修费用）（2）购买商铺后，小王准备经营童鞋专卖店，已知专卖店代理的某品牌童鞋的进价为每双40元，该品牌童鞋日销售量y（双）与销售单价x（元/双）之间的关系式为：y＝①求他的销售利润w（元）与销售单价x（元/双）之间的函数关系式．②小王每月需向银行还贷2075元，另童鞋店每月需缴纳水电费、营业税等固定费用3000元，通过计算判断，小王每月（按30天计算）能否有盈余？如果有，最多盈余多少元？（盈余＝销售利润﹣固定费用﹣银行贷款）2015年河北省石家庄市新乐市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：共16小题，1～6小题，每小题2分，7′16小题，每小题2分，共42分2015年初中毕业生升学文化课模拟考试1．（2分）和﹣2的相反数相等的是（）A．﹣2的平方B．﹣2的倒数C．﹣2的绝对值D．4的平方根【解答】解：∵﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，|﹣2|＝2，故选：C．2．（2分）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，∠2＝55°，则∠3的度数是（）A．50°B．53°C．55°D．58°【解答】解：∵DE∥AC，∠2＝55°，∴∠BAC＝55°．∵AF∥BC，∠1＝70°，∴∠3+∠BAC＝180°﹣70°＝110°．∴∠3＝110°﹣55°＝55°．故选：C．3．（2分）下列各式成立的是（）A．4＜＜5B．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2C．2﹣3＝3﹣2D．x3•x2＝x3﹣x2【解答】解：A、∵9＜11＜16，∴3＜＜4，本选项错误；B、原式＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，正确；C、2﹣3＝＝，3﹣2＝＝，两者不相等，错误；D、原式＝x5，错误．故选：B．4．（2分）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误；B、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误；C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误．D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确；故选：D．5．（2分）a、b在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（）A．a﹣b＜0B．ab＞0C．﹣a＜b D．|a|＜|b|【解答】解：A、∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，故正确；B、ab＜0，故错误；C、﹣a＞b，故错误；D、|a|＞|b|，故错误；故选：A．6．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．7．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2B．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）C．x2y﹣xy＝y（x2﹣x）D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1【解答】解：A、原式不能分解，错误；B、原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），正确；C、原式＝xy（x﹣1），错误；D、原式不能分解，错误．故选：B．8．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，△＝4﹣4m≥0，∴m≤1故选：D．9．（3分）已知二次函数y＝﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤2【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣k，因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＞﹣k时，y的值随x值的增大而减小，而x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小，所以﹣k≤﹣2，所以k≥2．故选：C．10．（3分）如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）A．6B．15C．24D．27【解答】解：∵AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，∴＝＝，∵△ABC的面积是3，∴S△DEF＝27，∴S阴影＝S△DEF﹣S△ABC＝24．故选：C．11．（3分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm【解答】解：连结OA，如图，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE＝BE，△OAE为等腰直角三角形，∴AE＝OA，∵CD＝6，∴OA＝3，∴AE＝，∴AB＝2AE＝3（cm）．故选：B．12．（3分）△ABC中，AB＝AC，在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．甲同学的作法是（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、BC于E，D，再分别以E，D为圆心，大于ED的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF；（2）分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线GH，直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点．（作图痕迹如图1）乙同学的作法是：（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，BC于D，E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于F，作射线BF；（2）以C为圆心，以任意长为半径作弧分别交AC，BC于H，G再分别以G，H为圆心，以大于GH的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线CM，射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2），对于两人的作法，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．乙对，甲不对【解答】解：对于甲同学的作法：连结OC，如图1，BF平分∠ABC，GH垂直平分BC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵GH垂直平分BC，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，而∠OBC＝∠ABC，∴∠OCB＝∠ACB，∴OC平分∠ACB，∴点O即为所求的点；所以甲同学的作法正确；对于乙同学的作法：BF平分∠ABC，CM平分∠ACB，则点O为△ABC两内角的角平分线，所以点O即为所求的点；所以乙同学的作法正确．故选：A．13．（3分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象相交于A，B两点，其中A（﹣1，3），直线y＝kx﹣k+2与坐标轴分别交于C，D两点，下列说法：①k＜0；②点B的坐标为（3，﹣1）；③当x ＜﹣1时，＜kx﹣k+2；④tan∠OCD＝﹣，其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：∵反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k+2的图象都过点A（﹣1，3），∴3＝，3＝﹣k﹣k+2，∴k＝﹣3，k＝﹣，①k＜0正确；∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+在同一直角坐标系中的图象相交于A，B两点，可得点B的坐标为（6，﹣），∴②点B的坐标为（3，﹣1）错误；③由图象可得，当x＜﹣1时，＜kx﹣k+2，正确；④tan∠OCD＝＝，正确；故选：C．14．（3分）一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标有﹣2，0，1，2，随机从盒子里摸出两个小球，上面的数字之和不为0的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：列树状图得，，数字之和不为0的有10种情况，P＝＝．15．（3分）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4B．2C．7D．8【解答】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN＝4，NE＝MN＝3，根据勾股定理得：PE＝＝5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，∴AE＝MN＝3，则AP的最大值为AE+EP＝5+3＝8．故选：D．16．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm 的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y ＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP＝xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cos A＝，即＝，解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD＝1.5cm，CD＝cm，点P在AB上时，AP＝xcm，PD＝|1.5﹣x|cm，∴y＝PC2＝（）2+（1.5﹣x）2＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分）17．（3分）4﹣＝0．【解答】解：4﹣＝4×﹣2＝0．故答案为：0．18．（3分）如果（x﹣）3＝ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d＝．【解答】解：令x＝1，则ax3+bx2+cx+d＝a+b+c+d，∴a+b+c+d＝（1﹣）3＝＝故答案为：．19．（3分）对于x，y定义一种新运算“*”：x*y＝3x﹣2y，等式右边是通常的减法和乘法运算，如2*5＝3×2﹣2×5＝﹣4，那么（x+1）*（x﹣1）≥5的解集是x≥0．【解答】解：∵（x+1）*（x﹣1）≥5，∴3（x+1）﹣2（x﹣1）≥5，∴3x+3﹣2x+2≥5，x≥0，故答案为：x≥0．20．（3分）图1，是一个由边长为1的小正方形木块摆放在地上而成的图形，图2，图3也是由边长为1的小正方体木块叠放在地上而成，要给露在外面的小正方体表面涂上油漆（底面不涂），按照这样的规律继续叠放下去，到第7个叠放的图形中，涂到油漆部分的面积是281．【解答】解：由图形可知：从正面看，需涂色的面有：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，所以，从前、后、左、右看，需涂色的面有4n2，从上面看，需涂色的面有：1+3+5+…+（2n﹣1）+…5+3+1＝2n2﹣2n+1，所以，第n个叠放的图形中，涂上颜色的面有：6n2﹣2n+1；因此第7个叠放的图形中，涂到油漆部分的面积是6×72﹣2×7+1＝281．故答案为：281．三、解答题（本题共6题，共66分）21．（10分）已知，m是不等式组的最小整数解，求•（m﹣）﹣3m的值．【解答】解：，由①得：x≥，由②得：x＞3，∴不等式组的解集是x＞3，由m是不等式组的最小整数解，得到m＝4，原式＝•﹣3m＝m+1﹣3m＝﹣2m+1，当m＝4时，原式＝﹣8+1＝﹣7．22．（10分）已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于A，与y轴交于C，以O，A，C为顶点在第一象限作矩形OABC．（1）求点B的坐标，并在坐标系中画出函数y＝﹣x+6的图象和矩形OABC．（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△OAC有公共点，求k的取值范围．（3）在线段AC上存在点P，以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出P点的坐标．【解答】解：（1）由＝0，得x＝8，∴A（8，0），当x＝0时，＝6，∴C（0，6），∵四边形ABCD是矩形，∴∠AOC＝∠OAB＝∠ABC＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BD＝8，∴B（8，6），函数的图象和矩形OABC如图1所示：（2）反比例函数（x＞0）的图象与△OAC有公共点，也就是与线段AC有公共点，∴k＞0且方程有实数解，即方程﹣x2+6x﹣k＝0有实数解，∴△＝62﹣4×（﹣）×（﹣k）≥0，解得：k≤12，又∵k＞0，∴k的取值范围是0＜k≤12；（3）分两种情况：①当PB＝PC时，点P在BC的垂直平分线上，∴点P的坐标为：（4，3）；②当PC＝BC时，PC＝BC＝8，∵AC＝＝＝10，∴P A＝AC﹣PC＝2，作PD⊥OA于D，如图2所示：则PD∥OC，∴△ADP∽△AOC，∴，即，∴PD＝，AD＝，∴OD＝8﹣＝，∴点P的坐标为：（，）；综上所述：点P的坐标是（4，3）或（）．23．（11分）如图1，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）如图2，若∠ABC＝60°，连接CF，并将△EFC绕点E顺时针旋转，使点F落在BC的延长线上点F′处，点C落在点C′处，求证：点C′和点F之间的距离等于平行四边形ABCD较短对角线的长．（3）在（2）的基础上，若AB＝6，AD＝8，求点C′和点F之间的距离．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠5∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠5∴AB＝BE，同理，AB＝AF，∴AF＝BE又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，（2）如图2，连接CA，C'F，∵∠ABC＝60°，四边形ABEF是菱形．∴∠AEB＝∠AEF＝∠FEC＝∠F'EC'＝60°，∴∠AEC＝∠FEC'＝120在△AEC和△FEC'∴△AEC≌△FEC'，∴AC＝FC'；（3）如图2，由∠F'EC'＝60°，∠AEC＝∠FEC′＝120°，可知点A，E，C 三点在同一条直线上，∵∠ABC＝60°，四边形ABEF是菱形，∴BF⊥AE，PF＝BP，△ABE是等边三角形，∴PE＝BE＝3，PF＝BP＝BE•cos30°＝3，∵EC'＝EC＝8﹣6＝2，∴在Rt△C'PF中，C′F＝＝＝2．24．（11分）2015年某企业有4000名职工，为了了解职工本年度第一季度网上购物的情况，该企业从中随机抽取了350名职工，按年龄分布和对网上购物情况进行了调查统计，并将统计结果绘成了频数分布直方图（每个组距包含左边的数，但不包含右边的数）和扇形图．（1）这次调查中，如果被调查职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？（2）你估计这个企业的4000名职工中，从不网购的有多少人？（3）统计显示，买同样的商品，经常网购的人比在一般商店购买能节省20%，偶尔网购的人比在一般商店购买能节省15%，样本中，职工第一季度网购商品共消费24500元，这些商品若在一般商店购买需要30000元，请问，经常网购的一组和偶尔网购的一组本季度网购商品各消费多少元？（4）如果在样本中，本季度网购情况如下表：请你计算该样本中，本季度进行网购的人平均每人网上购物几次？【解答】解：（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是25﹣35之间；（2）4000×（1﹣40%﹣22%）＝1520（人）；（3）设经常网购的一组网购共消费m元，偶尔网购的一组网购共消费n元．由题意得，解得．所以经常网购的一组网购共消费16000元，偶尔网购的一组网购共消费8500元；（4）．25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将弧BC 沿弦BC翻折，交AB于点D，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是8．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设∠ABC＝a，则a的取值范围是0＜a≤30°．（3）当∠ABC＝15°时，点D和点O的距离是5﹣5．（4）如图2，设所在圆的圆心是O′，当BE与⊙O相切时，求BE的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠DBC，∴．∴AC＝DC．∴∠CAD＝∠CDA∵∠CAD＝∠DEB，∠CDA＝∠BDE，∴∠BDE＝∠BED．∴BE＝BD．∴BE＝AB﹣AD＝10﹣2＝8；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，∠ABC＝a＝0°，如图1，当点D与点O重合时．则DC＝DA．由（1）可知：AC＝DC，又∵DC＝AD，∴AC＝DC＝AD．∴∠ADC＝60°．∴∠ABC＝30°．∴0°＜α≤30°（3）如图2所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC．∵∠ABC＝15°，∴∠COF＝30°．在Rt△CFO中，cos∠COF＝，∴OF＝．∵AC＝DC，CF⊥AD，∴AF＝DF．∴AD＝2AF＝2（OA﹣OF）＝2（5﹣）＝10﹣5．∴OD＝OA﹣AD＝5﹣（10﹣5）＝5﹣5；（4）如图3，作⊙O'的直径BF，连接FD、OE．∵BE与⊙O'相切，∴BE⊥BF．∴∠FBD+DBE＝90°．∵BF是⊙O'的直径，∴∠FDB＝90°．∴∠FBD+∠DFB＝90°．∴∠DBE＝∠DFB．∵∠DFB＝∠DCB，∠DBE＝∠ACE，∴∠DBE＝∠DFB＝∠DCB＝∠ACE．∵∠ACB＝90°，∴∠DBE＝∠DFB＝∠DCB＝∠ACE＝45°．∵OB＝OE，∠ABE＝45°，∴∠OEB＝45°．∴∠BOE＝90°．在Rt△OBE中，BE＝＝5．26．（12分）近年来，国家大力提倡大学生创业，2015年小王就要毕业了，因为他学的是市场营销专业，所以毕业后想开一个商店，经过市场调研发现，若投资一个面积为x（单位：m2）的商铺，所需购买费用（单位：万元）与x+2成正比例，装修费用（单位：万元）与x2成正比例，并在调查过程中得到了表格中的数据：（1）如果小王用从银行贷款30万元、父亲资助20万元、自己大学期间勤工俭学的收入1.6万元，共51.6万元投资一个商铺，请计算小王投资的这个商铺的面积为多少平方米；（总费用＝购买费用+装修费用）（2）购买商铺后，小王准备经营童鞋专卖店，已知专卖店代理的某品牌童鞋的进价为每双40元，该品牌童鞋日销售量y（双）与销售单价x（元/双）之间的关系式为：y＝①求他的销售利润w（元）与销售单价x（元/双）之间的函数关系式．②小王每月需向银行还贷2075元，另童鞋店每月需缴纳水电费、营业税等固定费用3000元，通过计算判断，小王每月（按30天计算）能否有盈余？如果有，最多盈余多少元？（盈余＝销售利润﹣固定费用﹣银行贷款）【解答】解：（1）由条件：投资一个面积为x（单位：m2）的商铺，所需购买费用（单位：万元）与x+2成正比例，装修费用（单位：万元）与x2成正比例，和表格中的数据可得，商铺面积是x平方米时购买费用是（0.6x+1.2）万元、装修费用是0.3x2万元，由题意列方程，0.3x2+0.6x+1.2＝51.6即（x+1）2＝169，解得x1＝12，x2＝﹣14（舍去）所以，小王投资的这个商铺的面积为12平方米；（2）①当40≤x≤58时，w＝（x﹣40）（﹣2x+140）＝﹣2x2+220x﹣5600，当58＜x≤71时，w＝（x﹣40）（﹣x+82）＝﹣x2+122x﹣3280，所以，w（元）与销售单价x（元/双）之间的函数关系式为：，②当40≤x≤58x＝55时，w＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450所以，当时，日最大销售利润为450元，月最大销售利润是13500元，月最大盈余：13500﹣2075﹣3000＝8420元，当58＜x≤71时，w＝﹣x2+122x﹣3280＝﹣（x﹣61）2+441，当x＝61时，日最大利润是441元，月最大销售利润是13230元，月最大盈余：13230﹣2075﹣3000＝8155元，答：小王每月（按30天计算）能有盈余，最多盈余8420元．。
河北省石家庄市2015届高三下学期一模考试数学(文)试题word版含答案
2015届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（文科）A 卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知i 是虚数单位，则复数131ii-=+ A ．2i + B ．2i - C ．12i -- D ．12i -+ 2、已知集合{0,1,2},{|3}x P Q y y ===，则PQ =A ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．φ3、命题:p 若sin sin x y >，则x y >；命题22:2q x y xy +≥，下列命题为假命题的是 A ．p 或q B ．p 且q C ．q D ．p ⌝4、设函数()f x 为偶数，当(0,)x ∈+∞时，()2log f x x =，则(f = A ．12-B ．12C ．2D ．-2 5、已知cos ,,(,)2k k R πααπ=∈∈，则sin()πα+=A ． C ．．k - 6、函数()tan (0)f x wx w =>的图象的相邻两支截直线2y =所得线段长为2π，则()6f π的值是A ．．3C ．1D 7、执行下面的程序框图，如果输入的依次是1,2,4,8， 则输出的S 为A ．2B ．C ．4D ．68、在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，P 在线段BD 1上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为 A ．1 B ．32 C ．92D ．与M 点的位置有关 9、已知,,O A B 三地在同一水平面内，A 第在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，的范围内会崔测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 A．12-B．2C．12- D ．1210、已知抛物线22(0)y px p =>的交点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为 A．1+．111、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．64 B ．72 C ．80 D ．112 12、已知函数()2ln 0410x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，若关于x 的方程()()20(,)f x bf x c b c R -+=∈有8个不同的实数根，则b c +的取值范围为A ．(,3)-∞B ．(]0,3C ．[]0,3D ．()0,3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2015年河北省石家庄市中考一模数学试卷(解析版)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6． （2 分）如图是一个三棱柱的展开图．若 AD＝10，CD＝2，则 AB 的长度可以 是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5 ＝ 的解，那么
7． （3 分）已知有一组数据 1，2，m，3，4，其中 m 是方程 这组数据的中位数、众数分别是（ A．2，2 B．2，3 ） C．3，4
D．4，4
8． （3 分）小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤 3 元的豆角问摊主： “这豆角能便宜吗？”摊主： “多买按八折，你要多少斤？”小王报了数量后 摊主同意按八折卖给小王，并说： “之前一人只比你少买 5 斤就是按标价，还 比你多花了 3 元呢！ ”小王购买豆角的数量是（ A．25 斤 B．20 斤 C．30 斤 ） D．15 斤
，1） ．以 M 为圆心 AC 是⊙M 的切线； ③⊙M 过抛物线的顶点； ④点 C 到⊙M 的最远距离为 6； ⑤连接 MC，MA，则△AOC 与△AMC 关于直线 AC 对称．
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分． ） 17． （3 分）已知（x﹣1）2＝ax2+bx+c，则 a+b+c 的值为 ．
18． （3 分）网购悄然盛行，我国 2012 年网购交易额为 1.26 万亿人民币，2014 年我国网购交易额达到了 2.8 万亿人民币．如果设 2013 年、2014 年网购交易 额的平均增长率为 x，则依题意可得关于 x 的一元二次方程为 ．
9． （3 分） 如图， AB， CD 分别是⊙O 的弦和直径， AB⊥CD 于点 E， 若 CD＝10， AB＝8，则 sin∠ACD 的值为（ ）
第 2 页（共 33 页）