全等三角形动点问题
数学全等三角形动点问题

数学全等三角形动点问题数学这东西,听起来就有点让人打哈欠,尤其是当你碰上了全等三角形动点问题的时候,简直让人想直接躲进床底下。
不过别担心,今天咱们就来聊聊这个话题,轻松点儿,搞笑点儿,保证让你哈哈大笑,顺便脑袋里也装点儿知识。
想象一下,你跟朋友一起去游乐园,前面是个大旋转木马,大家都在排队。
这个木马就像一个个三角形,转来转去,根本停不下来。
好啦,先说说全等三角形。
全等的意思就是两个三角形一模一样,无论你怎么转、怎么动,都还是那样。
就好比双胞胎,真是一看就知道是兄弟姐妹。
你要是把这俩三角形放在一起,哦哟,简直就像是复制粘贴,连角度和边长都跟着一模一样。
这就有意思了,咱们来设想一下:如果这两个三角形有一个动点,那就像是在给它们穿上舞鞋,在舞池里翩翩起舞。
不管怎么转,这舞姿总是那么优雅,简直让人目不暇接。
想象一下这俩三角形之间的关系,简直就是一对恩爱的小情侣。
一个在这里,另一个在那儿,距离虽然不变,但感觉就像在做双人舞。
它们的边长、角度都保持着一致,这就是全等三角形的神奇之处。
想想,如果我们生活中也能有这种“全等”关系,那可真是太好了。
每天都可以找一个人一起“相约”,不管走到哪儿都不会迷路,心里总是有一份安全感。
不过,这个动点问题就有点麻烦了。
你知道,当一个三角形的某个点动起来的时候,其他的就得跟着动。
这就像你在冰箱前,想喝可乐,结果冰箱门关上了,那可真是让人捶心肝。
你得想办法把这动点的位置确定下来,不然整个三角形就乱了套,跟着你在厨房里晃悠,根本停不下来。
数学里的动点就像生活中的那些变化一样,让人琢磨不透。
你以为这个点在这儿,结果它一下子跑到那边,搞得你摸不着头脑。
想想看,谁没有遇到过这种情况呢?就像在约会时,原本想去的餐厅没了位子,你就得随便找个地方,结果最后吃到了你最讨厌的那道菜,真是让人哭笑不得。
再说说这动点问题的性质。
这个动点在三角形里游来游去,就像小猫追蝴蝶一样。
你永远不知道它下一步会往哪儿去,角度变来变去,让人眼花缭乱。
全等三角形之动点问题

全等三角形之动点问题(一)1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等,求t的值与相应的点Q的运动速度a2、如图,在等边ABC∆的顶点A、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D,E处,请问(1)在爬行过程中,CD和BE始终相等吗?(2)若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行,EB与CD交于点Q,其他条件不变,如图(2)所示,,求证:︒CQE=∠60(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行,连接DE交AC于F”,其他条件不变,则爬行过程中,DF始终等于EF是否正确3、在△ABC中,,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时,求证:DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时,求证:DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时,试问:DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证BA O DC E图84. 如下图,已知正方形ABCD 中,边长为10厘米,点E 在AB 边上,BE=6厘米.(1)如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动. ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,△BPE 与△CQP 是否全等,请说明理由; ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使△BPE 与△CQP 全等? (2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿正方形ABCD 四边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇?5、如图7,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ,连结AC 和BD ,相交于点E ,连结BC .求∠AEB 的大小;6、ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋转(ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠),求∠AEB 的大小.C B OD图7AE全等构造角平分线类1如图,在ABC ∆中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:AB BD AC +=.DC B A2如图,在ABC ∆中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:2B C ∠=∠.DC B A3如图,ABC ∆中,AB=2AC ,AD 平分BAC ∠,且AD=BD ,求证:CD ⊥AC4如图,在四边形ABCD 中,BC >BA,AD =CD ,BD 平分ABC ∠,求证: 0180=∠+∠C A5已知ABC ∆中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、 CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.OED CBA6如图,在ABC ∆中,60B ∠=︒,AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠,且AD 与CE 的交点为F .求证:FE FD =.CDBACBAFBEDCA7如图,已知在ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P ,Q 分别在BC ,CA 上,并且AP ,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线。
全等三角形中的动点问题

全等三角形中的动态问题解决动点问题的常见思路:1、注意分类讨论;2、仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化;3、利用速度×时间表示处相应线段或边的长度,列出方程求解。
例1如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=8,AC=4,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E离开点A后,运动多少秒时,△DEB与△BCA全等。
例2已知,如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P 从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为何值时,△ABP与△DCE全等。
练习:1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=7厘米,BC=3厘米,CD为AB边上的高,点E从点B出发沿直线BC以2厘米/秒的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F。
(1)证明:∠A=∠BCD;(2)当点E运动多长时间时,CF=AB。
请说明理由。
2、如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为A(0,m),B(n,0),且|m−n−3|+2n−6=0,点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P的运动时间为t秒。
(1)求OA、OB的长;(2)连接PB,设△POB的面积为S,用含t的式子表示S;(3)过点P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与x轴交于点E,在点P运动的过程中,是否存在这样的点P,使△EOP≌△AOB?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由。
例3如图,点C在线段BD上,AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,∠ACE=90°,且AC=5cm,CE=6cm,点P以2cm/s的速度沿A—C—E向终点E运动,同时点Q以3cm/s的速度从E开始在线段EC上往返运动,当点P到达终点时,P、Q同时停止运动。
全等三角形中动点问题,掌握答题思路,注意几点事项

全等三角形中动点问题,掌握答题思路,注意几点事项初中数学中,动点问题一直热门考点,而且动点问题也是学习的一个难点,在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上,设计一个或几个动点,并且对这些点在运动变化的过程中,存在着等量关系,变量关系,以及对图形的特殊状态、图形间的特殊关系进行研究考查,具有较强的综合性。
常见的题型是:动态几何题是指随着几何图形中某一个(或几个)元素的运动,导致问题结论改变或不变的几何题。
今天我们一起来学习一下全等三角形中的动点问题。
解决动点问题常见的答题思路是:解这类题时要善于抓住以下三个特点:(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论起到重要作用;(2)在图形变化前后,明确哪些关系发生变化,哪些关系没有发生变化,变化前的等角、等线段在变化后是否还存在;(3)几种变化图形之间,说理思路存在内在联系,变化后的说理思路可模仿与借鉴变化前的说理过程,变化后的结论有时发生变化,有时不发生变化。
例题1:如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动,设运动的时间为t s。
问:(1)求CP的长,(2)若以C.P.Q为顶点的三角形和以B,D,P为顶点的三角形全等,且∠B和∠C是对应角,求a的值。
【解析】:本题考查的是动点的为题,点P在线段BC上运动,根据距离=速度*时间,可得BP=3t cm,又已知BC=8cm所以CP=(8-3t)cm。
(2)、因为两个三角形全等,对应边没有明确,因此需要分类讨论,才能不丢解。
当BD=CP时,D为AB的中点,所以BD=5cm,所以5=8-3t,得t=1。
因为△BDP≌△CPQ,所以BP=CQ,得3t=at,得a=3。
当BP=CP时,3t=8-3t,得t=4/3,因为△BDP≌△CQP,所以BD=CQ,即5=4a/3,得a=15/4。
全等三角形中的动点问题

FE E'EBD全等三角形中的动点问题【例1】如图所示,在北京某街道的部分示意图,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E、F ,且BD =CD ,2008 年北京奥运会,熊熊燃烧的奥运圣火在这个城市传递和平、友谊、进步的“和平之旅”.传递路线有两种:路线一:沿B→E→D→A的顺序传递到A ;路线二:沿A→D→F→C的顺序传递到C .为了使奥运圣火短笛路线更长,请你判断那条路线最佳,说明你的理由.AFC【例2】如图1,Rt∆ABC 种,∠ACB = 90︒,CD ⊥AB ,垂足为D ,AF 平分∠CAB ,交CD 于点E ,交CB 于点F .(1)求证:CE =CF ;(2)将图1 中的∆ADE 沿AB 向右平移到∆A'D'E'的位置,使点E'落在BC 边上,其他条件不变,如图2 所示.试猜想:BE'与CF 有怎样的数量关系?C CA DB A图1F EDQ PEAB F P CQEQ A' D'B图2【例3】 如图所示,已知∆ABC 中,∠B = ∠C , AB =AC = 10cm ,BC = 8cm ,点 D 为A B的中点.(1) 如果点 P 在线段 BC 上以3cm / s 的速度由 B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C点向A点运动.①若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过1s 后,∆BPD 与∆CQP 是否全等,请说明理由.②若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使∆BPD 与∆CQP 全等?(2) 若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点 P 以原来的速度从点 B 同时出发,都逆时针沿∆ABC 三边运动,求经过多长时间点 P 与点Q 第一次在∆ABC 的那条边上相遇?A B C【例4】 如图 1,∆ABC 的边 BC 在在直线l 上,AC ⊥ BC ,且 AC = BC ;∆EFP 的边 FP 也在直线l 上,边 EF 与边 AC重合,且 EF = FP .(1) 图 1 种,请猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系;(2) 在∆EFP 沿直线l 向左平移到图 2 的位置时, EP 交 AC 于点Q ,连接 AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明.(3) 将∆EFP 沿直线l 向左平移到图3 的位置时,EP 的延长线交 AC 的延长线与点Q , 连接 AP ,BQ .你认为(2)中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗?请说明理由.(E ) B C (F )P l图1l BF C P图2图3【例5】 (1)操作发现如图 1,D 是等边∆ABC 边 BA 上一动点(点 D 与点 B 不重合),连接 DC ,以 DC 为边在 BC 上方做等边∆DCF ,连接 AF .你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗?并证明你的结论.(2)类比猜想如图 2,当动点 D 运动至等边∆ABC 边 BA 的延长线上时,其他做法与(1)相同,猜想 AF 与 BD 在(1)中的结论是否仍然成立? (3)深入探究 ①如图 3,当动点 D 在等边∆ABC 边 BA 上运动时(点 D 与点 B 不重合),连接 DC ,以 DC 为边在 BC 上方、下方分别作等边∆DCF 和等边∆DCF ' ,连接 AF 、BF ' ,探究 AF 、BF ' 与 AB 有何数量关系?并证明你的结论. ②如图 4,当动点 D 在等边三角形边 BA 的延长线上运动时,其他做法与图 3 相同,①中结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.AFD AABF'F'B C。
三角形全等动点问题解题规律

三角形全等动点问题解题规律三角形的全等动点问题是在平面几何中经常遇到的问题之一。
这类问题通常要求找到一个或多个点,使得这些点对应的三角形与给定三角形全等。
解题的关键是确定这些点的位置和坐标,以及使用适当的几何方法证明三角形全等。
在解决这类问题时,我们可以遵循以下一般的解题规律:1.分析已知条件:首先,我们要仔细阅读题目,理解已知条件和要求。
特别注意已知的角度、边长、垂直关系等信息。
2.找到对应点:根据题意,我们要找到一或多个对应的点,使其对应的三角形与给定三角形全等。
这些点可以是已知已知条件中的角的顶点、边的中点、高与底的交点等。
3.确定点的位置与坐标:根据对应点的定义,我们要确定这些点的位置和坐标。
在某些问题中,我们可以通过画图、构造辅助线、使用垂直关系等方法来确定点的位置和坐标。
4.利用几何方法证明全等:一旦确定了对应点的位置和坐标,我们要使用适当的几何方法证明三角形全等。
常用的方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HLL等。
我们应根据已知条件和问题要求选择合适的方法。
5.运用证明确定未知要求:在证明全等的过程中,通常会利用到已知条件和问题要求去确定未知的角、边长、面积等。
我们可以运用同位角、对顶角、周角和等于180°的性质,去求解未知要求。
6.检查结果:在解答完毕后,我们应检查结果是否与题目的要求相符。
我们可以重新计算角、边长、面积等,或者利用全等的性质进行检验。
接下来,我将通过一个具体的例子来说明如何应用解题规律解决全等动点问题。
例题:已知△ABC,点D为AC边的中点,E为BC边的中点。
证明△BDE ≌ △ABC。
解题步骤:1.分析已知条件:根据题目,已知点D为AC边的中点,点E为BC 边的中点。
我们要证明△BDE ≌ △ABC。
2.找到对应点:根据题目,我们可以找到对应点:AD为BC的中线,BE为AC的中线,DE为AB的中线。
因此,我们可以推断三角形△BDE与△ABC全等。
3.确定点的位置与坐标:我们可以通过画图来确定这些点的位置和坐标。
2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1(含解析)

2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1一、单选题1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为()A.2B.3C.4D.52.如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,点D在AC上,CD=3,BD平分∠ABC,点P是AB 上一个动点,则下列结论正确的是()A.PD>3B.PD≥3C.PD≤3D.PD=33.如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AD=3,若P是BC上的动点,则线段DP的最小值是()A.3B.2.4C.4D.54.如图所示,在△ABC中,∠ABC=68°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB上一动点,当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°5.如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等时,t的值为( )A.1B.7C.1或2D.1或76.如图,在△ABC中,∠ACB>90°,△ABC的面积为18,AB=9,BD平分∠ABC,E,F分别是BD,BC上的动点,则CE+EF的最小值为( )A.4B.6C.7D.97.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AD=5,连接BD,BD⊥CD,垂足是D且∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是()A.2B.3C.4D.5二、填空题10.如图,在正方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,动点动点Q以3cm/s的速度从点B止移动.设移动的时间为t(与△PAB全等.12.如图,CA⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发,以随着E点运动而运动,且始终保持三角形与点A、B、C组成的三角形全等.13.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA值为.14.如图,∠ACB=90°,AC=/秒的速度沿射线AC运动,点Q秒时,△ABC与以点P,Q,C为顶点的三角形全等.三、解答题15.在平面直角坐标系中,A(−5,0),B(0,5).点C为x轴正半轴上一动点,过点A作AD⊥BC交y轴于点E.(1)如图①,若C(4,0),求点E的坐标;(2)如图②,若点C在x轴正半轴上运动,且OC<5.其它条件不变,连接DO,求证:DO 平分∠ADC.16.已知:△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,D 为直线BC上一动点,连接AD,在直线AC右侧作AE⊥AD,且AE=AD.(1)如图,当点D在线段BC上时,过点E 作EH⊥AC于H,连接DE,求证:EH=AC;(2)如图,当点D在线段BC的延长线上时,连接BE交CA的延长线于点M.求证:BM=EM.17.如图,△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD,AC=6.(1)求BO的长;(2)F是射线BC上一点,且CF=AO,动点P从点O出发,沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,同时动点Q从点A出发,沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动,当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当△AOP与△FCQ 全等时,求t的值.18.定理:三角形任意两边之和大于第三边.(1)如图1,线段AD,BC交于点E,连接AB,CD,判断AD+BC与AB+CD的大小关系,并说明理由;(2)如图2,OC平分∠AOB,P为OC上任意一点,在OA,OB上截取OE=OF,连接PE,PF.求证:PE=PF;(3)如图3,在△ABC中,AB>AC,P为角平分线AD上异于端点的一动点,求证:PB−PC>BD−CD.19.如图,在△ABC中,D为AB的中点,AB=AC=10cm,BC=8cm,动点P从点B出发,沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动;同时动点Q从点C出发,沿CA方向以每秒3 cm的速度向点A运动,运动时间是t秒.(1)在运动过程中,当点C位于线段PQ的垂直平分线上时,求出t的值;(2)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使△BPD和△CQP全等,若存在,求出t的值.若不存在,请说明理由.20.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是射线BA上一动点,连接CD,以CD为边作∠DCE=45°,CE在CD右侧,CE与过点A且垂直于AB的直线交于点E,连接DE.(1)当CD,CE都在AC的左侧时,如图①,线段BD,AE,DE之间的数量关系是_________;(2)当CD,CE在AC的两侧时,如图②,线段BD,AE,DE之间有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明;(3)当CD,CE都在AC的右侧时,如图③,线段BD,AE,DE之间有怎样的数量关系?直接写出你的猜想,不必证明.参考答案:1.B【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时,PQ的值最小,根据角平分线性质得出PQ=PA,求出即可.【详解】解:当PQ⊥OM时,PQ的值最小,∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PA=3,∴PQ=PA=3,故选:B.【点睛】本题考查了角平分线性质,垂线段最短的应用,解题的关键是能得出使PQ最小时Q 的位置.2.B【分析】连接DP,根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可.【详解】解:连接DP,如图所示:∵∠C=90°,BD平分∠ABC,∴当DP⊥AB时,DP=CD=3那么当DP不垂直AB时,DP>CD=3,∵垂线段最短,∴PD≥3,故选:B.【点睛】本题考查的是角平分线的性质及垂线段最短,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.3.A【分析】由垂线段最短可知当DP⊥BC时,DP最短,根据角平分线的性质即可得出结论.【详解】解:当DP⊥BC时,DP的值最小,∵BD平分∠ABC,∠A=90°,∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ABC ∴∠ABD=∠CBD=12∵BP=BP,∴△PBQ≌△PBE(SAS),∵∠AEB=90°,∠CBD=34°∴∠APB=∠AEB+∠CBD=∵BD平分∠ABC,PE⊥AB,EF⊥∴PE=EF,∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值.即CE+EF的最小值为4,故选:A.【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题,关键是将CE+EF的最小值为转化为CP,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目.7.D【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD=∠CBD,再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小,然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=AD.【详解】解:∵BD⊥CD,∠A=90°.∴∠ABD+∠ADB=90°,∠CBD+∠C=90°,∴∠ABD=∠CBD,由垂线段最短得,DP⊥BC时DP最小,此时,DP=AD=5.故选:D.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,垂线段最短的性质,熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键.8.D【分析】当△EAP与△PBQ全等时,有两种情况:①当EA=PB,AP=BQ时,△APE≅△BQP②当AP=BP,AE=BQ时,△AEP≅△BQP,分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可.【详解】当△EAP与△PBQ全等时,有两种情况:①当EA=PB,AP=BQ时,△APE≅△BQP,∵AB=10cm,AE=6cm,∴BP=AE=6cm,AP=4cm,∴BQ=AP=4cm;∵动点P在线段AB上,从点A出发以2cm/s的速度向点B运动,∴点P和点Q的运动时间为:4÷2=2s,∴v的值为:4÷2=2cm/s;②当AP=BP,AE=BQ时,△AEP≅△BQP,∵AB=10cm,AE=6cm,∵BD平分∠ABC,∴∠N′BM=∠NBM,在△MBN′与△MBN中,{BN′=BN∠N′BM=∠NBM,BM=BM×AB×CN′,此时S△ABC=12×4×CN′,可得6=12可得CN′=3,∴CM+MN的最小值为3,故答案为:3.∵AB=AD,∠ABP=∴BP=AQ,∵AQ=AB−BQ=8−3t,BP=t,∴8−3t=t,∴t=2s,当点Q在边AD时,不能构成△QAD,当点Q在边CD上时,如图2,AB+AD+DQ=3t,BP=t,∴DQ=3t−16.要使△PAB和△QAD全等,只能是△PAB≌△QAD,∴BP=DQ,∴t=3t−16,∴t=8s,故答案为:2s或8s.【点睛】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质解本题的关键是分类讨论,用方程的思想解决问题.11.5【分析】由平行线的性质可得∠EBF=∠A,由ASA证明△BEF≌△AED,得到AD=BF,最后由BF+CD=AD+CD=AC即可得到答案.【详解】解:∵BF∥AC,∴∠EBF=∠A,∵E为AB中点,∴BE=AE,在△BEF和△AED中,{∠EBF=∠ABE=AE∠BEF=∠AED,∴△BEF≌△AED(ASA),∴AD=BF,∴BF+CD=AD+CD=AC=5,故答案为:5.【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质,熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键.12.0或2或6或8【分析】首先分两种情况:当E在线段AB上和当E在BN上,然后再分成两种情况AC=BE和AB=EB,分别进行计算,即可得出结果.【详解】解:①当E在线段AB上,AC=BE时,△ACB≌△BED,∵AC=4cm,∴BE=4cm,∴AE=AB−BE=4cm,∴点E的运动时间为4÷2=2(秒);②当E在BN上,AC=BE时,△ACB≌△BED,∵AC=4cm,∴BE=4cm,∴AE=AB+BE=12cm,∴点E的运动时间为12÷2=6(秒);③当E在线段AB上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,这时E在A点未动,因此时间为0秒;④当E在BN上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,∵AB=8cm,∴BE=8cm,∴AE=AB+BE=16cm,∴点E的运动时间为16÷2=8(秒),综上所述,当点E经过0秒或2秒或6秒或8秒时,由点D、E、B组成的三角形与点A、B、C 组成的三角形全等,故答案为:0或2或6或8.【点睛】本题考查了全等三角形的性质,解题的关键是注意分类讨论思想的运用.13.3【分析】过P作PE⊥OB交OB于E,当D于E重合时,PD=PE最小,即可求解.【详解】解:如图,过P作PE⊥OB交OB于E,∴当D于E重合时,PD=PE最小,∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,∴PE=PC=3,∴PD的最小值为3,故答案:3.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,垂线段定理,掌握定理是解题的关键.14.1或3或4【分析】设点P运动时间为t秒,根据已知条件分△ABC≌△PQC,△ABC≌△QPC,两种情况,根据AC=PC=4和BC=PC=2列方程求出t值即可.【详解】解:∵AC=2BC=4,∴BC=2,设点P运动时间为t秒,∵∠ACB=∠PCQ=90°,PQ=AB,∴当△ABC≌△PQC时,AC=PC=4,∴|4−2t|=4,解得:t=0(舍)或t=4;当△ABC≌△QPC时,BC=PC=2,∴|4−2t|=2,解得:t=1或t=3;综上:1秒或3秒或4秒时,△ABC与以点P,Q,C为顶点的三角形全等,故答案为:1或3或4.【点睛】本题考查直角三角形全等的判定,关键是找到所有符合题意的情况.15.(1)点E 的坐标为(0,4);(2)见解析【分析】(1)可证明△AOE≌△BOC(ASA),从而得出OE =OC ,进而求得;(2)过O 作OM ⊥DA 于M ,ON ⊥DC 于N ,根据△AOE≌△BOC ,得S ΔAOE =S ΔBOC ,从而得出OM =ON ,进而得证.【详解】(1)解:如图,∵AD ⊥BC ,AO ⊥BO ,∴∠AOE =∠BDE =∠BOC =90°,∴∠OAE +∠ACD =90°,∠OBC +∠ACD =90°,∴∠OAE =∠OBC ,∵A (−5,0),B (0,5),∴OA =OB =5.在△AOE 和△BOC 中,{∠OAE =∠OBC OA =OB ∠AOE =∠BOC,∴△AOE≌△BOC(ASA),∴OE =OC ,∴点C 坐标为(4,0),∴OE =OC =4,∴E (0,4);(2)证明:如图,过O作OM⊥DA于M,ON⊥DC于由(1)知,△AOE≌△BOC,∴SΔAOE=SΔBOC,AE=BC,∴1 2×AE×OM=12×BC×ON,∴OM=ON,{∠AHE =∠C ∠AEH =∠DAC AE =DA,∴△AEH≌△DAC(AAS),∴EH =AC .(2)如图,作EF ⊥CM 交CM 的延长线于点F ,∵∠F =90°,∠ACD =180°−∠ACB =90°,∠DAE =90°,∴∠F =∠ACD =∠MCB ,∵∠FAE +∠CAD =90°,∠CDA +∠CAD =90°,∴∠FAE =∠CDA ,在△FAE 和△CDA 中,{∠F =∠ACD ∠FAE =∠CDA AE =DA,∴△FAE≌△CDA(AAS),∴EF =AC ,∵AC =CB ,∴EF =AC =BC ,在△BMC 和△EMF 中,{∠MCB =∠F ∠BMC =∠EMF BC =EF,∴△BMC≌△EMF(AAS),∵BM =EM .【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识,难度较大,正确地作出辅助线是解题的关键.17.(1)6∵∠BOD=∠ACD,∴∠AOP=∠ACF,∵AO=CF,∴当OP=CQ时,△AOP≌△FCQ∵∠BOD=∠ACD,∴∠AOP=∠FCQ,∵AO=CF,∴当OP=CQ时,△AOP≌∴t=4t−6,∵AD是∠BAC的角平分线,∴∠EAP=∠CAP,在△APE和△APC中,{AE=AC(3)过点C作CF⊥CE,交AB于点F,如图,先证明△CBF≌△CAE,得到BF=AE,CF=CE,然后证明△DCE≌△DCF解题即可;【详解】(1)过点C作CF⊥CE,交AB延长线于点F,如图.∴∠ECF=∠ACB=90°.∴∠FCB=∠ECA.∵AE⊥AB,∴∠EAB=90°.∵∠CBA=∠CAB=45°,∴∠CBF=∠CAE=135°.∵BC=AC,∴△CBF≌△CAE(ASA).∴BF=AE,CF=CE.∵∠DCE=45°,∠ECF=90°,∴∠DCE=∠DCF=45°.∵CD=CD,∴△DCE≌△DCF(SAS).∴DE=DF.∵BD+BF=DF,∴BD+AE=DE.故答案为:BD+AE=DE.(2)图②的猜想:BD−AE=DE.证明:过点C作CF⊥CE,交AB于点F,如图②.∴∠ECF=∠ACB=90°.∴∠CBF=∠CAE.∵AE⊥AB,∴∠EAB=90°.∵∠CBA=∠CAB=45°,∴∠CBF=∠CAE=45°.∵BC=AC,∴△CBF≌△CAE(ASA).∴BF=AE,CF=CE.∵∠DCE=45°,∠ECF=90°,∴∠DCE=∠DCF=45°.∵CD=CD,∴△DCE≌△DCF(SAS).∴DE=DF.∵BD−BF=DF,∴BD−AE=DE.(3)过点C作CF⊥CE,交AB于点F,如图∴∠ECF=∠ACB=90°.∴∠FCB=∠ECA.∵AE⊥AB,∴∠EAB=90°.∵∠CBA=∠CAB=45°,∴∠CBF=∠CAE=45°.∵BC=AC,∴△CBF≌△CAE(ASA).∴BF=AE,CF=CE.∵∠DCE=45°,∠ECF=90°,∴∠DCE=∠DCF=45°.∵CD=CD,∴△DCE≌△DCF(SAS).∴DE=DF.∵BD−BF=DF,∴BD−AE=DE.故答案为:BD−AE=DE.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.。
全等三角形动点问题

ABCDEF全等三角形动点问题一)、知识回顾动态几何题,是指以几何知识和几何图形为背景,渗透运动变化观点的一类试题;而通过对几何图形运动变化,使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程,是中考数学试题中,考查创新意识、创新能力的重要题型;解决这类问题,要善于探索图形的运动特点和规律,抓住变化中图形的性质与特征,化动为静,以静制动.热身练习:1、如图,在等腰△ACB 中,AC =BC =5,AB =8,D 为底边AB 上一动点 (不与点A ,B 重合),DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E ,F ,则DE +DF = . 二)、例题辨析例1、 如图,在等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=CB ,AC=8,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD=CE ,连接DE 、DF 、EF. (1)、求证:△ADF ≌△CEF.(2)、试证明△DFE 是等腰直角三角形.(3)、在此运动变化的过程中,四边形CDFE 的面积是否保持不变?试说明理由.(4)、求△CDE 面积的最大值.例2如图,△ABC 的边BC 在直线 上,AC ⊥BC ,且AC =BC ,△EFP 的边FP 也在直线 上,边EF 与边AC 重合,且EF =FP 。
(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;(2)将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ。
猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想。
练习:1、如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E 分别在AC、BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE是等腰直角三角形;②DE长度的最小值为4;③四边形CDFE的面积保持不变;④△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是( ) A .①②③ B .①③ C .①③④ D .②③④2、(2011随州,18,7分)在等腰三角形ABC 中,∠ABC=90°,D 为AC 边上中点,过D 点作DE ⊥DF ,交AB 于E ,交BC 于F ,若AE=4,FC=3,求EF 长.例2:在ABC ∆中,AB AC =,CG BA ⊥交BA 的延长线于点G .一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F ,一条直角边与AC 边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B . (1)在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度,猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系,然后证明你的猜想;(2)当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC 边在同一直线上,另一条直角边交BC 边于点D ,过点D 作DE BA ⊥于点E .此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度,猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系,然后证明你的猜想; (3)当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置(点F 在线段AC 上,且点F 与点C 不重合)时,⑵中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)例3、如图,在等边△ABC 中,AB=9cm ,点P 从点C 出发沿CB 边向点B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s 速度移动.P 、Q 两点同时出发,它们移动的时间为t 秒钟.(1)你能用t 表示BP 和BQ 的长度吗?请你表示出来. (2)请问几秒钟后,△PBQ 为等边三角形?ABE G图3BC GC G图1(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?三)、归纳总结动点一般在中考都是压轴题,步骤不重要,重要的是思路。
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全等三角形动点问题A B C E F 全等三角形动点问题一)、知识回顾动态几何题,是指以几何知识和几何图形为背景,渗透运动变化观点的一类试题;而通过对几何图形运动变化,使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程,是中考数学试题中,考查创新意识、创新能力的重要题型;解决这类问题,要善于探索图形的运动特点和规律,抓住变化中图形的性质与特征,化动为静,以静制动.热身练习:1、如图,在等腰△ACB 中,AC =BC =5,AB=8,D 为底边AB 上一动点(不与点A ,B 重合),DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E ,F ,则DE +DF = .二)、例题辨析 例1、 如图,在等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=CB ,AC=8,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD=CE ,连接DE 、DF 、EF.(1)、求证:△ADF ≌△CEF.(2)、试证明△DFE 是等腰直角三角形.(3)、在此运动变化的过程中,四边形CDFE 的面积是否保持不变?试说明理由.(4)、求△CDE面积的最大值.例2如图,△ABC的边BC在直线上,AC⊥BC,且AC=BC,△EFP 的边FP也在直线上,边EF与边AC重合,且EF=FP。
(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;(2)将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ。
猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想。
求EF长.例2:在ABC⊥交BA的延长线于点∆中,AB AC=,CG BAG.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE BA⊥于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE DF+与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;(3)当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,⑵中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)例3、如图,在等边△ABC 中,AB=9cm ,点P 从A B CD E FG3AB CEF G 2D AB CF G1点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动,点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动.P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t 秒钟.(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗?请你表示出来.(2)请问几秒钟后,△PBQ为等边三角形?(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?三)、归纳总结动点一般在中考都是压轴题,步骤不重要,重要的是思路。
动点类题目一般都有好几问,前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样,如果后面的题难了,可以反过去看看前面问题的结论。
四)、拓展延伸例1、 在Rt △ABC 中,AC=BC ,∠C=90°,D 为AB 边的中点,∠EDF=90°,∠EDF 绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB (或它们的延长线)于E 、 F.1、当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1),易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△.2、当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.例2、(2014•德州,第23题10分)问题背景: 如图1:在四边形ABC 中,AB =AD ,∠BAD =120°,∠B =∠ADC =90°.E ,F 分别是BC ,CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是EF=BE+DF;探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.例3、如图1,一等腰直角三角尺GEF(∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF)的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想FN,BM相等吗?并说明理由;(2)若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?请说明理由.例4、在平面内,旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换.活动一:如图1,在Rt△ABC中,D为斜边 AB上的一点,AD=2,BD=1,且四边形DECF 是正方形,求阴影部分的面积.小明运用图形旋转的方法,将△DBF绕点D逆时针旋转90°,得到△DGE(如图2所示),一眼就看出这题的答案,请你写出阴影部分的面积:______________ .活动二:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠C=90°,BC=5,CD=3,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,求AE的长.小明仍运用图形旋转的方法,将△ABE绕点A 逆时针旋转90°,得到△ADG(如图4所示),则①四边形AECG是怎样的特殊四边形?答:__________.②AE的长是_________ .活动三:如图5,在四边形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE,连接AE.若AB=2,DC=4,求△ABE 的面积.例5、已知,在ABC∠为锐角,D是射线BC上∆中,ACB一动点(D与C不重合),以AD为一边向右侧作等边∆(C与E不重合),连接CE.ADE⑴ 若ABC ∆为等边三角形,当点D 在线段BC 上时(如图1所示),则直线BD 与直线CE 所夹锐角为 度; ⑵ 若ABC ∆为等边三角形,当点D 在线段BC 的延长线上时(如图2所示),你在⑴中得到的结论是否仍然成立?请说明理由;⑶ 若ABC ∆不是等边三角形,且BC AC >(如图3所示).试探究当点D 在线段BC 上时,你在⑴中得到的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请指出当ACB ∠满足什么条件时,能使⑴中的结论成立,并说明理由.图1FED C B A图2BC D FAE图3BC FA问题(1)中结论不成立,当∠ACB=60°时,能使直线BD 与直线CE 所夹锐角为60°, 证明:①当CD <AC 时,在CB 上截取一点G ,使得CG=CA ,连接AG (如图所示), ∵∠ACB=60°, ∴△GAC 是等边三角形,∴AC=AG,∠AGC=∠GAC=60°,∵△ADE是等边三角形,∴AE=AD,∠DAE=60°,∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD,从而∠CAE=∠GAD,∴△ACE≌△AGD(SAS),∴∠ACE=∠AGD=60°,∴∠ECF=180°-(∠ACB+∠ACE)=60°,此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°,②当CD=AC时,点C与点E重合,不符合题意.③当CD>AC时,延长EC到H,在CB上截取一点G,使得CG=CA,连接AG(如图所示).同(1)可证△ACE≌△AGD.∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°,∴∠HCF=∠DCE=120°-∠ACB=60°,此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°.点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,根据已知进行分类讨论当CD <AC 时,当CD=AC 时,当CD >AC 时得出答案是解题关键. 例6、在等边ABC ∆的两边AB ,AC 所在直线上分别有两点M N D ,,为ABC ∆外一点,且60MDN ∠=︒,120BDC ∠=︒,BD CD =,探究:当点M N ,分别爱直线AB AC ,上移动时,BM BN MN ,,之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系.图①M ND CBA图②MND CBAN图③MD CB A⑴如图①,当点M N ,在边AB AC ,上,且DM DN =时,BM NC MN ,,之间的数量关系式_________;此时Q L =__________ ⑵如图②,当点M N ,在边AB AC ,上,且DM DN ≠时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; ⑶如图③,当点M N ,分别在边AB CA ,的延长线上时,若AN x =,则Q =_________(用x L ,表示)五)、课后作业1、如图,在等边ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D,E处,请问(1)在爬行过程中,CD和BE 始终相等吗?(2)若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行,EB与CD交于点Q,其他条件不变,如图(2)所示,蜗牛爬行过程中CQE∠的大小条件不变,求证:︒CQE=∠60(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行,连接DE交AC于F”,其他条件不变,则爬行过程中,DF始终等于EF是否正确2、如图(1)△ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P边BC上,若这两点分别从C、B 点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C 运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗?请证明你的结论;(2)如果把原题中“动点D在边CA上,动点P 边BC上,”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”,其他条件不变,如图(2)所示,两点运动过程中∠BQP的大小保持不变.请你利用图(2)的情形,求证:∠BQP=60°;(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动,连接PD交BC 于E”,其他条件不变,如图(3),则动点D,P 在运动过程中,DE始终等于PE吗?写出证明过程.(图1)(图2)(图3)3.如图①,点A,E,F,C在一条直线上,AE=CF.过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,连接B,D交AC于点G,若AB=CD.(1)试说明BD平分EF.(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动到如图②所示位置时,其余条件不变,上述结论是否成立?试说明理由.4. 如图(1),中,,,垂足为D。