全等三角形动点问题

全等三角形动点问题

A B C E F 全等三角形动点问题

一）、知识回顾

动态几何题，是指以几何知识和几何

图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而

通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观

察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数

学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；

解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规

律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，

以静制动．

热身练习：

1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB

＝8，D 为底边AB 上一动点

（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足

分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ．

二）、例题辨析 例1、 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，

AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分

别在AC 、BC 边上运动，且始终保持

AD=CE ，连接DE 、DF 、EF.

（1）、求证：△ADF ≌△CEF.

（2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形.

（3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的

面积是否保持不变？试说明理由．

（4）、求△CDE面积的最大值．

例2如图，△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP 的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。

求EF长．

例2：在ABC

⊥交BA的延长线于点∆中，AB AC

=，CG BA

G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条

直角边交BC边于点D，过点D作DE BA

⊥于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并

写出DE DF

+与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)

例3、如图，在等边△ABC 中，

AB=9cm ，点P 从A B C

D E F

G

3

A

B C

E

F G 2

D A

B C

F G

1

点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟．

（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．

（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

三）、归纳总结

动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。

四）、拓展延伸

例1、 在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，D 为AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、 F.

1、当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图

1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．

2、当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，

不需证明．

例2、（2014•德州，第23题10分）问题背景： 如图1：在四边形ABC 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且

∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，

∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，

指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

例3、如图1，一等腰直角三角尺GEF（∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF）的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想FN，BM相等吗？并说明理由；

（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．