机械控制理论
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微分方程的阶数； ②每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态
变量的系数； ③根据状态方程和输出方程，确定加法器和比例器； ④用箭头将这些元件连接起来。
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
源自文库
3、状态空间表达式一般形式的系统方块图
①单输入------单输出系统
②多输入------多输出系统
①当 ②当
时，状态空间表达式中
时，
在这种情况下传递函数可写成
2、实现并非唯一的，
可以取无穷多种形式
3、若原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点
对消，系统矩阵 的元素取值不同，但其特征根是相同的。通常把 这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为最小实现。
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
对于 n 阶系统类似地有
对于“1”可见两者状态方程式相同，不同的是输出方程。因此，可根据传 递函数中系数写出状态空间表达式。
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§ 7-4状态空间表达式的建立（二）
若考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线形常系数微 分方程 相应的传递函数为
所谓实现问题，就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
注意：1、实现的存在条件是
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
输出方程一般为
其状态空间表达式的矢量矩阵形式为
式中 和 维系统矩阵
-----同单输入系统，分别为 维状态矢量和 -----为 维输入（或控制）矢量
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
-----为 维输出矢量
-----为
维输入（控制）矩阵
状态空间分析法（由状态变量构成 的一阶微分方程组）
输入---输出通过中间变量反映，反 映了系统的全部独立变量的变化， 即反映了全部内部状态
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§7-1 状态变量及状态空间表达式
一、定义 1、状态变量的定义：能够完全确定系统运动状态的最小个数的 一组独立变量 注：①、n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变 量；
式中
为n维状态矢量
为（
）维系统矩阵（反映了系统 内部状态的联系）
为（
）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者 控制矩阵（反映了输入对状态的作用）
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
为（ ）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系） 三、多输入--多输出的状态空间表达式（如具有r个输入，m个 输出）状态方程一般为
二、从系统的机理出发建立状态空间表达式 [例 7-2] 电网络如图所示，输出量为电流源，并指定以电容 和
上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
解：取电容 和 上的电压 和
及电感 和 中的电流
和 为状态变量。（四个独立储能元件，故有四个独立变量）
和得 代入4式得
由3式得，
代入5式得
由6式
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
从上式解出：
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§[例77--33]状态空间表达式的建立（一）
由即 由牛顿定律，对
为脱离体进行受力分析
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
6、状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。
7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性 如之例 取 和 为两个状态变量
令
和
则
即
由电路原理（在原状态方程中消去 i）
即
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。 一般地，从工程实际出发，把容易测量的量作为状态变量。
状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只有矩阵P是非奇异 的（满秩），那么也是状态矢量。
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
二、单输入---单输出定常系统状态空间表达式的一般形式
设状态变量为
，则状态方程的一般形式为：
输出方程式一般有： 写成向量矩阵形式的状态空间表达式为
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
相应地，系统传递函数为
实现一：为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，如 待实现的系统传递函数为
即
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
该式可分解为 令
则 即原传递函数
可分解为以下二式：
由〈1〉得，
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为
若令
写成矩阵形式
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
或
式中
(要适应矩阵表达方法) 写出状态方程的步骤： ①确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数） ②由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组 ③写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式
将
代入整理，即得
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
即
注 为输入指定 和 为输出
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
[例7-4] 试写出如图所示机械系统的状态空间表达式，
其中K为扭转轴的刚性系数（类似弹簧刚度） B为粘性阻尼系数 T为外扭矩 J为转动惯量
解：选择扭转轴的转角 为及其角速度 为为状态变量 令
4、举例
①画出
的模拟结构图。
②画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图
分析：微分方程为三阶，故有3个积分器 ⑴先画出3个积分器；
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
⑵将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为 ⑶其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数 为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器有4个分 支输入。 经过上述分析，不难画出： ③画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
– 解仿上例 – 第1步，先画出3个积分器； – 第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器； – 第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相
加； – 第4步，画出输出方程的关系。
对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。
机械控制理论
可由上面“1中没有输入系数项命题”求得状态方程及它的输入方程 由〈2〉式取拉氏反变换求输出方程
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
或表示为
其模拟结构图可仿上“1”，只是输出不同罢了。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
3、状态空间和状态轨迹
状态变量
为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。
为状态空间的一个初始点， 为状态空间中对
应t时刻的一个点。
当t由
时
在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
4、状态方程 由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 [例]建立如图所示R-L-C网络的状态方程。 解:当给定独立变量 和 的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定 ，故选 和 为状态变量 由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态 方程 即
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
由牛顿定律，得
即
从而有
而 指定
为输出，即
整理得：
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
[例7-5]
如图是直流他励电动机的示意图，写出该系统在电枢电压 作为 控制作用时的状态空间表达式。 解：流过电感回路的电流 和转体的角速度 为状态变量（转体有两个
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
例7-6 系统的输入输出微分方程为 写出其状态空间表达式。
传递函数标准形式 解：对比标准形式，故
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
故状态方程为
输出为 二、传递函数中有零点时的实现（即方程中包含输入函数的系数）
此时，系统的微分方程为
一、传递函数中没有零点时的实现（即没有输入系数项） 在这种情况下，系统的微分方程为
（7-22） 相应的传递函数为
（7-23） 将(7-22)移项，并两端同除以
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
令
则
输出方程为
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
表示成矩阵形式为
上述 A阵为友矩阵，即主对角线上方元素为1；最后一行元素可取任意 值；其余元素均为零。
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§7-3状态空间表达式的建立（一）
状态空间表达式建立的3种方式 – ①由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结； – ②由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得； – ③由系统运动的微分方程和传递函数。
一、由系统方块图建立状态空间表达式 ①该方法的关键是由方块图模拟结构图； ②取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的； ③根据实际连接写出状态方程和输出方程。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
5、输出方程
反映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，
若输出用Y表示，确定
作为输出，则输出方程为
或
写成矩阵形式 或
式中
(或
)
步骤： ①写入输出和状态变量的表达式 ②将该表达式写成矩阵形式
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
②、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的； ③、状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且t≥t0时输入 给定时，可完全确定系统在任何时刻t≥t0时的行为（因n个独立的 初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解） 2、状态矢量
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
由n个状态变量x1(t),x2(t)…xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即 或
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
即令： 从节点a、b、c, 按基尔霍夫电流定律列出电流方程
*注：
流经电容 的电流；
从三个回路l1、l2、l3 ，按基尔霍夫定律列出电压方程
流入节点为正； 流出节点为负。
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
由以上6式消去独立变量 由第2式得： 由第1式得：
独立的状态变量，另一个为转角）即
由电枢回路知
（ 为反电动势）
由动力系方程
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
由电磁感应关系 代入
关系，得到
若指定角速度 为输出，则 若指定电动机的转角 为输出，则需要增加状态变量 即
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
输出方程为
机械控制理论
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
例1、如图
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
从图可知 状态方程
输出方程
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为
对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
-----为
维输出矩阵
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
-----为 维直接传递矩阵 （输入直接传递到输出）
一般地（除特别说明），为简单起见，令 的直接传递作用。
，即不考虑输入矢量
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§7-2状态空间表达式的模拟结构图
一、状态空间表达式的系统方块图 1、什么是系统方块图及模拟结构图？ 以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。 用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。 2、状态空间表达式结构图的绘制步骤： ①确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或
机械控制理论
2020/11/18
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
经典控制理论和现代控制理论之间的区别
1.研究问题区别
经典控制理论
现代控制理论
线性定常系统
线性定常、非线性、时变系统
单输入—-单输出系统
多输入—-多输出系统
2.研究方法
传递函数（或者微分方程）
只研究输入---输出的关系，不 包含其他相互独立的中间变量 的信息（即不包含系统的所有 信息）
变量的系数； ③根据状态方程和输出方程，确定加法器和比例器； ④用箭头将这些元件连接起来。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
源自文库
3、状态空间表达式一般形式的系统方块图
①单输入------单输出系统
②多输入------多输出系统
①当 ②当
时，状态空间表达式中
时，
在这种情况下传递函数可写成
2、实现并非唯一的，
可以取无穷多种形式
3、若原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点
对消，系统矩阵 的元素取值不同，但其特征根是相同的。通常把 这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为最小实现。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
对于 n 阶系统类似地有
对于“1”可见两者状态方程式相同，不同的是输出方程。因此，可根据传 递函数中系数写出状态空间表达式。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§ 7-4状态空间表达式的建立（二）
若考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线形常系数微 分方程 相应的传递函数为
所谓实现问题，就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
注意：1、实现的存在条件是
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
输出方程一般为
其状态空间表达式的矢量矩阵形式为
式中 和 维系统矩阵
-----同单输入系统，分别为 维状态矢量和 -----为 维输入（或控制）矢量
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
-----为 维输出矢量
-----为
维输入（控制）矩阵
状态空间分析法（由状态变量构成 的一阶微分方程组）
输入---输出通过中间变量反映，反 映了系统的全部独立变量的变化， 即反映了全部内部状态
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§7-1 状态变量及状态空间表达式
一、定义 1、状态变量的定义：能够完全确定系统运动状态的最小个数的 一组独立变量 注：①、n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变 量；
式中
为n维状态矢量
为（
）维系统矩阵（反映了系统 内部状态的联系）
为（
）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者 控制矩阵（反映了输入对状态的作用）
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
为（ ）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系） 三、多输入--多输出的状态空间表达式（如具有r个输入，m个 输出）状态方程一般为
二、从系统的机理出发建立状态空间表达式 [例 7-2] 电网络如图所示，输出量为电流源，并指定以电容 和
上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
解：取电容 和 上的电压 和
及电感 和 中的电流
和 为状态变量。（四个独立储能元件，故有四个独立变量）
和得 代入4式得
由3式得，
代入5式得
由6式
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
从上式解出：
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§[例77--33]状态空间表达式的建立（一）
由即 由牛顿定律，对
为脱离体进行受力分析
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6、状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。
7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性 如之例 取 和 为两个状态变量
令
和
则
即
由电路原理（在原状态方程中消去 i）
即
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可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。 一般地，从工程实际出发，把容易测量的量作为状态变量。
状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只有矩阵P是非奇异 的（满秩），那么也是状态矢量。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
二、单输入---单输出定常系统状态空间表达式的一般形式
设状态变量为
，则状态方程的一般形式为：
输出方程式一般有： 写成向量矩阵形式的状态空间表达式为
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
相应地，系统传递函数为
实现一：为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，如 待实现的系统传递函数为
即
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
该式可分解为 令
则 即原传递函数
可分解为以下二式：
由〈1〉得，
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为
若令
写成矩阵形式
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
或
式中
(要适应矩阵表达方法) 写出状态方程的步骤： ①确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数） ②由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组 ③写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式
将
代入整理，即得
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
即
注 为输入指定 和 为输出
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
[例7-4] 试写出如图所示机械系统的状态空间表达式，
其中K为扭转轴的刚性系数（类似弹簧刚度） B为粘性阻尼系数 T为外扭矩 J为转动惯量
解：选择扭转轴的转角 为及其角速度 为为状态变量 令
4、举例
①画出
的模拟结构图。
②画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图
分析：微分方程为三阶，故有3个积分器 ⑴先画出3个积分器；
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
⑵将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为 ⑶其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数 为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器有4个分 支输入。 经过上述分析，不难画出： ③画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
– 解仿上例 – 第1步，先画出3个积分器； – 第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器； – 第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相
加； – 第4步，画出输出方程的关系。
对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。
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可由上面“1中没有输入系数项命题”求得状态方程及它的输入方程 由〈2〉式取拉氏反变换求输出方程
机械控制理论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
或表示为
其模拟结构图可仿上“1”，只是输出不同罢了。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
3、状态空间和状态轨迹
状态变量
为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。
为状态空间的一个初始点， 为状态空间中对
应t时刻的一个点。
当t由
时
在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。
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4、状态方程 由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 [例]建立如图所示R-L-C网络的状态方程。 解:当给定独立变量 和 的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定 ，故选 和 为状态变量 由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态 方程 即
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由牛顿定律，得
即
从而有
而 指定
为输出，即
整理得：
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[例7-5]
如图是直流他励电动机的示意图，写出该系统在电枢电压 作为 控制作用时的状态空间表达式。 解：流过电感回路的电流 和转体的角速度 为状态变量（转体有两个
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例7-6 系统的输入输出微分方程为 写出其状态空间表达式。
传递函数标准形式 解：对比标准形式，故
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故状态方程为
输出为 二、传递函数中有零点时的实现（即方程中包含输入函数的系数）
此时，系统的微分方程为
一、传递函数中没有零点时的实现（即没有输入系数项） 在这种情况下，系统的微分方程为
（7-22） 相应的传递函数为
（7-23） 将(7-22)移项，并两端同除以
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
令
则
输出方程为
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
表示成矩阵形式为
上述 A阵为友矩阵，即主对角线上方元素为1；最后一行元素可取任意 值；其余元素均为零。
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§7-3状态空间表达式的建立（一）
状态空间表达式建立的3种方式 – ①由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结； – ②由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得； – ③由系统运动的微分方程和传递函数。
一、由系统方块图建立状态空间表达式 ①该方法的关键是由方块图模拟结构图； ②取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的； ③根据实际连接写出状态方程和输出方程。
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5、输出方程
反映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，
若输出用Y表示，确定
作为输出，则输出方程为
或
写成矩阵形式 或
式中
(或
)
步骤： ①写入输出和状态变量的表达式 ②将该表达式写成矩阵形式
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②、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的； ③、状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且t≥t0时输入 给定时，可完全确定系统在任何时刻t≥t0时的行为（因n个独立的 初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解） 2、状态矢量
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由n个状态变量x1(t),x2(t)…xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即 或
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即令： 从节点a、b、c, 按基尔霍夫电流定律列出电流方程
*注：
流经电容 的电流；
从三个回路l1、l2、l3 ，按基尔霍夫定律列出电压方程
流入节点为正； 流出节点为负。
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
由以上6式消去独立变量 由第2式得： 由第1式得：
独立的状态变量，另一个为转角）即
由电枢回路知
（ 为反电动势）
由动力系方程
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由电磁感应关系 代入
关系，得到
若指定角速度 为输出，则 若指定电动机的转角 为输出，则需要增加状态变量 即
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输出方程为
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例1、如图
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从图可知 状态方程
输出方程
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写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为
对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
-----为
维输出矩阵
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-----为 维直接传递矩阵 （输入直接传递到输出）
一般地（除特别说明），为简单起见，令 的直接传递作用。
，即不考虑输入矢量
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§7-2状态空间表达式的模拟结构图
一、状态空间表达式的系统方块图 1、什么是系统方块图及模拟结构图？ 以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。 用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。 2、状态空间表达式结构图的绘制步骤： ①确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或
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2020/11/18
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第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
经典控制理论和现代控制理论之间的区别
1.研究问题区别
经典控制理论
现代控制理论
线性定常系统
线性定常、非线性、时变系统
单输入—-单输出系统
多输入—-多输出系统
2.研究方法
传递函数（或者微分方程）
只研究输入---输出的关系，不 包含其他相互独立的中间变量 的信息（即不包含系统的所有 信息）