数学建模复习题--西北农林科大学计算机系讲课稿

数学建模复习题--西北农林科大学计算机系10级计算机《数学模型》复习资料西北农林科大学计算机专业相信这些都是重点的东西，大家一定要认真复习，争取考好数模，祝大家考试顺利第一部分（简答题）1．叙述模型和数学模型的概念，并举例说明.（1）模型是指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

（2）对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型.2．写出数学建模过程流程图;数学建模过程流程图为：3．建立数学模型的基本步骤有哪些？1．模型准备(背景、目的、现象、数据、特征)2．模型假设(合理性、简化性.但过份简单、过份详细都不对,或反映不了原问题或无法表达模型,要充分发挥想象力、洞察力、判断力,不断修改或补充假设)3．模型构成(建立数学结构)4． 模型求解(包括推理、证明、数学地或数值地求解)5． 模型分析(数学意义分析、合理性分析、误差分析、灵敏性分析)6． 模型检验(接受实际检验、往往在假设上)7． 模型应用(取决于建模的目的)4．写出5个数学模型按照应用领域分类的模型名称.按模型的应用领域分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧再生资源利用模型水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型人口模型5．写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称.按建模的数学方法分类数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧规划论模型概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型初等数学模型6．写出5个数学模型按照建模目的分类的模型名称.按建模目的来分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧控制模型决策模型优化模型预报模型分析模型描述模型7. 长方形椅子摆放问题、人口问题（习题8）、习题9.{这些以小题形式出现}（1）椅子摆放问题认真看书，要知道模型的假设和模型。

（6-7页）（2）人口问题也要知道模型是怎么建的，两种模型，指数增长和阻滞增长（9-13页）（3）习题8和习题9的解答过程如下（考小题，这里大家要理解是如何做的）（23页）8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为)(t x ,单位时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.解：现考察某地区的人口数，记时刻t 的人口数为()t x （一般()t x 是很大的整数）,且设()t x 为连续可微函数.又设()00|x t x t ==.任给时刻t 及时间增量t ∆,因为单位时间内人口增长量与)(t x x m -成正比, 假设其比例系数为常数r .则t 到t t ∆+内人口的增量为：()()()t t x x r t x t t x m ∆-=-∆+)(.两边除以t ∆,并令0→∆t ,得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(x x x x r dt dx m 解为rt m m e x x x t x ---=)()(0如图实线所示，x当t 充分大时 m x 它与Logistic 模型相近 0x o t9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：（1） 某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n 支球队比赛呢？解：（1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标，第一天的行程)(t x 可用曲线（I ）表示 ，第二天的行程)(t x 可用曲线（I I ）表示，（I ）（I I ）是连续曲线必有交点),(000d t p ,两天都在0t 时刻经过0d 地点方法二：设想有两个人， 一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径,必定相遇早8 0t 晚5方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(t g ,并设山下旅店到山顶的距离为a (a >0).由题意知：,0)8(=f a f =)17(,a g =)8(,0)17(=g .令)()()(t g t f t h -=,则有0)8()8()8(<-=-=a g f h ，0)17()17()17(>=-=a g f h ，由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]17,8[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =.（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n 队需赛1-n 场，若k k n 221≤-π，则需赛k 轮.8．传染病模型、战争模型、房室模型、军备竞赛模型.注：这几个模型大家要能够理解模型是如何建立的要写得出相应的模型，一定要记得住写得出。

传染病模型（三个）见课本【136页（5）式，137页（9）式，139页（14）式】战争模型见课本【148页（1）式，149页（3）式150页（8）（9）式】 房室模型见课本【154页（3）式】军备竞赛模型见课本【181页（1）式，军备竞赛模型要能够计算它的平衡点所以181页（2）式-182页（3）（4）（5）式都要明白。

9．层次分析模型（写出层次结构图、层次分析步骤等）.这里给出两个例子：层次分析模型大家要能够根据题目的已知条件画出层次结构，【课本231页】几个基本步骤要知道，【课本235页】那些图作为参考大家要理解是怎么构造的。

（1）于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层（2）述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.10．循环比赛（由得分向量写出竞赛图或邻接矩阵、双向连通图、排名次等）.循环比赛虽然考小题，但是这里把练习答案附上，以便大家能更好更深刻理解，怎么样根据题画图写矩阵和排名次。

7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton 圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的. 32154→→→→13542→→→→42135→→→→ →→→41325→等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011110100000010110001010A 令()T e 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()T Ae S 3,2,1,2,21==， ()()()TAS S 5,4,2,3,412==， ()()()T AS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334== 由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.第二部分（大题）老师给出的重点大题，大家一定要能够做得出来，相信大题肯定在这部分中出做大题的时候，大家一定要仔细，如果不能完全把题做出来，你还记得的步骤或者是公式一定要写上去，不要留空。

差分方程看书【205页，207页】2．知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11k k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11k k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101φααx x x y y k k k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001φββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x k k k -+-=-++αβ ∴ Λ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-= ---------------（5） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（6） 从而2λ φ2，2λ在单位圆外．下面设8παβ，由(5)式可以算出22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1π，必须 2παβ．故0P 点稳定平衡条件为 2παβ．由于老师说了，差分方程模型是100%要考的，所以加多个题目，至于出什么大家自己去衡量。

（2.1）在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00φααx x y y k k --=- ----------------------（1） 0,)2(0101φββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得Λ,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβφ8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----=π -----------（5） 从而2λ φ2，2λ在单位圆外．下面设8παβ，由(5)式可以算出22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1π，必须 2παβ．故0P 点稳定平衡条件为 2παβ捕鱼模型在课本【77页】课后练习【201页】1，2题也要会做 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nx rx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h . （1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,并求此时渔场鱼量水平*0x .解：（1）.)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()(记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0π∆时，（1）无实根，此时无平衡点； ②当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrxr N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x φ∀ 及0x x π 均有04)1()(πrN N x rx x f --= ，即0πdt dx∴0x 不稳定；③ 当0φ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x π， 22Nx φ ∴0)('1φx f ， 0)('2πx f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x φ,且尽量接近2N ,但不能等于2N. 4.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNrx t x ln)(=& 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同.设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，又单位捕捞量为Ex h =.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x .解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又Θ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.rx erN⎪⎩⎪⎨⎧≠=-.0,0ln ..x Ex x N rx t s 由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 量纲分析模型也是100%要考的，大家一定要会做，还要看书【46页】 5.深水中的波速v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，试用量纲分析方法给出波速v 的表达式.Ex()x f解：设v ,λ,d ,ρ，g 的关系为),,,,(g d v f ρλ=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[λ]=LM 0T 0，[d ]=LM 0T 0，[ρ]=L -3MT 0， [g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲. ---------4分量纲矩阵为A=)()()()()()()()(200010100013111g d v T M L ρλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧===+-++02y - y -0 y 03y y 51454321y y y 的基本解为1=),21,0,0,21,1(-- 2=)0,0,1,1,0(-由量纲i P 定理 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==---2112121πλπλd g v∴g v λ=1π, )(21πϕπ=, λπd =2)(λϕλd g v =∴，其中ϕ是未定函数 .线性规划问题也是出题重点，一点要会做，相信会出大题的。