复变函数课后习题答案全
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
. .. .
. 资料.
习题一答案
1. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:
(1)1
32i
+(2)(1)(2)i i i --
(3)131i i i
--(4)821
4i i i -+-
解:(1)1323213i
z i -==
+, 因此:32
Re , Im 1313z z ==-,
(2)3(1)(2)1310
i i i
z i i i -+===
---, 因此,31
Re , Im 1010z z =-=,
(3)133335122
i i i
z i i i --=-=-+=
-, 因此,35
Re , Im 32z z ==-,
(4)821
41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re 1, Im 3z z =-=,
2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2
)1-+(3)(sin cos )r i θθ+
(4)(cos sin )r i θθ-(5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤
解:(1)2
cos
sin
2
2
i
i
i e π
π
π
=+=
(2
)1-+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
(3)(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
(4)(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
(5)2
1cos sin 2sin 2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+
..
..
3. 求下列各式的值: (1
)5)i -(2)100100(1)(1)i i ++-
(3
)(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+--(4)
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-
(5
6
解:(1
)5)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+- (2)100
100(1)
(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
(3
)(1)(cos sin )
(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--
(4)2
3
(cos5sin 5)(cos3sin 3)
i i ϕϕϕϕ+- (5
=
(6
)
=4.
设12 ,z z i =
=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解:1
2cos
sin
, 2[cos()sin()]4
466
z i z i π
π
ππ
=+=-+-,所以
12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212
i i ππππππ
=-+-=+,
5. 解下列方程: (1)5
()
1z i +=(2)440 (0)z a a +=>
解:(1
)z i +=由此
25
k i z i e
i π=-=-,(0,1,2,3,4)k =
(2
)z
==
.
.页脚
11
[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的
4
个根分别为:
), 1), 1), )i i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,z
x iy =+
z x y
≤≤+
证明:首先,显然有z x y =≤+;
其次,因2
22,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+
从而
z =≥
。
(2)对任意复数12,,z z 有2
2
2
1212122Re()z z z z z z +=++
证明:验证即可,首先左端2
21212()()x x y y =+++,
而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =
+++++-
2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++,
由此,左端=右端,即原式成立。 (3)若a bi +是实系数代数方程101100n
n n a z
a z a z a --++
++=
的一个根,那么a bi -也是它的一个根。
证明:方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,()n
n z z =,
由此得到:10110()
()0n
n n a z a z a z a --++
++=
由此说明:若z 为实系数代数方程的一个根,则z 也是。结论得证。 (4)若
1,a =则,b a ∀≠皆有
1a b
a ab
-=-
证明:根据已知条件,有1aa =,因此:
1
1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---,证毕。
(5)若1, 1a b <<,则有
11a b
ab
-<-