复变函数课后习题答案全

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. .. .

. 资料.

习题一答案

1. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:

(1)1

32i

+(2)(1)(2)i i i --

(3)131i i i

--(4)821

4i i i -+-

解:(1)1323213i

z i -==

+, 因此:32

Re , Im 1313z z ==-,

(2)3(1)(2)1310

i i i

z i i i -+===

---, 因此,31

Re , Im 1010z z =-=,

(3)133335122

i i i

z i i i --=-=-+=

-, 因此,35

Re , Im 32z z ==-,

(4)821

41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re 1, Im 3z z =-=,

2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2

)1-+(3)(sin cos )r i θθ+

(4)(cos sin )r i θθ-(5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解:(1)2

cos

sin

2

2

i

i

i e π

π

π

=+=

(2

)1-+23

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

(3)(sin cos )r i θθ+()2

[cos()sin()]22i

r i re

π

θππ

θθ-=-+-=

(4)(cos sin )r i θ

θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

(5)2

1cos sin 2sin 2sin cos 222

i i θ

θθ

θθ-+=+

..

..

3. 求下列各式的值: (1

)5)i -(2)100100(1)(1)i i ++-

(3

)(1)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+--(4)

23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-

(5

6

解:(1

)5)i -5[2(cos()sin())]66

i ππ

=-+- (2)100

100(1)

(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-

(3

)(1)(cos sin )

(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--

(4)2

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)

i i ϕϕϕϕ+- (5

=

(6

=4.

设12 ,z z i =

=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解:1

2cos

sin

, 2[cos()sin()]4

466

z i z i π

π

ππ

=+=-+-,所以

12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212

i i ππππππ

=-+-=+,

5. 解下列方程: (1)5

()

1z i +=(2)440 (0)z a a +=>

解:(1

)z i +=由此

25

k i z i e

i π=-=-,(0,1,2,3,4)k =

(2

)z

==

.

.页脚

11

[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的

4

个根分别为:

), 1), 1), )i i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,z

x iy =+

z x y

≤≤+

证明:首先,显然有z x y =≤+;

其次,因2

22,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+

从而

z =≥

(2)对任意复数12,,z z 有2

2

2

1212122Re()z z z z z z +=++

证明:验证即可,首先左端2

21212()()x x y y =+++,

而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =

+++++-

2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++,

由此,左端=右端,即原式成立。 (3)若a bi +是实系数代数方程101100n

n n a z

a z a z a --++

++=

的一个根,那么a bi -也是它的一个根。

证明:方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,()n

n z z =,

由此得到:10110()

()0n

n n a z a z a z a --++

++=

由此说明:若z 为实系数代数方程的一个根,则z 也是。结论得证。 (4)若

1,a =则,b a ∀≠皆有

1a b

a ab

-=-

证明:根据已知条件,有1aa =,因此:

1

1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---,证毕。

(5)若1, 1a b <<,则有

11a b

ab

-<-

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