随机环境中分枝过程模型的相关研究

马尔可夫过程研究方向

马尔可夫过程研究方向马尔可夫过程是研究得相当深入，而且还在蓬勃发展的随机过程。随着现代科学技术的发展，很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。马氏过程研究组目前从事的研究领域包括测度值过程、分枝过程、仿射过程、随机微分方程、迷向随机流、随机环境模型、随机金融模型等。这些模型来源于物理、生物、金融等学科，既有丰富优美的数学结构，又有广泛深刻的应用背景。马氏过程方向研究的目的是从理论上理解这些模型所描述的自然现象。马氏过程研究方向的学术带头人是王梓坤院士，他的研究组是国内该方向最早的研究集体之一。王梓坤1958年毕业于莫斯科(Moscow)大学数学力学系，获副博士学位。他的导师是著名数学家A.N.Kolmogorov教授和R.L.Dobrushin教授。王梓坤的毕业论文的研究课题是生灭过程的分类，他的工作后来对国内在该领域的研究产生了重要影响。1958年，王梓坤回国后在继续自己研究的同时，积极培育概率论和随机过程的研究队伍，并于1959年开始带研究生。他早期的学生包括施仁杰、杨向群、吴让泉、吴荣、刘文、李志阐等。 50至60年代，王梓坤在生灭过程研究中提出了极限过渡构造方法，以此解决了生灭过程的构造问题。他还将差分和递推方法应用于生灭过程的泛函和首达时分布的研究，得到了一系列结果。苏联数学家https://www.360docs.net/doc/4615727206.html,hkevich [Transaction 4th Prague Conference on Information Theory, Statistical Decision Function, Random Process. 1965] 写道：“Feller构造了生灭过程在轨道达到无穷以后的不同延拓…，而王梓坤用极限过渡法找出了生灭过程的所有延拓”。英国皇家学会会员D.G.Kendall在美国《数学评论》上对王梓坤的一篇论文评论道：“我认为，这篇文章除作者所提到的应用外，还有许多重要的应用。例如，在传染病研究中…，该问题是困难的，本文所提出的技巧值得认真研究”。在马氏过程方面，王梓坤证明某些马氏过程的常返性等价于其有限调和函数为常数，而0-1律等价于其有限过份函数为常数。 1962年，王梓坤翻译的前苏联数学家、后成为美国科学院院士的E.B.Dynkin的著作《马尔可夫过程论基础》由科学出版社出版。该书总结了当时苏联概率学派在马氏过程研究方面的最新成就，推动了我国在该领域的研究。1965年，科学出版社出版了王梓坤的著作《随机过程论》。该书是国内

随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛

第29卷第4期湖南文理学院学报(自然科学版) V ol. 29 No. 4 2017年12月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Science and Technology) Dec. 2017 doi : 10.3969/j.issn.1672–6146.2017.04.003 随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛张影1, 彭雪莲1, 王月娇2 (1. 长沙理工大学数学与计算科学学院, 湖南长沙, 410000; 2. 中南大学数学与统计学院, 湖南长沙, 410083) 摘要: 随机环境多型分枝过程(MBPRE)在描述类似于突变基因的出现及生存、分析排队论中队伍变化的波动现象等问题时, 比局限于用经典多型分枝过程处理方法能够得到更精确、更深刻的结论。通过整理MBPRE 的相关文献, 发现其发展现状可归纳为5个问题, 即灭绝问题、灭绝时间的渐近性、上临界极限问题、大数指数率及关于MBPRE 的拓展问题; 给出了一些作者对于某些问题研究的见解及疑问; 构造了一个经过正规化的随机环境多型分枝过程的鞅过程()m n W , 对其鞅性进行了证明, 讨论了()m n W 的极限问题。关键词: 随机环境; 多型分枝过程; 鞅中图分类号: O 211.65 文献标志码: A 文章编号: 1672–6146(2017)04–0008–04 Summary of research and a class of martingale convergence for multi-type branching process in random environments Zhang Ying 1, Peng Xuelian 1, Wang Yuejiao 2 (1. School of Mathematics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410000, China; 2. School of Mathematics and Statistics of CSU, Changsha 410083, China) Abstract: Multi-type branching process in random environments (MBPRE) about describing the occurrence and survival of mutant genes, analyzing the fluctuation of team changes in queuing theory, and so on, which can be more precise and deeper than the traditional multi-type branching process.Through the arranging of random environment multi-type branch of the related articles, and reunification of conclusion symbols, its development status is divided into the following five parts: extinction Problem: the extinction time asymptotic, the super critical limit problem, the large exponential rate and the expansion of problem about MBPRE, and some authors' opinions and questions about some problems are given. On this basis, the martingale process ()m n W of a regularized random environment is studied, and the martingale process is proved and discussing the limit of martingale ()m n W . Key words: random environment; multi-type branching process; martingale MBPRE 是经典多型分枝过程从确定环境[1]到随机环境的一种推广。具有p 型粒子的MBPRE: 令{},0,1,2,n n ζζ==L 为定义在概率空间(,,)Ω?P 独立同分布的随机变量序列, 取值于Θ, 其中Θ是R 的一个可数子集。用P N 来定义所有1 × p 向量的非负整数坐标, 令1{(,,):01,0,1,p i s s s s i ′===L ≤≤S ,}p L 。利用概率母函数来定义: θΘ∈,有相应的p 维列向量1(;)((;),,(;))p s s s θ?θ?θ′=L ?, 其中(;),i s ?θ 1,2,,i p =L 表示一个p 维概率母函数。1(;)(,,),i p p i i i N s p i s αα?θθα=∈= ∑∏ 12(,,,),p s αααα=∈L S 。其中通信作者: 张影, 1102573750@https://www.360docs.net/doc/4615727206.html, 。收稿日期: 2017–01–20 基金项目: 国家自然科学基金(11571052, 11171044); 湖南省研究生科研创新项目(CX2016B417)。