北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案(可编辑修改word版)
八年级数学下册 4 因式分解教案 北师大版(2021学年)
201７春八年级数学下册 4 因式分解教案 (新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2017春八年级数学下册 4 因式分解教案(新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2017春八年级数学下册４因式分解教案（新版)北师大版的全部内容。
第四章因式分解1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程，体会因式分解的意义,发展运算能力。
2.能用提公因式法和公式法分解因式．认识整式乘法与因式分解的关系,体会数学知识之间的相互联系.1。
进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及语言表达能力.2.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础。
学生已有的因数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础。
本章在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解？怎样进行因式分解?对于第二个问题,只学习提公因式法与公式法（平方差公式与完全平方公式)这两种方法。
本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义，发展学生的类比思想以及从特殊到一般的思考问题的方法,帮助学生体会数学知识之间的联系。
为此，教科书通过设计因数分解的例子让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化;通过类比因数分解体会因式分解的意义和因式分解的方法,体会数学知识之间的相互联系;通过经历借助拼图解释整式变形的过程，体会几何直观的作用；通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程,学习因式分解的方法,提高学生对知识间联系的认识.具体地,本章设计了3节内容．第1节“因式分解”,先利用９93—9９的例子突出与因数分解的类比,体会因式分解的必要性,然后用几何图形的拼图解释因式分解,在了解因式分解概念的基础上,体会因式分解与整式乘法的关系。
(完整版)北师大版八年级数学下册4.1因式分解教案
《因式分解》教学设计因式分解是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第四章第一节内容，本章主要是研究代数式的因式分解的方法和应用；本节要求使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.。
所以本节的重点是理解因式分解的意义.识别分解因式与整式乘法的关系。
【知识与能力目标】使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.【过程与方法目标】通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力. 【情感态度价值观目标】通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.【教学重点】1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.【教学难点】通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.Ⅱ.讲授新课1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.［生］993－99能被100整除.因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.［师］993－99还能被哪些正整数整除？［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）3.做一做（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;⑤a（a+1）（a－1）=__________.［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;②（y－3）2=y2－6y+9;③3x（x－1）=3x2－3x;④m（a+b+c）=ma+mb+mc;⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.（2）根据上面的算式填空：①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2.⑤a3－a=（）（）.［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：①3x2－3x=3x（x－1）;②m2－16=（m+4）（m－4）;③ma+mb+mc=m（a+b+c）;④y2－6y+9=（y－3）2;⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.4.想一想由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a －1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mc m（a+b+c）.所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题投影片（§4.1 A）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.而不是因式分解；（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；（4）是因式分解.［师］大家认可吗？［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x－3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.Ⅲ.课堂练习连一连解：Ⅳ.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.Ⅴ.课后作业习题4.11.连一连解：2.解：（2）、（3）是分解因式.3.因19992+1999=1999（1999+1）=1999×2000，所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除.（2）因为16.9×81+15.1×81=81×（16.9+15.1） =81×32=4 所以16.9×81 +15.1×81能被4整除.4.解：当R 1=19.2,R 2=32.4,R 3=35.4,I=2.5时， IR 1+IR 2+IR 3 =I （R 1+R 2+R 3） =2.5×（19.2+32.4+35.4） =2.5×87 =217.5 Ⅵ.活动与探究 已知a=2,b=3,c=5.求代数式a （a+b －c ）+b （a+b －c ）+c （c －a －b ）的值. 解：当a=2,b=3,c=5时，a （a+b －c ）+b （a+b －c ）+c （c －a －b ） =a （a+b －c ）+b （a+b －c ）－c （a+b －c ） =（a+b －c ）（a+b －c ） =（2+3－5）2=0 ●板书设计§4.1 分解因式一、1.讨论993－99能被100整除吗？ 2.议一议 3.做一做4.想一想（讨论整式乘法与分解因式的联系与区别）5.例题讲解二、课堂练习三、课时小结四、课后作业◆教学反思略。
初中八年级数学下册第四章因式分解教案新版北师大版
初中八年级数学下册第三章图形的平移与旋转教案1 因式分解一、教学目标1.知识与技能（1）理解因式分解的概念；（2）掌握从整式乘法得出因式分解的方法．2.过程与方法让学生经历从整式乘法得出因式分解的过程，向学生渗透对比、类比的数学思想方法．3.情感态度及价值观（1）培养学生积极参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯；（2）体会事物之间互相转化的思想，从而初步接受对立统一观点．二、教学重点、难点重点：因式分解的概念．难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题．三、教具准备课件.四、教学过程（一）设置问题，以趣激情手工课上，老师给小王同学发下一张如图1-1（1）形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成图1-1（2）形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助小王同学解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？（1）（2）图1-1（留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望．设置悬念，无疑对整节的学习也创设了良好的情绪状态．）（二）以旧探新，引出课题因式分解的概念类同于因数分解的概念，借助于学生已有的整式乘法的基础，给学生提供一些问题背景，同时给学生留有充分探索的空间．这个环节围绕几个问题展开，在积极的状态下，用类比的方法，找到新知生长点，把数的有关知识正迁移到式，由学生自己给出因式分解的名称，引出课题，显得顺理成章．再看下面两个式子：x （x +1）=2x +x （1）2x +x= x （x +1） （2）同时设疑，既然我们学习了整式乘法，几个整式乘积可以写成一个多项式（1）的形式，那么反过来，一个多项式化为几个整式乘积的形式又叫什么呢？即上面的（2）式．我们给它起个名字，叫做因式分解，也就是我们今天所要学习的内容（板书课题）．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．（三）初步应用，巩固新知趁此时学生处在一个积极思维的状态，教师给出两个练习．1.下列代数式的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）2m （m －n ）=2m 2－2mn ；（2）4x 2－4x+1=（2x －1）2；（3）x 2－3x+1=x （x －3）+1.2.填空：（1）∵3a（a+4）=3a 2+12a ，∴3a 2+12a=（ ）（ ）；（2）∵（a+3）2=a 2+6a+9，∴a 2+6a+9=（ ）（ ）；（3）∵（2－a ）（2+a ）=4－a 2，∴4－a 2=（ ）（ ）.通过此练习，引导学生归纳自己对因式分解的理解，师生归纳要注意的问题：（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果仍是整式；（3）因式分解的结果是几个整式的积的形式；（4）因式分解与整式乘法正好相反．因式分解与整式乘法的关系如下：2(1)x x x x −−−−→++←−−−−因式分解整式乘法.即因式分解和整式乘法是互为相反方向的式子变形．（四）课堂小结谈谈你这节课有什么收获.（五）教学反思2 提公因式法一、教学目标1.知识与技能（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；（2）会用提取公因式法进行因式分解．2.过程与方法（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．3.情感态度及价值观：进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度．二、教学重点、难点重点：能观察出多项式的公因式，根据分配律把公因式提出来．难点：（1）正确识别多项式的公因式；（2）整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理．三、教具准备课件.四、教学过程（一）算一算计算： 2976971397⨯+⨯-⨯.师：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？（二）想一想多项式ab+ac 中，各项有相同的因式吗？多项式x 2+4x 呢？多项式mb 2+nb –b 呢？ 结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．（三）议一议多项式2x 2y +6x 3y 2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．（四）试一试将下列多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac ； （2）x 2+4x ； （3）mb 2+nb –b .如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（五）做一做1.将下列多项式进行分解因式：（1）3x+6；（2）7x2–21x；（3）8a3b2–12ab3c+ab；（4）–24x3–12x2+28x.学生归纳：提取公因式的步骤：（1）找公因式；（2）提公因式．2.因式分解：a（x–3）+2b（x–3）.引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x-3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x-3），并能顺利地进行因式分解．3.在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立．（1）2–a=______（a–2）；（2）y–x=______（x–y）；（3）b+a=______（a+b）；（4）（b–a）2=______（a–b）2；（5）–m–n=______（m+n）；（6）–s2+t2=______（s2–t2）.注意事项：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．4.将下列各式因式分解：（1）a（x–y）+b（y–x）；（2）3（m–n）3–6（n–m）2.进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．（六）拓展思考把（a＋b－c）（a－b＋c）＋（b－a＋c）（b－a－c）分解因式．通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．注意事项：通过讨论，学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式（a－b＋c）．（七）反馈练习1.将下列多项式进行分解因式：（1）8x–72；（2）4m3–8m2；（3）a2b–2ab2+ab；（4）–48mn–24m2n3；2.把下列各式因式分解：（1）x（a+b）+y（a+b）；（2）3a（x–y）–（x–y）；（3）2（y–x）2+3（x–y）；（4）mn（m–n）–m（n–m）2.（八）课堂小结谈谈这节课的收获.（九）教学反思.3．公式法第1课时一、教学目标1．知识与技能（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解. 2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的互逆、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感态度及价值观在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.二、教学重点、难点重点：用平方差公式进行因式分解.难点：揭示平方差公式的结构特征和平法差公式的灵活运用.三、教具准备课件.四、教学过程填空：（1）（x+5）（x–5） = ；（2）（3x+y）（3x–y）= ；（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一（二）探究新知1.多媒体出示，让学生观察、讨论，得出结论.结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法. 活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法.注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可.2.找特征：))((22b a b a b a -+=-.(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成两个数的平方差的形式.(2)公式右边:（是分解因式的结果）.★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.3.试一试（多媒体出示）下列多项式能转化成两个数的平方差的形式吗？如果能，请将其转化成两个数的平方差的形式.（1）m 2-81；（2）1-16b 2；（3）4m 2+9；（4）a 2x 2-25y 2；（5）-x 2-25y 2. .____________________49_;____________________9__;____________________2522222=-=-=-n m y x x让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习.注意事项：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论.同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释.（三）范例讲解例1 把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 ； （2）9a 2–241b .教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例.注意事项: 使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”．（四）练习1.判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ). ( )（2）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) . ( )（3）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ). ( )（4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) . ( )2.把下列各式因式分解：（1）-9+4x 2；（3）0.25q 2-121p 2； （4）p 4-1.通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．（五）能力提升1.把下列各式因式分解：； ； .2.简便计算：22241)2(z y x -2)2(254)1(n m --22)()(9)2(n m n m --+2394)3(xy x -（六）课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；（七）教学反思探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：（1）本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.（2）有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．（3）保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练.第2课时一、教学目标1．知识与技能（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.3．情感态度及价值观培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.二、教学重点、难点重点：用完全平方公式进行因式分解.难点：揭示完全平方公式的结构特征和选用合适的方法进行因式分解.三、教具准备课件.四、教学过程（一）复习回顾回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．（二）学习新知总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如222b ab a +±的多项式称为完全平方式． 注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.（三）落实基础1．判断下列各式是不是完全平方式．22222222(1)(2)2(3)2x y x xy y x xy y +++-+；；；2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央； 完全平方式可以进行因式分解：a 2–2ab +b 2=（a –b ）2 ；a 2+2ab +b 2=（a+b ）2.加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式作铺垫．（四） 范例讲解例1把下列各式因式分解：； . 教师引导，师生共同完成.让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．例2 把下列各式因式分解：； . 对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.（五） 随堂练习1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a 、b 各表示什么？()()()()()22222222421_____249______3_____414_____452_____x y a b x y a b x x y ++++-+++++；；；；．229124)2(b ab a +-4914)1(2++x x 9)(6))(3(2++-+n m n m 22)())(2(2)2)(4(n m n m m n n m +++---xyy x 44)2(22+--22363)1(ay axy ax ++22222(1)69(2)14(3)24(4)441(5)14x x a x x x x m m -++-++-+-；；；；；112.把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2； （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4；(3）–2xy –x 2–y 2 ； （4）4–12（x –y ）+9（x –y )2.3.用简便方法计算：222003200340102005+⨯-4.一天,小明在纸上写了一个算式为4x 2 +8x+11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”（六）课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？学生认识到了以下事实：（七）教学反思本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号.把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止.运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高.本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力.同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的.。
北师大初中八年级数学下册《第四章因式分解》教案
北师大初中八年级数学下册第四章因式分解分解因式教学目标1．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。
2．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
3．感受整式乘法在解决问题中的作用。
教学重难点探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。
教学过程1.创设情景，导出问题（1）读一读：首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示（演示章头图）.章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。
（2）想一想：993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？今天我们大家一起来研究一下这个问题。
2.探索交流，概括概念想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
小时是这样做的（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？（2）993-99还能被哪些正整数整除。
归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。
议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。
做一做：计算下列各式：（1）（m+4）（m-4）= ;（2）（y-3）2= ；（3）3x（x-1）= ；（4）m（a+b+c）=.根据上面的算式填空：（1）3x2-3x=（）（）（2）m2-16=（）（）（3）ma+mb+mc=（）（）（4）y2-6y+9=（）（）请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？答案：第一组：（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；第二组：（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。
第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。
新北师大版八年级下册第四章教案因式分解
教学目标认知目标： （1）理解因式分解的概念和意义 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
教学重点：1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系. 教学难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.教学过程1、你能用几种不同的方法计算1002－992，哪种方法最简单？请与你的同伴交流。
1002－992 =（100+99）（100－99） =199×1 =1992、你能尝试把a 2－b 2写成整式的积的形式吗？(a +b )(a －b )=a 2－b 2 a 2－b 2=(a +b )(a －b )(a +b )2=a 2+2ab +b 2 a 2+2ab +b 2=(a +b )2m (a +b )=am +bm am +bm =m (a +b )3、定义（板书）：一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
要点：1．变形对象：多项式2．由和的形式变成积的形式3．几个整式的积4、因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法是互逆过程5、下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？(1)22)12(144-=+-x x x (2)1)3(132+-=+-x x x x (3))1(12xx x x +=+ (4) )1(2+=+a a a a （5）()9)3(32-=-+a a a 6、填空（1）∵3a (a +4) =3a 2+12a ∴3a 2+12a = ( )( );（2）∵(a +3)2=a 2+6a +9 ∴a 2+6a +9 = ( )( );（3）∵(2－a )(2+a ) = 4－a 2 ∴4－a 2 =( )( );7、例：检验下列因式分解是否正确：（1）x2y－xy2=xy(x－y) （2）x2+3x+2=(x+1)(x－1)（3）2x2－1=(2x+1)(2x－1) （4）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）．8、智力抢答(1)1012－992= (2)872+87×13= (3)512－2×51+1=课堂小结你知道因式分解的定义吗?你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗你知道因式分解与整式的乘法的关系吗?你会验证因式分解是否正确吗?你会利用因式分解快速解决某些问题吗?作业布置：课后反思：4.2 提公因式法【教学目标】认知目标：⑴在具体情境中认识公因式⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
8年级数学北师大版下册教案第4章《因 式 分 解》
教学设计因式分解1 课标分析一、内容标准：课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法进行因式分解。
整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
对于本节，在内容标准上没有具体的要求。
二、数学思想方法,核心概念：教材从因数分解的例子入手，让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化，发展从特殊到一般的思考问题的方法；通过类比数的分解体会因式分解的意义，体会数学知识之间的相互联系，发展学生的类比思想；经历借助拼图解释整式变形的过程，帮助学生从几何的角度理解代数，渗透数形结合思想，体会几何直观的作用；给出因式分解的概念后，再由一般回归特殊，设计一组特例，通过对整式乘法运算与因式分解的对比，充分感受两者之间互为逆过程的关系，发展学生的逆向思维，进一步体会数学知识间的联系；为体会因式分解的意义，在应用环节，借助因式分解将问题转化，简便运算，渗透转化、最优化思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的运算能力、几何直观、应用意识。
2 教材分析一、教材地位：本节是北师版八年级下册第四章因式分解第一节内容。
属于“数与代数”领域中（一）数与式中的“整式与分式”。
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。
它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。
它是在继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。
这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。
通过本节课的学习，不仅使学生了解因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。
因此，它起到了承上启下的作用。
二、重点、难点分析：了解因式分解的意义及其本质属性是学习整章因式分解的关键，由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。
在七年级整式乘法的较长时间的学习，学生容易造成思维定势，产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。
新北师大版八年级下册第四章教案因式分解
4.1因式分解教学目标认知目标： (1)理解因式分解的槪念和意义上 (2)认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
能力目标:由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能, 深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态 度。
教学重点：1. 理解因式分解的意义.2. 识別分解因式与整式乘法的关系.教学难点・：通过观察,归纳分解因式与整式乘法的关系.教学过程3、你能用几种不同的方法计算100 2-992,哪种方法最简单？请与你的同伴交流。
100'-9 92 = ( 1 00+99) ( 1 00-99) =1 9 9x 1 =1992、 你能尝试把0—方2写成整式的积的形式吗？(a+b) (a —b)=a 2-b 2 a 2-b 2=( a +b)( a -/?)(u+b) = 52+2 a b+h 2 u 2+2ub+h s =(a+ b ) 2m( a+b) =um+ bm a m+ bm=m(u+ b )3、 定义(板书):一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把 这一过程叫做分解因式。
要点：1•变形对象：多项式.2•由和的形式变成积的形式.3•几个整式的积4、 因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆过程 5、 下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？7、例:检验下列因式分解是否正确：(1)灼・ xy = x y(x-y) ( 2 Wrh 2=( x+1) (x-1)(3) 2r-l= (2x+l)(2x- 1 ) (4)/一1= (/尸一 1 = (/+ i )(沖一1)・ 8、智力抢答(1) 4X 2-4X + 1 = (2X -1)2(2) -3x + l = x(x-3) + l (3) X" +1 = x(^x 4—) X6、填空、(1 ) •••3也+4) =3u 2+12 a(2) T (“+ 3 a 24- 6 u+ 9 (3) V(2-a) (2+a) =4-a 2 (4) cr + a = u(u + \) 3“ +12a =(/. u' +6"+9 =(/.4—t/2 =( )( (5) (G + 3X G -3) =(F -9 )( ); )( ); ):你知道因式分解的定义吗？你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗 你知道因式分解与整式的乘法的关系吗？ 你会验证因式分解是否正确吗？ 你会利用因式分解快速解决某些问题吗?作业布置：课后反思：4.2 提公因式法【教学目标】认知目标:⑴在具体情境中认识公因式⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式能力目标：(1) 1 0 12.992=课堂小结 (2)8 7 +7x1 3 = (3)512-2x5 1 +1 =（1）树立学生“化零为整"、“化归“的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
八年级下册数学(北师版)整章教案：第四章 因式分解
八年级数学·下新课标[北师]第四章因式分解1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程,体会因式分解的意义,发展运算能力.2.能用提公因式法和公式法分解因式.认识整式乘法与因式分解的关系,体会数学知识之间的相互联系.1.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及语言表达能力.2.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.因式分解是整式的一种重要的恒等变形,它和整式乘法运算有着密切的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础.学生已有的因数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础.本章在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解?怎样进行因式分解?对于第二个问题,只学习提公因式法与公式法(平方差公式与完全平方公式)这两种方法.本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义,发展学生的类比思想以及从特殊到一般的思考问题的方法,帮助学生体会数学知识之间的联系.为此,教科书通过设计因数分解的例子让学生体会因数分解的必要性,继而用字母表示数体现一般化;通过类比因数分解体会因式分解的意义和因式分解的方法,体会数学知识之间的相互联系;通过经历借助拼图解释整式变形的过程,体会几何直观的作用;通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程,学习因式分解的方法,提高学生对知识间联系的认识.具体地,本章设计了3节内容.第1节“因式分解”,先利用993-99的例子突出与因数分解的类比,体会因式分解的必要性,然后用几何图形的拼图解释因式分解,在了解因式分解概念的基础上,体会因式分解与整式乘法的关系.第2节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则.对于学生来说,难点是怎样在多项式的各项中发现公因式,为此,教科书让学生从简单的多项式ab+bc的各项中发现相同因式入手,由浅入深地体会如何寻找公因式,并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项,形成基本技能.第3节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特点.学生初学时的一个难点是如何根据一个多项式的形式与特点选择运用恰当的公式.为此,教科书将这两个公式编成两课时,分开教学.需要说明的是,根据《标准》的要求,本章教科书介绍了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式).教学中应把握好这一要求,不要刻意提高要求、增加难度,另外,教科书通过设置恰当的、有一定梯度的题目,关注了学生知识技能的掌握和不同层次学生的需求.【重点】1.探索分解因式的方法.2.会用提公因式法把多项式分解因式.3.会用公式法把多项式分解因式.【难点】1.因式分解的概念的理解.2.确定多项式的公因式.3.确定合适的方法分解因式.1.要引导学生多角度理解因式分解的意义.(1)类比因数分解理解因式分解.通过类比数式993-99的分解过程,帮助学生认识多项式a3-a的分解.(2)通过拼图帮助理解因式分解.通过拼图前后图形的面积不变,可以形象地解释多项式x2+2x+1变形为(x+1)2的合理性,以直观形象的方式,促进学生对因式分解的理解.教师要引导学生用自己的语言说明变形过程.(3)对比整式乘法加深理解因式分解.通过对整式乘法运算与因式分解的对比,充分感受两者之间互为逆过程的关系.2.要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.对于因式分解概念的教学,要让学生通过观察、对比整式乘法运算与因式分解,归纳概括出整式乘法运算与因式分解互为逆过程的关系.在学生经历探索因式分解方法的过程中,更要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.探索因式分解的方法,事实上是对整式乘法运算的再认识.在教学中,教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富的问题情境,留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出因式分解的方法.3.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯.因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系.在因式分解概念的教学中,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的过程中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法分解因式与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系,领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”,从而培养学生的逆向思维.4.保证基本的运算技能,避免复杂的题型训练.运用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标.由于因式分解在后面学习分式、解一元二次方程等内容中还可以继续巩固,因此教学中要依据教科书的要求,适当地分阶段进行必要的训练,使学生在具备基本运算技能的同时,能够明白每一步的算理.教学中要避免过于烦琐的运算,不要过分追求题目的数量和难度.另外,本章只要求在有理数范围内因式分解,教学要遵循《标准》和教科书的要求.1因式分解1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.1.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.2.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力.培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【重点】因式分解的概念.【难点】理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关整式乘法的知识.导入一:【问题】简便运算.(1)736×95+736×5;(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.[设计意图]观察实例,分析两个问题的共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础.导入二:【问题】(1)993-99能被99整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.因为993-99=99×992-99×1=99(992-1),所以993-99能被99整除.(2)993-99能被100整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.小明是这样做的:993-99=99×992-99×1=99(992-1)=99×9800=99×98×100,所以993-99能被100整除.[设计意图]以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点.一、因式分解的概念a3-a=a·a2-a·1=a·(a2-1)=a·(a+1)(a-1)=(a-1)·a·(a+1).(1)你能理解吗?你能与同伴交流每一步是怎么变形的吗?(2)这样变形是为了达到什么样的目的?像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.[设计意图]从知识性的问题过渡到思考性的问题,巧妙设问:“如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-1)·a·(a+1),这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识.解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2+2x+1=(x+1)2.像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.[设计意图]以拼图前后面积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都应给予鼓励.要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要适当引导.(1)3x(x-1)=;(2)m(a+b-1)=;(3)(m+4)(m-4)=;(4)(y-3)2=.根据上面的算式进行因式分解:(1)3x2-3x=()();(2)ma+mb-m=()();(3)m2-16=()();(4)y2-6y+9=()().思考:因式分解与整式乘法有什么关系?举例说明.[设计意图]通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维.[知识拓展]对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆过程.3.因式分解要注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()A.x2-x-2=x(x-1)-2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x2-=解析:主要考查因式分解的概念.故选C.2.下列各式因式分解正确的是()A.a+b=b+aB.4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1C.a(a-b)=a2-abD.a2-2ab+2a=a(a-2b+2)解析:主要考查因式分解的概念.故选D.3.把一个多项式化成的形式,这种变形叫做因式分解.答案:几个整式的积4.因式分解与整式乘法的关系是.答案:互为逆过程5.计算×13-×6+×2的结果是.解析:利用因式分解可以简化计算.原式=×(13-6+2)=×9=7.故填7.1因式分解一、因式分解的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第93页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第94页习题4.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.(柳州中考)下列式子是因式分解的是()A.x(x-1)=x2-1B.x2-x=x(x+1)C.x2+x=x(x+1)D.x2-x=(x+1)(x-1)2.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6xB.(x+5)(x-2)=x2+3x-10C.x2-8x+16=(x-4)2D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)3.观察下面计算962×95+962×5的过程,其中最简单的方法是()A.962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200B.962×95+962×5=962×5×(19+1)=962×(5×20)=96200C.962×95+962×5=5×(962×19+962)=5×(18278+962)=96200D.962×95+962×5=91390+4810=96200【能力提升】4.计算(1)~(3)题,并根据计算结果将(4)~(6)题进行因式分解.(1)(x-2)(x-1)=;(2)3x(x-2)=;(3)(x-2)2=;(4)3x2-6x=()();(5)x2-4x+4=()();(6)x2-3x+2=()().【拓展探究】5.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由.(1)a(x+y)=ax+ay;(2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1);(3)ax2-9a=a(x+3)(x-3);(4)x2+2+=;(5)2a3=2a·a·a.【答案与解析】1.C(解析:因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,对各选项分析判断后利用排除法求解.故选C.)2.C(解析:根据因式分解的概念可知只有C是因式分解.故选C.)3.A(解析:利用因式分解进行计算比较简单.故选A.)4.(1)x2-3x+2(2)3x2-6x (3)x2-4x+4(4)3x x-2(5)x-2x-2(6)x-2x-1(解析:利用因式分解与整式乘法互为逆过程解答.)5.解:因为(1)(2)的右边都不是整式的积的形式,所以它们不是因式分解;(4)中,都不是整式,所以不是因式分解;(5)中的2a3不是多项式,所以它也不是因式分解.只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以(3)是因式分解.本节课以学生的思维进程发展为主线,采用逐步渗透和类比的思想方法.在概念引入时从因数分解与因式分解的类比,到概念强化阶段整式乘法与因式分解的过程的类比,再到等式恒等变形与因式分解的类比,逐渐加深学生的认识.主要体现在从一开始以一连串的知识性问题引入,到后来教学环节中多次提出思考性的问题,启发、引导学生做进一步的猜想、探究,这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识.本课的设计过多强调学生用高度抽象的语言来描述概念.在例题的讲解过程中,没有让学生尝试自己独立完成.注意引导学生从几何的角度理解因式分解.最好将因式分解的方法也一起适当地融入到本节课的教学内容中.随堂练习(教材第93页)1.解:2.解:(2)(4)是因式分解.因为(2)(4)满足因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式.习题4.1(教材第94页)1.解:2.解:(2)(3)是因式分解.3.解:原式=I(R1+R2+R3)=2.5×(24.2+36.4+39.4)=250.故代数式的值为250.4.解:如右图所示.x2+x+2x+2=x2+3x+2=(x+2)·(x+1).5.解:(1)原式=1999×(1999+1)=1999×2000,所以19992+1999能被1999整除,也能被2000整除. (2)原式=×(16.9+15.1)=4,故16.9×+15.1×能被4整除.学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算,并且学习了整式的乘法运算,因此对于因式分解的引入,学生不会感到陌生,它为今天学习因式分解打下了良好基础.由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对于八年级学生来说还比较生疏,接受起来还有一定的困难,另外本节还没有涉及因式分解的具体方法,所以对于学生来说,寻求因式分解的方法是一个难点.已知a=2,b=3,c=5.求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.解:当a=2,b=3,c=5时,a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)=a(a+b-c)+b(a+b-c)-c(a+b-c)=(a+b-c)(a+b-c)=(a+b-c)2=(2+3-5)2=0.2提公因式法经历探索求多项式各项公因式的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,积累确定公因式的初步经验.自主探索,合作交流,先学后教,当堂训练.进一步了解分解因式的意义,加强学生的逆向思维,并逐渐渗透化归的思想方法.【重点】用提公因式法分解因式.【难点】确定多项式各项的公因式.第课时1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.自主探索,合作交流.1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.2.通过对因式分解的教学,培养学生“换元”的意识.【重点】因式分解的概念及提公因式法的应用.【难点】正确找出多项式中各项的公因式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关乘法分配律的知识.导入一:【问题】一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.解法1:这块场地的面积=×+×+×=++==2.解法2:这块场地的面积=×+×+×=×=×4=2.从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是将多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.[设计意图]让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.导入二:【问题】计算×15-×9+×2采用什么方法?依据是什么?解法1:原式=-+==5.解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是把多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.[设计意图]让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.一、提公因式法分解因式的概念如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为,,,宽都是,那么这块场地的面积为ma+mb+mc或m(a+b+c),可以用等号来连接,即:ma+mb+mc=m(a+b+c).大家注意观察这个等式,等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么特点?分析:等式左边的每一项都含有因式m,等式右边是m与多项式a+b+c的乘积,从左边到右边的过程是因式分解.由于m是左边多项式ma+mb+mc中的各项ma,mb,mc都含有的一个相同因式,因此m叫做这个多项式各项的公因式.由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与多项式a+b+c的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc的各项中提出后形成的多项式a+b+c,作为多项式ma+mb+mc的另一个因式.总结:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.[设计意图]通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.多项式+中,各项都含有相同的因式吗?多项式 32+呢?多项式2+-呢?结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?结论:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.[设计意图]从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生尝试将多项式分解因式,使学生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.(教材例1)把下列各式因式分解:(1)3x+x3;(2)7x3-21x2;(3)8a3b2-12ab3c+ab;(4)-24x3+12x2-28x.〔解析〕首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.要避免提取公因式后,各项中还有公因式,即“没提彻底”的现象.解:(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2).(2)7x3-21x2=7x2·x-7x2·3=7x2(x-3).(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1).(4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)=-4x(6x2-3x+7).【学生活动】通过刚才的练习,大家互相交流,总结出提取公因式的一般步骤和容易出现的问题.总结:提取公因式的步骤:(1)找公因式;(2)提公因式.容易出现的问题(以本题为例):(1)第(2)题中只提出7x作为公因式;(2)第(3)题中最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)题提出“-”号时,没有把后面的因式中的每一项都变号.教师提醒:(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;(3)若多项式的首项为“-”,则先提取“-”号,然后再提取其他公因式;(4)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算,其积应与原式相等.[设计意图]经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及提取公因式时容易出现的类似问题,为提取公因式积累经验.1.提公因式法分解因式的一般形式,如:ma+mb+mc=m(a+b+c).这里的字母a,b,c,m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤:(1)若各项系数是整系数,则取系数的最大公约数;(2)取各项中相同的字母,字母的指数取最低的;(3)所有这些因式的乘积即为公因式.1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是()A.-6ab2cB.-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c解析:根据确定多项式各项的公因式的方法,可知公因式为-6ab2.故选C.2.下列用提公因式法分解因式正确的是()A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),错误;B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2),错误;D.x2y+5xy-y=y(x2+5x-1),错误.故选C.3.下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是()A.15a2b-20a2b2B.30a2b3-15ab4-10a3b2C.10a2b-20a2b3+50a4bD.5a2b4-10a3b3+15a4b2解析:B.应提取公因式5ab2,错误;C.应提取公因式10a2b,错误;D.应提取公因式5a2b2,错误.故选A.4.填空.(1)5a3+4a2b-12abc=a();(2)多项式32p2q3-8pq4m的公因式是;(3)3a2-6ab+a=(3a-6b+1);(4)因式分解:km+kn=;(5)-15a2+5a=(3a-1);(6)计算:21×3.14-31×3.14=.答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3(3)a (4)k(m+n)(5)-5a (6)-31.45.用提公因式法分解因式.(1)8ab2-16a3b3;(2)-15xy-5x2;(3)a3b3+a2b2-ab;(4)-3a3m-6a2m+12am.解:(1)8ab2(1-2a2b).(2)-5x(3y+x).(3)ab(a2b2+ab-1).(4)-3am(a2+2a-4).第1课时一、提公因式法分解因式的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第96页随堂练习.【选做题】教材第96页习题4.2.二、课后作业【基础巩固】1.把多项式4a2b+10ab2分解因式时,应提取的公因式是.2.(2014·淮安中考)因式分解:x2-3x=.3.分解因式:12x3y-18x2y2+24xy3=6xy·.【能力提升】4.把下列各式因式分解.(1)3x2y-6xy;(2)5x2y3-25x3y2;(3)-4m3+16m2-26m;(4)15x3y2+5x2y-20x2y3.【拓展探究】5.分解因式:a n+a n+2+a2n.6.观察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….这列式子有什么规律?请你将猜想到的规律用含有字母n(n为自然数)的式子表示出来.【答案与解析】1.2ab2.x(x-3)3.(2x2-3xy+4y2)4.解:(1)3xy(x-2). (2)5x2y2(y-5x). (3)-2m(2m2-8m+13). (4)5x2y(3xy+1-4y2).5.解:原式=a n·1+a n·a2+a n·a n=a n(1+a2+a n).6.解:由题中给出的几个式子可得出规律:n2+n=n·(n+1).本节运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由提公因数到提公因式,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形,它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简,比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程等中都要用到因式分解的知识,因此应该注重因式分解的概念和方法的教学.随堂练习(教材第96页)解:(1)m(a+b). (2)5y2(y+4). (3)3x(2-3y). (4)ab(a-5). (5)2m2(2m-3). (6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c).(8)-2x(x2-2x+3).习题4.2(教材第96页)1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)8m2n+2mn=2mn·4m+2mn·1=2mn(4m+1). (3)a2x2y-axy2=axy·ax-axy·y=axy(ax-y). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2y-12xy2-28y3=-(24x2y+12xy2+28y3)=-4y(6x2+3xy+7y2). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12xy2+8xy3=-(2x2+12xy2-8xy3)=-2x(x+6y2-4y3). (8)-3ma3+6ma2-12ma=-(3ma3-6ma2+12ma)=-3ma·(a2-2a+4). 2.解:(1)m+m+m=m(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-yz=z·(x-y),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.3.解:(1)不正确,因为提取的公因式不对,应为n(2n-m-1). (2)不正确,因为提取公因式-b后,第三项没有变号,应为-b(ab-2a+3). (3)正确. (4)不正确,因为最后的结果不是乘积的形式,应为(a-2)(a+1).提公因式法是本章的第2小节,占两个课时,这是第一课时,它主要让学生经历从乘法分配律的逆运算到提公因式的过程,让学生体会数学中的一种主要思想——类比思想.运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,就利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解,进而使学生进一步理解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系.已知方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.〔解析〕将代数式分解因式,产生x-3y与2x+y两个因式,再根据方程组整体代入,使计算简便.解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+y).由方程组可得原式=12×6=6.第课时1.经历探索多项式因式分解方法的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式.2.会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况).3.进一步了解因式分解的意义,加强学生的逆向思维,并渗透化归的思想方法.1.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的逆向思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力.2.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解,从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式,进一步发展学生的类比思想.3.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力.通过观察能合理地进行因式分解,并能清晰地阐述自己的观点.【重点】用提公因式法把多项式分解因式.【难点】探索多项式因式分解方法的过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习提公因式法分解因式的知识.导入一:【问题】把下列各式分解因式:(1)8mn2+2mn;(2)a2b-5ab+9b;(3)-3ma3+6ma2-12ma;(4)-2x3+4x2-8x.[设计意图]回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.以板演的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,使学生真正理解基本方法和步骤.导入二:上节课我们学习了用提公因式法分解因式,知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.[设计意图]通过设问,创设情境,活跃了课堂气氛,学生对自己探讨、发现出来的知识很有成就感,学习的兴趣自然得到了提高.(1)a(x-3)+2b(x-3);(2)y(x+1)+y2(x+1)2.〔解析〕(1)这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有x-3,因此可以把x-3作为公因式提出来.(2)这个多项式整体而言可分为两大项,即y(x+1)与y2(x+1)2,每项中都含有y(x+1),因此可以把y(x+1)作为公因式提出来.解:(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).(2)y(x+1)+y2(x+1)2=y(x+1)[1+y(x+1)]。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
新北师大版八年级下册第四章教案因式分解
因式分解教课目的认知目标：（1）理解因式分解的看法和意义（2）认识因式分解与整式乘法的互相关系——相反变形，并会运用它们之间的互相关系追求因式分解的方法。
能力目标：由学生自行研究解题门路，培育学生察看、剖析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深入学生逆向思想能力和综合运用能力。
感情目标：培育学生接受矛盾的对峙一致看法，独立思虑，勇于研究的精神和脚踏实地的科学态度。
教课重点：1.理解因式分解的意义 .2.辨别分解因式与整式乘法的关系 .教课难点：经过察看，归纳分解因式与整式乘法的关系 .教课过程1、你能用几种不一样的方法计算 1002－992，哪一种方法最简单？请与你的伙伴沟通。
1002－992 =（100+99）（100－99） =199×1 =1992－b2 写成整式的积的形式吗？2、你能试试把 a2－b2 a2－b2=( a+ b)(a－b)(a+b)( a－b)= a(a+ b)2=a2+2ab+ b2 a2+2ab+ b2=( a+ b)2m(a+b)= am+ bm am+ bm= m(a+ b)3、定义（板书）：一般地，把一个多项式转变为几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
重点：1．变形对象：多项式 .2．由和的形式变为积的形式 .3．几个整式的积4、因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆过程5、以下代数式从左到右的变形是因式分解吗？(1) 2 4 1 (2 1)22 x x x4x x x (2) x 3 1 ( 3) 112 2 a a a 2(3) x 1 x(x ) (4) a ( 1) （5）a 3 (a 3) a 9x6、填空、（1）∵3a( a+4) =3 a2+12a ∴3a2+12 a = ( )( ); （2）∵(a+3)2=a2+6a+9 ∴a2+6a+9 = ( )( );（3）∵(2－a)(2+ a) = 4 －a2 ∴4－a2 =( )( );7、例：查验以下因式分解能否正确：（1）x2y－xy2= xy(x－y) （2）x2+3 x+2=( x+1)( x－1)（3）2x2－1=(2 x+1)(2 x－1) （4）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）．8、智力抢答(1)101 2－992= (2)872+87×13= (3)512－2×51+1=讲堂小结你知道因式分解的定义吗 ?你会鉴别哪些代数式的变形是因式分解吗你知道因式分解与整式的乘法的关系吗 ?你会考证因式分解能否正确吗 ?你会利用因式分解迅速解决某些问题吗 ?作业部署：课后反省：提公因式法【教课目的】认知目标：⑴在详细情境中认识公因式⑵经过对详细问题的剖析及逆用分派律，使学生理解提取公因式法并能娴熟地运用提取公因式法分解因式能力目标：⑴建立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培育学生完好地、辨证地看问题的思想。
数学北师大版八年级下册因式分解教学设计
第四章因式分解4.1因式分解总体说明因式分解是代数的重要内容，它与整式和分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式的化简，解分式方程及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。
因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。
一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础。
学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。
二、教学任务分析基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。
因此，本课时的教学目标是：1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法。
3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。
4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
情感与态度：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念。
难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
八年级数学下册第四章因式分解因式分解教案新版北师大版
1 因式分解一、教学目标1.知识与技能（1）理解因式分解的概念；（2）掌握从整式乘法得出因式分解的方法．2.过程与方法让学生经历从整式乘法得出因式分解的过程，向学生渗透对比、类比的数学思想方法．3.情感态度及价值观（1）培养学生积极参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯；（2）体会事物之间互相转化的思想，从而初步接受对立统一观点．二、教学重点、难点重点：因式分解的概念．难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题．三、教具准备课件.四、教学过程（一）设置问题，以趣激情手工课上，老师给小王同学发下一张如图1-1（1）形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成图1-1（2）形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助小王同学解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？（1）（2）图1-1（留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望．设置悬念，无疑对整节的学习也创设了良好的情绪状态．）（二）以旧探新，引出课题因式分解的概念类同于因数分解的概念，借助于学生已有的整式乘法的基础，给学生提供一些问题背景，同时给学生留有充分探索的空间．这个环节围绕几个问题展开，在积极的状态下，用类比的方法，找到新知生长点，把数的有关知识正迁移到式，由学生自己给出因式分解的名称，引出课题，显得顺理成章．再看下面两个式子：x （x +1）=2x +x （1）2x +x= x （x +1） （2）同时设疑，既然我们学习了整式乘法，几个整式乘积可以写成一个多项式（1）的形式，那么反过来，一个多项式化为几个整式乘积的形式又叫什么呢？即上面的（2）式．我们给它起个名字，叫做因式分解，也就是我们今天所要学习的内容（板书课题）．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．（三）初步应用，巩固新知趁此时学生处在一个积极思维的状态，教师给出两个练习．1.下列代数式的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）2m （m －n ）=2m 2－2mn ；（2）4x 2－4x+1=（2x －1）2；（3）x 2－3x+1=x （x －3）+1.2.填空：（1）∵3a（a+4）=3a 2+12a ，∴3a 2+12a=（ ）（ ）；（2）∵（a+3）2=a 2+6a+9，∴a 2+6a+9=（ ）（ ）；（3）∵（2－a ）（2+a ）=4－a 2，∴4－a 2=（ ）（ ）.通过此练习，引导学生归纳自己对因式分解的理解，师生归纳要注意的问题：（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果仍是整式；（3）因式分解的结果是几个整式的积的形式；（4）因式分解与整式乘法正好相反．因式分解与整式乘法的关系如下：2(1)x x x x −−−−→++←−−−−因式分解整式乘法.即因式分解和整式乘法是互为相反方向的式子变形．（四）课堂小结谈谈你这节课有什么收获.（五）教学反思。
新教材北师大版八年级下册数学第四章 因式分解第1节《因式分解》参考教案
（新教材）北师大版精品数学资料4.1 因式分解●教学目标（一）教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.（二）能力训练要求通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.（三）情感与价值观要求通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.●教学重点1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.●教学难点通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.●教学方法观察讨论法●教具准备投影片一张记作（§4.1 A）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.Ⅱ.讲授新课1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.［生］993－99能被100整除.因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.［师］993－99还能被哪些正整数整除？［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）3.做一做（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;⑤a（a+1）（a－1）=__________.［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;②（y－3）2=y2－6y+9;③3x（x－1）=3x2－3x;④m（a+b+c）=ma+mb+mc;⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.（2）根据上面的算式填空：①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2.⑤a3－a=（）（）.［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：①3x2－3x=3x（x－1）;②m2－16=（m+4）（m－4）;③ma+mb+mc=m（a+b+c）;④y2－6y+9=（y－3）2;⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.4.想一想由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a （a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a （a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mc m（a+b+c）.所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题投影片（§4.1 A）整式乘法，而不是因式分解；（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；（4）是因式分解.［师］大家认可吗？［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x －3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.Ⅲ.课堂练习连一连解：Ⅳ.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.Ⅴ.课后作业习题4.11.连一连解：2.解：（2）、（3）是分解因式.3.因19992+1999=1999（1999+1）=1999×2000，所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除.（2）因为16.9×81+15.1×81 =81×（16.9+15.1） =81×32=4 所以16.9×81 +15.1×81能被4整除. 4.解：当R 1=19.2,R 2=32.4,R 3=35.4,I=2.5时，IR 1+IR 2+IR 3=I （R 1+R 2+R 3）=2.5×（19.2+32.4+35.4）=2.5×87=217.5Ⅵ.活动与探究已知a=2,b=3,c=5.求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值. 解：当a=2,b=3,c=5时，a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）=a（a+b－c）+b（a+b－c）－c（a+b－c）=（a+b－c）（a+b－c）=（2+3－5）2=0●板书设计。
北师大八年级数学下册教案：第4章 因式分解
北师大八年级数学下册教案：第4章因式分解4．1因式分解1．理解并掌握因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．(难点)一、情境导入某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b)元．”同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？二、合作探究探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2－mx－k3)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值．解：设另一个因式为2x2－mx－k3，∴(x－3)(2x2－mx－k3)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－k3x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(k3－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，k3－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一个因式为2x2＋x－3.方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计1．因式分解的概念把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．2．因式分解与整式乘法的关系因式分解是整式乘法的逆运算．本课是通过对比整式乘法的学习，引导学生探究因式分解和整式乘法的联系，通过对比学习加深对新知识的理解．教学时采用新课探究的形式，鼓励学生参与到课堂教学中，以兴趣带动学习，提高课堂学习效率.4．2提公因式法第1课时直接提公因式因式分解1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式；2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．(重点)一、情境导入小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a 米，大厅长度为c米，三室长度均为d米，其中a＝3.6，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？二、合作探究探究点一：确定公因式多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是()A．abc B．3a2b2C．3a2b2c D．3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．探究点二：用提公因式法进行因式分解(一)【类型一】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型二】用因式分解简化运算计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．三、板书设计1．公因式多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式．2．提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.第2课时变形后提公因式因式分解1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义；2．熟练运用提公因式法分解因式．(重点)一、情境导入下面的多项式有公因式吗？如果有，怎样因式分解呢？(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；(3)a(a－b)3－(b－a)3.二、合作探究探究点：用提公因式法进行因式分解(二)【类型一】利用因式分解整体代换求值已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．【类型二】因式分解与三角形知识的综合△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定．解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴a－c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝－12(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．【类型三】运用因式分解探究规律阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了3次；(2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2016次，结果是(1＋x)2015；(3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1.方法总结：解决此类问题需要认真阅读，理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．三、板书设计1．提公因式分解因式的一般步骤：(1)观察；(2)适当变形；(3)确定公因式；(4)提取公因式．2．提公因式法因式分解的应用本课时是在上一课时的基础上进行的拓展延伸，在教学时要给学生足够主动权和思考空间，突出学生在课堂上的主体地位，引导和鼓励学生自主探究，在培养学生创新能力的同时提高学生的逻辑思维能力.4．3公式法第1课时平方差公式1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4.解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )；(2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.第2课时完全平方公式1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解【类型一】判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋12－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.4；(3)9aA．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x ＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型二】利用因式分解判定三角形的形状已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型三】整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.。
北师大版八年级下册4.1因式分解(教案)
-难点在于如何引导学生从多项式中提取公因式，例如在多项式4x² + 5x + 1中找出公因式。
-解释平方差公式和完全平方公式的适用条件，通过具体题目（如将x² - 6x + 9分解为(x - 3)²）来帮助学生识别和运用这些公式。
-在解决综合问题时，如求解含绝对值符号的方程，指导学生如何先进行因式分解，再根据不同情况讨论解的取值。
2.教学难点
-找出多项式的公因式：学生在寻找多项式的公因式时可能存在困难，特别是在多项式项数较多时。
-判断并运用平方差公式和完全平方公式：学生需要理解平方差和完全平方的结构特点，才能准确应用这些公式进行因式分解。
-灵活运用因式分解解决综合问题：学生需要将因式分解与其他数学知识（如方程、不等式等）结合，解决更复杂的数学问题。
2.提高学生的数学运算能力：使学生能够熟练运用提公因式法、平方差公式和完全平方公式进行因式分解，简化数学表达式，提高解题效率。
3.增强学生的数学建模意识：培养学生将现实问题转化为数学问题，通过因式分解解决实际问题的能力，提高数学建模素养。
4.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和互动中，使学生学会倾听、表达、交流与合作，提高团队协作能力。
北师大版八年级下册4.1因式分解（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册第四章第一节“因式分解”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.因式分解的概念与意义：使学生理解因式分解的定义，掌握因式分解在简化计算、解决方程中的应用。
2.因式分解的方法与步骤：引导学生掌握以下几种因式分解方法：
（1）提公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
平方差公式和完全平方公式的应用对学生而言也是一个难点。我发现他们在判断何时使用这些公式方面存在困难。在今后的教学中，我可以设计一些更具针对性的练习，让学生在不同的情境中应用这些公式，从而提高他们的识别和应用能力。
第4章因式分解(教案)2023-2024学年八年级下册数学(教案)(北师大版)
-重点三：平方差公式与完全平方公式。使学生掌握平方差公式（a² - b² = (a + b)(a - b)）和完全平方公式（a² + 2ab + b² = (a + b)²），并能应用于因式分解。
-重点四：交叉相乘法分解因式。让学生掌握交叉相乘法分解因式的步骤，并能够正确运用。
然而，我也注意到，在实践活动和小组讨论中，部分学生显得比较被动，参与度不高。为了提高这部分学生的积极性，我计划在接下来的教学中，针对他们的实际水平，设计一些更具挑战性和趣味性的任务，激发他们的学习兴趣。
另外，在课堂总结环节，我发现部分学生对于因式分解在实际问题中的应用仍然存在困惑。为了解决这个问题，我打算在下一节课中，增加一些与生活实际相关的例子，让学生更加直观地感受到因式分解在实际生活中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的过程。它在数学运算中非常重要，可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。多项式x² + 3x + 2可以因式分解为(x + 1)(x + 2)，这个案例展示了因式分解在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学难点
-难点一：理解因式分解的概念，尤其是分解过程中保持等价关系的理解。
-难点二：正确识别多项式中的公因式，尤其是含有多个项的复杂多项式。
-难点三：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用，尤其是变式题目的处理。
-难点四：在交叉相乘法分解因式时，正确判断乘积的符号，避免常见错误。
第四章+因式分解+大单元教学设计++2023—2024学年北师大版数学八年级下册
《因式分解》大单元教学设计【选用教材】北师大版义务教育教科书《数学》八年级下册【单元课题】因式分解【单元教材内容】北师大版义务教育教科书《数学》对“因式分解”进展了较大的调整。
将“因式分解”安排在课本第四章。
内容包括“因式分解”、“提公因式法”和“公式法”。
共有三节内容：第一节《因式分解》,利用99³-99例子突出与因数分解的类比，体会因式分解的必要性；并用几何图形的拼图解释因式分解。
在了解因式分解的根底上，体会因式分解与整式乘法的关系。
第二节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法如此，对于学生来说，难点是怎样在多项式的各项中发现公式。
为此，教材安排学生从简单的多项式ab+ac中发现一样因式，由浅入深地体会如何寻找公因式，并以例题示X的形式学习用提公因式法进展因式分解与其须知事项，形成根本技能。
第三节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式与其特点，学生初学时的一个难点是根据一个多项式的特点选择运用恰当的公式。
为此，教材将这两个公式分别分开教学，然后综合运用学习，加深学生对公式特点的认识。
【单元知识网络】【单元课标解读】《数学课程标准〔2022年版〕》在第55页要求：能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次〕进展因式分解〔指数是正整数〕。
【单元内容数学分析】1.因式分解是代数的重要内容，是在学习了“整式的运算”之后提出来的内容。
因式分解与整式乘法运算有密切的联系，事实上，它是整式乘法的逆向运用。
2.因式分解是整式的一种重要变形，它在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。
3.因式分解为学习分式运算，解方程与方程组与代数式和三角函数式恒等变形提供必要的根底。
也是分式运算和化简、恒等变形、解高次方程的根底。
“因式分解”对于与化归的能力、逆向思维的能力的培养会起到一定的作用，又在逆向思维品质培养形成等中有着较重要作用和教育价值。
5.作为今后学习的根底，它起到了承上启下的作用，因式分解与其变形的应用，几乎贯穿了整个中学数学乃至大学数学，学好因式分解对于代数知识的后续学习具有相当重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案1 因式分解【知识与技能】使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.【过程与方法】认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.【情感态度】培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【教学重点】因式分解的概念.【教学难点】难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.一.情景导入，初步认知下题简便运算怎样进行？问题1：736×95+736×5问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.二.思考探究，获取新知问题：(1)993-99 能被99 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)∴993-99 能被99 整除.(2)993-99 能被100 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99- 1）= 99×98×100所以993-99 能被100 整除.想一想：（1）在回答993-99 能否被100 整除时，小明是怎么做的？（2）请你说明小明每一步的依据.（3）993-99 还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？【教学说明】老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99 化成了怎样的形式？【归纳结论】以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.可以了解:993-99 可以被98、99、100 三个连续整数整除.将99 换成其他任意一个大于 1 的整数,上述结论仍然成立吗?学生探究发现：用a 表示任意一个大于1 的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)① 能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？② 这样变形是为了达到什么样的目的？【教学说明】经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.【归纳结论】把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.三.运用新知，深化理解1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；（3）a2－4=（a+2）(a－2）；（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.答案：（2）（3）是因式分解.2.试将下列各式化成几个整式的积的形式（1）3x2-2x= - (2)m2-4n2 =答案：（1）x(3x-2) （2）(m+2n)(m-2n)3.分解因式.4m2-4m= 2a3+2a= y2+4y+4=答案：4m(m-1) 2a(a2+1) (y+2)2 4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2 的值为.答案：210.5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b 的值是（）A.0B.2C.5D.8答案：D.6.9993-999 能被998 整除吗？能被1000 整除吗？解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998 所以9993- 999 能被998 整除，能被1000 整除。
【教学说明】通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别.四.师生互动，课堂小结1.你能说说什么是分解因式吗？把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
2.应该怎样认识“因式分解”？（分解因式与整式乘法是互逆过程.）3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.五.教学板书布置作业:教材“习题 4.1”中第1、2 题.根据课下学生的反馈情况来看，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的. 学生对因式分解有了清晰的认识,理解了因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并基本掌握了这种关系寻求因式分解的方法．还有个别学生虽然会判断哪些是因式分解，但在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难. 在下一课时，我将针对本课时所反馈的情况，调整侧重点，争取让所有的学生能对因式分解有更进一步的学习.2 提公因式法第1 课时公因式为单项式的因式分解【知识与技能】理解公因式和提公因式法的概念，会用提公因式法进行公因式为单项式的因式分解.【过程与方法】通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.【情感态度】通过对公因式是单项式的因式分解的教学，体会提公因式法.【教学重点】掌握提公因式法的一般步骤.【教学难点】用提公因式法分解公因式为单项式的多项式.一.情景导入，初步认知采用什么方法？依据是什么？【教学说明】由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式，进一步发展学生的类比思想.二.思考探究，获取新知1.多项式ab+ac 中，各项有相同的因式吗？多项式3x2+x 呢？多项式mb2+nb-b 呢？【归纳结论】多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．2.多项式2x2+6x3 中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2 中各项的公因式是什么？【归纳结论】（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．3.将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac（2）x2+4x（3）mb2+nb-b【归纳结论】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.【教学说明】由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力.三.运用新知，深化理解1.见教材P95 例1.2.因式分解：3x(x－2)－(2－x)解：3x(x－2)－(2－x)=3x(x－2)+(x－2)=(x－2)(3x+1)3.计算：(－2)11+(－2)10 的结果是（）A. 2100B. －210C. －2D. －1答案：B.【教学说明】四.师生互动，课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？五.教学板书布置作业:教材“习题 4.2”中第1、2 题.本课时运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解.第2 课时公因式为多项式的因式分解【知识与技能】让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.【过程与方法】通过多项式因式分解，领悟把公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律.【情感态度】通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识.【教学重点】用提公因式法把多项式分解因式.【教学难点】准确找出公因式，并能找出公因式.一.情景导入，初步认知1.公因式的定义.2.把下列各式分解因式.（1）8mn2+2mn（2）a2b-5ab+9b（3）-3ma3+6ma2-12ma（4）-2x3+4x2-8x【教学说明】回顾上一课时提取单项式公因式的方法的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础，以板演的形式让学生回忆提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤.二.思考探究，获取新知探究：因式分解：（1）a（x-3）+2b（x-3）（2）y（x+1）+y2（x+1）2【教学说明】引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取多项式公因式.由于题中很明显地表明，多项式中的两项都存在着（x-3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x-3），而第二题公因式是y（x+1），并能顺利地进行因式分解.三.运用新知，深化理解1.见教材P97 例2、例3.2.因式分解：3x(x－2)－(2－x)解：3x(x－2)－(2－x)=3x(x－2)+(x－2)=(x－2)(3x+1)3.因式分解a(a－b)3+2a2(b－a)2－2ab(b－a)2解：原式=a(a－b)3+2a2(a－b)2－2ab(a－b)2=a(a－b)2［(a－b)+2a－2b］=a(a－b)2(3a－3b)=3a(a－b)34.已知x、y 都是正整数，且x(x－y)－y(y－x)=12，求x、y.解：∵x(x－y)－y(y－x)=12∴(x－y)(x+y)=12∵x、y 是正整数∴12 分解成1×12，2×6，3×4又∵x－y 与x+y 奇偶性相同，且x－y<x+y【教学说明】这个问题的关键是把式子化成两个式子相乘的形式，而且要找出12 的约数.四.师生互动，课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？五.教学板书布置作业:教材“习题 4.3”中第1、2 题.学生们通过本节课的学习已经能准确的找出公因式，并用提公因式法分解因式，但是在学习的过程中，我发现学生们还存在以下几个不足之处：1.因式分解结果的书写不符合代数式的书写规范.当结果是几个因式的积时，应把单项式写在前面，多项式写在后面.2.因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同因式的，要写成幂的形式.提公因式后，还有同类项的，一定要合并.3.提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，应该取各项系数的最大公约数.4.遇到互为相反数的因式有的学生不能很好的处理.遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原则：变后不变前,变偶不变奇,变少不变多.3 公式法第1 课时用平方差公式进行因式分解【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性.一.情景导入，初步认知填空：（1）（x+5）（x-5）= ；（2）（3x+y）（3x-y）= ；（3）（3m+2n）（3m-2n）=它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：x2－25= ; 9x2－y2= ; 9m2－4n2= .【教学说明】对平方差公式进行复习，利于本节课的教学.二.思考探究，获取新知1.观察下列过程，谈谈你的感受.将多项式a2-b2 进行因式分解:∵（a+b）(a-b)=a2-b2整式乘法∴a2-b2=（a+b）(a-b)因式分解【归纳结论】整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法.2.找特征a2-b2=(a+b)(a-b)(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）2－（）2的形式.(2)公式右边:（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.三.运用新知，深化理解1.见教材P99 例1、例22.下列多项式能转化成（）2－（）2的形式吗？如果能，请将其转化成（）2－（）2的形式.（1）m2－81=m2－92;（2）1－16b2=12－(4b)2;（3）4m2+9;（4）a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2;（5）－x2－25y2.3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2答案：B4.(x＋1)2－9(x－1)2解：原式=4(2x－1)(2－x)5.将下列各式分解因式（1）a2b2-a2c2=a2（b2-c2）=a2（b+c）（b-c）；（2）-x5y3+x3y5=x3y3（-x2+y2）=x3y3（x+y）（-x+y）（3）（a+b）2-9（a-b）2=［（a+b）+3（a-b）］［（a+b）-3（a-b）］=（a+b+3a-3b）（a+b-3a+3b）=（4a-2b）（4b-2a）=4（2a-b）（2b-a）；（4）p4－1=（p2+1）（p2－1）=(p2+1)(p-1)(p+1).6.若a＋b=2011,a－b=1,求a2－b2 的值.解：a2－b2=（a＋b）（a－b）=2011×1=20117.简便计算.(1)5652－4352=（565+435）（565-435）=1000×130=130000.【教学说明】在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况.四.师生互动,课堂小结1.本节课我们主要学习了,运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时,先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：1)是一个二项式（或可看成一个二项式）；2)每项可写成平方的形式；3)两项的符号相反.2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式.3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止.五.教学板书布置作业:教材“习题 4.4”中第1、2 题.本节课下来能很好地完成了课前设定的目标，学生能利用平方差公式来进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好。