排列组合经典练习答案答案
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排列组合二项定理
排列组合二项定理 知识要点
一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可.以有..重复..元素..
的排列. 从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n
m 种)
二、排列.
1. ⑴对排列定义的理解.
定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.
如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.
从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n
个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m
n A 表示.
⑷排列数公式: ),,()!
(!
)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=
+--=
注意:!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1
111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11
--=m n m n nA A 规定10
==n n n C C 2. 含有可重元素......
的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!
!...!!
21k n n n n n =
.
例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个
数1!
3!3==n .
三、组合.
1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
⑵组合数公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m
n m
m
m n m
n
-=+--== ⑶两个公式:①;
m n n m
n C
C -= ②m n m n m n C C C
11+-=+
①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.
(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是
含红球选法有1
m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C )
②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与
不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素,所以有C 1
-m n ,如果不取这
一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C m
n 种,依分类原理有m
n m n m n C C C 11+-=+.
⑷排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式
n n n
n n n C C C 2210=+++ 1
1
11
112115314201
1112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C
②常用的证明组合等式方法例.
i. 裂项求和法. 如:)!1(1
1)!1(!43!32!21+-
=++++n n n (利用!1)!1(1!1n n n n --=-) ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:
4
13353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如:n
n n n n n C C C C 222120)()()(=+++
证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为
2
2120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ,而右边
n
n C 2= 四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某)
(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中1
1+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m m A 则是“局部排列”.
又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2n A 22
11A A n ⋅-. ②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有22
11A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有11
2--⋅n n n A A .