指数函数和对数函数 知识点总结

指数函数和对数函数 知识点总结

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *

． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨

⎧<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2．正数的分数指数幂，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质),,0(R s r a ∈>

（1）r a ·s r r a a += ；（2）rs s r a a =)( ；（3）

s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a

a y x

且叫做指数函数，其中x 是自

变量，函数的定义域为R ．

1．对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

说明：

○1 注意底数的限制0>a ，且a x N a =⇔log ；③注意对数的书

写格式．

N a log

两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2、对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M

a log M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈．

注意：换底公式a

b

b c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且

1≠c ；0>b ）

． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m

n

b a n a m log log =

；

（2）a b b a log 1log =． 3、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，

函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○

1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5

log 5

x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

1．64的65(a －b )5

的值是 2. 函数y ＝log a (x ________． 3．若4a －2＋(a －4)0

有意义，则实数a 的取值范围是 4．若xy ≠0，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 5．－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－

＋|－|12＝________.

6．(1)－13－(－18)0＋1634＋= ； (2)a －1＋b －1

(ab )

－1(a ，b ≠0)= ．

7．函数y ＝ a x

－1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为

8．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |12

<2x ＋1

<4，x ∈Z }，则M ∩N ＝

9．函数y ＝(12

)1－x

的单调增区间为

10．当x ∈[－1,1]时，f (x )＝3x

－2的值域为________．

11．方程4x ＋2x

－2＝0的解是________．

12．方程4x ＋1－4＝0的解是x ＝________.若102x

＝25，则x 等于

13．3log 9(lg2－1)2＋5log 25－2)2

等于( )

＝ (log 43＋log 83)(log 32＋log 98)=

15．已知2x ＝5y

＝10，则1x ＋1y

＝＋log 62=

16. 1

2

log 612－2log 62= log 22= 2log 510＋＝________.

17.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是

18.方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________.

19．函数y ＝log 2x －2的定义域是 函数y ＝log 1

2

(x －1)的定义域是________

20函数y ＝log 13

(－x 2

＋4x ＋12)的单调递减区间是________．