对数及对数函数知识点总结及题型分析

对数及对数函数

1、对数的基本概念

（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对

数， 记作b N a

=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式

（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .

（3）指数式与对数式的关系：log x

a a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）

（4）对数恒等式：

2、对数的性质

（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a

3、对数的运算性质

（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么

①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N

M

a a a

log log log -=； ③M n M a n a

log log =

（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =

； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a

4、对数函数的定义：

函数 叫做对数函数，其中x 是自变量

（1）研究对数函数的图象与性质：

由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。

（2）复习)10(≠>=a a a y x

且的图象和性质

()010log >≠>=N a a N a

N

a ，且b

N

N a a b log log log =

b m

n b a n

a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x

=x

y a =y x =

2．对数函数的图像：

3．对数函数的性质：

【回顾一下】

① 定义：函数 称为对数函数，

1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数

与函数 ______ 互为反函数.

① 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：

题型一、对数式的运算 例题1：填空

（1）[])81(log log

log 34

6

＝_____ ___； （2）19lg 3lg 2+-＝ ；

（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 31

6

161+＝_____ ___； （5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7

352

例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛3

3

2lg 2lg y x （ ）

.A a 3 .B

a 23 .C a .D 2

a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1：计算

变式2：3128x y ==，则11

x y

-= .

x

y a log =)

1,0(≠>=a a a y x 且10<a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+

题型三、解对数式方程

例题1：已知216log =x ，则=x （ ）

.A 2 .B 4 .C 8 .D 32

例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。

题型四：（求对数函数定义域与值域）1.N > 0 2. a > 0且 不= 1

例1、求下列函数的定义域：

（1） 2

a y log x = （2）a y log (4x)=- （3）2

(3x)y log x -=

变式练习1.

2. 求下列函数的定义域： （1） （2） （3） （4）

题型五、函数图象问题

例1．作出下列函数的图象：

(1) y=lgx ， y=lg(-x)， y=-lgx ； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.

5y log (1x)

=-21

y log x

=

7

1y log 13x

=

-y =

题型六、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；①解不等式；①判断单调性；

①求单调区间；①求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.

例1. 比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)