中考数学专题坐标系中的几何问题

中考数学专题7 坐标系中的几何问题

【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。

第一部分 真题精讲

【例1】已知：如图1，等边ABC ∆

的边长为，一边在x

轴上且()

10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．

（1）直接写出点B C 、的坐标；

（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；

（3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：

① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．

图2

图1

【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题就成功落入囊中了。 【解析】解：（1

）()

10B ；()13C ，．

（2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ．∵ABC ∆是等边三角形，()

130A -，

．∴60EAO ∠=︒ ．在Rt EOA ∆中，

90EOA ∠=︒．∴()

tan 6013333EO AO =⋅︒=--⨯=-．∴

()

0,33

E -．∵E

F ∥AB 交BC 于F ，

()13C ，．∴331R ⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

，． （就是四边形对角线的中点，横坐标

自然和C 一样，纵坐标就是E 的纵坐标的一半）

∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分．∴直线1y kx =-必过点331R ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，．∴331k --=，∴53k -= （3）正确结论：①GNM CDM ∠=∠．

证明：可求得过A B C 、、的抛物线解析式为2

22y x x =-++ ∴()02D ，

．∵()20G -，．∴OG OD =． 由题意90GON DOM ∠=∠=︒．

又

∵GNO DNH ∠=∠∴NGO MDO ∠=∠∴NGO ∆≌MDO ∆

∴GNO DMO ∠=∠，OM ON =

∴45ONM NMO ∠=∠=︒

过点D 作DT CP ⊥于T ∴1DT CT ==∴45CDT DCT ∠=∠=︒由题意可知

DT ∥AB

∴TDM DMO ∠=∠∴454545TDM DMO GNO ∠+︒=∠+︒=∠+︒

∴TDM CDT GNO ONM ∠+∠=∠+∠即：

GNM CDM ∠=∠． （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）

【例2】如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线214

10189

y x x =

--与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC ．现有两动点P 、Q 分别从O 、C 两点同时

出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC,PQ 相交于点D,过点D 作DE ∥OA,交CA 于点E,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C 三点的坐标;

(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜

9

2

时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;

(4)当t _________时,△PQF 为等腰三角形?

-1

R Q

F E

C B

A O

x

y

G P

N

M H

T D C B

A O x

y

【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X 轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA 为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中，QC 和PA 始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA 时候即可。第三问求△PQF 是否为定值，因为三角形的一条高就是Q 到X 轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF 是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF ，得解。第四问因为已经知道PF 为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P 点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ 就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.

【解析】解：(1) 2

1(8180)18

y x x =

--，令0y =得281800x x --=，()()18100x x -+= ∴18x =或10x =-∴(18,0)A ； 在214

10189

y x x =--中，令0x =得10y =即(0,10)B -； 由

于BC ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由214

1010189

x x -=--得8x =或0x =即(8,10)C - 于是，(18,0),(0,10),(8,10)A B C --

（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA.故只要QC=PA 即可 ∵184,PA t CQ t =-=∴184t t -= 得185

t =

（3）设点P 运动t 秒，则4,OP t CQ t ==，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故

1

44

QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==∴18PF PA AF PA OP =+=+= 又点Q 到直线PF 的距离10d =

∴11

18109022

PQF S PF d ∆==⨯⨯=∴△PQF 的面积总为90

（4）由上知，(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--，0 4.5t <<。构造直角三角形后易得

2222(48)10(58)100PQ t t t =-++=-+，2222(1848)10(510)100FO t t t =+-++=++

若FP=PQ ，即2

2

18(58)100t =-+，故2

25(2)224t +=，

∵22 6.5t +≤≤∴25t +=

=∴25

t =-

若QP=QF ，即2

2

(58)100(510)100t t -+=++，无0 4.5t ≤≤的t 满足条件；……………12′

若PQ=PF ，即2

2

(58)10018t -+=，得2

(58)224t -=，∴8 4.55t +=

>或805

t -=<