最新理论力学期末复习题

最新理论力学期末复习题一、填空题1. 在介质中上抛一质量为m 理论力学期末复习题v k R -=，若选择坐标轴x 铅直向上，则小球的运动微分方程为_____________________.2. 质点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①0=t a ，0=n a （答）： ；②0≠t a ，0=n a （答）： ；③0=t a ，0≠n a （答）： ；④0≠t a ，0≠n a （答）： .3. 质量为kg 10的质点，受水平力F的作用，在光滑水平面上运动，设t F 43+=（t 以s 计，F 以N 计），初瞬间（0=t ）质点位于坐标原点，且其初速度为零.则s t 3=时，质点的位移等于_______________，速度等于_______________.4. 在平面极坐标系中，质点的径向加速度为__________；横向加速度为_______.5. 哈密顿正则方程用泊松括号表示为 ， .6. 质量kg m 2=的重物M ，挂在长m l 5.0=的细绳下端，重物受到水平冲击后获得了速度105-⋅=s m v ，则此时绳子的拉力等于 .7. 平面自然坐标系中的切向加速度为 ，法向加速度为 .8. 如果V F -∇= ，则力所作的功与 无关，只与 的位置有关.9. 在南半球地面附近自南向北的气流有朝 的偏向；而北半球的河流 岸冲刷较为严重.10. 已知力的表达式为axy F x =，2az F y -=，2ax F z -=.则该力做功与路径_ （填“有关”或“无关”），该力_ 保守力（填“是”或“不是”）.11. 一质量组由质量分别为0m 、20m 、30m 的三个质点组成，某时刻它们的位矢和速度分别为j i r +=1、i v 21=、k j r +=2、i v =2、k r =3、k j i v ++=3.则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等于 ，相对于坐标原点的动量矩等于_ .12. 一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，直管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动，若某一时刻，小球到达距O 点的距离为a 的P 点，取x 轴沿管，y轴竖直向上，并垂直于管，z 轴水平向前，并于管面垂直，如图所示，此时小球相对于管子的速度为v ，则惯性离心力大小为 ，方向为 ，科里奥利力大小为 ，方向为 .13. 边长为a 的正方形，某瞬时以角速度ω在自身平面内转动，顶点A 的速度为v ，由A 指向相邻顶点B ，则B 点此时的速度大小等于 .14. 已知力的表达式为5432-+-=z y x F x ，8+-=x z F y ，12+++=z y x F z ，则该力做功与路径_ （填“有关”或“无关”），该力_ 保守力（填“是”或“不是”）.15. 图示矩形板ABCD 以角速度ω绕z 轴转动，动点M 1沿对角线BD 以速度1v 相对于板运动，动点M 2沿CD 边以速度2v 相对于板运动.若取动系与矩形板固连，则动点M 1和M 2的科氏加速度1a 、1a 的大小分别为 ， .16. 作用在刚体上任意力系可以简化为作用在某指定点P 的一个力F 及一个力偶矩为M 的力偶，F 叫主矢，等于 ，M 叫 ，等于诸力在原位置对P 点的力矩之和，P 点称为 .17. 动点由静止开始作平面曲线运动，设每一瞬时的切向加速度22-⋅=s tm a τ，法向加速度2431-⋅=s m t a n ，则该动点的运动轨迹为 .18. 如图1-1所示平面机构，AB 杆的A 端靠在铅直墙面上，B 端铰接在滑块上，滑块沿水平面向右运动.若选AB 杆的端点A为动点，动系固连于滑块，定系固连于地面，则动点的相对运动为 ，绝对运动为 ，牵连运动为 .19. 长m l 2=的AB 杆作平面运动，在某瞬时B 点的速度大小14-⋅=s m v B ，方向如图1-2所示，则在该瞬时A 点可能有的速度最小值=m in v ，此时杆的角速度=ω .20. 一圆轮在水平面上作纯滚动，轮心O 的速度103-⋅=s m v ，方向水平向右，直角形杆OAB 轮心O 铰接，在如图1-3所示位置时其OA 段铅直，AB 段水平，它转动的角速2图1-1度14-⋅=s rad ω，该杆B 端焊上一重N W 8=的钢球.己知OA=30cm AB=40cm ，此时钢球B 的动量大小=p ____________.21．长2a ，重P 的均匀杆，其上端A 靠在光滑的墙上，下端则联一不能伸长的线BC ，线的上端固结于墙上C 点，C与A 在同一垂直线上，设杆与墙所成之角为α，线与墙所成之角度为β，如图1-4所示，则平衡时墙给杆的反作用力=N _____________.22. 物块A 和B 的质量分别为m A 和m B ，两物块间用一不计质量的弹簧连接，物块B 保持静止在水平面上，设A 在铅直方向的运动规律为t y y ωsin 0=（其中ω,0y 为常量），则在物块A运动过程中，水平面所受压力的大小=N _________ .(坐标原点取在弹簧自然长度处，，正方向竖直向上) 23. 质点的质量是kg 1，它运动时的速度k j i v 323++=，质点的动能为 ，当质点以上述速度运动到)321(，，点时，它对z 轴的动量矩是________.24. 雨点开始自由下落时的质量为M ，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为λ，略去空气阻力，写出该变质量系统的动力学方程 .25. 作用于刚体的任意力系最终可简化为________.26. 刚体做 运动时，刚体内任一点的线速度可写为r ⨯ω.27. 在转动参照系中，科氏力等于零的条件是________.28. 质量为m 的质点作平抛运动，试写出其拉氏函数 其中循环坐标为 物理意义是 .29. 质点系内力功等于零的条件是 .30. 力学体系中的广义坐标是指 .31. 如图圆盘以角速度ω绕定轴O 逆时针转动，动点M 以匀速度v '沿圆盘直径运动，当动点M 到达圆盘是中心O 点时，其所受科氏力大小和方向为 .32. 由于地球自转的影响，北半球地面附近的贸易风是 ，南半球的贸易风是 .图1-3图3-4答案： 1. dtdx k mg x m --= . 2.（1）匀速直线； （2）变速直线； （3）匀速曲线； （4）变速曲线3. m 15.3； 17.2-⋅s m .4. 2θ r r a r -=； )(122θθθθ r dtd r r r a =+= . 5. ],[H p pαα= ，],[H q q αα= ),2,1(s =α. 6. 119.6N. 7. ρτ2;v a dt dv a n ==. 8. 路径； 始末位置. 9. 西； 右. 10. 有关；不是. 11. k m j m i m 000337++； k m j m i m 000253-+-.12. a m 2ω； x 轴正向； v m ω2； z 轴正向. 13.222ωa v +.14. 有关； 不是. 15. αωsin 21v ； 0.16. 力系中所有力的矢量和；主矩； 简化中心. 17. 半径为3m 的圆周.18. 为以B 点为圆心，以AB 长为半径的圆周运动；为沿墙面向下的直线运动；为向右的平动. 19. 12-⋅s m ； 13-⋅s rad . 20. 167.3-⋅⋅s m kg . 21. 1112-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-αβtg tg p . 22. ()t y m g m m A B A ωωsin 20-+. 23.J 8；124-⋅⋅s m kg . 24. [()]()d M t v M t g dtλλ+=+. 25. 过基点的一个主矢和一个主矩. 26. 定轴转动和定点转动.27.0=ω 或0='v 或ω 与v ' 共线.28. 2211;22mx my mgy x +-；水平方向上动量守恒. 29. 相对位移为零. 30. 能够独立描述力学体系位置的独立变量. 31. 2M v ω'；向右.32. 东北贸易风；东南贸易风.二、选择题1. 已知某点的运动方程为2bt a S +=（S 以米计，t 以秒计，a 、b 为常数），则点的轨迹为（ ）.A 、是直线；B 、是曲线；C 、不能确定；D 、抛物线.2. 在图2-1所示圆锥摆中，球M 的质量为m，绳长l ，若α角保持不变，则小球的法向加速度为（ ）.A 、αsin g ；B 、αcos g ；C 、αtan g ；D 、αtan gc .3. 求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来（ ）.A 、分析力的变化规律；B 、建立质点运动微分方程；C 、确定积分常数；D 、分离积分变量.4. 如图2-2所示距地面H 的质点M ，具有水平初速度0v ，则该质点落地时的水平距离l 与（ ）成正比.A 、H ；B 、H ；C 、2H ；D 、3H .5. 一质量为m 的小球和地面碰撞，开始瞬时的速度为1v ，碰撞结束瞬时的速度为2v （如图2-3），若v v v ==21，则碰撞前后质点动量的变化值为（ ）.A 、mv ；B 、mv 2 ；C 、mv 3；D 、 0.6. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量（ ）.A 、平行；B 、垂直；C 、夹角随时间变化；D 、不能确定.7. 三棱柱重P ，放在光滑的水平面上，重Q 的匀质圆柱体静止释放后沿斜面作纯滚动，则系统在运动过程中（ ）.A 、沿水平方向动量守恒，机械能守恒；B 、动量守恒，机械能守恒；C 、沿水平方向动量守恒，机械能不守恒；D 、均不守恒.8. 动点M 沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（ ）.A 、若始终有a v ⊥，则必有v 的大小等于常量；B 、若始终有a v ⊥，则点M 必作匀速圆周运动；C 、若某瞬时有v ∥a ，则点M 的轨迹必为直线；D 、若某瞬时有a的大小为零，且点M 作曲线运动，则此时速度必等于零.9. 某瞬时，平面运动刚体的绝对角速度和角加速度分别为ω和α，相对某基点A 转动角速度和角加速度分别为A ω和A α，相对基点B 转动角速度和角加速度分别为B ω和B α，则应有（ ）.A 、ωωω≠=B A ，ααα≠=B A ； B 、ωωω==B A ，ααα==B A ；C 、ωωω≠≠B A ，ααα≠=B A ；D 、ωωω==B A ，ααα≠≠B A .10. 刚体绕同平面内任意二根轴转动的合成运动（ ）.A 、一定是平面运动；B 、一定是平动；C 、一定是定轴转动；D 、是绕瞬轴的转动.图2-2图2-311. 匀质杆AB 重G ，其A 端置于光滑水平面上，B 端用绳悬挂，如图2-4所示，取坐标系O -xy ，此时该杆质心C 的x 坐标0=c x ，若将绳剪断，则（ ）.A 、杆倒向地面的过程中，其质心C 运动的轨迹为圆弧；B 、杆倒至地面后， 0>c x ；C 、杆倒至地面后， 0=c x ；D 、杆倒至地面后， 0<c x .12. 如图所示平面机构，CD 连线铅直，杆BC=BD ，在如图2-5所示瞬时，角030=ϕ，杆AB 水平，则该瞬时点A 和点C的虚位移大小之间的关系为 （ ）.A 、C A r r δδ23=； B 、C A r r δδ3=； C 、C A r r δδ23=； D 、C A r r δδ21=. 13. 匀质圆盘半径为r ，质量为m ，在半径为R 的固定圆柱面内纯滚动，如图2-6所示，则圆盘的动能为（ ）.A 、2A 2mr 43ω=T ； B 、22mR 43ϕ =T ； C 、22r)-m(R 21ϕ =T ； D 、()22r -R m 43ϕ =T . 14. 一匀质杆OA 与匀质圆盘在圆盘中心A 处铰接，在如图2-7示位置时，OA 杆绕固定轴O 转动的角速度为ω，圆盘相对于杆OA 的角速度为ω，设OA 杆与圆盘的质量均为m ， 圆盘的半径为R ，杆长R L 3=，则此时该系统对固定轴O 的动量矩大小为（ ）.A 、ω2022mR J =B 、ω205.12mR J =C 、ω2013mR J =D 、ω2012mR J =解：利用质点系对某一固定点O 的动量矩，等于其质心的动量对该点的矩与质点系相对于质心的动量矩之矢量和，即 c c c J v m r J +⨯=0 ，求圆盘对O 的动量矩，为图2-4图2-7)2(21)3(222ωωmR R m J o += 注明：质点系相对于质心的动量矩也要用绝对速度来计算.而 ω21)3(31R m J o = ，又因1o J 与2o J 方向相同，则 ω22113mR J J J o o o =+=15. 某瞬时，刚体上任意两点A 、B 的速度分别为A v 、B v ，则下述结论正确的是（ ） A 、当B A v v =时，刚体必作平动；B 、当刚体作平动时，必有B A v v =，但A v 与A v 的方向可能不同；C 、当刚体作平动时，必有B A v v =；D 、当刚体作平动时，A v 与A v 的方向必然相同，但可能B A v v ≠.答案：1.C ； 2.C ； 3.C ； 4.B ； 5.A ； 6.B ； 7.A ； 8.A ； 9.B ； 10.D ； 11.C ； 12.C ；13.D ；14.C ；15.C.三、是非题1. 只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬间的运动状态就完全确定了.（ ）2. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态.（ ）3. 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是所受力的方向.（ ）4. 同一运动的质点，在不同的惯性参考系中运动，其运动的初始条件是不同.（ ）5. 在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0.（ ）6．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定.（ ）7．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动.（ ）8. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动.（ ）9．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应.（ ）10．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡.（ ）11. 作平面运动刚体的动能等于它随基点平动的动能和绕基点转动动能之和.( )12. 如果某质点系的动能很大，则该质点系的动量也很大.（ ）13. 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反.（ ）14. 在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动.（ ）15. 质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩.（ ）16. 牵连运动是指动系上在该瞬时与动点重合的点对于定系的运动.（ ）17. 刚体处于瞬时平动状态时，刚体的角速度和角加速度在该瞬时都等于零.（ ） 18. 如果作用于质点系上的外力对固定点O 的主矩不为零，那么质点系的动量矩一定不守恒.（ ）19. 不论刚体作何种运动，其惯性力系向任一点简化的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向，即c Q a m R -=.（ ）20. 因为构成力偶的两个力满足F F '-= ，所以力偶的合力等于零.（ ）21. 因为实位移和虚位移都是约束所许可的无限小位移，所以实位移必定总是诸虚位移中的一个.（ ）22. 广义坐标不能在动参考系中选取.（ ）23. 任何其它的动力学方程都可由动力学普遍方程推导出来.（ ）24. 力k z y x j z y x i z y x F )12222()224()242(--+++++++=是保守力.（ ） 25. 对于平动参考系，绝对速度一定大于相对速度.（ ）26. 在基本形式的拉格郎日方程中，广义力既包含主动力也包含约束力.（ ） 27. 质点在有心力作用下，一定是角动量守恒、机械能守恒.（ ）28. 平面平行运动的刚体，其转动角速度与基点的选择无关.（ ）答案：1. 错； 2. 对； 3. 错； 4. 对； 5. 错； 6. 对； 7. 错； 8. 错； 9. 对；10. 错； 11.错；12. 错；13. 对；14. 错；15. 对；16. 错；17. 错；18. 错；19. 对；20. 错；21. 错；22.错；23.对；24. 对；25. 错；26. 错；27. 对；28. 对.四、证明题1. 证明：变换qp Q = ，p P ln =是正则变换. 解：由题意，qQ p = ，q Q P ln =; 以此代入正则变换关系式，则 dU qQ Q Q d dQ q Q dq q Q PdQ pdq =-=-=-)ln (ln ∴ 母函数 q Q Q Q Q q U ln),(-= 问题得证. 2. 均质实心圆球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，证明它们经过相等距离所需的时间比是5:21.解：设空心球角加速度为1α，实心球角加速度为2α，则111M I =α；222M I =α21212113532r m r m r m I =+=；22222225752r m r m r m I =+=θθαsin 5335sin 2111r g r m gr m ==；θθαsin 7557sin 2222r g r m gr m == 5375> ∴ 12αα> 又 2222112121t a t a S ==212512122221===ααa a t t 21521=t t 3.质量为m 的小环M ，套在半径为a 的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动.如果圆圈在水平面内以匀角速ω绕圈上某点o 转动，证明小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：证：以地面为参考系，则小环的运动微分方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-2sin 22cos 2θϕϕθϕN r r m N r r m 其中θθωϕθ,2,2cos 2+==t a r 为M 与圆心C 的连线和通过O 点的直径间所夹的角()θωωθθθθθωθθθθϕϕϕθ222cos 2sin 212sin 22cos 22tan 222++--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=a a a a r r r r 化简得 0sin 2=+θωθ或用平面转动非惯性系动力学求解.v m r m r m F a m '⨯-+⨯-=' ωωω22n t e a e a r 2cos 2cos 22sin 2cos 2θθθθ--= θωθsin 2a m ma dtv d m -==' 0sin 2=+θωθ4.一光滑球A 与另一静止的光滑球B 发生斜碰.如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之.证：以AB 连线建立x 坐标轴.设A 以初始速度为0v 沿x 轴正向与B 相碰，碰撞后，A 、B 速度分别为1v 、2v，其sin 2=+⋅⋅θωθ与x 轴正向夹角分别为1θ、2θ.以A 、B 为研究对象，系统不受外力，动量守恒.x 方向： 22110cos cos θθmv mv mv += （1）垂直x 轴方向： 2211sin sin 0θθmv mv -= （2）因 210v m v m v m +=，210v v v+=，则)cos(22121222120θθ+++=v v v v v （3） 整个碰撞过程只有系统内力做功，系统机械能守恒：222120212121mv mv mv += （4） 由（3）、（4）得0)cos(22121=+θθv v()⋅⋅⋅=+=+,2,1,0221k k ππθθ即两球碰撞后速度相互垂直，结论得证.5. 试证质点受有心力作用而作圆θcos 2a r =的运动时，则5228rh ma F -=. 证明：θcos 211a r u ==； θ222cos 41a u = θθθ2c o s 2s i n a d du = r ra a d u d 18)cos 1cos 2(2132322-=-=θθθ 22u r h θθ==代入比耐公式 (22u h m F u d u d -=+)22θ 得 5228rh ma F -= 五、计算题1. 质量为1m 的质点B ，沿倾角为α的光滑直角劈A 滑下，劈的本身质量为2m ，又可在光滑水平面上自由滑动.试求：（a ）质点水平方向的加速度；（b ）劈的加速度.解：把21,m m 视为一个系统，系统在x 轴方向动量守恒 0=c x（1） 02211=+x m xm （2）求导： 1212x m m x-= （3） 21x a x x +'=；21x x a x -='；21y y a y-=' （4） 2121tan xx yy a a xy ---=''-=α；且02=y（5） 所以， αtan 22111m m m x y +-=（6） αsin 111R x m = ；g m R ym 1111cos -=α （7） 由（3）（6）（7）式可解得：g m m m x ααα21221sin cos sin +=；g m m m x ααα21212sin cos sin +-= 2. 半径为c 的均质圆球，自半径为b 的固定圆球的顶端无初速地滚下，试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度.解：设ω为A 球绕其球心旋转的角速度.ωθc b c =+ )( θω cb c += θωθcos )()52(21)(22222b c mg mc b c m V T L +-++=-=⋅θθθcos )()(5)(22222b c mg b c m b c m +-+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+++=∂∂=θθθθθ222)(57)(52)(b c m b c m b c m LP2)(75b c m P +=⋅θθ ，2)(75b c m P +=⋅⋅⋅θθ θθθααcos )()(75)(107)(7522222b c mg b c m P b c m b c m p L q p H ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=-=⋅∑ θθcos )()(14522b c mg b c m P +++=θθθsin )(b c mg H P +=∂∂-=， )(sin 75)(sin )(752b c g b c m b c mg +=++=⋅⋅θθθ A 球球心下降的切向加速度：θθsin 75)(g b c a A =+=⋅⋅图5-2图5-13. 质量为M ，半径为r 的均质圆柱体放在粗糙水平面上.柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m 的物体.设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的.求圆柱体质心的加速度1a ，物体的加速度2a 及绳中张力T .解：如图，设圆柱体的转动角速度为kωω-=，设它受到地面的摩擦力为f ，由动量定理和动量矩定理知：1Ma xM f T Fc x==+=∑ （1） ω 221Mr fr Tr M z-=+-=∑ （2） 对于滑块，由动量定理知：2ma ym mg T Fy-==-=∑ （3） 又由无滑滚动条件知：ωr xc = ，两边对时间求导得： ω r xa c ==1 （4） 以C 为基点： ωr a a Ax +=1 假设绳不可拉伸.则 2a a Ax =故 ωr a a +=12 （5） 联立求解，得：mM mMgT m M mg a m M mg a 833,838,83421+=+=+=4. 一轮的半径为r ，以匀速0v 无滑动地沿一直线滚动.求轮缘上任一点的速度及加速度及最高点与最低点的速度、加速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？解：如题图所示坐标系oxyz .由于球作无滑滚动，球与地面的接触点A 点为转动瞬心.以O 为基点.设球的角速度kωω-=，则0)()()(000=-=-⨯-+=⨯+=i r v j r k i v v v Aωωωrv =ωm图五.3图5-3 题五.3图'm题五.1图A图5-4设轮缘上任意一点p ，与x 轴交角为θ，则j r i r OPθθsin cos +=故)sin cos ()(00j r i r k i v v v pθθωω+⨯-+=⨯+=j r i r vθωθωcos )sin (0-+=当 90=θ时，得最高点的速度 i v v top 02=当090-=θ时，得最低点的速度 0==A bottom v v)(0dtd a a p ⨯⨯+⨯+=ωωω)]sin cos ()[()(j r i r k k θθωω+⨯-⨯-=)sin (cos sin cos 2022j i rv j r i r θθθωθω+-=--=当 90=θ和 90-时分别得到最高点和最低点的加速度j rv a top20-=， j r v a a A bottom 20==5. 半径为a 质量为m 的圆柱体，沿着倾角为α的粗糙斜面无滑动地滚下.试求质心沿斜面运动的加速度.解：方法1 ，在图中，g m 为重力，N为约束反作用力的法向分量，f为约束反作用力的切向分量（即摩擦阻力）；O O x c '=，为圆柱体的质心在时间t 内的位移（当0=t 时，圆柱体自斜面的最高点o 开始下滚），而θ则为其所转过的角度.因为无滑动地滚下，则有约束方程θa x c = （1）令k 为圆柱体对轴线的回转半径，则因2mk I c =，故动能为 2222121θmk x m T C += 而 θ a xc =，故 222)1(21c xak m T += （2） 至于势能V （取静止时的势能为零）则为αsin c mgx V -= （3）由E V I mv c c =++222121ω 得 y题五.2图图5-5E mgx xak m c c =-+αsin )1(21222 （4） 式中E 为总能，是一常数.将（4）式对t 求导，得221sin ak g xc +=α方法2，取消约束后，约束反作用力的法向分量N 及切向分量f 和重力mg 都是外力，故由y C x C F ym F xm == 和 c c M I =ω，得圆柱体的动力学方程为 ⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=fa mk mg N f mg xm C θαα 2cos 0sin因 θa x c =，故由第一式和第三式将f 消去，得 221sin a k g x C +=α6.P 点离开圆锥顶点o ，以速度v '沿母线作匀速运动，此圆锥则以匀角速ω绕其轴转动.求开始t 秒后P 点绝对加速度的量值，假定圆锥体的半顶角为α.解：如图所示，直角坐标oxyz 的原点位于圆锥顶点，ox 轴过圆锥的对称轴.o '为P 点在轴上对应的一点，且有x P o ⊥'轴，所以P 点的绝对加速度v R a a '⨯+-'= ωω22)sin (cos 202j i v i oααωω+'⨯+'-=k v j t vαωαωsin 2sin 2'+'-=故 4sin 22+'=t v a ωαω7. 如图所示，一质量为m 半径为a 的均质圆球，被握着静止在另一半径等于b 的固定圆球的顶点.其后把手放开，使其自由滚下.求：（1）判断该体系属于刚体中的哪种运动形式，并说出该运动的自由度是几个？（2）当两球分开时，两球的联心线和竖直向上的直线间所成的角度θ.解:（1）平面平行运动，3个自由度.（2）小球满足机械能守恒（如图选择零势能参考点） 222121c o s )()(ωθI mv b a mg b a mg +++=+ x 题 五 . 3 图图5-6252mr I =由于是纯滚动故 ωr v =代入上式得 7)cos 1)((102θ-+=b a v当小球离开球面时，小球与大球的作用力等于0，因此质心运动的法向方程为ba v m mg +=2cos θ整理得 1710cos =θ 01541710==-arc θ 8. 在光滑水平管内，有一质量为m 的小球 .管以恒定的角速度ω绕过管端的竖直轴转动，开始时小球相对于管静止在距转轴为a 2处.求此后小球相对于管的运动规律和对管的压力.解：通过受力分析可得其运动微分方程202y zmx m x my R mg mz m x R ωω==-==-从而得 02=-x x ω其通解为 t t Be Ae x ωω-+=t t e B e A xωωωω--= 当0,20===xa x t 时， 代入上两式得 02=-+=B A BA a则 a B a A ==, 故t ch ae ae x t t ωωω=+=-对管的压力大小为t sh ma e a e a m xm N t t z ωωωωωωωω22)(22=-==- 方向为垂直纸面向外 mg N y = 方向竖直向下9. 如图所示，质量为1m 的质点被限制在固定的光滑直线ox 上滑动，另一质量为2m 的质点，以一长度为l 的无质量杆和1m 相连，设杆仅在通过固定直线ox 的竖直平面内运动，且二质点仅受重力作用.（1）试写出拉氏函数，并判断是否含有循环坐标，判断的依据是什么？（2）用拉格朗日方程求其动力学方程. 解：（1） 2S =，）；（ϕx 为广义坐标. 设任意时刻t ，l 与ox 的夹角为ϕ，1m 距原点为x ，则⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos 2222 l y l x xl y l x x .所以，动能为 2221211[(sin )(cos )]22T m x m x l l ϕϕϕϕ=+-+选择ox 轴所在平面为零势能参考点，故 ϕs i n 2gl m V = 22122211()(2sin )sin 22L m m x m l l x m gl ϕϕϕϕ=++--由上式可知不显含x ，x 为循环坐标.判断依据为 0Lx∂=∂.（2）代入保守系的拉格朗日方程得 222222(12)2c o s s i n 0c o s s i n 0m m x m l m l m l m gl m x l ϕϕϕϕϕϕϕ+--=+-=六、问答题1. 在极坐标系中，r v r =，θθ r v =，为什么？2θ r r a r-=而非r ，为什么？θθθ r r a 2+=而非θθ r r +，为什么？请说出r a 中的2θ r -和θa 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？答：质点运动时，径向速度r v 和横向速度θv的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映了r v 本身大小的改变，θa 中的θθr r +只是θv 本身大小的改变.事实上，横向速度θv方向的改变会引起径向速度r v 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度r v的方向改变也会引起θv大小的改变，另一个θ r 即为反映这种改变的加速度分量，故2θr r a r -=，.2θθθ r r a +=.这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况.2. 在怎样的运动中只有τa 而无n a ？在怎样的运动中又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中既有n a 又有τa ？答：质点在直线运动中只有τa 而无n a ，质点的匀速曲线运动中只有n a 而无τa ；质点作变速曲线运动时既有n a 又有τa .3. 某人以一定的功率划船，逆流而上；当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中；两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶；追到渔竿之处是在桥的下游m 600的地方，问河水的流速是多大？答：设人发觉渔竿落水时，船已上行S '，船的相对速度为船V （根据题意为一常数），上行时船的绝对速度水船V V -，则2)(⨯-='水船V V S ①船反向追赶竿的速度水船V V +，设船反向追上竿共用时间t ，则 S t V V '+=+600)(水船 ② 又竿与水同速，则600)2=+t V （水 ③联立求解得 14600-=船船水V V V4. 一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心.对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可.5. 水面上浮着一只小船.船上一人如何向船尾走去，则船将向前移动.这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之.答：不矛盾.因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变.当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的.6. 秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功.重力是保守力，故重力势能与动能相互转化.当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高.这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的.7. 刚体一般是由n （n 是一个很大得数目）个质点组成.为什么刚体的独立变量却不是n 3而是6或者更少？答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需n 3个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量.8. 简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？答：主矢R F是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，被称为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r也就不同，则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩.主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动.设O 和O '对质心C 的位矢分别为c r 和c r '，则O O r r c c '+='，把O 点的主矢∑=ii F F ，主矩o M移到C 点得力系对质心的主矩∑⨯+=ii c o c F r M M把O '为简化中心得到的主矢∑=ii F F 和主矩o M ' 移到C 点可得∑∑∑⨯+=⨯'++=⨯'+=''ii c o ii c o ii c o c F r M F O O r M F r M M)(简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动.事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应.9. 转动瞬心在无穷远处，意味着什么？答： 转动瞬心在无穷远处，标志着此瞬时刚体上各点的速度彼此平行且大小相等，意味着刚体在此瞬时的角速度等于零，刚体作瞬时平动.10. 在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？答：人随卫星式飞船绕地球转动过程中受到惯性离心力作用，此力与地心引力方向相反，使人处于失重状态，故感到身轻如燕.11. 惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？答：惯性离心力是随转动坐标系一起转动的物体受到惯性力，它作用于随动系一起转动的物体上，不是物体间的相互作用产生的，也不产生反作用力，是物体的惯性在非惯性系中的反映；离心力是牛顿力，是作用于给曲线运动提供向心力的周围物体上的力，或者说离心力是作用于转动坐标系上的力，它是向心力的反作用力.12. 对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？答；单线铁路上，南来北往的列车都要通过，以北半球为例，火车受到的科氏惯性力总是指向运动方向的右侧（南半球相反），从北向南来的列车使西侧铁轨稍有磨损，故两条铁轨的磨损程度并不相同.13. 虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？答：作用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功；而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的瞬时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的且与过程无关（0=t δ）的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F Wδδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于。