《常微分方程》期末考试试卷

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《常微分方程》期末考试A 卷
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一、 填空题（每个空格4分，共40分）
1、 2
230dy dy x y dx dx ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭ 是 阶微分方程，
是 方程（填“线性”或“非线性” ）。

2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。

3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是。

4、方程
''2
1=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。

5、微分方程22250+=d y
y dx
的通解为 。

6、微分方程22680-+=d y dy
y dx dx
的通解为 ，
该方程可化为一阶线性微分方程组 。

二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。

1、
-=x y dy
e dx
；
2、24+=dy
xy x dx ；
3、22265t d x dx
x e dt dt
++=；
4、2453dx
x y dt
dy x y dt
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .
三、（8分）考虑方程
2(9)(,),=-dy
y f x y dx
假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3<y ，方程满足
00()y x y =的解都在(,)-∞+∞上存在。

四、（10分）设121111201A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求解方程组dX AX dt
=满足初始条件1(0)00ϕ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的解()t ϕ。

五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。

证明：见书。

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