西电微波技术基础Ch02

先考虑源条件
U ( 0) A1 A2 Eq I0 Z g Z0 I (0) A1 A2 I 0 Z0 A1 A2 A1 A2 Wq Zq Z0
四、无耗传输线的边界条件
即
jl jl
A1e
A2 e
Zl ( A1e jl A2 e jl ) Z0
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
一、低频传输线和微波传输线
看来，微波传输线必须走自己的路。每一种事物都 有自己独特的本质，硬把不适合的情况强加给它， 必然会出现荒唐的结论。刚才讨论的例子正是因为 我们硬设想把微波“关在”铜导线内传播，事实上 也不可能。“满圆春色关不住，一枝红杏出墙来” 微波功率应该(绝大部分)在导线之外的空间传输， 这便是结论。 最简单而实用的微波传输线是双导线，它们与 低频传输线有着本质的不同：功率是通过双导线之 间的空间传输的。
第2章
传输线方程
Transmission Line Equation
上面讨论了微波基本概念，并且指出了工程中 所关心的微波传输问题。微波传输的最明显特征是 别树一帜的微波传输线，例如，双导线、同轴线、 带线和微带等等。我们很容易提出一个问题：微波 传输线为什么不采用50周市电明线呢?
一、低频传输线和微波传输线
u u( z , t ) i i( z , t )
(2-1)
二、传输线方程
i(z) u(z) z L z i(z+ z) u(z+ z) z+ z R z
C z
G z
图 2-5
长线效应
二、传输线方程
利用Kirchhoff 定律，有
i u z Ri L t i Gu C u z t
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt i( z , t ) Re I ( z )e jt



(2-4)
ห้องสมุดไป่ตู้
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
U l Z 0 I l j l A2 e 2
得到
1 1 U ( z ) (U l Z0 Il )e j ( l z ) (U l Z0 Il )e j ( l z ) 2 2 1 1 I( z ) (U l Z0 I l )e j ( l z ) (U l Z0 Il )e j ( l z ) 2 Z0 2 Z0
三、无耗传输线方程
很易得到
C jz jz I( z ) ( A1e A2 e ) ( A1e jz A2 e jz ) L L
1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
L 其中，特性阻抗 Z0 C
均匀平面波中波阻抗

。式(2-8)称为传输线方程之通解。而
(2-6)
二次求导的结果
d 2E k2E 0 2 dz d2H k2H 0 dz 2
d 2U 2U 0 dz 2 d2I 2I 0 dz 2
(2-7)
三、无耗传输线方程
同样，和均匀平面波类比 k
LC ,
k
最后，求解的结果也作了类比.
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理 由很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要 深入研究这个问题。
1、低频传输线
在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知，Poynting矢量集中在导体内部传播， 外部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
2

——称之为集肤深度。
一、低频传输线和微波传输线
I Jds J 0 e a ( r0 r ) ds E0 e a ( r0 r ) rdrd 1 r0 I 2E0 e re dr 2E0 e rde ar 0 a 0 r0 ar0 1 ar ar 2E 1 r 1 1 e ar0 2E0 e re e dr 0 0 0 a a a2 a2
最后得到
U ( z ) U (0)cos z jZ0 I ( 0)sin z I( z ) j U ( 0) sin z I ( 0)cos z Z0
(2-12)
四、无耗传输线的边界条件
3. 电源阻抗条件(已知 已知
Eq , Zq 和Zl
)
I ( 0) I 0
U ( 0 ) E q I 0 Zq I (l ) Il U ( l ) I l Zl
一、低频传输线和微波传输线
Ohm定律解决即可，无须用电磁理论。不论导线怎样 弯曲，能流都在导体内部和表面附近。(这是因为场 的平方反比定律)。 J , ＋ £
E2= J Et E1 H S V
－
图 2-1
低频传输线
一、低频传输线和微波传输线
［例1］计算半径r0=2mm=2×10-3m的铜导线单位长度 的直流线耗R0 计及 J E
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
e jz ' cos z ' j sin z ' jz ' e cos z ' j sin z '
最后得到
U ( z ') U ( l )cos z ' jZ0 I ( l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I ( l )cos z ' Z0
ar0 r0 ar ar0
计及在微波波段中， 1/ a是一阶小量，对于1 / a 2及以 上量完全可以忽略。则
I 2E0 r0
而
E0 l l R I 2r0
一、低频传输线和微波传输线
和直流的同样情况比较
5.08 10 7
0.066 / R f , 若f=1010 Hz , 0.66 10 6 1 2 2 10 383 10 .
A1、A2 的确定还需要边界条件。
四、无耗传输线的边界条件
把通解转化为具体解，必须应用边界条件。所讨论的 边界条件有：终端条件、源端条件和电源、阻抗条件。 所建立的也是两套坐标，z从源出发， z'从负载出发。 1. 终端边界条件(已知 U l , Il ) 代入解内，有
U ( l ) U l I (l ) Il
U ( z ) A1e jz A2 e jz I( z ) 1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
E ( z ) A1e jz A2 e jz H(z) 1

( A1e jz A2 e jz )
(2-8)
作为注记
dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) dz dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) jLI ( z ) dz
四、无耗传输线的边界条件
1 1 U ( z ) (U 0 Z0 I 0 )e jz (U 0 Z0 I 0 )e jz 2 2 1 1 jz I( z ) (U 0 Z0 I 0 )e (U 0 Z0 I 0 )e jz 2 Z0 2 Z0
3
383 10 .
2.07 /m
从直流到1010Hz，损耗要增加1500倍。
r0 R 1515 103 . R0 2
一、低频传输线和微波传输线
r0
r0
图2-2 直线电流均匀分布
图2-3
微波集肤效应
损耗是传输线的重要指标，如果要将 r0 r ，使损耗 与直流保持相同，易算出
1 r 303 m . 2R0
一、低频传输线和微波传输线
也即直径是d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波 传输线，而应称之为微波传输“柱”比较合适，其 粗度超过人民大会堂的主柱。2米高的实心微波传输 铜柱约514吨重(铜比重是8.9T/m3)，按我国古典名 著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙 王水晶宫的定海神针，重10万8千斤，即54吨。而这 里的微波柱是514吨，约9根金箍棒的重量，估计孙 悟空是无法拿动的! 集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几 乎物，并无能量传输无。
再考虑终端条件
U (l ) A1e jl A2 e jl Zl Il Z0 I (l ) A1e jl A2 e jl
U l A1e jl A2 e jl 1 I l ( A1e jl A2 e jl ) Z0
四、无耗传输线的边界条件
图 2-6
边界条件坐标系( ( z z' 1) )
四、无耗传输线的边界条件
代入通解，为
A1 U l Z 0 I l j l e 2
I JS Er02 V Edl
同时考虑Ohm定律
V 1 Edl l R0 I Er02 r02 58 10 7 (2 10 3 )2 . 137 10 3 / m .
. 代入铜材料 58 107
一、低频传输线和微波传输线
du ( R jL) I ZI dz dI ( G jC )U YU dz
(2-5)
三、无耗传输线方程
无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一，可表 示为：R=0，G=0这时方程写出
dU jLI dz dI jCU dz
dE jH dz dH jE dz
(2-10)
四、无耗传输线的边界条件
2. 源端边界条件(已知
U 0 , I0
)
U (0) U 0 I ( 0) I 0
在求解时，用 l 0 代入，形式与终端边界条件相同
1 A1 (U 0 Z0 I 0 ) 2 1 A2 (U 0 Z0 I 0 ) 2
(2-11)
(2-2)
当典型Δz→0时，有
i( z , t ) u( z z , t ) u( z , t ) Ri( z , t ) L z t i( z z , t ) i( z , t ) Gu( z , t ) C u( z , t ) z t
2. 微波传输线 当频率升高出现的第一个问题是导体的集肤效应 (Skin Effect)。导体的电流、电荷和场都集中在导 体表面 ［例2］研究 f=10GHz=1010Hz、l=3cm、r0=2mm导线 的线耗R 这种情况下，J J 0 e a( r0 r ) 其中, J 0 是r r0 的表面电流密度，a是衰线常数。对 于良导体，由电磁场理论可知 1