2018学年第二学期高二数学《复数的几何意义》学案含答案

3.1.2 复数的几何意义

学习目标 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.

知识点一 复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念

根据复数相等的定义，任何一个复数z ＝a ＋b i ，都可以由一个有序实数对(a ，b )唯一确定.因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.

如图所示，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C 和复平面内

所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i 复平面内的点

Z (a ，b )，这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i ，连接OZ ，显然向量OZ →由点Z

唯一确定；反过来，点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ

→唯一确定.因此，复数

集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复

数z ＝a ＋b i 平面向量OZ

→，这是复数的另一种几何意义.

【预习评价】

1.实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？

提示 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应. 2.判断下列命题的真假：

①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.

提示 ①②③正确，④⑤错误.因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以④错.因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，故⑤错. 知识点二 复数的模

如图所示，向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|.如果

b ＝0，

那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(就是a 的绝对值).由模的定义可知：|z |

＝|a ＋b i|＝r r ≥0，r ∈R ). 【预习评价】

复数的模的几何意义是什么？

提示 复数z 在复平面内对应的点为Z ，复数z 0在复平面内对应的点为Z 0，r 表示一个大于0的常数，则：

①满足条件|z |＝r 的点Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |＜r 表示圆的内部，|z |＞r 表示圆的外部；

②满足条件|z －z 0|＝r 的点Z 的轨迹为以Z 0为圆心，r 为半径的圆，|z －z 0|＜r 表示圆的内部，|z －z 0|＞r 表示圆的外部.

题型一 复数与复平面内的点

【例1】 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点： (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.

解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.

(1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.

(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0，

m 2＋3m －10＞0，

∴2

(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2

(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝2

5.

规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征. 【训练1】 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i.

(1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.

解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方.

(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－5

2，

所以当m ＝1或m ＝－5

2时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上. 题型二 复数的模的几何意义

【例2】 设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形. (1)|z |＝2； (2)1≤|z |≤2.

解 (1)法一 |z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.

法二 设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.

(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤2，

|z |≥1.

不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.

这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.

规律方法 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点