《2.9第九节 函数与方程》 学案

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7．设函数 f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于 x 的函数 F(x) ＝g(x)－f(x)－m 在[1,2]上有零点，求 m 的取值 范围．
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课程小结
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学习过程 一、复习预习 1. 函数图像的作法 2. 函数图像的变换
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二、知识讲解 考点 1 函数的零点 (1)定义： 对于函数 y＝f(x)(x∈D) ，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与 x 轴交点间的关系： 方程 f(x) ＝0 有实数根⇔函数 y＝ f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝ f(x) 有零点． (3) 函数零点的判定 ( 零点存在性定理 ) ：如果函数 y ＝ f(x ) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)· f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b) ，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x) ＝0 的根
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四、课堂运用 【基础】 2x－1，x≤1， 1．已知函数 f(x)＝ 则函数 f(x)的零点为( 1＋log2x，x>1， 1 A. ，0 2 C. 1 2 B．－2,0 D ．0 )
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2．函数 f(x) ＝ex ＋x－2 的零点所在的一个区间是( A．( －2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
第九节
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 方程的根与函数零点的关系 2. 函数零点的判断方法 知 识 点 3. 二分法的概念 4. 用二分法求函数零点问题 5. 函数零点个数问题 6. 函数与方程的综合问题 学习目标 学习重点 学习难点
函数与方程
适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
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1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解 . 函数的零点及二分法 函数的零点及二分法
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【例题 3】 e2 【题干】已知函数 f(x)＝－x2 ＋2ex＋m －1，g(x)＝x＋ (x>0)． x (1)若 y＝g(x)－m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．
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e2 【解析】 (1)法一：∵ g(x)＝ x＋ ≥2 e2 ＝ 2e， x 等号成立的条件是 x＝ e， ∴ g(x)的值域是 [2e，＋ ∞)． 因而只需 m≥2e，则 y＝g(x)－ m 就有零点． e2 法二：作出 g(x)＝ x＋ (x>0)的大致图象如图： x 可知若使 y＝g(x)－ m 有零点，则只需 m≥2e. (2)若 g(x)－ f(x)＝ 0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点， e2 作出 g(x)＝ x＋ (x>0)的大致图象． x ∵ f(x)＝－ x2＋ 2ex＋ m－ 1＝－ (x－ e)2＋ m－1＋ e2. ∴其图象的对称轴为 x＝ e，开口向下，最大值为 m－ 1＋ e2. 故当 m－ 1＋ e2>2e，即 m>－ e2＋ 2e＋ 1 时， g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)－ f(x)＝ 0 有两个相异实根． ∴ m 的取值范围是 (－ e2＋ 2e＋ 1，＋ ∞)．
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【例题 4】 【题干】 (2012· 福建高考)对于实数 a 和 b，定义运算“*”：
a2－ab，a≤b， a*b＝ 2 设 f(x) ＝(2x－1)*(x－1)，且关于 x 的方程 f(x) ＝m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 ，x2， b －ab，a>b. x3，则 x1x2x3 的取值范围是________．
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【例题 2】
1，x>0， 【题干】已知符号函数 sgn(x)＝ 0，x＝0， －1，x<0，
A．1 C．3 B．2 D ．4
则函数 f(x) ＝ sgn(x－1)－ ln x 的零点个数为(
)
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【答案】 C 【解析】依题意得，当 x－ 1>0，即 x>1 时， f(x)＝ 1－ ln x，令 f(x)＝ 0 得 x＝ e>1；当 x－1＝0，即 x＝ 1 时， f(x)＝ 0 1 － ln 1＝ 0；当 x－ 1<0，即 x<1 时， f(x)＝－1－ ln x，令 f(x)＝ 0 得 x＝ <1.因此，函数 f(x)的零点个数为 3. e
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【答案】
(1)B (2)2
3 3 1 3 3 1 【解析】 (1) 易知函数 f(x)在 R 上是单调减函数． 对于 A，注意到 f－ 4＝e 4 － 4×－ 4－ 3＝ e 4 >0，f－ 2＝ e 2 － 1 1 －1 － 3 1 1 4× 2－ 3＝ e 2 － 1>0，因此函数 f(x)＝ e x－ 4x－3 的零点不在区间－4，－2上；对于 B，注意到 f－ 2>0， f－4＝ 1 1 1 1 1 1 － 1 e 4 － 4×－4－ 3＝ e 4 － 2<4 4 － 2<0， 因此在区间－2，－ 4上函数 f(x)＝ e x－ 4x－ 3 一定存在零点； 对于 C， 注意到 f－4 1 1 －1， 0 1 <0，f(0)＝－2<0，因此函数 f(x)＝ e － 4x－ 3 的零点不在区间 4 上；对于 D，注意到 f(0)＝－2<0，f4＝ e 4 － 4×4
－x
－ 3＝ e

1 4
1 － － 4<0，因此函数 f(x)＝ e x－4x－ 3 的零点不在区间0，4 上．
1 2 (2) ∵函数 f(x)的定义域为 (0， ＋ ∞)， ∴函数 f′(x)＝ ＋ 2>0， 即函数 f(x)在 (0， ＋ ∞)上单调递增． 由 f(2)＝ ln 2－ 1<0， x x 2 f(e)＝ ln e－ >0，知 x0∈ (2， e)， e ∴ g(x0)＝ [x0]＝ 2.
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5．已知函数 f(x)满足 f(x＋1)＝－f(x)，且 f(x)是偶函数，当 x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间 [－1,3]内，函数 g(x)＝f(x) －kx－k 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围为________．
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【拔高】 6．若函数 F(x)＝ |4x－x2 |＋a 有 4 个零点，求实数 a 的取值范围．
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三、例题精析 【例题 1】 【题干】
(1)在下列区间中，函数 f(x)＝ e x－4x－3 的零点所在的区间为( 1 1 B.－2，－ 4 1 D.0，4
－
)
1 3 A.－4，－ 2 1 C.－ 4，0
2 (2)已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数， g(x)＝[x]为取整函数， x0 是函数 f(x)＝ln x － 的零点， 则 g(x0)等于________． x
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考点 2 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＞0 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c (a＞0)的图 象 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0)，(x2,0) 两个 (x1,0) 一个 无交点 零个 Δ＝0 Δ＜0
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考点 3 二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区 间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
)
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1 3．已知函数 f(x)＝ 5 x－log3x，若 x0 是函数 y＝f(x)的零点，且 0<x1<x0，则 f(x1)的值( A．恒为正值 C．恒为负值 B．等于 0 D．不大于 0
)
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【巩固】 4．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x>0 时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，则在 R 上，函数 f(x) 零点的个数为________．
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【答案】
1 － 3 ，0 16
2x－ 12－ 2x－ 1x－ 1， x≤0， 【解析】由定义可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝ x－ 12－ 2x－ 1x－ 1， x>0， 2x2－x，x≤0， 即 f(x)＝ 2 作出函数 f(x)的图象，如图所示， －x ＋x，x>0. 关于 x 的方程 f(x)＝m 恰有三个互不相等的实根 x1 ，x2，x3，即函数 f(x )的图象与直线 y ＝m 有三个不同的交点，则 1 0<m< .不妨设从左到右交点的横坐标分别为 x1，x2 ，x3. 4 1 x2＋x3 2 当 x>0 时，－x2＋x ＝m，即 x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，∴0<x2x3< ，即 0<x2x3<4； 2 1 2x2－x＝ ， 1－ 3 1－ 3 3 －1 4 当 x<0 时，由 得 x＝ ，∴ <x1<0.∴0<－x1< . 4 4 4 x<0， ∴0<－x1x2x3< 3－1 1－ 3 .∴ <x1x2x3<0. 16 16