第15届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛

高一 第1试

一、选择题（每题4分，共40分）

1．函数()tan 2f x x =的最小正周期是（ ）

A. 2π

B. π

C.

2

π

D.

4

π

2．函数12

()log cos f x x =在()0,2x π∈时的单调递增区间是（ ）

A ． 0,

2π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

B ． ()0,π

C ． (),2ππ

D ． 3,22π

π⎛⎫

⎪⎝⎭

3．对于任意实数x ，若不等式34(0)x x a a -+->>恒成立，则实数a 应满足（ ）

A ． 01a <<

B ． 01a <≤

C ． 1a >

D ． 1a ≥

4．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别为n S 、n T ，且

3323

n n

S n T n -=+，则

66

a b =（ ）

A ．32

B ．1

C ．65

D ．2723

5．如图，EF 是梯形ABCD 的中位线，则在向量1()2

A D

B

C +

、

1()2A C B D + 、1(2)2

A D A

B

C

D --

中，与EF 相等的向量的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6．在△ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则该三角形一定是（ ） A ． 等腰三角形 B ． 等边三角形 C ． 直角三角形 D ． 钝角三角形 7

．函数()f x =

）

A ．是奇函数但不是偶函数

B ．是偶函数但不是奇函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数又不是偶函数

8．集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（ ） A ．加法 B ．减法 C ．乘法 D ．除法

9．等比数列{}n a 中，“13a a <”是“79a a <”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

10．已知函数()f x 的图象与函数()3x

g x =的图象关于点()0,1对称，则()f x =（ ）

A.3log 1x -

B. 23x --

C. 3

x

-+ D. 32log x -

二、A 组填空题（每题4分，共40分）

11．已知函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨

⎩为有理数，

1，为无理数.

当x R ∈时，()()_______,f g x =()()_

____

__.g f x = 12．已知不等式0ax b +>的解集是{}2x x >，则不等式0bx a +>的解集是______________; 不等式0bx a +>的解集是________________.

13．一个等差数列共有12项，前4项的和是10，后4项的和是4，则中间4项的和是_______, 10项的和是_______.

14．某广告公司准备用200只彩色灯泡，设计成一个梯形图案，且每层比上面相邻的一层多1只灯泡，那么，最多的一层至多可安装_____________只灯泡, 最少的一层至少可安装_____________只灯泡.

15．数列{}n a 的前n 项的乘积2

10

2

12n n n P +-⎛⎫

=- ⎪

⎝⎭

，则2_____,a ={}n a 的前5项的和是

__________. 16．

已知函数()f x =，则函数()f x 的最大值与最小值之差

是________________.

17．定义在R 上的奇函数()f x ，在[)0,+∞上是增函数，若(1)(1)f f x <-，则x 的取值范围是______________.

18．已知函数2()f x x bx c =++在[]0,2上的最大值是t ，且(1)0,0,f b =>将t 表示成b 的函数()g b ，则()___________.g b = 19．函数cos(sin )y x =的值域是__________.

20．A creeper grows to length of 4m in 20 days by doubling its length everyday. How many days does it take to grow to a length of 14

m? Answer:______________.(英汉小词典：creeper: 攀缘

植物)

三、B 组填空（每小题8分）

21．Find the missing number in the sequence 3,6,13,28,________,122, 249,_______.

Answer:______________________.( 英汉小词典：sequence 数列 ) 22． 当7,

66x π

π⎡⎤∈⎢

⎥

⎣⎦

时，函数2

3sin 2cos y x x =--的最小值是______________，最大值是_________.

23．函数2

()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >

，可知()f x 的单调递增区间是________; 单