31角的概念的推广 全国高中数学新课程创新教学设计优秀案例

31 角的概念的推广

教材分析

这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．

教学目标

1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．

2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．

3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．

任务分析

这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握．

教学设计

一、问题情境

［演示］

1. 观览车的运动．

2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作．

3. 钟表秒针的转动．

4. 自行车轮子的滚动．

［问题］

1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？

2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？

3. 钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？

4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？

显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．

二、建立模型

1. 正角、负角、零角的概念

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．

2. 象限角

当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

3. 终边相同的角

在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）；

－330°＝30°－360°，（k＝－1）．

设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．

三、解释应用

［例题］

1. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．

（1）－150°．（2）650°．（3）－950°5′．

2. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′．

3. 写出终边在y轴上的角的集合．

解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝

｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝．

于是，终边在y轴上的角的集合为

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：会正确使用集合的表示方法和符号语言．

［练习］

1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°．

2. 辨析概念．（分别用集合表示出来）

（1）第一象限角．（2）锐角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角．

3. 一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．

4. 终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．

四、拓展延伸

1. 若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是．

2. 如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？

注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．

（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）

点评

这篇案例运用多媒体展示了生活中常见的实例，极易激发学生学习的兴趣和热情．在对知识的探讨过程中，特别注意了知识的形成过程，重点突出．例题的设置比较典型，难易度适中．练习题注重基础，但也有一定的梯度，利于培养学生灵活处理问题的能力，并为学生学习以后章节做了较好的铺垫．