2020年中考数学总复习教学质量检测试卷和参考答案(一)
北京市丰台区2020年中考数学综合练习(一) (解析版)
北京市丰台区2020年中考数学综合练习（一）一．选择题（共8小题）1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数将不少于16000000次．将16000000科学记数法表示应为（）A．16×106B．1.6×107C．0.16×108D．1.6×1083．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0D．﹣a＞b4．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1B．C．D．7．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）A．22.5B．25C．27.5D．308．为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y p就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是（）A．①③B．②③C．②D．③二．填空题（共8小题）9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．10．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为．11．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是．13．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为．14．如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是．15．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为元．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D 是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为．三．解答题（共8小题）17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD＝∠CAD．∵P A＝PE，∴∠P AD＝，∴∠PEA＝，∴PE∥BC．（）（填推理依据）．18．计算：（）﹣1﹣6tan30°﹣（﹣1）0+．19．解不等式组：．20．关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．21．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．22．如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．24．某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有人，其中单程不少于60分钟的有人．25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．26.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．27.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是E、F；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为（﹣3，3）；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数将不少于16000000次．将16000000科学记数法表示应为（）A．16×106B．1.6×107C．0.16×108D．1.6×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将16000000用科学记数法表示为：1.6×107．故选：B．3．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0D．﹣a＞b【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误，ab＜0，故选项C错误，﹣a＞b，故选项D正确，故选：D．4．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°，由翻折不变性可知：∠2＝∠4＝（180°﹣80°）＝50°，故选：A．5．若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】首先可求得每个外角为60°，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．【解答】解：180°﹣120°＝60°，360°÷60°＝6．故选：C．6．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1B．C．D．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，由a2+3a﹣2＝0，得到a2+3a＝2，则原式＝，故选：B．7．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）A．22.5B．25C．27.5D．30【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x＝5时，代入函数解析式求值即可．【解答】解：设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L＝kx+b，将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：，解得：，∴L与x之间的函数关系式为：L＝2x+15；当x＝5时，L＝2×5+15＝25（cm）故重物为5kg时弹簧总长L是25cm，故选：B．8．为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y p就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是（）A．①③B．②③C．②D．③【分析】根据题意在坐标系中画出对应的图象即可．【解答】解：如图所示：①中，与x＝6的交点大于75，故错误②中，乙与x＝6的交点大于甲与x＝6的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，正确③中，由图象可知，期末总评成绩占60%，故错误故选：C．二．填空题（共8小题）9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．10．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为．【分析】由质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，∴投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的概率为：＝．故答案为：．11．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是0（答案不唯一）．【分析】举出一个能使得ac＝bc或ac＜bc的一个c的值即可．【解答】解：若a＞b，当c＝0时ac＝bc＝0，故答案为：0（答案不唯一）．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是60°．【分析】根据垂径定理求出＝，求出、、的度数，即可求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵＝，∴＝＝，即、、的度数是＝120°，∴∠ACD＝°＝60°，故答案为：60°．13．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为．【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：y﹣x ＝4.5；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可．【解答】解：根据题意得：；故答案为：．14．如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是．【分析】由△EDF∽△CBF，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．AD＝BC，设AD＝3a，则AE＝a，∵DE∥BC，∴△EDF∽△CBF，∴＝＝＝故答案为．15．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为80元．【分析】分5种方案计算费用比较即可．【解答】解：连续6天不限次数乘坐地铁有5种方案方案①：买一日票6张，费用20×6＝120（元）方案②：买二日票3张：30×3＝90（元）方案③：买三日票2张：40×2＝80（元）方案④：买一日票1张，五日票1张：20+70＝90（元）方案⑤：买七日票1张：90元故方案③费用最低：40×2＝80（元）故答案为80．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D 是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为4．【分析】连接CD．根据直角三角形斜边中线的性质求出CD＝A′B′＝2，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：连接CD，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝4，∵DB′＝DA′，∴CD＝A′B′＝2，∴BD≤CD+CB＝4，∴BD的最大值为4，故答案为4．三．解答题（共8小题）17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD＝∠CAD．∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠PEA，∴∠PEA＝∠CAD，∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）（填推理依据）．【分析】（1）根据要求作图即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义求解可得．【解答】解：（1）如图所示：直线PE即为所求．（2）证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD＝∠CAD．∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠PEA，∴∠PEA＝∠CAD，∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）．故答案为：∠PEA，∠CAD，内错角相等两直线平行．18．计算：（）﹣1﹣6tan30°﹣（﹣1）0+．【分析】原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2﹣6×﹣1+2＝1．19．解不等式组：．【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可．【解答】解：由①得x≤2；由②得x＞﹣1；故不等式组的解集为﹣1＜x≤2．20．关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；（2）根据求根公式得出x1＝3，x2＝﹣m，即可求出m的值和方程的根．【解答】（1）证明：△＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣3m），＝m2﹣6m+9+12m，＝（m+3）2，无论m取任何实数，（m+3）2≥0，即△≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：∵△＝（m+3）2，由求根公式，得，，原方程的根为：x1＝3，x2＝﹣m，∵方程的两个根都是整数，∴取m＝1，方程的两根为x1＝3，x2＝﹣1．21．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，由菱形的判定可证结论；（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE＝DG＝6，DG∥EC，由直角三角形的性质可得BH＝DH＝3，HG＝DH＝3，即可求BG的长．【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCG，∵EG垂直平分CD∴DG＝CG，DE＝EC，∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC∴CE∥DG，DE∥GC∴四边形DECG是平行四边形，且DE＝EC∴四边形DGCE是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形DGCE是菱形，∴DE＝DG＝6，DG∥EC∴∠ACB＝∠DGB＝30°，且DH⊥BC∴DH＝3，HG＝DH＝3∵∠B＝45°，DH⊥BC∴∠B＝∠BDH＝45°∴BH＝DH＝3∴BG＝BH+HG＝3+322．如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAP＝∠BP A，可证∠BAP+∠P AO＝90°，∠C+∠CPO＝90°，结论得证；（2）作BD⊥AP于点D，先求出OB，OP的长，再求出CP长，根据△BPD∽△CPO，得出比例线段，求PD的长，则AP可求．【解答】（1）证明：∵AB＝BP，∴∠BAP＝∠BP A，∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA，∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠P AO＝90°，∵OA＝OC，∴∠P AO＝∠C，∵∠BP A＝∠CPO，∴∠C+∠CPO＝90°，∴∠COP＝90°，即CO⊥BO；（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，则BO＝5，OP＝2，在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4，则CP＝2，∵BA＝BP，∴AD＝PD，由（1）知∠COP＝90°，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO，∴△BPD∽△CPO，∴，即，∴PD＝，∴AP＝2PD＝．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．【分析】（1）由点A的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法可求出k值；（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三种情况考虑：①当AB＝AO时，利用等腰三角形的性质可求出CB1的长度，结合点C的坐标可得出点B1的坐标；②当OA＝OB时，由点A的坐标利用勾股定理可求出OA的长度，利用等腰三角形的性质可得出OB2的长度，进而可得出点B2的坐标；③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出点B3的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵点A（2，n）在双曲线y＝上，∴n＝＝4，∴点A的坐标为（2，4）．将A（2，4）代入y＝kx，得：4＝2k，解得：k＝2．（2）分三种情况考虑，过点A作AC⊥y轴于点C，如图所示．①当AB＝AO时，CO＝CB1＝4，∴点B1的坐标为（0，8）；②当OA＝OB时，∵点A的坐标为（2，4），∴OC＝4，AC＝2，∴OA＝＝2，∴OB2＝2，∴点B2的坐标为（0，2）；③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中，AB32＝CB32+AC2，即m2＝（4﹣m）2+22，解得：m＝，∴点B3的坐标为（0，）．综上所述：点B的坐标为（0，8），（0，2），（0，）．24．某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为31分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有200人，其中单程不少于60分钟的有8人．【分析】（1）用被抽查总人数乘以乘公共交通对应的百分比可得其人数，再减去其它分组的人数求出40≤x＜50的人数，从而补全图形；（2）根据中位数的概念计算可得；（3）利用样本估计总体思想计算可得．【解答】解：（1）∵选择公共交通的人数为100×50%＝50（人），∴40≤x＜50的人数为50﹣（5+17+14+4+2）＝8（人），补全直方图如下：（2）采用公共交通方式单程所花费时间共50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，所以采用公共交通方式单程所花费时间的中位数是＝31（分），故答案为：31；（3）估计该年级采用公共交通方式上学共有400×50%＝200（人），其中单程不少于60分钟的有200×＝8（人），故答案为：200、8．25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】535：二次函数图象及其性质．【分析】（1）利用配方法得y═m（x﹣3）2+1，由此即可得出顶点坐标；（2）根据抛物线的对称轴以及AB＝4，即可得到A、B两点的坐标，代入抛物线即可求出m的值；（3）结合图象即可得出当抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点时m的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣6mx+9m+1＝m（x﹣3）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（3，1）；（2）∵对称轴为直线x＝3，且AB＝4，∴A（1，0），B（5，0），将点A的坐标代入抛物线，可得：m＝﹣；（3）如图：①当m＞0时满足，解得：m＞；②当m＜时满足0，解得：m＜﹣1；]综上，m＜﹣1或m＞．26.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．【考点】LO：四边形综合题．【专题】152：几何综合题．【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△P AP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【解答】解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP＝AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠P AP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝＝2，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD＝C'D＝，OD＝AC＝1，∴C'G＝﹣1，∴S△AC'C＝AC•C'G＝＝﹣1．27.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是E、F；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为（﹣3，3）；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．【考点】MR：圆的综合题．【专题】21：阅读型；23：新定义．【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；（2）先求出C、D点坐标以及CD长度，分析出N点到坐标轴距离中最小距离为，从而确定r的最小值，根据CD长度确定r的最大值．【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是E、F．②点B在直线y＝x+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．∵k＞0，∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．依据“等距点”定义可得：当﹣3＜4k﹣3＜4时，k+3＝4，解得k＝1；当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．综上所述，k的值为1或2．②∵k＝1，∴y＝x﹣3与坐标轴交点C（0，﹣3）、D（3，0），线段CD＝3．N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为，若半径为r的⊙O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为，r的最大值为CD长度3．所以r的取值范围为≤r≤3．故答案为E、F；（﹣3，3）。
2020年福州市九年级质量检测数学试题(含答案)
准考证号：姓名：（在此卷上答题无效）2020年福州市九年级质量检测数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，完卷时间120分钟，满分150分．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在实数π4，227-，2.02002A ．π4B ．227-C ．2.02002D2．下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是赵爽弦图笛卡尔心形线科克曲线斐波那契螺旋线A BC D3．下列运算中，结果可以为3-4的是A ．32÷36B ．36÷32C ．32×36D ．(3-)×(3-)×(3-)×(3-)4．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形5．若a＜a +1，其中a 为整数，则a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．46．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为A ．911616x yx y -=⎧⎨+=⎩B ．911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．911616x y x y+=⎧⎨+=⎩D ．911616x y x y+=⎧⎨-=⎩7．随机调查某市100名普通职工的个人年收入（单位：元）情况，得到这100人年收入的数据，记这100个数据的平均数为a ，中位数为b ，方差为c ．若将其中一名职工的个人年收入数据换成世界首富的年收入数据，则a 一定增大，那么对b 与c 的判断正确的是A ．b 一定增大，c 可能增大B ．b 可能不变，c 一定增大C ．b 一定不变，c 一定增大D ．b 可能增大，c 可能不变8．若一个粮仓的三视图如图所示（单位：m ），则它的体积（参考公式：V 圆锥=13S 底h ，V 圆柱=S 底h ）是A ．21πm 3B ．36πm 3C ．45πm 3D ．63πm 39．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心，CE 长为半径作 EF，交CD 于点F ，连接AE ，AF ．若AB =6，∠B =60°，则阴影部分的面积是A．2π+B．3π+C．3πD．2π-10．小明在研究抛物线2()1y x h h =---+（h 为常数）时，得到如下结论，其中正确的是A ．无论x 取何实数，y 的值都小于0B ．该抛物线的顶点始终在直线y =x 1-上C ．当1-＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则h ＜2D ．该抛物线上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2h ，则y 1＞y 2ADBCFE46主视图76左视图俯视图第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．2．作图可先用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．计算：12cos 60-+︒=．12．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能构成一组勾股数的概率是．13．一副三角尺如图摆放，D 是BC 延长线上一点，E 是AC 上一点，∠B =∠EDF =90°，∠A =30°，∠F =45°，若EF ∥BC ，则∠CED 等于度．14．若m (m -2)=3，则(m -1)2的值是．15．如图，在⊙O 中，C 是 AB 的中点，作点C 关于弦AB 的对称点D ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，若∠BAE =2∠EBF ，则∠EBF 等于度．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的顶点A ，B 分别在x ，y 轴的负半轴上，C ，D 在反比例函数k y x =（x ＞0）的图象上，AD 与y 轴交于点E ，且AE =23AD ，若△ABE 的面积是3，则k 的值是．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分8分）解不等式组26312x x x ⎧⎪⎨+>⎪⎩，①②． 并把不等式组的解集在数轴上表示出来．12345-1-2-3-4-518．（本小题满分8分）如图，点E ，F 在BC 上，BE =CF ，AB =DC ，∠B =∠C ，求证：∠A =∠D ．AF DE B C19．（本小题满分8分）先化简，再求值：22111121x x x x x +÷-++++，其中1x =-．AC FED Bxy BCDEAO如图，已知∠MON ，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点．（1）尺规作图：在∠MON 的内部确定一点C ，使得BC ∥OA 且BC =12OA ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）中，连接OC ，用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得OD =2CD ，并证明OD =2CD ．21．（本小题满分8分）甲，乙两人从一条长为200m 的笔直栈道两端同时出发，各自匀速走完该栈道全程后就地休息．图1是甲出发后行走的路程y （单位：m ）与行走时间x （单位：min ）的函数图象，图2是甲，乙两人之间的距离s （单位：m ）与甲行走时间x （单位：min ）的函数图象．（1）求甲，乙两人的速度；（2）求a ，b 的值．y x 1202Oxsb a O43图1图222．（本小题满分10分）某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案：一户家庭的月均用水量不超过m （单位：t ）的部分按平价收费，超出m 的部分按议价收费．为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准m ．通过抽样，获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量（单位：t ），将这1000个数据按照0≤x ＜4，4≤x ＜8，…，28≤x ＜32分成8组，制成了如图所示的频数分布直方图．（1）写出a 的值，并估计这1000户家庭月均用水量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）（2）假定该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m ，请判断若以（1）中所求得的平均数作为标准m 是否合理？并说明理由．4048121620242832280220180a 6020月均用水量（单位：t ）频数（户数）如图，在Rt △ABC 中，AC ＜AB ，∠BAC =90°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，E 是AC 的中点，连接ED ．点F 在 BD上，连接BF 并延长交AC 的延长线于点G ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接AF ，求AF BG的最大值．24．（本小题满分12分）已知△ABC ，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是AB 边上一点，连接CD ，E 是CD 上一点，且∠AED =45°．（1）如图1，若AE =DE ，①求证：CD 平分∠ACB ；②求AD DB的值；（2）如图2，连接BE ，若AE ⊥BE ，求tan ∠ABE 的值．BACDEBACDE图1图225．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：22(4)y kx k k x =+-的对称轴是y 轴，过点F （0，2）作一直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点，过点Q 作x 轴的垂线与直线OP 相交于点A ．（1）求抛物线C 的解析式；（2）判断点A 是否在直线y =2-上，并说明理由；（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．过抛物线C 上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l ，分别交直线y =2和直线y =2-于点M ，N ，求22MF NF -的值．A F D EB C数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．A 7．B 8．C 9．C 10．D二、填空题：共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答． 11．1 12．1413．15 14．415．1816．94三、解答题：共9小题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答． 17．（本小题满分8分）解：解不等式①，得x ≤3． ······························································································ 3分解不等式②，得x ＞1 ． ···························································································· 5分 ∴原不等式组的解集是1 ＜x ≤3， ··············································································· 6分 将该不等式组解集在数轴上表示如下：······························································· 8分18．（本小题满分8分）证明：∵点E ，F 在BC 上，BE CF ，∴BE EF CF EF ， 即BF CE ． ········································································································· 3分在△ABF 和△DCE 中，AB DC B C BF CE，，， ∴△ABF ≌△DCE ， ······························································································· 6分 ∴∠A ∠D ． ······································································································· 8分12345-1-2-3 -4-519．（本小题满分8分）解：原式221(1)(1)(1)x x x x······················································································· 3分 2(1)(1)111x x x x x ·························································································· 4分 221111x x x x ·································································································· 5分 21x ． ··········································································································· 6分当1x时，原式 ················································································· 7分． ····················································································· 8分 20．（本小题满分8分） 解：画法一：画法二：······························································· 4分如图，点C ，D 分别为（1），（2）所求作的点． ························································ 5分 （2）证明如下：由（1）得BC ∥OA ，BC 12OA ，∴∠DBC ∠DAO ，∠DCB ∠DOA ，∴△DBC ∽△DAO ， ············································································ 7分 ∴12DC BC DO AO ， ∴OD 2CD ． ····················································································· 8分21．（本小题满分8分） 解：（1）由图1可得甲的速度是1202=60 m/min ． ································································ 2分由图2可知，当43x 时，甲，乙两人相遇，故4(60)2003v 乙，解得90v 乙m/min ． ···························································································· 4分 答：甲的速度是60 m/min ，乙的速度是90 m/min ．（2）由图2可知：乙走完全程用了b min ，甲走完全程用了a min ，∴20020909b ， ······························································································· 6分20010603a ． ································································································ 8分∴a 的值为103，b 的值为209．22．（本小题满分10分） 解：（1）依题意得100a ． ······························································································ 2分这1000户家庭月均用水量的平均数为：2406100101801428018220221002660302014.721000x ， ········· 6分∴估计这1000户家庭月均用水量的平均数是14.72．（2）解法一：不合理．理由如下： ··············································································· 7分由（1）可得14.72在12≤x ＜16内，∴这1000户家庭中月均用水量小于16 t 的户数有 40100180280600 （户）， ···························································· 8分 ∴这1000户家庭中月均用水量小于16 t 的家庭所占的百分比是600100%60%1000，∴月均用水量不超过14.72 t 的户数小于60%． ············································· 9分 ∵该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m ， 而60%＜70%，∴用14.72作为标准m 不合理． ······························································· 10分解法二：不合理．理由如下： ··············································································· 7分∵该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m ，∴数据中不超过m 的频数应为700， ·························································· 8分 即有300户家庭的月均用水量超过m ．又2060100160300 ，2060100220380300 ，∴m 应在16≤x ＜20内． ·········································································· 9分 而14.72＜16，∴用14.72作为标准m 不合理． ······························································· 10分 23．（本小题满分10分）（1）证明：连接OD ，AD ．∵AB 为⊙O 直径，点D 在⊙O 上，∴∠ADB 90°，分∴∠ADC 90°．∵E 是AC 的中点，∴DE ＝AE ，∴∠EAD ∠EDA ． ·分 ∵OA OD ，∴∠OAD ∠ODA ． ······················································································· 3分 ∵∠OAD ∠EAD ∠BAC 90°， ∴∠ODA ∠EDA 90°，即∠ODE 90°， ···························································································· 4分 ∴OD ⊥DE ．∵D 是半径OD 的外端点，∴DE 是⊙O 的切线． ····················································································· 5分（2）解法一：过点F 作FH ⊥AB 于点H ，连接OF ，∴∠AHF 90°．∵AB 为⊙O 直径，点F 在⊙O 上，∴∠AFB 90°， ∴∠BAF ∠ABF 90°．∵∠BAC 90°，∴∠G ∠ABF 90°， ∴∠G ∠BAF ． ························································································· 6分 又∠AHF ∠GAB 90°，∴△AFH ∽△GBA ， ···················································································· 7分 ∴AF FH GB BA． ··························································································· 8分 由垂线段最短可得FH ≤OF ， ········································································ 9分 当且仅当点H ，O 重合时等号成立． ∵AC ＜AB ，∴ BD上存在点F 使得FO ⊥AB ，此时点H ，O 重合， ∴AF FH GB BA ≤12OF BA ， ············································································ 10分即AF GB 的最大值为12． 解法二：取GB 中点M ，连接AM ．∵∠BAG 90°，∴AM 12GB ． ·分 ∵AB 为⊙O 直径，点F 在⊙O 上， ∴∠AFB 90°，∴∠AFG 90°，∴AF ⊥GB ．分 由垂线段最短可得AF ≤AM ， ········································································ 8分 当且仅当点F ，M 重合时等号成立， 此时AF 垂直平分GB ， 即AG ＝AB ． ∵AC ＜AB ，∴ BD上存在点F 使得F 为GB 中点， ∴AF ≤12GB ， ··························································································· 9分∴AF GB ≤12， ···························································································· 10分 即AF GB 的最大值为12．24．（本小题满分12分）（1）①证明：∵∠AED 45°，AE DE ，∴∠EDA 18045267.5°． ······································································· 1分∵AB AC ，∠BAC 90°，∴∠ACB ∠ABC 45°，∠DCA 22.5°， ························································· 2分 ∴∠DCB 22.5°， 即∠DCA ∠DCB ，∴CD 平分∠ACB ． ····················································································· 3分②解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∴∠DFB 90°．∵∠BAC 90°， ∴DA ⊥CA ． 又CD 平分∠ACB ， ∴AD FD ， ································································································· 4分 ∴AD FD DB DB． 在Rt △BFD 中，∠ABC 45°， ∴sin ∠DBF FD DB ················································································ 5分∴AD DB ． ······························································································· 6分 （2）证法一：过点A 作AG ⊥AE 交CD 的延长线于点G ，连接BG ，∴∠GAE 90°．又∠BAC 90°，∠AED 45°，∴∠BAG ∠CAE ，∠AGE 45°，∠AEC 135°， ·············································· 7分 ∴∠AGE ∠AEG ， ∴AG AE ． ······························································································· 8分 ∵AB AC ，∴△AGB ≌△AEC ， ···················································································· 9分 ∴∠AGB ∠AEC 135°，CE BG ，∴∠BGE 90°． ························································································ 10分 ∵AE ⊥BE ，FB AC DE。
2020中考数学质量检测卷(一)-答案
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◎
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○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
10． C
11． B
12． B
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13． 2a（2a+b）（2a﹣b） ． 14． 3×1010 15． 5 ．
16．
．
三、解答题（17 题 5 分，18 题 6 分，19 题 7 分，20、21 题 8 分，22、23 题 9 分，共 52 分）
17． (1)原式＝﹣4+3 +3﹣1＝3 ﹣2． (2) 原式＝
3y+2.4×
≤60，解得：y≥10，
则至少应安排甲工厂加工生产 10 天． 答：至少应安排甲工厂加工生产 10 天．
◎
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22．解：（1）设甲、乙两种报纸的单价分别是 x 元、y 元，根据题意得
，解得
．
答：甲、乙两种报纸的单价分别是 0.6 元、0.8 元； （2）设该销售处每天购进甲种报纸 a 份，根据题意，得 （1﹣0.6）a+（1.5﹣0.8）（600﹣a）≥300， 解得 a≤400． 答：该销售处每天最多购进甲种报纸 400 份．
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21．解：①设乙工厂每天可加工生产 x 顶帐篷，则甲工厂每天可加工生产 1.5x 顶帐篷，根据题意得：
﹣
＝4，解得：x＝20，经检验 x＝20 是原方程的解，
则甲工厂每天可加工生产 1.5×20＝30（顶）， 答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产 30 顶和 20 顶帐篷； ②设甲工厂加工生产 y 天，根据题意得：
(2020南安质检)初三年数学科答案
过 D 作 DE AB 于点 E ， 由（1）知， DE DC ， BD 是 ABC 的平分线， ∴ CBD EBD 又 DEB C 90， BD BD ， ∴ BCD ≌ BED ∴ BE BC 3， ∴ AE AB BE 5 3 2， ………………………………………6 分
∵点 I 的坐标为 1，0 ， ∴ -31 m=0，
∴ m 3 ，即直线 IH 1 的解析式为 y -3x 3 …………………………………9 分
∴点 B 0，3 在直线 IH 1 的解析式为 y -3x 3 上.
过点 H1 作则 H1K⊥ x 轴于 K，则 BOI ∽ H1KI ，
∴ OI OB IB KI KH1 IH1
18．（8 分）
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ A C ， ……………………………………………………………………2 分
DA DC
……………………………………………………………………4 分
在 ADE 和 CDF 中，
A C
DA DC
，
ADE CDF
∴ ADE ≌ CDF
……………………………………………………………6 分
…………………………………………………………10 分
∵ OI 1, OB 3 , IB
12 32
10 ,
IH1
1 2
AC
2.
∴ 1 3 10 KI KH1 2
即 KI
10
3 10
5 , KH1 5
∴点 H1 的坐标为
2020年中考总复习阶段性复习效果质量检测数学试题及答案(苏科版使用地区专用)
苏科版使用地区中考复习使用2020年中考总复习阶段性复习效果质量检测数学试题时间120分钟满分130分一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为( )A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．已知=，则的值为( )A．B．C．D．3．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为( )A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定4．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且=，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为( )A．4B．6 C．16 D．184题图 5题图 6题图5．如图，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ACB的是( )A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．=D．∠ADE=∠C6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于( )A．60°B．50°C．40°D．30°7．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，且∠BAC=50°，给出下列四个结论：①BD=CD，②AE=CE，③∠ABE=40°，④劣弧DE的度数为25°．其中正确结论的序号是( )A．①②④B．①③C．①④D．①③④7题图 8题图 9题图 10题图8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P是AB上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是( )A．πcm2B．2πcm2C．4πcm2D．8πcm210．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB 上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为( )A．3 B．3C．4 D．4二、填空题（每空2分，共16分）11．方程x2﹣x=0的解是__________．12．在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，则A、B两地的实际距离为__________km．13．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于__________厘米．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，若以点C为圆心，AC为半径作圆，则AB边的中点E与⊙C的位置关系为__________．15．如图，⊙C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为（__________，__________）．15题图 16题图 17题图 18题图16．如图，大圆的半径等于小圆的直径，且大圆的半径为4，则图中阴影部分的面积是__________．17．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为5，圆心P坐标是（5，a）（a＞5），函数y=x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是__________．18．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM+MN 的最小值为__________．三、解答题（共84分，写出必要的解题步骤和过程）19．（16分）解方程（1）（x﹣2）2=9；（2）3x2﹣1=2x（配方法）；（3）x2+3x+1=0；（4）（x+1）2﹣6（x+1）+5=0．20．如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）求线段CD的长．21．已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．22．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB．（1）作出AB所在圆的圆心O；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若弧AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB所在圆径．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若n=4（x1+x2）﹣x1x2，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（1，16），并说明理由．24．2013年，无锡市蠡湖新城某楼盘以每平方米12000元的均价对外销售．由于楼盘滞销，房地产商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年该楼盘的均价为每平方米9720元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年该楼盘的均价仍然下调相同的百分率，李强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金30万元，可在银行贷款50万元，李强的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素．）25．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）若AD=4，AB=6，求的值．26．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（0，8）、（6，0），以AC为直径作⊙O，交坐标轴于点B，点D是⊙O 上一点，且弧BD=弧AD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求线段CE的长．27．将一块含有45°的三角板ABC的顶点A放在⊙O上，且AC与⊙O相切于点A（如图1），将△ABC从点A开始，绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜135°），旋转后，AC、AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF（如图2）．已知AC=8，⊙O的半径为4．（1）在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是__________（填序号）；（2）当α=__________°时，BC与⊙O相切（直接写出答案）；（3）当BC与⊙O相切时，求△AEF的面积．28．如图，在Rt△ABC 中，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由 A出发沿AC的方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（s），其中0＜t＜2，解答下列问题：（1）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，线段PQ将△ABC的面积分成1：2两部分？若存在，求出此时的t；若不存在，请说明理由；（3）点P、Q在运动的过程中，△CPQ能否成为等腰三角形？若能，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题二、1．故选：C．2．故选A．3．故选：B．4．故选C．5．故选：A．6．故选B．7．故选B．8．故选：B．9．故选C．10．故选D．二、填空题11．0或1．12．1.5km．13．（10﹣10）厘米．14点E在⊙C外．15．（﹣1，）．16．4π．17．5+．18．．三、解答题19．解：（1）开方得：x﹣2=3或x﹣2=﹣3，解得：x1=5，x2=﹣1；（2）移项得：3x2﹣2x=1，x2﹣x=，配方得：x2﹣x+=+，（x﹣）2=，x﹣=，x﹣=﹣，解得：x1=1，x2=﹣；（3）∵a=1，b=3，c=1，∴△=32﹣4×1×1=5＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（4）分解因式得：（x+1﹣1）（x+1﹣5）=0，x+1﹣1=0，x+1﹣5=0，解得：x1=0，x2=4；20．解：（1）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A（公共角），∴△ABD∽△ACB；（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，∴=，即=，∴CD=5．21．解（1）如图：A1（2，2），B1（1，0），C1（0，1）；（2）如图：A1（4，4），B1（2，0），C1（0，2）或A1（﹣4，﹣4），B1（﹣2，0），C1（0，﹣2）；（3）∵△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1，∴△A1B1C1与△A2B2C2的面积比=（）2=．22．解（1）如图1，在圆弧AB上任取一点D，分别作AB、AD的中垂线于交O，则点O即为所求．（2）如图2，设圆弧AB所在圆的半径为r，则AO=r，OH=r﹣20，∵OC⊥AB，∴AH=AB=40，∴在Rt△AHO中，由勾股定理得：402+（r﹣20）2=r2，∴r=50m．23．解（1）∵△=（m+6）2﹣4（3m+9）=m2≥0∴该一元二次方程总有两个实数根（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，16），∵n=4（x1+x2）﹣x1x2=4（m+6）﹣（3m+9）=m+15∴P（m，n）为P（m，m+15）．∴A（1，16）在动点P（m，n）所形成的函数图象上．24．解（1）设平均每年下调的百分率x，由题意得：12000（1﹣x）2=9720，（1﹣x）2=0.81．∴1﹣x=0.9或1﹣x=﹣0.9，∴x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：平均每年下调的百分率10%．（2）由（1）得：9720×（1﹣10%）=8748（元），8748×100=874800（元），500000+300000=800000（元），∵874800＞800000，∴李强的愿望不能实现．25．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）解：∵∠ACB=90°，E为AB中点，∴AE=CE，∴∠CAE=∠ECA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∴∠DAC=∠ACE，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴=．26．解：（1）∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，又∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，∵弧BD=弧AD，∴∠BAD=∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∴CD平分∠ACE．（2）直线ED与⊙O相切．连接OD．∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，又∵∠DCE=∠ACD，∴∠DCE=∠ODC，∵OD∥BE，∴∠ODE=∠DEC，又∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°∴OD⊥DE，∴ED与⊙O相切．（3）延长DO交AB于点H．∵OD∥BE，O是AC的中点，∴H是AB的中点，∴HO是△ABC的中位线，∴HO=BC=3，又∵AC为直径，∴∠ADC=90°，又∵O是AC的中点∴OD=AC=×=5，∴HD=3+5=8，∵∠ABC=∠DEC=∠ODE=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴BE=HD=8，∴CE=8﹣6=2．27．解：（1）①②④，理由是：如图1，连接OE、OF、过O作OD⊥EF于D，∵∠A=45°，∴∠EOF=2∠A=90°，∵OE=OF=4，∴由勾股定理得：EF==4，∵OD⊥EF，OE=OF，∴ED=DE=EF，∵∠EOF=90°，∴OD=EF=2，所以①②④是不不变量，∠AFE的值随着运动而不断变化的，不能确定，故答案为：①②④；（2）当α=90°时，BC与⊙O相切，理由是：连接OA，∵已知AC和⊙O相切，如图2，∴∠OAC=90°，△ACB绕A点运动到BC和⊙O相切时，如图3，∠ACB=90°，即图2中的AC和图3中的BC互相平行，所以α=∠ACB=90°，故答案为：90；（3）如图3，当BC与⊙O相切时，依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E 重合，∵AC为⊙O直径，∴∠AFE=90°，又∵∠BAC=45°，∴∠FCA=45°．∴∠BAC=∠FCA，∴AF=EF，∵AC=8，∴AF=EF=4，∴S △AEF=×（4）2=16．28．解：（1）①如图1，△PQA∽△BCA时，=，解得t=，②如图2，△PQA∽△CBA时，=，解得t=，又∵0＜t＜2，∴t=或；（2）如图3，过点P作PH⊥CA，垂足为点H，则△PHA∽△BCA，∴=，∴PH=（5﹣t），∴S△APQ=×2t×（5﹣t）=﹣t2+3t，线段PQ将△ABC的面积分成1：2两部分，∴S△APQ= S△ABC=×6=2或S△APQ= S△ABC=×6=4，即：﹣t2+3t=2或﹣t2+3t=4，﹣t2+3t=2时，整理得：3t2﹣15t+10=0，t1=（舍去）（t1=＞2），t2=，∴t=，﹣t2+3t=4时，整理得：3t2﹣15t+20=0，∵△＜0，∴t无解．∴t=；（3）①如图4，当PC=PQ时，过点P作PH⊥CA，垂足为点H，由三线合一可知：HQ=2﹣t，又∵△PHA∽△BCA时，=，∴t=；②如图5，当CP=CQ时，过点P作PM⊥CB，垂足为点M，由△BMP∽△BCA可知：BM=t，MP=t，∴CM=3﹣t，在Rt△PMC 中，由勾股定理得：（t）2+（3﹣t）2=（4﹣2t）2，整理得：15t2﹣62t+35=0，解得t=，即t1=，t2=，∵△＜0，∴t1=＞2．∴t1=（舍去），∴t=，③如图6，当QP=QC时，过点Q作PN⊥AB，垂足为点N，由△AQN∽△ABC可知：NQ=t，NA=t，∴PN=5﹣t﹣t=5﹣t，在Rt△QNP 中，由勾股定理得：（t）2+（5﹣t）2=（4﹣2t）2，整理得：21t2﹣50t+45=0，∵△=﹣1280＜0，∴方程无解，∴当t=或t=时，△CPQ是等腰三角形．。
中考数学专卷2020届中考数学总复习(29)锐角三角函数-精练精析(1)及答案解析
图形的变化——锐角三角函数1一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B． C． D．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A．2 B．8 C．2 D．44．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A． B． C． D．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2 B．1 C． D．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，9在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是_________ ．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是_________ ．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= _________ ．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=_________ ．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= _________ ．15．cos60°=_________ ．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=_________ ．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=_________ ．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）图形的变化——锐角三角函数1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．专题：网格型．分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．解答：解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AO===2，则sin∠AOB===．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A． 2 B．8 C．2D．4考点：锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解答：解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选：A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，∴tanA==．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出t an∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A． 2 B．1 C．D．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，考点：解直角三角形．专题：新定义．分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．9．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考点：解直角三角形．分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选：D．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．专题：计算题．分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．解答：解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=4，∴AB=2CD=8，则sinB===．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．解答：解：tanA==，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．解答：解：如图，由勾股定理得AC=2，AD=4，cosA=，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．分析：根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．故答案为：点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=60°．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．解答：解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=75°．考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：先根据△ABC中，tanA=1，cosB=，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0∴tanA=1，cosB=∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．故答案为：75°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题；压轴题．分析：（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．解答：解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过B作BD⊥AC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．解答：解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，∴AC===13，∴sin C==．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，得到BD=BC，在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．解答：解：∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=BC，在Rt△A BC中，tan∠A=tan30°=，即=，解得：BC=2（+1）．点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA==，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB==，cosB==，由此求出sinB+cosB=．解答：解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴tanA===，∴AD=4，∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，∴BC==10，∴sinB==，cosB==，∴sinB+cosB=+=．故答案为：点评：本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解解答：解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD=1，∴AB=3，∵BD2=AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴CD=AD=1．∴BC=BD+DC=+1．点评：本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：（1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；（2）先计算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．解答：解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3，∴AD=BD=3；（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△BCD中，tan∠C===．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．。
2020年浙江省中考数学复习检测试卷附解析
2020年浙江省中考数学复习检测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．△ABC 的三边长分别为 6、8、10，并且以A、B、C三点分别为圆心，作两两相切的圆，那么这三个圆的半径分别为（）A．3、4、5 B．2、4、6 C．6、8、10 D．4、6、82．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB＝5，BC＝3，则圆心O到弦BC的距离是（）A．1．5 B．2 C．2．5 D．33．下列问题中两个变量之间的函数关系是反比例函数的是（）A．小红 1 min 制作2朵花，x（min）可以制作 y 朵花B．体积为10 cm3的长方体，高为 h（㎝）时，底面积为 S（cm2）C．用一根长为 50 cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为 x（㎝）时，面积为y（㎝2）D．小李接到一次检修管道的任务，已知管道长100 m，设每天能完成 l0rn，x 天后剩下的未检m）4）A．．D．5．对称图形又能旋转180°后与原图重合的是（）6．下列选项中，正确的是（）A． 27的立方根是3±B4±C． 9的算术平方根是3 D．带根号的数都是无理数7．两个不为 0的数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么（）A．两数相等B．两数互为相反数C．两数互为倒数D．两数相等或互为相反数8．计算 18÷6÷2 时，下列各式中错误的是（）A．111862⨯⨯B． 18÷（6÷2）C．18÷（6×2）D．（l8÷6）÷2二、填空题9．若x∶y =1∶2，则x yx y-+=_____________．10．右图是一山谷的横断面示意图，宽AA'为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出1m OA =，3m OB =，0.5m O A ''=，3m O B ''=（点A O O A ''，，，在同一条水平线上）则该山谷的深h 为 m ． 11．在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，•另一条弦长为6厘米，则两弦之间的距离为________厘米．12．已知函数①21y x =-；②22+5y x x =-，函数 (填序号)有最小值，当x= 时，该函数最小值是 ．13．如图，矩形 ABCD 的周长为 40，设矩形的一边 AB 长为x ，矩形ABCD 的面积为 y ，试写出 y 关于x 的函数关系式 ，其中自变量 x 的取值范围是 ．14．如图，已知AB=AD ，∠ABC=∠ADC ，求证：BC=CD ．要证明BC=CD ，若连结BD ，则只要证即可．15．直线2y x b =-+经过点M(3，2)，则b 的值是 .16．如果已知甲、乙两种植物株高的方差分别为222.3S =甲cm 2，215.67S =乙cm 2,那么可以估计种植物比 种植物长得整齐．17．小明将一把钥匙放进自己家中的抽屉中，他记不清到底放进三个抽屉中的哪一个了，那么他一次选对抽屉的概率是 ．18．在每周一次的县长接待日中，各种问题都有所反映，一个月后对这些问题进行统计，并制成统计图如图. 则在这一个月内接待的300人次中，反映中小学收费问题的有 人次，反映土地审批的有 人次，反映房产质量的比反映停车问题的多 人次.19．计算：（1）(5)(2)-⨯-= ；(2）136()3÷-= . 20．自由下落物体的高度h （米）与下落的时间t （秒）的关系为24.9h t =．现有一铁球从离地面19米高的建筑物的顶部作自由下落，到达地面需要的时间是 秒．（精确到0.1秒）三、解答题21．如图，用连线的方法找出图中每一物体所对应的主视图.22．巳知直线y＝kx＋b经过点A(3，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B(2，2)和C两点．(1)求直线和抛物线的函数解析式，并确定点C的坐标；(2)在同一直角坐标系内画出直线和抛物线的图象；(3)若抛物线上的点D，满足S△OBD＝2S△OAD，求点D的坐标．23．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1）填空：∠ABC= °，BC= ；(2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.24．如图，在△ABC 中，AB=4cm,∠B=30°, ∠C=45°，以点A为圆心，AC 长为半径作弧与AB 相交于点 E，与 BC相交于点 F.(1)求CE的长；(2)求 CF 的长.25．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=l8m，一同学站在门内，在离门角 B点 lm 远处垂直地面立起一根长为 1. 7 m木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C 处，根据这些条件：(1)请你建立合适的直角坐标系，并求出这扇大门的抛物线解析式；(2)求出该大门的高 h.26．如图，已知AC∥DE，AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，•求证：四边形AGDF是平行四边形．27．如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF 分别交AB、AC于点E、F．⑴求证：AE=CF；⑵是否还有其他结论，不要求证明（至少写出2个）．P FEC BA28．某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台2500 元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150 元，销售一台乙种电视机可获利200 元，销售一台丙种电视机可获利250 元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择(1)中的哪种进货方案？29．已知边长为l cm 的等边三角形ABC ，如图所示．(1)将这个三角形绕它的顶点C 按顺时针方向旋转30°，作出这个图形；(2)再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60°，90°，l20°，作出这些图形．(3)继续将三角形向同一方向旋转150°，180°，210°，240°，270°，300°，330°，作出这些图形．你将会得到一个美丽的图案．30．已知:A =x 21,B =231y x -,C =23123y x +，求2A B C -+.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．B4．D5．C6．C7．D8．B二、填空题9．110．33011．7厘米或1厘米12．①，0，一 113．220y x x =-+，0<x<2014．∠CBD=∠CDB15．816．乙，甲17．1318． 30,60,6019．10，-10820．2.0三、解答题21．如图中虚线所示.22．(1) y ＝－2x ＋6, y ＝12x 2,C(－6,18)； (2)略；(3）D 1（－1, 12 ）,D 2 (12 ,18)． 23．（1）∠ABC= 135 °, BC=22 ；(2）能判断△ABC 与△DEF 相似（或△ABC ∽△DEF ）这是因为∠ABC =∠DEF = 135 ° ,2==EF BC DE AB ，∴△ABC ∽△DEF. 24．（1）过点A 作AD ⊥CF 于点D.∵∠B=30°, ∠C=45°,∴Rt △ADB 中，114222AD AB ==⨯=，∴Rt △ADC 中，AC=22. ∴⌒CE 的长 10522721806ππ⨯⨯==㎝(2)Rt △ADC 中，∠ACB=45°2∴CD=2，∴CF=4㎝．25．(1)以 A 为坐标原点,AB 为横坐标，建立直角坐标系.A(0,0),B(18,0) ,C(17, 1.7).∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+，把B 、C 两点代入得 22181801717 1.7a b a b ⎧+=⎨+=⎩，化简得0.11.8a b =-⎧⎨=⎩，∴20.1 1.8y x x =-+ (2)201 1.8y x x =-⋅+201(9)8.1x =-⋅-+，∴顶点坐标(9，8.1)，即该大门的高为 8.1 m ． 26．∵AC ∥ED ，∴∠C=∠E ，∠CAB=∠EDB ．∵AC=DE ，∴△ABC ≌△DBE ，∴AB=DB ，CB=EB ．∵AF ，DG 分别是△ABC ，•△BDE 的中线，∴BG=BF ，∴四边形AGDF 是平行四边形27．（1）连结AP ，证明△APE ≌△CFP ，利用直角∠EPF 和直角∠APC 可证∠APE=∠FPC ，利用AP=PC ，∠EAP=∠C=45°；（2）BE=AF ，EP=PF 等等．28．(1)该商场共有两种进货方案，方案一：购甲种型号电视机 25 台，乙种型号电视机 25 台；方案二：购甲种型号电视机 35 台，丙种型号电视机 15 台；(2)为使销售利润最多，应选择(1)中的方案二进 29．略30．2A B C -+ =x 21－2(231y x -)＋(23123y x +) =x 21－2232y x +＋23123y x +=2y ．。
中考数学专卷2020届中考数学总复习(22)圆-精练精析(1)及答案解析
图形的性质——圆1一．选择题（共8小题）1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣2．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C．D．5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A．3 B．3 C． D．6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A．B．C．3 D．27．在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的长为（）A．3或5 B．5 C．4或5 D．48．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（）A．3 B．6 C．6 D．12二．填空题（共7小题）9．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是_________ ．10．正六边形的中心角等于_________ 度．11．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_________ ．12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________ ．13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为_________ cm．14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_________ ．15．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_________ ．三．解答题（共8小题）16．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．19．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．（1）所对的圆心角∠AOB=_________ ；（2）求证：PA=PB；（3）若OA=3，求阴影部分的面积．图形的性质——圆1 参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．如图，正方形ABCD 的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）A ．B ．1﹣C ．﹣1D ． 1﹣考点： 扇形面积的计算． 分析： 图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．解答： 解：如图： 正方形的面积=S 1+S 2+S 3+S 4；① 两个扇形的面积=2S 3+S 1+S 2；② ②﹣①，得：S 3﹣S 4=S 扇形﹣S 正方形=﹣1=．故选：A ．点评： 本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．2．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB⊥CD，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A ． cmB ．cmC ．cm 或cmD ． cm 或cm考点： 垂径定理；勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A． 2 B．4C．6D．8考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．解答：解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A． 4 B．C．D．考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．专题：计算题；压轴题．分析：PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A．3B．3C．D．考点：垂径定理；等边三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．解答：解：如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵⊙O的面积为2π∴⊙O的半径为∵△ABC为正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB•sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，∴△BOC的面积=•BC•OD=××=，∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．故选：C．点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A．B．C3 D．2考点：垂径定理；圆周角定理．分析：当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．解答：解：∵OA、OP是定值，∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，∴PA⊥OA时，PA取最小值；在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，∴PA==．故选B．点评：本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，PA取最小值”即“PA⊥OA时，∠OPA取最大值”这一隐含条件．7．在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的长为（）A．3或5 B．5 C．4或5 D．4考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形．专题：分类讨论．分析：作AD⊥BC于D，由于AB=AC=5，根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论得到点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，根据正弦的定义计算出AD=4，根据勾股定理计算出BD=3，再在Rt△OBD中，根据勾股定理计算出OD=1，然后分类讨论：①当点A与点O在BC的两侧，有OA=AD+OD；②当点A与点O在BC的同侧，有OA=AD ﹣OD，即求得OA的长．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∴AD垂直平分BC，∴点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，sinB==，∵AB=5，∴AD=4，∴BD==3，在Rt△OBD中，OB=，BD=3，∴OD==1，当点A与点O在BC的两侧时，OA=AD+OD=4+1=5；当点A与点O在BC的同侧时，OA=AD﹣OD=4﹣1=3，故OA的长为3或5．故选：A．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．8．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（）A．3B．6 C．6D．12考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结OC交BD于E，设∠BOC=n°，根据弧长公式可计算出n=60，即∠BOC=60°，易得△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，由于BC∥OD，则∠2=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠1=∠2=30°，即BD平分∠OBC，根据等边三角形的性质得到BD⊥OC，接着根据垂径定理得BE=DE，在Rt△CBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得CE=BC=3，CE=CE=3，所以BD=2BE=6．解答：解：连结OC交BD于E，如图，设∠BOC=n°，根据题意得2π=，得n=60，即∠BOC=60°，而OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，∵BC∥OD，∴∠2=∠C=60°，∵∠1=∠2（圆周角定理），∴∠1=30°，∴BD平分∠OBC，BD⊥OC，∴BE=DE，在Rt△CBE中，CE=BC=3，∴BE=CE=3，∴BD=2BE=6．故选：C．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．二．填空题（共7小题）9．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是32 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：连接OD，∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，∴PD=CD=4，∴OP===3，∴AP=OA+OP=5+3=8，∴S△ACD=CD•AP=×8×8=32．故答案为：32．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．正六边形的中心角等于60 度．考点：正多边形和圆．分析：根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．解答：解：∵正六边形的六条边都相等，∴正六边形的中心角==60°．故答案为：60．点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．11．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=50°．考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．解答：解：如图，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理）故答案为：50°．点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．考点：垂径定理；轴对称的性质．分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．故答案为：点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 2 cm．考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．专题：计算题．分析：先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．解答：解：连结OB，如图，∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，∵AB⊥CD，∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，∴OB=BE=2（cm）．故答案为：2．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是4．考点：垂径定理；圆周角定理．专题：压轴题．分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．解答：解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．故答案为：4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．15．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3 ．考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形，连接OB，由垂径定理可知BD=BC，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出OD的长，进而可得出结论．解答：解：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．点评：本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．三．解答题（共8小题）16．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：（1）延长CO交DE于点F，连接OD，根据垂径定理求出BC的长，由sin∠COB=得出OB的长，根据DE∥AB可知∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．由OF过圆心可得出DF的长，再根据勾股定理求出OF的长，进而可得出CF的长；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，连接CD，在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的长，由cot∠ACD=cot∠CDF即可得出结论．解答：解：（1）延长CO交DE于点F，连接OD∵OC⊥AB，OC过圆心，AB=24m，∴BC=AB=12m．在Rt△BCO中，sin∠COB==，∴OB=13mCO=5m．∵DE∥AB，∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．又∵OF过圆心，∴DF=DE=×4=2m．在Rt△DFO中，OF===7m，∴CF=CO+OF=12m，即当水位线DE=4m时，此时的水深为12m；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，连接CD，在Rt△ODF中，DF===4m．在Rt△CDF中，cot∠CDF==．∵DE∥AB，∴∠ACD=∠CDE，∴cot∠ACD=cot∠CDF=．答：若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，此时∠ACD的余切值为．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长．考点：切线的判定；勾股定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接AD，OD，则∠ADB=90°，AD⊥BC；又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；（2）连接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，故∠EAD=∠BAD，=，ED=BD，OE=OB；故OD垂直平分EB，EG=BG，因为AO=BO，所以OG=AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2﹣DG2=BO2﹣OG2，代入数值即可求出AE的值．解答：（1）证明：连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；∵AB=AC，∴BD=DC．∵OA=OB，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴∠ODF=∠DFA=90°，∴DF为⊙O的切线．（2）解：连接BE交OD于G；∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，∴∠EAD=∠BAD．∴．∴ED=BD，OE=OB．∴OD垂直平分EB．∴EG=BG．又AO=BO，∴OG=AE．在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2﹣DG2=BO2﹣OG2∴（）2﹣（﹣OG）2=BO2﹣OG2解得：OG=．∴AE=2OG=．点评：本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；解答：解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；19．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．考点：垂径定理；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．解答：解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．考点：垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．专题：几何图形问题．分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．解答：解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD；（2）连结OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴=，∵∠PBC=∠C=22.5°，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，∴劣弧AC的长为：=．点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．考点：圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．专题：几何图形问题．分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在直角△ABC中，BC===．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．点评：本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．（1）所对的圆心角∠AOB=120°；（2）求证：PA=PB；（3）若OA=3，求阴影部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算．专题：几何综合题．分析：（1）根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和定理求解；（2）证明直角△OAP≌直角△OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（3）首先求得△OPA的面积，即求得四边形OAPB的面积，然后求得扇形OAB的面积，即可求得阴影部分的面积．解答：（1）解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°；（2）证明：连接OP．在Rt△OAP和Rt△OBP中，，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB；（3）解：∵Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=30°，在Rt△OAP中，OA=3，∴AP=3，∴S△OPA=×3×3=，∴S阴影=2×﹣=9﹣3π．点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．。
2020年福建省福州市中考数学一检试卷(解析卷)
2020年福建省福州市中考数学一检试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共分）1.下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故A正确；B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误；C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故D错误；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列事件中是必然事件的是A. 从一个装有黄、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球B. 小丹的自行车轮胎被钉子扎坏C. 小红期末考试数学成绩一定得满分D. 将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【答案】D【解析】解：A、是随机事件，选项错误；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是必然事件，选项正确．故选：D．必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.如图，AB是的弦，，交于点C，连接OA，OB，BC，若，则的度数是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，，是的弦，，，，故选：D．根据圆周角定理得出，进而利用垂径定理得出即可．此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出．4.已知点在第二象限，则点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：点在第二象限，，，则可得，，点B的坐标为，点B在第四象限．故选：D．点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，即可确定出m、n的正负，从而确定，的正负，即可得解．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键．5.如图，过上一点C作的切线，交直径AB的延长线于点若，则的度数为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：连接OC，切于C，，，，，，，，．故选：B．连接OC，根据切线的性质求出，求出，求出，根据三角形的外角性质求出即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．6.如图，在中，D、E分别为AB、AC边上的点，且，，，，则AE的长度为A.B.C.D. 4【答案】D【解析】解：，，∽，，，，故选：D．通过证明∽，可得，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明∽是本题的关键．7.抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，求抛物线的解析式A.B.C.D.【答案】A【解析】解：在抛物线中，当时，，点，，，，，把，代入抛物线得：，，解得：，，抛物线的解析式为，故选：A．由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式，本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式，求得A、B的坐标是解题的关键，8.如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点，与y轴分别交于点和点，则圆心M到坐标原点O的距离是A. 10B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查切线的性质、坐标与图形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．如图连接BM、OM，AM，作于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在中求出OM即可．【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作于H．与x轴相切于点，，，，四边形OAMH是矩形，，，，，在中，．故选D．9.函数与的图象如图所示，有以下结论：10.；11.；12.；13.当时，．14.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：函数与x轴无交点，；故错误；当时，，故错误；当时，，；正确；当时，二次函数值小于一次函数值，，．故正确．故选：B．由函数与x轴无交点，可得；当时，；当时，；当时，二次函数值小于一次函数值，可得，继而可求得答案．主要考查图象与二次函数系数之间的关系．关键是注意掌握数形结合思想的应用．15.已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若的面积为10，则k的值是A. 10B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线的解析式为：，E点的坐标是，根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k．本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．【解答】解：设双曲线的解析式为：，E点的坐标是，是OB的中点，点的坐标是，则D点的坐标是，的面积为10，，解得，，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共分）16.若点和点关于点对称，那么点A在第______象限．【答案】二【解析】解：点和点关于点对称，，解得：，点，点A在第二象限，故答案为：二．根据点和点关于点对称，列方程求得x，y的值，结果可得．本题考查了坐标与图形变化旋转，正确掌握中心对称的性质是解题的关键．17.在的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是______ ．【答案】【解析】解：如图，第三枚棋子有A，B，C，D共4个位置可以选择，而以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的位置是B，C，D，故以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是：．故答案为：．首先根据题意可得第三枚棋子有A，B，C，D共4个位置可以选择，而以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的位置是B，C，D，然后利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了概率公式与直角三角形的定义．此题难度不大，注意概率所求情况数与总情况数之比．18.若抛物线的顶点坐标为，且它在x轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为______．【答案】【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，抛物线在x轴截得的线段长为6，抛物线与x轴的交点为，，设此抛物线的解析式为：，代入得，，解得，抛物线的表达式为，故答案为．根据题意求得抛物线与x轴的交点为，，设此抛物线的解析式为：，代入根据待定系数法求出a的值即可．此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式，求得抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．19.如图，在扇形AOB中，AC为弦，，，，则的长为______．20.21.22.23.【答案】【解析】解：连接OC，如图，，，，，的长故答案为连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出，则，然后根据弧长公式计算的长．本题考查了弧长的计算：圆周长公式：；弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为，在弧长的计算公式中，n是表示的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．24.已知，则的值为______．【答案】10【解析】解：，，，．故答案为10．已知，得出，，然后代入代数式求得即可．本题考查了因式分解的应用，根据已知条件得出，是解题的关键．25.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为______．【答案】75【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为，表示出总面积即可求得面积的最值．【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为，则总面积，故饲养室的最大面积为75平方米，故答案为75．三、计算题（本大题共1小题，共分）26.如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果的周长为2，求的度数．27.28.29.30.【答案】解：如图所示，的周长为2，即，正方形ABCD的边长是1，即，，，得，，．延长AB至M，使连接CM，≌，，，，，即，．在与中，，，，≌，．【解析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从的周长入手求出，然后将逆时针旋转，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．四、解答题（本大题共8小题，共分）31.解方程：．【答案】解：原方程化为：，，，．【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．32.关于x的一元二次方程有两个实数根，若方程的两个实数根都是正整数，求整数m的值．【答案】解：，，，，此方程的两个实数根都是正整数，由解得或，或．【解析】先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解．本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．33.如图，的三个顶点都在上，直径，，求AC的长．34.35.36.37.【答案】解：如图，连接OC，，，，，又，是等边三角形，．【解析】先连接OC，根据，判定是等边三角形，进而得到．本题主要考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形．38.若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”如13，35，56等在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．写出所有个位数字是5的“两位递增数”；请用列表或树状图法，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．【答案】解：根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”是15、25、35、45这4个；画树状图为：共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．【解析】根据“两位递增数”定义可得；画树状图列出所有“两位递增数”，找到个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数，根据概率公式求解可得．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．39.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一个交点为．40.求k的值；41.，是双曲线上的两点，直接写出当时，n的取值范围．【答案】解：直线与双曲线的一个交点为．，；，双曲线每个分支上y随x的增大而减小，当N在第一象限时，，当N在第三象限时，综上所述：或．【解析】将点P坐标代入两个解析式可求m，k的值；根据反比例函数图象性质可求解．本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，函数图象的性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式．42.在锐角中，边BC长为18，高AD长为1243.如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；44.设，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．【答案】解：四边形EFCH为矩形，，∽，，边BC长为18，高AD长为12，；，，，，当时，S有最大值为54．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．根据相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比进行计算即可；根据，得出，，再根据，可得当时，S有最大值为54．45.如图1，AB为的直径，C为上一点，连接CB，过C作于点D，过点C作，使，其中CE交AB的延长线于点E．46.求证：CE是的切线．47.如图2，点F在上，且满足，连接AF井延长交EC的延长线于点G．48.试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；49.若，，求线段FG的长．50.【答案】证明：如图1，连接OC，，，，，，，即，是的切线；解：线段CF与CD之间满足的数量关系是：，理由如下：如图2，过O作于点H，，，且，，为公共边，≌，，；，，，由得：，设，则，在中，，，解得：，即，，，，，，四边形ABCF为的内接四边形，，∽，，，．【解析】如图1，连接OC，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论；如图2，过O作于点H，证明≌，则，得；先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得x的值，证明∽，列比例式可得FG的长．此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明∽是关键．51.综合与探究52.如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．53.求抛物线的表达式；54.点N是抛物线上异于点C的动点，若的面积与的面积相等，求出点N的坐标；55.如图2，当P为OB的中点时，过点P作轴，交抛物线于点连接BD，将沿x轴向左平移m个单位长度，将平移过程中与重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．56.【答案】解：如图1，把点、分别代入，得，解得，所以该抛物线的解析式为：；将代入，得，点C的坐标为，．设，，，．当时，，解得．当时，，解得，舍去．综上所述，点N的坐标是或或；如图2，由已知得，，，设直线BC的表达式为．直线经过点，，，解得，直线BC的表达式为．当时，由已知得．，由得，把代入中，得，，直线轴．，，．过点F作于点M，则．，∽，．，，∽，．，，．设，，，．．，．．，．【解析】把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；由抛物线解析式求得点C的坐标，即，所以由三角形的面积公式得到点N到x轴的距离为3，据此列出方程并解答；如图2，由已知得，，，利用待定系数法确定直线BC的表达式为根据二次函数图象上点的坐标特征和坐标与图形的性质求得，所以直线轴．由此求得EM的长度；过点F作于点M，构造相似三角形：∽和∽，根据相似三角形的对应边成比例推知设，，由三角形的面积公式和图形得到：．本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．。
2020年福州市九年级质量检测数学试题答案及评分参考
A F D EB C2020年福州市九年级质量检测数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．A 7．B 8．C 9．C 10．D二、填空题：共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答． 11．1 12．1413．15 14．415．1816．94三、解答题：共9小题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答． 17．（本小题满分8分）解：解不等式①，得x ≤3． ······························································································ 3分解不等式②，得x ＞1-． ···························································································· 5分 ∴原不等式组的解集是1-＜x ≤3， ··············································································· 6分······························································· 8分18．（本小题满分8分）证明：∵点E ，F 在BC 上，BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ， 即BF =CE ． ········································································································· 3分在△ABF 和△DCE 中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ABF ≌△DCE ， ······························································································· 6分∴∠A =∠D ． ······································································································· 8分19．（本小题满分8分）解：原式221(1)(1)(1)x x x x +=⋅+--+ ······················································································· 3分2(1)(1)111x x x x x -++=-++ ·························································································· 4分 221111x x x x +-=-++ ·································································································· 5分 21x =+． ··········································································································· 6分当1x =时，原式 ················································································· 7分=． ····················································································· 8分 20．（本小题满分8分） 解：画法一：画法二：······························································· 4分如图，点C ，D 分别为（1），（2）所求作的点． ························································ 5分 （2）证明如下：由（1）得BC ∥OA ，BC =12OA ，∴∠DBC =∠DAO ，∠DCB =∠DOA ， ∴△DBC ∽△DAO ， ············································································ 7分 ∴12DC BC DO AO ==， ∴OD =2CD ． ····················································································· 8分21．（本小题满分8分） 解：（1）由图1可得甲的速度是1202=60÷m/min ． ································································ 2分由图2可知，当43x =时，甲，乙两人相遇，故4(60)2003v +⨯=乙，解得90v =乙m/min ． ···························································································· 4分 答：甲的速度是60 m/min ，乙的速度是90 m/min ．（2）由图2可知：乙走完全程用了b min ，甲走完全程用了a min ，∴20020909b ==， ······························································································· 6分20010603a ==． ································································································ 8分∴a 的值为103，b 的值为209．22．（本小题满分10分） 解：（1）依题意得100a =． ····························································································· 2分这1000户家庭月均用水量的平均数为：2406100101801428018220221002660302014.721000x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==， ········· 6分∴估计这1000户家庭月均用水量的平均数是14.72． （2）解法一：不合理．理由如下： ··············································································· 7分由（1）可得14.72在12≤x ＜16内，∴这1000户家庭中月均用水量小于16 t 的户数有40100180280600+++=（户）， ···························································· 8分 ∴这1000户家庭中月均用水量小于16 t 的家庭所占的百分比是600100%60%1000⨯=，∴月均用水量不超过14.72 t 的户数小于60%． ············································· 9分 ∵该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m ， 而60%＜70%，∴用14.72作为标准m 不合理． ······························································· 10分解法二：不合理．理由如下： ··············································································· 7分∵该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m ， ∴数据中不超过m 的频数应为700， ·························································· 8分 即有300户家庭的月均用水量超过m ．又2060100160300++=<，2060100220380300+++=>， ∴m 应在16≤x ＜20内． ·········································································· 9分 而14.72＜16，∴用14.72作为标准m 不合理． ······························································· 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：连接OD ，AD ．∵AB 为⊙O 直径，点D 在⊙O 上，∴∠ADB =90°， ······················································· 1分∴∠ADC =90°．∵E 是AC 的中点， ∴DE ＝AE ，∴∠EAD =∠EDA ． ··················································· 2分 ∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ． ······················································································· 3分 ∵∠OAD +∠EAD =∠BAC =90°， ∴∠ODA +∠EDA =90°， 即∠ODE =90°， ···························································································· 4分 ∴OD ⊥DE ．∵D 是半径OD 的外端点， ∴DE 是⊙O 的切线． ····················································································· 5分（2）解法一：过点F 作FH ⊥AB 于点H ，连接OF ，∴∠AHF =90°．∵AB 为⊙O 直径，点F 在⊙O 上，∴∠AFB =90°， ∴∠BAF +∠ABF =90°．∵∠BAC =90°， ∴∠G +∠ABF =90°， ∴∠G =∠BAF ． ························································································· 6分 又∠AHF =∠GAB =90°， ∴△AFH ∽△GBA ， ···················································································· 7分 ∴AF FH GB BA=． ··························································································· 8分 由垂线段最短可得FH ≤OF ， ········································································ 9分 当且仅当点H ，O 重合时等号成立． ∵AC ＜AB ，∴»BD上存在点F 使得FO ⊥AB ，此时点H ，O 重合，∴AF FH GB BA =≤12OF BA =， ············································································ 10分 即AF GB 的最大值为12． 解法二：取GB 中点M ，连接AM ．∵∠BAG =90°，∴AM =12GB ． ······················································ 6分 ∵AB 为⊙O 直径，点F 在⊙O 上， ∴∠AFB =90°， ∴∠AFG =90°， ∴AF ⊥GB ． ························································· 7分 由垂线段最短可得AF ≤AM ， ········································································ 8分 当且仅当点F ，M 重合时等号成立， 此时AF 垂直平分GB ， 即AG ＝AB ． ∵AC ＜AB ，∴»BD上存在点F 使得F 为GB 中点， ∴AF ≤12GB ， ··························································································· 9分∴AF GB ≤12， ···························································································· 10分 即AF GB 的最大值为12．24．（本小题满分12分）（1）①证明：∵∠AED =45°，AE =DE ，∴∠EDA 180452︒-︒==67.5°． ······································································· 1分∵AB =AC ，∠BAC =90°， ∴∠ACB =∠ABC =45°，∠DCA =22.5°，························································· 2分 ∴∠DCB =22.5°， 即∠DCA =∠DCB ， ∴CD 平分∠ACB ． ····················································································· 3分②解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∴∠DFB =90°．∵∠BAC =90°，∴DA ⊥CA ． 又CD 平分∠ACB ， ∴AD =FD ， ································································································· 4分 ∴AD FD DB DB=． 在Rt △BFD 中，∠ABC =45°， ∴sin ∠DBF FD DB==， ················································································ 5分∴AD DB = ······························································································· 6分 （2）证法一：过点A 作AG ⊥AE 交CD 的延长线于点G ，连接BG ，∴∠GAE =90°． 又∠BAC =90°，∠AED =45°， ∴∠BAG =∠CAE ，∠AGE =45°，∠AEC =135°，·············································· 7分 ∴∠AGE =∠AEG ， ∴AG =AE ． ······························································································· 8分 ∵AB =AC ，∴△AGB ≌△AEC ， ···················································································· 9分F B A C D E。
2020年安徽省中考数学总复习试卷
中考数学总复习试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.抛物线y=-2（x-3）2+5的顶点坐标是（）A. （3，-5）B. （-3，5）C. （3，5）D. （-3，-5）2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，BC=6，则AB长是（）A. 4B. 6C. 8D. 103.将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A. y=（x-1）2+4B. y=（x-4）2+4C. y=（x+2）2+6D. y=（x-4）2+64.关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（）A. 图象过（1，2）点B. 图象在第一、三象限C. 当x＞0时，y随x的增大而减小D. 当x＜0时，y随x的增大而增大5.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（-2，0）、B（0，0）、C（-3，y1）、D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A. y1＞y2B. y1=y2C. y1＜y2D. 不能确定6.如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A. 1：5B. 1：4C. 1：3D. 1：27.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）A.B.C.D.8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2-4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＜0；④m＞-2，其中，正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. 2B.C.D. 110.如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.若，则=______．12.如图所示，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k=______．13.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是______ ．14.如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（-8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.计算：．16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）．请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；（3）如果点D（a，b）在线段BC上，请直接写出经过（2）的变化后对应点D2的坐标．17.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．18.如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=BE=4，AE=3，求CD的值．19.为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）20.通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB=AC，底角B的邻对记作canB，这时canB=，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°=______；（2）如图（2），已知在△ABC中，AB=AC，canB=，S△ABC=24，求△ABC的周长．21.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A（-2，-1），B（0，7）两点．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当x为何值时，y＞0？（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．22.长丰县是国家无公害草莓生产示范基地，生产的草莓是安徽省特色水果，也是安黴省的特产之一．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为20元/kg的草莓，规定试销期间销售单价低于成本单价，也不高于40元/kg，经试销发现，销售量（kg）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数表达式；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵抛物线的解析式为y=-2（x-3）2+5，∴抛物线的顶点坐标为（3，5）．故选：C．根据抛物线的顶点式，可直接得出抛物线的顶点坐标．本题考查了二次函数的顶点式，从顶点式可以直接得出抛物线的顶点．2.【答案】D【解析】解：∵∠C=90°，sin A==，BC=6，∴AB=BC=×6=10；故选：D．根据三角函数的定义即可得出结果．本题主要考查了解直角三角形、正弦函数的定义；熟练掌握正弦函数的定义是解决问题的关键．3.【答案】B【解析】解：将y=x2-2x+3化为顶点式，得y=（x-1）2+2．将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x-4）2+4，故选：B．根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．4.【答案】D【解析】解：∵k=-2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．故选：D．反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．5.【答案】A【解析】解：∵抛物线过A（-2，0）、O（0，0）两点，∴抛物线的对称轴为x==-1，∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y1＞y2，故选A．根据A（-2，0）、O（0，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，B、C两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系．比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．6.【答案】D【解析】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．7.【答案】A【解析】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=-＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：A．根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=-＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＜0是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2-4ac＞0，故①错误；∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x=-1时，a-b+c＞0，故③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：-2，故二次函数y=ax2+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y=ax2+bx+c-m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，故-m＜2，解得：m＞-2，故④正确．∴正确的个数有2个.故选B.9.【答案】A【解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．故选：A．作DE⊥AB于E，先根据腰直角三角形的性质得到AB=AC=6，∠A=45°，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，利用∠DBE的正切得到BE=5x，然后由AE+BE=AB 可计算出x=，再利用AD=x进行计算．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．10.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2时，根据S△APQ=AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据S△APQ=S正方形ABCD-S△CP'Q'-S△ABQ'-S△AP'D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．【解答】解：①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y=S△APQ=AQ•AP=x2；②当2≤x≤4时，y=S△APQ=S正方形ABCD-S△CP'Q'-S△ABQ'-S△AP'D，=2×2-（4-x）2-×2×（x-2）-×2×（x-2）=-x2+2x所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．故选：A．11.【答案】【解析】解：∵，∴==，根据比例的基本性质，对原式进行化简即可得出结果．注意灵活运用合比性质对已知式进行变形．12.【答案】-4【解析】解：设反比例函数的解析式为y=．∵△AOB的面积=△ABP的面积=2，△AOB的面积=|k|，∴|k|=2，∴k=±4；又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜0．∴k=-4．故答案为：-4．由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积=△ABC的面积=3，然后根据反比例函数y=中k的几何意义，知△AOB的面积=|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y=中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．13.【答案】【解析】解：设AC=BC=x，则CD===x，∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴===，故答案为：设AC=BC=x，则CD===x，证AB∥CD得△ABE∽△DCE，即可知===．本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．14.【答案】（-，）或（-4，3）【解析】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：∵PE⊥BO，CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（-8，6），∴点P横坐标为-4，OC=6，BO=8，BE=4，∵△PBE∽△CBO，∴=，即=，解得：PE=3，∴点P（-4，3）；②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：∵CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（-8，6），∴AC=BO=8，CP=8，AB=OC=6，∴BC===10，∴BP=2，∵△PBE∽△CBO，∴==，即：==，解得：PE=，BE=，∴OE=8-=，∴点P（-，）；综上所述：点P的坐标为：（-，）或（-4，3）；故答案为：（-，）或（-4，3）．由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出点P横坐标为-4，OC=6，BO=8，BE=4，由相似对应边成比例得出PE=3即可得出结果；②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO 于E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出AC=BO=8，CP=8，AB=OC=6，由勾股定理得出BC==10，则BP=2，由相似对应边成比例得出PE=，BE=，则OE=即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．15.【答案】解：=3+1-3+1=2【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．16.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1（-3，2）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，C2（6，4）；（3）∵原点O为位似中心，位似比为1：2，∴点D（a，b）的对应点D2的坐标为（2a，2b）．【解析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，进而得出C1点的坐标；（2）依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出△ABC放大后的图形△A2B2C2，进而得到C2点的坐标；（3）依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出对应点D2的坐标．此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键．17.【答案】解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m=6，3n=6，解得m=1，n=2，所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），分别把A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=-2x+8；（2）当0＜x＜1或x＞3时，；（3）如图，当x=0时，y=-2x+8=8，则C点坐标为（0，8），当y=0时，-2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），所以S△AOB=S△COD-S△COA-S△BOD=×4×8-×8×1-×4×2=8．【解析】（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到6m=6，3n=6，解得m=1，n=2，这样得到A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数求一次函数的解析式；（2）观察函数图象找出反比例函数图象都在一次函数图象上方时x的取值范围；（3）先确定一次函数图象与坐标轴的交点坐标，然后利用S△AOB=S△COD-S△COA-S△BOD进行计算．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．18.【答案】（1）证明：AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠GAC+∠ACG=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AEF=∠ACG，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴=，∵AD=BE=4，AE=3，∴AB=BE+AE=4+3=7，∴=，解得：AC=，∴CD=AC-AD=-4=．【解析】（1）由垂直得出∠AFE=∠AGC=90°，则∠AEF+∠EAF=90°，∠GAC+∠ACG=90°，由∠EAF=∠GAC得出∠AEF=∠ACG，即可得出结论；（2）由△ADE∽△ABC得出=，求出AB=BE+AE=7，则=，求出AC=，则CD=AC-AD=．本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走80+40千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．【解析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B 地比原来少走多少路程．本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．20.【答案】【解析】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B=30°，∴cos∠B==，∴BD=AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=AB，故can30°==；（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵canB=，则可设BC=8x，AB=5x，∴AE==3x，∵S△ABC=24，∴BC×AE=12x2=24，解得：x=，故AB=AC=5，BC=8，从而可得△ABC的周长为18．质可得出BC=AB，继而得出canB；（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据canB=，设BC=8x，AB=5x，再由S△ABC=24，可得出x的值，继而求出周长．本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，表示出各个边的长度．21.【答案】解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A（-2，-1），B（0，7）两点．∴，解得：.∴y=-x2+2x+7，=-（x2-2x）+7，=-[（x2-2x+1）-1]+7，=-（x-1）2+8，∴对称轴为：直线x=1．（2）当y=0，0=-（x-1）2+8，∴x-1=±2，x1=1+2，x2=1-2，∴抛物线与x轴交点坐标为：（1-2，0），（1+2，0），∴当1-2＜x＜1+2时，y＞0；（3）当矩形CDEF为正方形时，假设C点坐标为（x，-x2+2x+7），∴D点坐标为（-x2+2x+7+x，-x2+2x+7），即：（-x2+3x+7，-x2+2x+7），∵对称轴为：直线x=1，D到对称轴距离等于C到对称轴距离相等，∴-x2+3x+7-1=-x+1，解得：x1=-1，x2=5（不合题意舍去），x=-1时，-x2+2x+7=4，∴C点坐标为：（-1，4）．【解析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可；（2）求出二次函数与x轴交点坐标即可，再利用函数图象得出x取值范围；（3）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案．此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性质等知识，根据题意得出C、D两点坐标之间的关系是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=-2x+340（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x-20）（-2x+340）=-2x2+380x-6800=-2（x-95）2+11250，∵-2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为-2（40-95）2+11250=5200元．【解析】（1）利用待定系数法结合函数图象求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．本题主要考查待定系数法求一次函数解析式与二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键．23.【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，．由题意知：BM=2t，，∴，∵BM=BN，∴，解得：．（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：．②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：．综上所述：当或时，△MBN与△ABC相似．（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD=t．设四边形ACNM的面积为y，∴y===．∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．此时，．【解析】（1）由已知条件得出AB=10，．由题意知：BM=2t，，，由BM=BN得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积-△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．。
2020年福建省初中学业质量测查数学试题(附答案)
福建省初中学业质量测查数学试题（试卷满分:150分；考试时间:120分钟）温馨提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效．毕业学校 姓名 考生号一、选择题（每小题3分，共21分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分． 1．-2015的相反数是（ ）A ．-2015B ．2015C ．12015 D ．12015- 2．下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 3=a 6B ． a 6÷a 2=a 4C ．a 3•a 5=a 15D ．（a 3）4=a 73．如图所示几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（ ） A ．10° B ．15° C ．20° D ．25° 5．关于x 的方程01322=--x x 的解的情况，正确的是（ ）．A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形7．已知二次函数y=﹣x 2+2bx +c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b ≥﹣1B ． b ≤﹣1C ．b ≥1D ．b ≤1二、填空题（每小题4分，共40分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为 ．（第3题图） （第4题图）（第6题图）219．若正n 边形的中心角等于24°，则这个正多边形的边数为 ． 10．分解因式：x x 42+ = ．11．若a ＜13＜b ，且a ，b 为连续正整数，则b 2﹣a 2= ．12． 计算：_______x yx y x y +=++．13．在《中国梦•我的梦》演讲比赛中，由6个评委对某选手打分，得分情况如下：8，9，7，8，9，10 （单位：分），则该选手得分的中位数是 分． 14． 不等式组⎩⎨⎧≤-≥+0201x x 的解集是 ． 15．菱形ABCD 的边长AB =5cm ，则菱形ABCD 的周长为 cm ．16．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知60P ∠=︒，P A ＝63，那么AB 的长为 ．17．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线kx y =上，则（1）k = ，（2）A 2015的坐标是 ． 三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 18．（9分）计算：10)31(28)2(|3|-+⨯--+-π．19．（9分）先化简，再求值：)22(2)2(2-++a a a ，其中3=a ．20．（9分）如图，已知：点B 、F 、C 、E 在一条直线上，∠B =∠E ，BF =CE ，AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF ．21．（9分）为了解我县八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图(如图所示)．A OP B（第16题图）ECABDFA 1A 2 A OB 1 B 2B3 AO BP （第17题图）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）直接填写：a ＝____%，该扇形所对圆心角的度数为____度，并补全条形图；（2）如果全县共有八年级学生7000人，请你估计“活动时间不少于．．．7天”的学生人数大约有多少人？22．（9分）第14届亚洲艺术节计划于2015年11月底在泉州举行．现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人． （1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，直接写出选到女生的概率；（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．23．（9分）已知反比例函数xm y 1-=（m 为常数）的图象在第一、三象限内． （1）求m 的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD 的顶点D ，点A 、B 的坐标分别为a（0，3），（﹣2，0）．①求出该反比例函数解析式；②设点P 是该反比例函数图象上的一点，且在ΔDOP 中，OD=OP ，求点P 的坐标． 24．（9分）甲，乙两辆汽车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2小时后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙两车与B 地的路程分别为y 甲（km ），y 乙（km ），甲车行驶的时间为x （h ），y 甲，y 乙与x 之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）乙车休息了 h ；（2）求乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当两车相距40km 时，求出x 的值．25．（13分）如图，已知抛物线c bx x y ++-=221图象经过A （﹣1，0），B （4，0）两点． （1）求抛物线的解析式；y/km y（2）若C （m ，m ﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段AB 上的一个动点（不与端点A 、B 重合），过点D 分别作DE ∥BC 交AC 于E ，DF ∥AC 交BC 于F ．①求证：四边形DECF 是矩形； ②试探究：在点D 运动过程中，DE 、DF 、CF 的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，试说明变化情况．A O D BF EC x26．（13分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线33+-=k kx y 交y 轴正半轴于点A ，交x 轴于点B （如图1）（1）不论k 取何值，直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标； （2）当OC ⊥AB 时，求出此时直线AB 的解析式；（3）如图2，在（2）条件下，若D 为线段AB 上一动点（不与端点A 、B 重合），经过O 、D 、B 三点的圆与过点B 垂直于AB 的直线交于点E ，求ΔDOE 面积的最小值．（图1）（图2）参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.B 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 7.D 二、填空题（每小题4分，共40分）8. 5101.1⨯ 9. 15 10. )4(+x x 11.7 12. 1 13. 8.5 14. 21≤≤-x 15. 20 16. π4 17.（1）33（2）)2017,32015( 三、解答题（共89分） 18.（本题9分）解：原式=3+1-4+3…………………………………………………………8分 =3…………………………………………………………………… 9分 19．（本题9分）解：原式=a a a a 444422-+++…………………………………………………4分=452+a ………………………………………………………………6分当3=a 时，原式=4)3(52+⨯………………………………………7分=19…………………………………………………9分 20．（本题9分）证明：∵CE BF =, ∴CF CE CF BF +=+即EF BC =……………4分又∵E B DE AB ∠=∠=,……………7分 ∴△ABC ≌△DEF . ………………………9分21．（本题9分）解：（1）10，36°，补图如右；（填空各2分，补图2分， 共6分）（2）7000×（25%+10%+5%）=7000×40%=2800人． 答：“活动时间不少于7天”的学生人数大约有2800人……………………9分 22. （本题9分）ECA BDF解 ：（1）P （女生）=53；……………………………………………………3分 （2）解法一: 画树状图…………………………………………………………………………6分由树状图可知，共有12种机会均等的情况，其中和为偶数的有4种情况，P ∴（甲参加）=31124=，P （乙参加）=32128=. P （甲参加）<P （乙参加），∴这个游戏不公平. ……………………………………………………9分解法二：列表（略）23. （本题9分）解：（1）根据题意得01>-m解得1>m …………………3分（2）①∵四边形ABOC 为平行四边形， ∴AD ∥OB ，AD =OB =2 又A 点坐标为（0，3）∴D 点坐标为（2，3）………………5分∴1-m =2×3=6∴反比例函数解析式为xy 6=………………6分 ②（法一）如图所示，以O 为圆心，OD 长为半径作圆O ，与双曲线xy 6=分别交于321,,,P P P D 四点. 根据图形的对称性，得点D （2，3）关于直线y =x 对称点1P 的坐标为（3，2）；………………7分 点D （2，3）关于原点中心对称点2P 的坐标为（﹣2，﹣3）；点1P （3，2）关于原点中心对称点3P 的坐标为（﹣3，﹣2）. ………….8分 由于O 、D 、2P 三点共线.，所以符合题意的P 点只有两点， 其坐标分别为（3，2），（﹣3，﹣2）. …………..9分（法二）2 第1张第2张 3 4 53 4 52 4 52 3 52 3 4和 5 6 7 5 7 8 6 7 9 7 8 9∵直线y =x 是反比例函数x y 6=图象的对称轴， D （2，3）在反比例函数xy 6=图象上， ∴点D （2，3）关于直线y =x 对称点的坐标为（3，2），则此时满足条件OP =OD 的P 点坐标为（3，2）………………..7分 ∵反比例函数xy 6=的图象是以原点为对称中心的中心对称图形 ∴当点P 与点D 关于原点中心对称，则OD =OP ，但此时O 、D 、P 三点共线. 而点（3，2）关于原点中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）即此时满足条件OP =OD 的P 点坐标为（﹣3，﹣2）…………………8分综上，符合题意的P 点有两点，其坐标分别为（3，2），（﹣3，﹣2）.………………9分 24. （本题9分）解：（1）0.5；………………………3分（2）设乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式y 乙=kx +b ，y 乙=kx +b 图象过点（2.5，200），（5，400），得⎩⎨⎧=+=+4005,2005.2b k b k 解得⎩⎨⎧==0,80b k ∴乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式y 乙=80x （2.5≤x ≤5）；………………6分（其中自变量取值范围1分）（3）设乙车与甲车相遇前y 乙与x 的函数解析式y 乙=kx ，图象过点（2，200），所以200=2k 解得k =100 ∴乙车与甲车相遇前y 乙与x 的函数解析式y 乙=100x可求y 甲与x 的函数解析式y 甲=-80x +400…………………7分 ①当0≤x <2.5时，y 甲减y 乙等于40千米即﹣80x +400﹣100x =40，解得 x =2………………………8分 ②当2.5≤x ≤5时，y 乙减y 甲等于40千米即80x ﹣（﹣80x +400）=40，解得x =…………………9分综上，x =2或x =．25. （本题13分） 解：∵抛物线y=﹣221x +bx +c 图象经过A （﹣1，0），B （4，0）两点， 根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=c b c b 480,210 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,23c b ∴抛物线的解析式为：223212++-=x x y ；…………3分（2）①证明：把C （m ，m ﹣1）代入223212++-=x x y 得 2232112++-=-m m m ，解得：m =3或m =﹣2，∵C （m ，m ﹣1）位于第一象限，∴⎩⎨⎧-01,0 m m ∴m ＞1，∴m =﹣2不合舍去，只取m =3， ∴点C 坐标为（3，2），…………4分（法一）如图，过C 点作CH ⊥AB ，垂足为H ，则∠AHC =∠BHC =90°， 由A （﹣1，0）、B （3，0）、C （3，2）得 AH =4，CH =2，BH =1，AB =5 ∵,2==BHCH CH AH ∠AHC =∠BHC =90°∴△AHC ∽△CHB ，∴∠ACH =∠CBH ， ∵∠CBH +∠BCH =90°∴∠ACH +∠BCH =90°∴∠ACB =90°，…………6分 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，即四边形DECF 是平行四边形，…………7分 ∴四边形DECF 是矩形；…………8分 （法二）∵202=AC ，52=BC ，AB =5， ∴222AB BC AC =+=25， ∴∠ACB =90°.以下解法同上.（法三）由1-=∙BC AC k k ，证得∠ACB =90°. 以下解法同上.（3）（法一） ∵DE ∥BC ∴ΔAED ∽ΔACB ∴AB AD BC ED = （1）…………9分同理：ABBDAC DF =（2） 设n AD =, 则n BD -=5由(1)得55n ED =………10分∴55nED FC ==由(2)得5)5(52n DF -=………11分 ∴52=++FC DF ED ………12分∴DE 、DF 、CF 的长度之和不变. …………13分（法二）∵DE ∥BC ∴ΔAED ∽ΔACB∴AB AD BC ED = （1）…………9分 同理：ABBDAC DF =（2） 由（1）+（2）得：1=+ACDF BC ED …………10分又∵5,52==BC AC ，CF =ED ∴522=+DF ED …………11分 ∴52=++FC DF ED ………12分∴DE 、DF 、CF 的长度之和不变. …………13分26. （本题13分）解：(1))3,3(C …………3分(2)（法一）如图，作CF ⊥OB 于F ,则3=OF ,CF =3 在Rt ΔOCF 中，tan ∠COF =333==OF CF∴∠COF = 60………4分又∵AB OC ⊥∴∠ABO = 30………5分在Rt ΔBCF 中，tan ∠ABO =33=BF CF ∴33=BF ∴34=OB ∴)0,34(B …………6分 把)0,34(B 代入33+-=k kx y ，得33-=k …………7分 ∴433+-=x y …………8分（法二）由BF OF CF ∙=2，得33=BF（法三）设B )0,(a ，由222OB CB OC =+，得22222)3(33)3(a a =-+++ 解得34=a（法四）可求直线OC 解析式为x y 3=，由AB OC ⊥，得13-=k ，∴33-=k（3）∵O 、D 、B 、E 四点共圆∴ 180=∠+∠DBE DOE ……………………9分又∵AB ⊥BE ∴ 90=∠ABE ∴ 90=∠DOE∵ 30=∠=∠ABO DEO ……………………10分在Rt ΔDOE 中，tan ∠DEO =33=OE OD ∴OD OE 3= ∴22321OD OE OD S DOE =∙=∆……………………11分 ∴当OD ⊥AB 时，ΔDOE 的面积最小，即点D 与点C 重合， 此时32==OC OD ……………………12分∴ΔDOE 面积的最小值为36.……………………13分。
河南省2020年中考模拟数学试卷及答案参考(一) 解析版 (1)
河南省2020年中考模拟数学试卷 (一)一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣0.5 C．D．2．（3分）港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×10123．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．52°B．54°C．64°D．69°5．（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：成绩/m 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.25人数 2 3 9 8 5 3 这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）A．2.10，2.05 B．2.10，2.10 C．2.05，2.10 D．2.05，2.05 6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝x+的图象交于点A，若点P 是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为（）A．1 B．C．D．28．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON 分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE ≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④10．（3分）在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：﹣（）﹣1+＝．12．（3分）2019年永州市初中体育学业水平考试实行改革，增加了两类自选类项目：一类是运动技能测试，学生可以从篮球、足球、排球向上垫球三个项目中必须自选一项；另一类是身体力量测试，学生从一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目中再选一项，则某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率是．13．（3分）关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n两根为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣h﹣3）2+k+3＝x+n的两根为．14．（3分）如图，7个腰长为1的等腰直角三角形（Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3…）有一条腰在同一条直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，则S1+S2+S3+S4+S5+S6＝．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD是△ABC的中线，E是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE＝．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作作⊙D．（1）求证：AC是⊙D的切线．（2）设AC与⊙D切于点E，DB＝1，连接DE，BF，EF．①当∠BAD＝时，四边形BDEF为菱形；②当AB＝时，△CDE为等腰三角形．18．（9分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级；75≤x＜85为B级；60≤x＜75为C级；x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，A级人数占本次抽取人数的百分比为%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有1000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？19．（9分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）（参考数据：＝1.73，＝2.24，sin53°＝cos37°＝0.80，sin37°＝cos53°＝0.60，tan53°＝1.33，tan37°＝0.75，sin38°＝cos52°＝0.62，sin52°＝cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，tan52°＝1.28，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73．）20．（9分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB 于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时，不等式2x+6＜0的解集；（3）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？21．（10分）某商场计划经销A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．A型B型进价（元/盏）40 65售价（元/盏）60 100（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？（3）若该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，其中A种台灯不超过30盏，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a ＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？22．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D 时线段AB上一动点，连接BE．填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D 是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x＝1为抛物线的对称轴．点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；（2）点P为直线x＝1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合）．记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S＝S△BCD，求点P的坐标；（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ延边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣0.5 C．D．【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣0.5|＝0.5，||＝，||＝且0.5＜＜＜3，∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．故选：A．2．（3分）港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：1269亿＝126900000000，用科学记数法表示为1.269×1011．故选：B．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．【解答】解：A、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故A不符合题意；B、左视图和俯视图相同，故B符合题意；C、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故C不符合题意；D、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故D不符合题意；故选：B．4．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．52°B．54°C．64°D．69°【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BOC＝64°，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵l∥OB，∴∠1+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝64°，又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2＝64°，故选：C．5．（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：成绩/m 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.25人数 2 3 9 8 5 3 这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）A．2.10，2.05 B．2.10，2.10 C．2.05，2.10 D．2.05，2.05 【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；由于一共调查了30人，所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10．故选：C．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案．【解答】解：，解①得：x＞﹣6，解②得：x≤13，故不等式组的解集为：﹣6＜x≤13，在数轴上表示为：．故选：B．7．（3分）如图，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝x+的图象交于点A，若点P 是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为（）A．1 B．C．D．2【分析】判断出OP⊥AB时，OP最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．【解答】解：由得，∴A（2，3），由一次函数y＝x+，令y＝0，解得x＝﹣2，∴（﹣2，0），∴S△AOB＝OB•|y A|＝＝3，AB＝＝5，∵当OP⊥AB时，OP最小，∴S△AOB＝AB•OP最小，∴×5OP最小＝3∴OP最小＝，故选：C．8．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN ＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON 分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE ≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④【分析】①由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论；②证明点O、E、C、F四点共圆，得∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，进而得OGE∽△FGC便可；③先证明S△COE＝S△DOF，∴便可；④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，再证明OG•AC＝EF2，再证明BE2+DF2＝EF2，得OG•AC＝BE2+DF2便可．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②∵∠EOF＝∠ECF＝90°，∴点O、E、C、F四点共圆，∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，∴OGE∽△FGC，故②正确；③∵△COE≌△DOF，∴S△COE＝S△DOF，∴，故③正确；④）∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG＝∠OCE＝45°，∵∠EOG＝∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC＝OG：OE，∴OG•OC＝OE2，∵OC＝AC，OE＝EF，∴OG•AC＝EF2，∵CE＝DF，BC＝CD，∴BE＝CF，又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，∴BE2+DF2＝EF2，∴OG•AC＝BE2+DF2，故④错误，故选：B．10．（3分）在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．【分析】分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝，①当P在OB上时，即0≤x≤1，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BP：OB，∴EF＝2BP＝2x，∴y＝EF•OP＝×2x（1﹣x）＝﹣x2+x；②当P在OD上时，即1＜x≤2，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴EF：AC＝DP：OD，即EF：2＝（2﹣x）：1，∴EF＝4﹣2x，∴y＝EF•OP＝＝﹣x2+3x﹣2，这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．根据题意可知符合题意的图象只有选项B．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：﹣（）﹣1+＝0 ．【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣4+4＝0．故答案为：0．12．（3分）2019年永州市初中体育学业水平考试实行改革，增加了两类自选类项目：一类是运动技能测试，学生可以从篮球、足球、排球向上垫球三个项目中必须自选一项；另一类是身体力量测试，学生从一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目中再选一项，则某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率是．【分析】用A、B、C分别表示篮球、足球、排球向上垫球三个项目，用a、b、c、d分别表示一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目，画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：用A、B、C分别表示篮球、足球、排球向上垫球三个项目，用a、b、c、d 分别表示一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目，画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的结果数为1，所以某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率＝．故答案为．13．（3分）关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n两根为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x ﹣h﹣3）2+k+3＝x+n的两根为2或6 ．【分析】根据函数与方程的关系及函数平移的规律，变形要求的方程，利用平移规律可解．【解答】解：由方程a（x﹣h﹣3）2+k+3＝x+n得a（x﹣h﹣3）2+k＝x+n﹣3①方程①可看作左边是二次函数y＝a（x﹣h﹣3）2+k，右边是一次函数y＝x+n﹣3根据平移知识，可知方程①相当于关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n②，左右两边都向右平移3个单位而方程②的两根为x1＝﹣1，x2＝3∴方程①的两根为x1＝2，x2＝6故答案为2或6．14．（3分）如图，7个腰长为1的等腰直角三角形（Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3…）有一条腰在同一条直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，则S1+S2+S3+S4+S5+S6＝．【分析】连接B1、B2、B3、B4点，显然它们共线且平行于AC1，依题意可知△B1B2C1与△C1AA1相似，求出相似比，根据三角形面积公式可得出S1，同理：B2B3：AA2＝1：2，所以B2C2：C2A＝1：2，进而S2的值可求出，同样的道理，即可求出S3，S4…S6的值，即可求解．【解答】解：解：连接B1、B2、B3、B4．∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，∴＝×1×1＝，＝×2×1＝1，＝×3×1＝，…＝＝3，连接B1、B2、B3点，显然它们共线且平行于AA1易知S1＝，∵B2B3∥AA2，∴△B2C2B3∽△A2C2A，∴＝，∴S2＝＝，同理可求，S3＝＝，S4＝×2＝，S5＝＝，S6＝＝，∴S1+S2+S3+S4+S5+S6＝＝，故答案为：．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD是△ABC的中线，E是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE＝1或﹣．【分析】分两种情形：①如图1中，当∠DGF＝90°时，作DH⊥BC于H．②如图2中，当∠GDF＝90°，作DH⊥BC于H，DK⊥FG于K．【解答】解：①如图1中，当∠DGF＝90°时，作DH⊥BC于H．在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AD＝DB，∴CD＝AB＝，∵DH∥AC，AD＝DB，∴CH＝BH，∴DH＝DG＝AC＝1，∴CG＝﹣1，∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB＝cos∠B＝，∴CE＝CG÷cos∠DCB＝﹣．②如图2中，当∠GDF＝90°，作DH⊥BC于H，DK⊥FG于K．易证四边形DKEH是正方形，可得EH＝DH＝1，∵CH＝BH＝2，∴CE＝1，综上所述，满足条件的CE的值为1或﹣．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程a2+a﹣6＝0可以求得a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a的值必须使得原分式有意义．【解答】解：＝＝＝＝，由a2+a﹣6＝0，得a＝﹣3或a＝2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣3，当a＝﹣3时，原式＝＝．17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作作⊙D．（1）求证：AC是⊙D的切线．（2）设AC与⊙D切于点E，DB＝1，连接DE，BF，EF．①当∠BAD＝30°时，四边形BDEF为菱形；②当AB＝+1 时，△CDE为等腰三角形．【分析】（1）作DM⊥AC于M，由角平分线的性质可得DM＝DB，由切线的判定可证AC是⊙D的切线；（2）①由菱形的性质可得BD＝BF，且BD＝DF，可证△BDF是等边三角形，可得∠ADB＝60°，即可求解；②由切线的性质可得DE⊥AC，由等腰直角三角形的性质可得CD＝DE＝，∠C＝45°，可证AB＝BC＝+1．【解答】证明：（1）如图1，作DM⊥AC于M，∵∠B＝90°，AD平分∠BAC，DM⊥AC，∴DM＝DB，∵DB是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；（2）①如图2，∵四边形BDEF是菱形，∴BD＝DE＝EF＝BF，∵BD＝DF＝DE，∴BD＝DF＝DE＝EF＝BF，∴△BDF，△DEF是等边三角形，∴∠ADB＝∠ADE＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝30°，∴当∠BAD＝30°时，四边形BDEF是菱形，故答案为：30°；②∵AC与⊙D切于点E，∴DE⊥AC，∵△DEC是等腰三角形，且DE⊥AC，∴DE＝EC，∠C＝∠EDC＝45°，∴DC＝DE，∵∠ABC＝90°，∠C＝45°，∴∠BAC＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BD＝DE＝EC＝1，∴DC＝x，∴AB＝BC＝+1，∴当AB＝+1时，△CDE为等腰三角形，故答案为：+1．18．（9分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级；75≤x＜85为B级；60≤x＜75为C级；x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了50 名学生，A级人数占本次抽取人数的百分比为24 %；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为72 度；（4）若该校共有1000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出α；（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；（3）用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；（4）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：24÷48%＝50（人），α＝×100%＝24%；故答案为：50，24；（2）等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4＝10（人），补图如下：（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°＝72°；故答案为：72；（4）根据题意得：1000×＝80（人），答：该校D级学生有80人．19．（9分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）（参考数据：＝1.73，＝2.24，sin53°＝cos37°＝0.80，sin37°＝cos53°＝0.60，tan53°＝1.33，tan37°＝0.75，sin38°＝cos52°＝0.62，sin52°＝cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，tan52°＝1.28，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73．）【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝，在Rt△ABF中BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3，sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km），∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°，在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km），∴景点C与景点D之间的距离约为4km．20．（9分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB 于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时，不等式2x+6＜0的解集；（3）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）结合函数图象找到直线在双曲线下方对应的x的取值范围；（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m），∴m＝2×1+6＝8，∴A（1，8），∵反比例函数经过点A（1，8），∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）不等式2x+6＜0的解集为0＜x＜1；（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴＞0∴S△BMN＝|MN|×|y M|＝＝（n﹣3）2+，∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．21．（10分）某商场计划经销A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．A型B型进价（元/盏）40 65售价（元/盏）60 100（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？（3）若该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，其中A种台灯不超过30盏，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a ＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？【分析】（1）首先设该商场购进A种台灯x盏，购进B种台灯（50﹣x）盏，然后根据题意，即可得方程，解方程即可求得答案；（2）设至少需购进B种台灯x盏，然后由该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，即可得一元一次不等式35y+20（50﹣y）≥1400，解此不等式即可求得答案；（3）首先设该商场购进A种台灯m盏，由该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，可通过不等式组求得m的取值范围，然后求得该商场获得的总利润与该商场购进A种台灯的盏数的一次函数，由10＜a＜20，根据一次函数的增减性即可求得答案．【解答】解：（1）设该商场购进A种台灯x盏，购进B种台灯（50﹣x）盏，由题意得：40x+65（50﹣x）＝2500，解得：x＝30，∴该商场购进A种台灯30盏，购进B种台灯20盏．（2）设购进B种台灯y盏，由题意得：35y+20（50﹣y）≥1400，解得：y≥，∴y的最小整数解为27，∴至少需购进B种台灯27盏；（3）设该商场购进A种台灯m盏，由题意得：40m+65（50﹣m）≤2600，解得：m≥26，∴26≤m30，设该商场获得的总利润为w元，则w＝20m+（35﹣a）（50﹣m）＝（a﹣15）m+1750﹣50a，∵10＜a＜20，∴当10＜a≤15时，m＝26，即购进A种台灯26盏，购进B种台灯24盏，该商场获得的总利润最大，当15＜a＜20时，m＝30，即购进A种台灯30盏，购进B种台灯20盏，该商场获得的总利润最大．22．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D 时线段AB上一动点，连接BE．填空：①的值为 1 ；②∠DBE的度数为90°．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D 是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠ABC＝45°，可得∠DBE＝90°，通过证明△ACD ∽△BCE，可得的值；（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度数；（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM＝BM＝，即可求DE＝2，由相似三角形的性质可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°∴∠ABC＝∠CAB＝45°∴AC＝BC，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且∠CAB＝∠CDE＝45°，∴△ACD∽△BCE∴故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，且△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x＝1为抛物线的对称轴．点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；（2）点P为直线x＝1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合）．记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S＝S△BCD，求点P的坐标；（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ延边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到B（3，0），则设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到D 点坐标；（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），先确定直线BC的解析式y＝x﹣3，再确定E（1，﹣2），则可根据三角形面积公式计算出S△BDC＝S△BDE+S△CDE＝3，然后分类讨论：当点P在x轴上方时，即m＞3，如图1，利用S＝S△PAB+S△CAB＝S△BCD得到2m2﹣4m＝；当点P在x轴下方时，即1＜m＜3，如图2，连结OP，利用S＝S△AOC+S△COP+S△POB＝S△BCD得到﹣m2+m+6＝，再分别解关于m的一元二次方程求出m，从而得到P点坐标；（3）存在．直线x＝1交x轴于F，利用两点间的距离公式计算出BD＝2，分类讨论：①如图3，EQ⊥DB于Q，证明Rt△DEQ∽Rt△DBF，利用相似比可计算出DQ＝，则BQ＝BD﹣DQ＝；②如图4，ED′⊥BD于H，证明Rt△DEQ＝H∽Rt△DBF，利用相似比计算出DH＝，EH＝，在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ＝DH﹣HQ＝﹣x，D′H＝D′E﹣EH＝DE﹣EH＝2﹣，则利用勾股定理可得x2+（2﹣）2＝（﹣x）2，解得x＝1﹣，于是BQ＝BD﹣DH+HQ﹣＝+1；③如图5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，利用①得结论可得EI＝，BI＝，而BE＝2，则BG＝BE﹣EG＝2﹣，根据折叠性质得∠EQD＝∠EQD′，则根据角平分线性质得EG＝EI＝，接着证明△BQG∽△BEI，利用相似比可得BQ＝﹣，所以当BQ为或+1或﹣时，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ与△BEQ 的重叠部分图形为直角三角形．【解答】解：（1）∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线就笑着说为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），易得直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（1，﹣2），∴S△BDC＝S△BDE+S△CDE＝×3×（﹣2+4）＝3，当点P在x轴上方时，即m＞3，如图1，S＝S△PAB+S△CAB＝•3•（3+1）+•（3+1）•（m2﹣2m﹣3）＝2m2﹣4m，∵S＝S△BCD，∴2m2﹣4m＝，整理得4m2﹣8m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝（舍去），∴P点坐标为（，）；当点P在x轴下方时，即1＜m＜3，如图2，连结OP，S＝S△AOC+S△COP+S△POB＝•3•1+•3•m+•3•（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+m+6，∵S＝S△BCD，∴﹣m2+m+6＝，整理得m2﹣3m+1＝0，解得m1＝，m2＝（舍去）∴P点坐标为（，），综上所述，P点坐标为（，）或（，）；（3）存在．直线x＝1交x轴于F，BD＝＝2，①如图3，EQ⊥DB于Q，△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，∵∠EDQ＝∠BDF，∴Rt△DEQ∽Rt△DBF，∴＝，即＝，解得DQ＝，∴BQ＝BD﹣DQ＝2﹣＝；②如图4，ED′⊥BD于H，∵∠EDH＝∠BDF，∴Rt△DEQ＝H∽Rt△DBF，∴＝＝，即＝＝，解得DH＝，EH＝，在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ＝DH﹣HQ＝﹣x，D′H＝D′E﹣EH＝DE﹣EH＝2﹣，∴x2+（2﹣）2＝（﹣x）2，解得x＝1﹣，∴BQ＝BD﹣DQ＝BD﹣（DH﹣HQ）＝BD﹣DH+HQ＝2﹣+1﹣＝+1；③如图5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，由①得EI＝，BI＝，∵BE＝＝2，∴BG＝BE﹣EG＝2﹣，∵△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，∴∠EQD＝∠EQD′，∴EG＝EI＝，∵∠GBQ＝∠IBE，∴△BQG∽△BEI，∴＝，即＝，∴BQ＝﹣，综上所述，当BQ为或+1或﹣时，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形．。
2020届初中毕业班教学质量监测数学试题（含解析）
2020届初中毕业班教学质量监测数 学第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是正确的．1．下列各数中，属于无理数的是（．下列各数中，属于无理数的是（ ） A ．-1B ．17C ．0．303003D ．52．如图，,AB CD EF P 分别交,AB CD 于点,E F ，且MN ME =，若80FMN ∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒3．在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过()(),34,A a b 两点，则,a b 一定满足的关系式为（ ） A ．1a b -=B ．7a b +=C ．12ab =D ．34a b=4．下列计算正确的是（．下列计算正确的是（ ） A ．358a a +=B ．222222422a a a ÷=C ．()()222a a a --=⋅ D ．()()2222a b a b a b ---=-5．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）A ．主视图．主视图B ．左视图．左视图C ．俯视图．俯视图D ．主视图和俯视图．主视图和俯视图6．据统计，据统计，某住宅楼某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．25和30 B ．25和29 C ．28和30 D ．28和29 7．下列命题中是真命题的是（．下列命题中是真命题的是（ ） A ．9的算术平方根是3B ．点()1,5-与点()1,5--关于x 轴对称轴对称C ．正八边形的每个内角的度数为135︒D ．当1x =时，分式11x -的值为08．如图所示的是两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（．如图所示的是两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D9．如图，在O e 中，弦,AB CD 相交于点P ，若30,70A APD ∠=︒∠=︒，则B ∠的度数为（的度数为（ ） A ．30︒ B ．35︒ C ．40︒ D ．50︒10．若一元二次方程2310x x -+=的两个根分别为,a b ，则232a a ab -+-的值为（的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．0D ．111．如图，点D 是ABC △的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD △的面积为15，那么ABC △的面积为（的面积为（）A ．20B ．22．5C ．25D ．3012．如图，在矩形ABCD 中，M 是AD 边的中点，BM 与AC 垂直，交AC 于点N ，连接DN ，则下列结论错误的是（结论错误的是（ ）A ．2CN AN =B ．DN DC =C ．3tan 3CAD ∠=D ．AMN CAB △∽△第Ⅱ卷（非选择题，共84分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．有理数-7的绝对值是__________．14．一个整数966…0用科学记数法表示为779.66610⨯，则原数中“，则原数中“00”的个数为__________．15．不等式组2(35)642x x x x ->⎧⎪⎨--⎪⎩…的解集是___________． 16．甲，乙两地共有,,,A B C D 四路公交车往返，现在小明和小伟先后从甲地前往乙地四路公交车往返，现在小明和小伟先后从甲地前往乙地（假设他们两人坐上（假设他们两人坐上,,,A B C D 四路公交车的可能性是相同的），则他们乘坐同一路公交车的概率是__________．17．如图，在ABC △中90C ∠=︒，2AC BC == ，将ABC △以点A 为旋转中心，顺时针旋转30︒，得到ADE △，点B 经过的路径为»BD 点C 经过的路径为»CE，则图中阴影部分的面积为__________．18．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，且OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①2404b ac a ->②11024a b c ++=③关于x 的方程220ax bx c +++=无实根;④10ac b -=＋;⑤cOA OB a⋅=-．其中正确结论有__________个．个．三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（1）计算：()10151|32|2tan 604x -︒︒⎛⎫-+-+-+⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：22311x x x ++--其中2x =-．20.如图，在ABC △中，D 是AB 边上的一点．请用尺规作图法，在ABC △内，作出ADE △，使ADE ABC △∽△，点D 与点B 对应，DE 交AC 于点E ．（保留作图痕迹，不写作法）（保留作图痕迹，不写作法）21．双曲线ky x =（k 为常数，且0k ≠）与直线2y x b =-+交于()1,2,1,2A m m B n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点．两点． （1）求k 与n 的值．的值． （2）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若E 为CD 的中点，求BOE △的面积．的面积． 22．某校在以“放飞青春梦想，展示你我风采”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A ．歌唱，B ．舞蹈，C ．绘画，D ．演讲共四个类别的比赛，要求每位学生必须参加且仅能参加一个类别．小红随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次调查的学生总人数是多少?扇形统计图中“D ”部分的圆心角度数是多少? （2）请将条形统计图补充完整．）请将条形统计图补充完整．（3）若全校共有1500名学生，请估计该校报名参加绘画和演讲两个类别的比赛的学生共有多少人．名学生，请估计该校报名参加绘画和演讲两个类别的比赛的学生共有多少人．23．某酒店计划购买一批换气扇，某酒店计划购买一批换气扇，已知购买已知购买2台A 型换气扇和2台B 型换气扇共需220元;购买3台A 型换气扇和1台B 型换气扇共需200元．元． （1）求,A B 两种型号的换气扇的单价．两种型号的换气扇的单价．（2）若该酒店准备同时购进这两种型号的换气扇共60台，并且A 型换气扇的数量不多于B 型换气扇数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．24.如图，AB 是O e 的直径，点E 在AB 的延长线上，点D 为O e 上一点，且EDB EAD ∠=∠．（1）求证：ED 是O e 的切线、的切线、（2）过点A 作O e 的切线AC ，交ED 的延长线于点C ，若15,5AE BE ==，求EC 的长．的长．25．如图，抛物线()220y ax ax c a =++≠交x 轴于点,,A B 交y 轴于点C ，直线334y x =--经过点,A C ．（1）求抛物线的解析式．）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在直线AC 的下方，当APC △的面积最大时，求m 的值; ②若APC △是以AC 为底的等腰三角形，请直接写出m 的值．的值．26．如图，在平行四边形ABCD 中，10,16,60,AB AD A P ==∠=︒是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将APB △折叠，得A PB '△．（1）如图，当10DPA '∠=︒时，A PB '∠ =__________︒．（2）如图，当PA BC '⊥时，求线段PA 的长度．的长度．（3）当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点,A B 重合的一个动点，将APF △沿PF 折叠．得到A PF '△，连接BA '，求BA F '△周长的最小值．周长的最小值．2020届初中毕业班教学质量监测数学参考答案1．D2．A3．C4．C5．B6．D7．C8．D9．C10．B11．A12．C 提示：∵AD BC P ， ∴AMN CBN △∽△， ∴AM ANBC CN=． ∵M 是AD 边的中点，边的中点， ∴11,22AM MD AD BC === ∴12AN NC =∴2CN AN =，故A 正确;如图，过点D 作DH BM P 交AC 于点G ，连接NH ． ∵,DH BM BM AC ⊥P ， ∴DH AC ⊥．∵,DH BM AD BC P P ， ∴四边形BMDH 是平行四边形，是平行四边形， ∴12BH MD BC ==， ∴BH CH =． ∵90BNC ∠=︒，∴NH HC =，且DH AC ⊥，∴DH 是NC 的垂直平分线，的垂直平分线， ∴DN CD =，故B 正确; ∵四边形ABCD 是矩形，是矩形，∴,90,AD BC ABC AD BC ∠=︒=P ， ∴,90DAC ACB ABC ANM ∠=∠∠=∠=︒， ∴AMN CAB△∽△，故D 正确;∵AD BC P ，∴DAC BCA ∠=∠，且90,90BAC ACB DAC AMB ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴BAC AMB ∠=∠，且BAM ABC ∠=∠， ∴ABM BCA △∽△， ∴AM ABAB BC=∴2212AB BC =，∴22AB BC =∵tan tan ,AB DAC ACB BC∠=∠=∴2tan 2DAC ∠=故C 错误．错误． 故选C ． 13．714．415．143x …16．1417．π3 提示：由题意可得2222AB AD AC BC ==+=．则阴影部分的面积为222230π(22)30π222π236036023ABCADEABDACESSS S∆∆⨯⨯⨯⨯+--=+--=扇形扇形18．2提示：抛物线与x 轴有两个不同交点，因此240b ac ->．开口向下0a <．因此240,4b ac aa-<故①不正确;抛物线与y 轴交于正半轴．因此0c >．对称轴为直线1x =．所以12b a-=，也就是12a b =-∴1111110,242244a b c b b c c ++=-++=>②不正确;当2y =-时，根据图象可得22ax bx c +=-＋有两个不同实数根，即220ax bx c ++=+有两个不等实根，因此③不正确;∵(),,0OA OC A c =∴-，代人得20ac bc c -+=，即10ac b -+=，因此④正确; 设()()12,0,,0A x B x ，则12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，12cx x a=，又∵12,OA x OB x =-= ，所以c OA OB a⋅=-，故⑤正确．，故⑤正确．综上所述，正确的有④⑤，故答案为2．19．（1）解：原式1(4)2323=+-+-+﹒3 1.=-（2）解：原式222(1)3223(1)(1)11x x x x x x x x +++--=-=-+--11(1)(1)1x x x x -==-++ 当2x =-时，原式1121==--+20．解：如图所示．ADE ABC △∽△．21．解：（1）∵1(,2)2A m m --()1,B n 在直线2y x b =-+上，上，∴2,2,m b m b n +=-⎧⎨-+=⎩得2,|4,b n =-⎧⎨=-⎩∴()1,4B -，代人反比例函数解析式k y x =中，得41k-=，∴4k =-． （2）由（1）知2b =-，∴直线AB 的解析式为22y x =--． 令0x =，解得2y =-;令0y =，解得1x =-． ∴()()1,0,0,2C D --． ∵E 为CD 的中点，∴1(,1)2E --∴1113.()212222BOEODEODBB ES SSOD x x ∆∆∆⎛⎫=+=⋅-=⨯⨯+=⎪⎝⎭22．解：（1）本次调查的学生总人数是12060%200÷= （人）， 扇形统计图中"D"部分的圆心角度数是836014.4200︒⨯=︒（2）补全条形统计图如下：）补全条形统计图如下：（3）估计该校报名参加绘画和演讲比赛的学生共有2081500210200+⨯=（人）（人）23．解：（1）设A 型换气扇的单价为x 元，B 型换气扇的单价为y 元．元．根据题意，得22220,3200,xy x y +=⎧⎨+=⎩4565.x y =⎧⎨=⎩ ∴A 型换气扇的单价为45元．B 型换气扇的单价为65元．元．（2）设购买B 型换气扇a 台，则购买A 型换气扇()60a -台，共需w 元，元， 根据题意，得()654560202700w a a a =+-=+∵200>，∴当a 取最小值时，w 有最小值．有最小值． ∵260a a ≥-，解得20a ≥，∴当20a =时，w 取得最小值，此时A 型换气扇的数量为602040-=，即当购买A 型换气扇40台，台， B 型换气扇20台时最省钱．台时最省钱．24．（1）证明：如图，连接OD ． ∵AB 是O e 的直径，的直径， ∴90ADB ∠=︒，∴90EAD DBA ∠+∠=︒． ∵OB OD =，∴ODB DBA ∠=∠． ∵EDB EAD ∠=∠，∴90ODE ODB EDB DBA EAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴ED OD⊥， ∴ED 是O e 的切线．的切线． （2）解：∵15,5AE BE ==， ∴15510AB AE BE =-=-=， ∴15,2OD OB AB === ∴5510OE OB EB =+=+=． ∵ED 是O e 的切线，的切线， ∴90ODE ∠=︒． ∵5,10OD OE ==， ∴5 3.DE = ∵CA 是O e 的切线，的切线， ∴90CAE ∠=︒， ∴ODE CAE ∠=∠． ∵E E ∠=∠，∴ODE CAE △∽△，∴OD DE CA AE =∵55315AC =． ∴53AC =，∴22(53)15103CE =+=． 25．解：（1）∵直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点C ．∴()()4,00,3A --． ∵抛物线22y ax ax c =++经过点,A C ，∴01683,a a c c =-+⎧⎨-=⎩∴3,83a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为233384y x x =+- （2）①∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为233(,3)84m m m +-． 如图，过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点Q ，则点Q 的坐标为3,34m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴2233333(3)(3),48482PQ m m m m m =---+-=-- ∴APC △的面积是2211333()43,22824PQ AO m m m m ⨯⨯=⨯--⨯=-- ∴当APC △的面积最大时，m 的值是-2．②m 的值为79499+或79499-．提示：由题可知，22,PA PC PA PC =∴= ，∴()22222233334333,8484m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+++-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得79499m ±=． 26．解：（1）85.（2）如图，作BH AD ⊥于点H ．在Rt ABH △中，∵90,10,60AHB AB A ∠=︒=∠=︒，∴605AH AB cos =⋅︒=，sin 6053BH AB ︒=⋅=∵四边形ABCD 是平行四边形，是平行四边形，∴AD BC P ．∵PA BC '⊥，∴PA AD '⊥，∴90APA '∠=︒，∴45HPB BPA '∠=∠=︒， 53,PH BH ∴==∴55 3.PA AH PH =+=+（3）如图，作BH AD ⊥于点H ，连接BP ．∵8,5PA AH ==，∴853PH =-=．∵53BH =，22223(53)221PB PH BH ∴=+=+=由翻折可知8,PA PA FA FA ''===，∴BFA '△的周长10FA BF BA AF BF BA AB BA BA '''''==++=+=+＋＋， ∴当BA '的长最小时，BFA '△的周长最小.∵BA PB PA ''≥-，∴2218BA '≥-，∴BA '的最小值为2218-，∴BFA '△的周长的最小值为102218221 2.+-=+。
安徽省2020年中考复习质量检测卷数学答案
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2020年浙江省丽水市中考数学教学质量检测试卷附解析
2020年浙江省丽水市中考数学教学质量检测试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示的盘中随机抛掷一枚骰子，落在阴影区域的概率（盘底被等分成12份，不考虑骰子落在线上情形）是（ ）A ．61B ．41C ．31D ．212．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ）A ．5B ．552C ．55D ．323．如图，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（ ）4．如图所示是一个杯子，那么下列各图中是这个杯子的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(1)1x -=B ．2(1)2x -=C ．21()12x -= D ．21()22x -= 6．若化简︱1－x ︱- 1682+-x x 的结果是2x －5，则的取值范围是（ ）A ．x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ．x ≤17．等腰三角形的两条边长是2和5，则它的周长是（）A．9 B．12 C．14 D．9或148．某游客为爬上3 km高的山顶看日出，先用1 h爬了2 km，休息0．5 h后，再用l h爬上山顶，游客爬山所用时间他t（h）与山高h（km）间的函数关系用图象表示是（）A． B． C． D．9．用代入法解方程组34225x yx y+=⎧⎨-=⎩，使得代入后化简比较容易的变形是（）A．由①得x=243y-B．由①得y=234x-C．由②得x=52y+D．由②得y=2x-510．已知12xy=⎧⎨=⎩是方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，的解，则a+b=（）A．2 B．－2 C．4 D．－4 11．如图所示，S△ABC=l，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE等于（）A．15B．16C．17D．1812．若P和Q都是关于x 的五次多项式，则 P+Q是（）A．关于x 的五次多项式B．关于x 的十次多项式C．关于x 的四次多项式D．关于 x 的不超过五次的多项式或单项式二、填空题13．太阳光线所形成的投影称为．14．在Rt△ABC 中，若∠C= 90°，AC=24，AB=25，则sinB= ．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，•∠D=•130•°，则∠BAC•的度数为_____．16．如图，∠ACB=90°，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AB1C1，若BC=1，AC=2，则CB1的长度是__________.17．如图，四边形的四条边AB、BC、CD和DA，它们的长分别是2、 5 ．5、4，其中∠B ＝90°，那么四边形ABCD的面积为 .18．若代数式(2)(1)x x-+的值为零，则 x= ．19．甲班人数比乙班多 2 人，甲、乙两班入数不足100人．设乙班有x人，则x应满足的不等式是．20．甲种糖果每千克l0元，乙种糖果每千克8元，现把甲、乙两种糖果混合制成什锦糖，若要使什锦糖的单价为每千克9元，则100元的甲种糖果应与元的乙种糖果混合．21．若等腰三角形的顶角为34°，则它的底角的度数为. .22．方程组53x yx y+=⎧⎨-=⎩的解也是方程10x-my=7的解，则m=_______．3323．如图所示是按照一定规律画出的一列“树形”图．经观察可以发现：图②比图①多出3个“树枝”，图③比图②多出6个“树枝”，图④比图③多出l2个“树枝”．照此规律，图⑦将比图⑥多出个“树枝”．三、解答题24．如图所示，河对岸有一棵树，在 C点折断刚好倒在另一岸的A 点处，AB=l2m，已知树高l8m，小明想通过这棵折断后的树通过这条河，由于各种原因，小明通过坡度大于12的斜坡会有危险，请.问小明通过 AC 会有危险吗？25．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数xk y 2的图象交于A(1，4)、B(3，m)两点．(1)求一次函数的解析式；(2)求△AOB 的面积．26．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD•上，AE=GF=GC ．(1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；(2）当∠FGC=2∠EFB 时，求证：四边形AEFG 是矩形．27．物体自由下落时，下落距离 h(m)可用公式2=来估计，其中 t(s)表示物体下落所经过的h t5时间，一个物体从 120 m 的塔顶自由下落，落到地面需多长时间 (精确到0.1 s)？28．陈聪到希望书店帮同学们买书，售货员告诉他：如果用 20 元钱办理“希望书店会员卡”，将享受八折优惠.(1)请问在这次买书过程中，陈聪在什么情况下，办会员卡与不办会员卡一样？(2)当陈聪买总标价为 200 元的书时，怎么做合算，能省多少钱？29．一列火车自A 城驶往B城，沿途有n个车站(包括始发站A 和终点站B)，该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下前面每个站点发给该站的邮包各一个，还要装上该站发往后面每个车站的邮包各-个.例如：当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下前面(1x-)个车站发给该站的邮包共(1x-)个，还要装上下面行程中要停靠的(n x-)个.-)个车站的邮包共(n x(1)根据题意、完成下表：y(用x、n表示).30．在一次环保知识测试中，三年级一班的两名学生根据班级成绩(分数为整数)分别绘制了组距不同的频数分布直方图，如图1、图2．已知，图1从左到右每个小组的频率分别为：0.04，0.08，0.24，0.32，0.20，0.12，其中68.5～76.5小组的频数为12；图2从左到右每个小组的频数之比为1∶2∶4∶7∶6∶3∶2，请结合条件和频数分布直方图回答下列问题：(1)三年级一班参加测试的人数为多少?(2)若这次测试成绩80分以上(含80分)为优秀，则优秀率是多少?(3)若这次测试成绩60分以上(含60分)为及格，则及格率是多少?【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．C3．B4．C5．B6．B7．B8．D9．D10．B11．B12．D二、填空题13．平行投影14．242515． 40°16．5 17．6＋ 518．2或一119．x+2+x<10020．8021．73°22．23．96三、解答题24．设 BC=x ，则 AC=18-x,则222(18)12x x -=+,x= 5 , 18 -x= 13, ∴51tan 122BC A AB ==<,∴小明通过 AC 不会有危险． 25． （1）31634+-=x y ；（2）)316 26．证明：(1) ∵AE=GF=GC ，∴∠GFC=∠C=∠B ，∴AB ∥GF ，∴四边形AEFG 是平行四边形；(2)由条件∠GFC=EFB FGC ∠-=∠- 902180，∴∠EFB+∠GFC=90°，∴∠EFG=90°． ∵四边形AEFG 是平行四边形，∴四边形AEFG 是矩形．27．4.9s28．(1)买标价共计100 元的书时，办不办会员卡花钱都一样.(2)买标价为 200 元的书时，办会员卡合算，能省 20 元.29．(1) 4(4)n -，5(5)n -，0；(2)()y x n x =-30．⑴50； ⑵44％；⑶96％.。
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2020初中总复习教学质量检测（一）数 学（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）准考证号 姓名 座位号注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B 铅笔作图．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1.计算－1＋2，结果正确的是A . 1B . －1C . －2D . －3 2.抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 的对称轴是A . x ＝－1aB . x ＝－2aC . x ＝1aD . x ＝2a3.如图1，已知四边形ABCD ，延长BC 到点E ，则∠DCE 的同位角是A . ∠AB . ∠BC . ∠DCBD .∠D4.某初中校学生会为了解2017年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查.下列抽样调查方案中最合适的是A .到学校图书馆调查学生借阅量B .对全校学生暑假课外阅读量进行调查C .对初三年学生的课外阅读量进行调查D .在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查 5.若967×85＝p ，则967×84的值可表示为A . p －1B . p －85C . p －967D .8584p 6. 如图2，在Rt△ACB 中，∠C ＝90°，∠A ＝37°，AC ＝4，则BC 的长约为（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A . 2.4 B . 3.0 C . 3.2 D . 5.07. 在同一条直线上依次有A ，B ，C ，D 四个点，若CD －BC ＝AB ，则下列结论正确的是 A . B 是线段AC 的中点 B . B 是线段AD 的中点 C . C 是线段BD 的中点 D . C 是线段AD 的中点8. 把一些书分给几名同学，若 ；若每人分11本则不够. 依题意，设有x 名同学， 可列不等式9x ＋7＜11x ，则横线上的信息可以是 A ．每人分7本，则可多分9个人 B. 每人分7本，则剩余9本图1E DC B A图2 ABCC ．每人分9本，则剩余7本D. 其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本9. 已知a ，b ，c 都是实数，则关于三个不等式：a ＞b ，a ＞b ＋c ，c ＜0的逻辑关系的表述，下列正确的是A . 因为a ＞b ＋c ，所以a ＞b ，c ＜0B . 因为a ＞b ＋c ，c ＜0，所以a ＞bC . 因为a ＞b ，a ＞b ＋c ，所以c ＜0D . 因为a ＞b ，c ＜0，所以a ＞b ＋c 10. 据资料，我国古代数学家刘徽发展了测量不可到达的物体的高度的“重差术”，如：通过下列步骤可测量山的高度PQ （如图3）：（1）测量者在水平线上的A 处竖立一根竹竿，沿射线QA 方向走到M 处，测得山顶P 、竹竿顶点B 及M 在一条直线上；（2）将该竹竿竖立在射线QA 上的C 处，沿原方向继续走到N 处，测得山顶P ，竹竿顶点D 及N 在一条直线上；（3）设竹竿与AM ，CN 的长分别为l ，a 1，a 2，可得公式： PQ ＝d ·la 2－a 1＋l . 则上述公式中，d 表示的是A .QA 的长B . AC 的长 C .MN 的长D .QC 的长 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.分解因式： m 2－2m ＝ .12.投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数为奇数的 概率是 .13.如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是圆上两点，∠CDB ＝45°，AC ＝1，则AB 的长为 .14. A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg ，A 型机器人搬运900kg 所用时间与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等.设B 型机器人每小时 搬运x kg 化工原料，根据题意，可列方程__________________________. 15.已知a ＋1＝20002＋20012，计算：2a ＋1＝ .16.在△ABC 中，AB ＝AC .将△ABC 沿∠B 的平分线折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处， 设折痕交AC 边于点E ，继续沿直线DE 折叠，若折叠后，BE 与线段DC 相交，且交点不 与点C 重合，则∠BAC 的度数应满足的条件是 .三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.（本题满分8分）解方程：2（x －1）＋1＝x .18.（本题满分8分）如图5，直线EF 分别与AB ，CD 交于点A ，C ，若AB ∥CD ，CB 平分∠ACD ，∠EAB ＝72°，求∠ABC 的度数.FE ABC D图4B图3如图6，平面直角坐标系中，直线l经过第一、二、四象限，点A（0，m）在l上.（1）在图中标出点A；（2）若m＝2，且l过点（－3，4），求直线l的表达式.20.（本题满分8分）如图7，在□ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE，BD，证明AE＝BD.21.（本题满分8分）某市的居民交通消费可分为交通工具、交通工具使用燃料、交通工具维修、市内公共交通、城市间交通等五项.该市统计局根据当年各项的权重及各项价格的涨幅计算当年居民交通消费价格的平均涨幅. 2017年该市的有关数据如下表所示.项目交通工具交通工具使用燃料交通工具维修市内公共交通城市间交通占交通消费的比例22% 13% 5% p26% 相对上一年的价格的涨幅1.5% m% 2% 0.5% 1%（1）求p的值；（2）若2017年该市的居民交通消费相对上一年价格的平均涨幅为1.25%，求m的值.22.（本题满分10分）如图8，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，（1）AB＝2，AO＝5，求BC的长；（2）∠DBC＝30°，CE＝CD，∠DCE＜90°，若OE＝22BD，求∠DCE的度数.l图6图7E AB CD图8OAB CDE已知点A ，B 在反比例函数y ＝6x （x ＞0）的图象上，且横坐标分别为m ，n ，过点A ，B 分别向y 轴、x 轴作垂线段，两条垂线段交于点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥x 轴于D ，作BE ⊥y 轴于E.（1）若m ＝6，n ＝1，求点C 的坐标；（2）若m （n －2）＝3，当点C 在直线DE 上时，求n 的值.24.（本题满分11分）已知AB ＝8，直线l 与AB 平行，且距离为4，P 是l 上的动点，过点P 作PC ⊥AB 交线段AB 于点C ，点C 不与A ，B 重合，过A ，C ，P 三点的圆与直线PB 交于点D . （1）如图9，当D 为PB 的中点时，求AP 的长；（2）如图10，圆的一条直径垂直AB 于点E ，且与AD 交于点M .当ME 的长度最大时，判断直线PB 是否与该圆相切？并说明理由.25.（本题满分14分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋t －1，t ＜0， （1）当t ＝－2时，① 若函数图象经过点（1，－4），（－1，0），求a ，b 的值；② 若2a －b ＝1，对于任意不为零的实数a ，是否存在一条直线y ＝kx ＋p （k ≠0），始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由.（2）若点A （－1，t ），B （m ，t －n ）（m ＞0，n ＞0）是函数图象上的两点，且S △AOB ＝12n －2 t ，当－1≤x ≤m 时，点A 是该函数图象的最高点，求a 的取值范围.图9 A l C B DP 图10 l A M E C B D P数学参考答案（一）说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项AABDCBDCDB二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11. m （m －2）. 12. 12. 13. 2. 14. 900x ＋30＝600x .15. 4001. 16.100°＜∠BAC ＜180°. 三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.（本题满分8分）解：2x －2＋1＝x .…………………………4分 2x －x ＝2－1.…………………………6分 x ＝1.…………………………8分18.（本题满分8分）解法一:如图1∵ AB ∥CD ，∴ ∠ACD ＝∠EAB ＝72°.…………………………3分 ∵ CB 平分∠ACD ， ∴ ∠BCD ＝12∠ACD ＝36°. …………………………5分∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠BCD ＝36°. …………………………8分 解法二:如图1∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠BCD . …………………………3分 ∵ CB 平分∠ACD ，∴ ∠ACB ＝∠BCD . …………………………5分 ∴ ∠ABC ＝∠ACB .∵ ∠ABC ＋∠ACB ＝∠EAB ， ∴ ∠ABC ＝12∠EAB ＝36°. …………………………8分图1FE ABC D19.（本题满分8分）（1）（本小题满分3分）如图2；…………………………3分（2）（本小题满分5分）解：设直线l 的表达式为y ＝kx ＋b （k ≠0），…………………………4分 由m ＝2得点A （0，2）， 把（0，2），（－3，4）分别代入表达式，得⎩⎨⎧b ＝2，－3k ＋b ＝4.可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，k ＝－23 ．…………………………7分所以直线l 的表达式为y ＝－23x ＋2． …………………………8分20.（本题满分8分）证明：如图3∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ，AB ＝DC ．………………………… 2分 ∵ DE ＝AB ， ∴ DE ＝DC ．∴ ∠DCE ＝∠DEC ．…………………………4分 ∵ AB ∥DC ，∴ ∠ABC ＝∠DCE ． …………………………5分∴ ∠ABC ＝∠DEC ． …………………………6分 又∵ AB ＝DE ，BE ＝EB ，∴ △ABE ≌△DEB ． …………………………7分 ∴ AE ＝BD ． …………………………8分21.（本题满分8分）（1）（本小题满分3分）解：p ＝1－（22%＋13%＋5%＋26%）…………………………2分＝34%． …………………………3分 （2）（本小题满分5分） 解：由题意得图3EA B C D22%×1.5%＋13%×m %＋5%×2%＋34%×0.5%＋26%×1%22%＋13%＋5%＋34%＋26%＝1.25%． …………………7分解得m ＝3． …………………………8分22.（本题满分10分）（1）（本小题满分4分）解：如图4∵四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC ＝90°，AC ＝2AO ＝25．………………………2分 ∵ 在Rt △ACB 中，∴ BC ＝AC 2－AB 2 ………………………3分＝4．………………………4分 （2）（本小题满分6分）解：如图4∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠DCB ＝90°，BD ＝2OD ，AC ＝2OC ，AC ＝BD ． ∴ OD ＝OC ＝12BD ．∵ ∠DBC ＝30°，∴ 在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°－30°＝60°， CD ＝12BD ．∵ CE ＝CD ，∴ CE ＝12BD ．………………………6分∵ OE ＝22BD ， ∴ 在△OCE 中，OE 2＝12BD 2．又∵ OC 2＋CE 2＝14BD 2＋14BD 2＝12BD 2，∴ OC 2＋CE 2＝OE 2．∴ ∠OCE ＝90°．…………………8分 ∵ OD ＝OC ，图4OABCDE∴ ∠OCD ＝∠∴ ∠DCE ＝∠23.（本题满分11分）（1）（本小题满分解：因为当m ＝6时，y ＝66＝1,…………………2分又因为n ＝1， 所以C （1，1）．…………………4分 （2）（本小题满分分）解：如图5所以A （m ，6m ），B ，6n）所以D （m ，0），E ，6），6）设直线DE 把D （m ，0），E （，6n ）分别代入表达式，可得＝－6mn x ＋6n ．………………………因为点C 在直线所以把C （n ，6m ）代入＝－6mn x ＋6n，化简得把m ＝2n 代入m （n －2）＝3，得2n （n －2）＝3．，………………………9分 解得n ＝2±102．………………………10分因为n ＞0，所以n ＝2＋102．………………………11分24.（本题满分11分）（1）（本小题满分5分）解法一：如图6，∵ PC ⊥AB ， ∴ ∠ACP ＝90°．∴ AP 是直径．…………………2分∴ ∠ADP ＝90°． …………………3分即AD ⊥PB ．又∵ D 为PB 的中点，∴ AP ＝AB ＝8．…………………5分解法二：如图7，设圆心为O ，PC 与AD 交于点N ，连接OC ，OD ．图6A lC BD P B C A ElP∵ ︵CD ＝︵CD ，∴ ∠CAD ＝12∠COD ，∠CPD ＝12∠COD ．∴ ∠CAD ＝∠CPD ．…………………1分∵ ∠ANC ＝∠PND ，又∵ 在△ANC 和△PND 中，∠NCA ＝180°－∠CAN －∠ANC ， ∠NDP ＝180°－∠CPN －∠PND ，∴ ∠NCA ＝∠NDP ． …………………2分 ∵ PC ⊥AB ，∴ ∠NCA ＝90°．∴ ∠NDP ＝90°． …………………3分 即AD ⊥PB ．又∵ D 为PB 的中点，∴ AP ＝AB ＝8．…………………5分（2）（本小题满分6分）解法一：当ME 的长度最大时，直线PB 与该圆相切． 理由如下：如图8，设圆心为O ，连接OC ，OD ． ∵ ︵CD ＝︵CD ，∴ ∠CAD ＝12∠COD ，∠CPD ＝12∠COD ．∴ ∠CAD ＝∠CPD ．又∵ PC ⊥AB ，OE ⊥AB ， ∴ ∠PCB ＝∠MEA ＝90°．∴ △MEA ∽△BCP ． …………………7分 ∴ ME BC ＝AE PC．∵ OE ⊥AB ， 又∵ OA ＝OC ， ∴ AE ＝EC ．设AE ＝x ，则BC ＝8－2x ．图8l AM EC BD PO ·由ME BC ＝AE PC ，可得ME ＝－12（x －2）2＋2．…………………8分 ∵ x ＞0，8－2x ＞0， ∴ 0＜x ＜4． 又∵ －12＜0，∴ 当x ＝2时，ME 的长度最大为2．…………………9分 连接AP ，∵ ∠PCA ＝90°， ∴ AP 为直径．∵ AO ＝OP ，AE ＝EC ， ∴ OE 为△ACP 的中位线． ∴ OE ＝12PC ．∵ l ∥AB ，PC ⊥AB ， ∴ PC ＝4． ∴ OE ＝2．∴ 当ME ＝2时，点M 与圆心O 重合．…………………10分 即AD 为直径．也即点D 与点P 重合．也即此时圆与直线PB 有唯一交点．所以此时直线PB 与该圆相切．…………………11分解法二：当ME 的长度最大时，直线PB 与该圆相切． 理由如下：如图8，设圆心为O ，连接OC ，OD ． ∵ OE ⊥AB ， 又∵ OA ＝OC ， ∴ AE ＝EC ．设AE ＝x ，则CB ＝8－2x ． ∵ ︵CD ＝︵CD ，∴ ∠CAD ＝12∠COD ，∠CPD ＝12∠COD ．∴ ∠CAD ＝∠CPD ．又∵ PC ⊥AB ，OE ⊥AB ，图8l AMEC BD PO ·∴ ∠PCB ＝∠MEA ＝90°．∴ △MEA ∽△BCP ． …………………7分∴ ME BC ＝AE PC． 可得ME ＝－12（x －2）2＋2．…………………8分 ∵ x ＞0，8－2x ＞0，∴ 0＜x ＜4．又∵ －12＜0， ∴ 当x ＝2时，ME 的长度最大为2．…………………9分连接AP ，∵ AE ＝x ＝2，∴ AC ＝BC ＝PC ＝4．∵ PC ⊥AB ，∴ ∠PCA ＝90°，∴ 在Rt △ACP 中，∠P AC ＝∠APC ＝45°．同理可得∠CPB ＝45°．∴ ∠APB ＝90°．即AP ⊥PB ． …………………10分又∵ ∠PCA ＝90°，∴ AP 为直径．∴ 直线PB 与该圆相切．…………………11分25.（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）①（本小题满分3分）解：当t ＝－2时，二次函数为y ＝ax 2＋bx －3．把（1，－4），（－1，0）分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎨⎧a ＋b －3＝－4，a －b －3＝0．…………………………1分 解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2．所以a ＝1，b ＝－2．…………………………3分②（本小题满分4分）解法一：因为2a －b ＝1，所以二次函数为y ＝ax 2＋（2a －1）x －3．所以，当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝－3．所以二次函数图象一定经过（－2，－1），（0，－3）．…………………………6分设经过这两点的直线的表达式为y ＝kx ＋p （k ≠0），把（－2，－1），（0，－3）分别代入，可求得该直线表达式为y ＝－x －3．…………7分 即直线y ＝－x －3始终与二次函数图象交于（－2，－1），（0，－3）两点．解法二：当直线与二次函数图象相交时，有kx ＋p ＝ax 2＋（2a －1）x －3．整理可得ax 2＋（2a －k －1）x －3－p ＝0．可得△＝（2a －k －1）2＋4a （3＋p ）．…………4分若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则△＞0．化简可得4a 2－4a （k －p －2）＋（1＋k ）2＞0．因为无论a 取任意不为零的实数，总有4a 2＞0，（1＋k ）2≥0所以当k －p －2＝0时，总有△＞0．………………………6分可取p ＝1，k ＝3．对于任意不为零的实数a ，存在直线y ＝3x ＋1始终与函数图象交于不同的两点．…………7分（2）（本小题满分7分）解：把A （－1，t ）代入y ＝ax 2＋bx ＋t －1，可得b ＝a －1．………………………8分 因为A （－1，t ），B （m ，t －n ）（m ＞0，n ＞0），又因为S △AOB ＝12n －2t ， 所以12[（－t ）＋（n －t ）]（m ＋1）－12×1×（－t ）－12×（n －t ）m ＝12n －2t ． 解得m ＝3．………………………10分所以A （－1，t ），B （3，t －n ）．因为n ＞0，所以t ＞t －n ．当a ＞0时，【二次函数图象的顶点为最低点，当－1≤x ≤3时，若点A 为该函数图象最高点，则y A ≥y B 】，分别把A （－1，t ），B （3，t －n ）代入y ＝ax 2＋bx ＋t －1，得t ＝a －b ＋t －1，t －n ＝9a ＋3b ＋t －1．因为t ＞t －n ，所以a －b ＋t －1＞9a ＋3b ＋t －1．可得2a ＋b ＜0．即2a ＋（a －1）＜0．解得a ＜13． 所以0＜a ＜13． 当a ＜0时，由t ＞t －n ，可知：【若A ，B 在对称轴的异侧，当－1≤x ≤3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A ；若A ，B 在对称轴的左侧，因为当x ≤－b 2a时，y 随x 的增大而增大，所以当－1≤x ≤3时，点A 为该函数图象最低点；若A ，B 在对称轴的右侧，因为当x ≥－b 2a时，y 随x 的增大而减小，所以当－1≤x ≤3时，若点A 为该函数图象最高点，则】－b 2a≤－1． 即－a －12a≤－1． 解得a ≥－1．所以－1≤a ＜0．………………………13分综上，0＜a ＜13或－1≤a ＜0．………………………14分。