第1讲 变化率与导数、导数的运算

第1讲 变化率与导数、导数的运算

【2013年高考会这样考】

1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】

本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.

基础梳理

1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为

f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

.

若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy

Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义

称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m

Δx →0 Δy Δx ＝ li m

Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝

x 0，即f ′(x 0)＝li m

Δx →0 Δy Δx . (2)几何意义

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数

称函数f ′(x )＝li m

Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.

4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；

若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；

若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ； 若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；

若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1

x ln a ； 若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1

x . 5．导数四则运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤

f (x )

g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)．

6．复合函数的求导法则

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.

一个区别

曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则

(1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．

双基自测

1．下列求导过程中

①⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；②(x )′＝12x ；③(log a x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

ln x ln a ′＝ 1x ln a

；④(a x )′＝(eln a x )′＝(e x ln a )′＝e x ln a ln a ＝a x ln a 其中正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D

2．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )． A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)

解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)． 答案 C

3．(2011·湖南)曲线y ＝

sin x sin x ＋cos x

－12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4，0处的切线的斜率为( )．

A ．－12 B.12 C ．－22 D.2

2

解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力． y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x

，把x ＝

π

4代入得导数值为12. 答案 B

4．(2011·江西)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )． A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)

解析 令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x

＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜