专题26 奇偶分析_答案

专题26 奇偶分析

例1 668 提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是 ：从第一个数开始，每组连续的3个数

中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，又因为2004÷3＝668.所以前2004个数中共有668个偶数. 例2 D

例3 假设存在自然数a 和b ，使22

2002a b =+ .则（a ＋b ）(a －b )＝2002＝2×1001，若

a ，

b 同为奇数或同为偶数，则（a ＋b ）×（a －b ）必定是“偶数×偶数”；若a ，b 为一奇一偶，则(a ＋b )(a －b )必定是“奇数×奇数”.上述两种情况均与等式右边的“偶数×奇数”相

矛盾，故找不到自然数a 和b ，使22

2002a b =+ .

例 4 提示：设6张卡片正面写的数是

123456

a ,,,,,a a a a a ，反面写的数对应为

123456

,,,,,b b b b b b ，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为

112266

,,...,a b a b a b --- .

设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，…，5这6个值，于是

112266

,,...,a b a b a b ---＝0＋1＋2＋…＋5＝15是个奇数.

又

i i

a b - 与

i i

a b - （i ＝1，2，3…，6）的奇偶性相同，所以

112266

+...a b a b a b --++-

与()()()()()1

12266161260

.........a

b a b a b a a b b b -+-++-=++-+++=

的奇偶性相同，是个偶数，导致矛盾. 例5 提示：不能，理由如下：

将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A 用1，B 用2，…，Z 用26代替），这样表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁： 19 15 2 18 11 2 4 19 20 26 6 16 8 5 24 7 8 15 3 14 18 20 2 19

1 4 2

2 24

3 6 25 1

表丙 表丁

这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换： 1→2， 2→3，…，25→26， 26→1.

显然，每次操作不改变这16个数字和的奇偶性，但表丙、表丁16个数字的和分别为213，174，它们的奇偶性不同，故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙． 例6 由于乘积

12342345123

,,...,n x x x x x x x x x x x x 都是＋1或－1，且总和为0．所以一定有偶

数项，即n 一定是偶数2m .

将上面的n 个数相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m 个，所以它们的乘积为

()1m

- ，

另一方面，在乘积中，

12,,...,x n

x x 作为因数都出现四次，所以乘积为＋1，于是

()

11

m

-=，m 为偶数，故n 是4的倍数．

【能力训练】

1．偶

2. 1999 提示：由2a ＋b ＝2 001知2

a ，

b 必为一奇一偶．又 ∵a 是质数且a 为偶数．∴a

＝2，b ＝ 997，故a ＋b ＝ 1 999.

3. 19或25

4. 19提示：在2221210,,...中，十位数字是奇数的只有2

4 ＝16，26 ＝36，两位数的平方

可以表示为

()

2

10a

b + =1002a ＋20ab ＋2b ，它的十位数的奇偶性与2

b 十位数字的

奇偶性相同，因此，b 只能取4与6，即相邻的每10个数中有两个数的十位数字是奇

数． 5．D 提示：设

12345

,,,,a a a a a 是1，2，3，4，5中一个满足要求的数列，首先，对于

1234,,,,

a a a a 不能连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果i

a (1

≤i ≤3)是偶数，

1

i a +是奇数，则

1

i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个

以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以，

a

a

a

a

a

只能是偶奇奇偶

奇，故有如下5种情形满足条件：①2，1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2， 5；⑤4，5，3，2，1.

6．B 7．C 8．D 9.

提

示

：

()()()()()1

219991219991219991219990

...a ......a

a a a a -+-+-=+++-+++=

10．考虑黑板上保留奇数的个数.

经过一次操作，如果是一个奇数和一个偶数，则和或差仍为奇数，奇数的个数保持不变． 如果是两个奇数，则和或差为偶数．奇数的个数减少2 个；如果是两个偶数，则和或差为

偶数．奇数的个数保持不变.

由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变．

由于一开始黑板上共有1974

9872=奇数，即有奇数个奇数．经过若干次操作后，黑板上

一定仍保留着奇数个奇数，故留下的一个数不可能为0．

11．找不到满足条件的三个整数，理由如下：假设存在整数a ，b ，c 满足等式，则左边四个

式子中至少有一个是偶数，不妨a ＋b ＋c 为偶数，则a －b ＋c ＝(a ＋b ＋c )－2b ，a ＋b －c ＝ (a ＋b ＋c ) － 2c ，(b ＋c －a )－(a ＋b ＋c )－2a 都为偶数，从而左边能被16整除，而3 388不

能被16整除，得出矛盾．

12. －盏灯的开关被拉动奇数次后，改变原来的状态，而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不

改变原来的状态，因1999 ＝7×285＋4，又A ，B ，C ，D 四盏灯的开关各被拉动了286次，而E ，F ，G 三盏灯的开关各被拉动了285次，所以，小刚拉动了1 999次开关后，A ，B ，C ，D 四灯不改变状态，E ，F ，G 三灯将改变原来的状态，故A ，C ，F 最后是开着的，