中考数学专题复习二次函数与圆、三角函数 训练 (含答案)

与三角函数、圆的关系专题练习（含答案）

一、与圆的问题

1．（2018日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；

（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

2、（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y

＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+1

2

PA的值最小，

请求出这个最小值，并说明理由．

3、（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线

AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．

（1）求圆心M 的坐标；

（2）若直线AD 与⊙M 相切于点A ，交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；

（3）在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ∥y 轴，交直线AD 于点E ．若以PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF ＝

45时，求点P 的坐标．

4.（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y =ax 2

+bx -2（a ≠0）与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y =-x 与该抛物线交于E ，F 两点． （1）求抛物线的解析式．

（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．

（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点M ，使得△BCM

是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．

二、三角函数的关系

1、(2019·泰州)如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数图象的顶点坐标为(4,－3),该图象与x 轴相交于点A 、B,与y 轴相交于点C,其中点A 的横坐标为1. (1)求该二次函数的表达式; (2)求tan ∠ABC.

x

y C B

A

O

2．（2019•滨州）如图①，抛物线211

482

y x x =-

++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；

（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为

52

4

时，求sin ∠PAD 的值．

答案与提示

一、与圆的问题

1、【分析】本题虽未直接与圆无关，但BC 和∠BAC 一定，可根据同弧所对的圆周角相等，解决此问题，因此转化成圆的问题去解决。

解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x +1）（x ﹣3），将C （0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣1

3

，

∴抛物线的解析式为y=﹣13x 2+2

3x +1．

（2）过点P 作PD ⊥x ，交BC 与点D ． 设直线BC 的解析式为y=kx +b ，则

，解得：k=﹣1

3

，

∴直线BC 的解析式为y=﹣1

3

x +1．

设点P （x ，﹣13x 2+23x +1），则D （x ，﹣1

3x +1）

∴PD=（﹣13x 2+23x +1）﹣（﹣13x +1）=﹣1

3x 2+x ，

∴S △PBC =12OB•DP=12×3×（﹣13x 2+x ）=﹣12x 2+3

2

x ．

又∵S

△PBC =1，∴﹣

1

2

x2+

3

2

x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，

∴点P的坐标为（1，4

3

）或（2，1）．

（3）存在．

∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．

∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．

设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．

设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=5（负值已舍去），

∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，

∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣5）．

2、解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5 ∴C（0，5）

y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1 ∴A（1，0）

∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点

∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5

当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5 ∴B（5，0）

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H

∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5 ∴S△ABC＝1

2

AB•OC＝

1

2

×4×5＝10

∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5

∴S△ABM＝1

2

AB•MH＝

1

2

×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8

∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18

∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD ∴BD＝5﹣4＝1

∵AB＝4，BP＝2 ∴∵∠PBD＝∠ABP ∴△PBD∽△ABP ∴

∴PD＝1

2

AP ∴PC+

1

2

P A＝PC+PD ∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+

1

2

P A＝PC+PD＝CD最小

∵CD＝∴PC+1

2

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