基于matlab的Lorenz系统仿真研究
matlab lorenz模型的状态方程
matlab lorenz模型的状态方程Lorenz模型是一种混沌系统模型，是由Edward Lorenz在1963年提出的。
该模型可以描述一个物理系统中的非线性动力学过程，常常被用来研究气象学和流体力学等领域的相关问题。
在matlab中，Lorenz模型的状态方程可以表示为：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y和z分别表示三个物理量的状态变量，例如温度、速度等。
σ、ρ和β则是三个控制参数，用来调节系统的演化过程。
这些参数的选择可以决定系统的稳定性、周期性或混沌性质。
这个状态方程的含义是，三个状态量的变化是由它们之间的相互作用和所受力的影响所决定的。
其中，dx/dt和dy/dt分别表示x和y的变化率，dz/dt则表示z的变化率。
在Lorenz模型中，随着时间的演化，x、y和z的值会不断发生变化，难以预测，从而呈现出混沌的特征。
matlab作为一种强大的数学软件，可以用来求解Lorenz模型的状态方程。
通常情况下，我们可以通过matlab的ODE求解器来求解这个系统，具体步骤如下：1. 定义状态方程和初始条件：我们需要在matlab中利用函数句柄来定义状态方程，同时确定初始条件。
2. 设置ODE求解器：用户需要根据系统的特性来选择最适合的ODE求解器，例如ode45、ode23s等。
3. 求解ODE：利用所选求解器来求解ODE。
通常情况下，matlab还提供了许多其他的函数和工具箱，可以用来展示和分析所得到的结果。
总之，Lorenz模型的状态方程是一种常见的非线性动力学模型，它可以用来描述许多物理系统中的复杂行为。
利用matlab求解Lorenz模型的状态方程，可以帮助我们更好地理解这个系统的演化过程，并且研究它的混沌特性。
基于matlab的Lorenz系统的仿真研究
MATLAB课程期末作业以下报告完成的是大作业第七题：7. Simulink仿真在高等数学课程中的应用21130223 宋沛儒基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究21130223 宋沛儒1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ，Lorenz 通过电脑模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。
Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。
Lorenz 系统方程如下：(),,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪=--⎨⎪=-⎩〔1〕其中，a ，b ，c 为正的实常数。
本人利用了数学工具matlab ，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。
2.matlab 求解Lorenz 系统首先创建文件“Lorenz.m”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，，c=30,程序如下：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)]; end然后利用ode45〔Runge-Kutta 算法〕命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)')>> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2))>> title('(c)')>> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>> title('(d)')运行后，得如下波形：图中,〔a〕为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，〔b〕为其在y-z平面上的投影，〔c〕为其在x-y平面上的投影，〔d〕为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
Lorenz模型论文稳定性论文：一个Lorenz模型的数值解法
Lorenz模型论文稳定性论文：一个Lorenz模型的数值解法摘要：lorenz方程是描述混沌现象的第一例有名的方程。
本文从气象学和解的稳定性两方面对lorenz模型进行概述，然后对此模型作了数值分析，基于稳定性讨论了程序设计并用matlab语言编写程序进行了求解，对数值解在图形上进行了描绘，最后对数值解的收敛性及稳定性进行了分析。
关键词：lorenz模型数值解收敛性稳定性第一章 lorenz模型概述本文要研究的lorenz方程形式如下：其中参数a=10,b=,c=28，初值条件为。
当时，原点是lorenz方程的唯一平衡点。
取李雅普诺夫函数，容易验证，因定正、定负，原点是渐进稳定的。
lorenz方程的所有轨迹均趋于原点。
当时，原点仍是lorenz方程的唯一平衡点。
但，，，出现叉式分支，原点不稳定。
而当时，原点不稳定。
且此时除原点外还出现两个异于原点的平衡点（，，），（,,），对称于轴。
对此两平衡点，考虑在平衡点处线性化lorenz方程，可求得特征方程为。
因，特征方程系数均大于0，实特征根必为负根。
知平衡点，渐近稳定的条件是，或，，其中。
当时，，特征方程有一对共轭纯虚根，出现分支；当时，特征方程除一负根外有一对共轭复特征根，其实部为正，对空间线性微分方程，这种空间平衡点为鞍焦点，空间轨迹投映于平面上为焦点和鞍点状。
固定a=10,b=进行讨论，易知此时=24.7368。
当时，lorenz方程的所有轨线趋于原点；当时，存在原点和平面上三个平衡点。
当时，平衡点是稳定的；当时，平衡点不稳定，属鞍焦点。
因为此时=28，所以平衡点不稳定，属鞍焦点。
取参数的不同值，我们可以通过数值解画出lorenz方程在相空间的轨迹图貌。
当时，由原点出发的两条轨迹各自分别趋于两平衡点，；在处，出现同宿轨；当时，出现由原点出发的两条轨线各自分别绕过一平衡点趋于另一平衡点，并在相空间中可能存在闭轨线或其他复杂轨线；当时，由于两平衡点，属鞍焦点，相空间中的轨线更为复杂。
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
z
20 0 20
50 40 30
z
20 10 0 -20 -10 x 0 10
z
20 10 0 -20 -10 0 y 10 20
4.初值敏感性： 保持初值 x0 和 y0 不变，即 x0＝y0＝1，改变 z0 为 1.001，千分之一的变化会引起系统 行为的显著改变，如下图所示：
y
Rossler 方 程 X-Z平 面 相 图 (较 短 时 间 后 ) 50 40 30
6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间) , 对 s 邻域的几乎任意一 点, 当 t 时所有轨迹线均趋于 s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。 该吸引集 由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。 混沌轨道就运行在 其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。 指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力 学运动的类型也发生变化。 这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小 变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系统 xn 1 f ( xn ) , 当 n 时,若存在 xn i xn , 则称该系 统有周期 i 解 。不动点可以看作是周期为 1 的解, 因为它满足 xn 1 xn 。 10. 初值敏感性： 对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征， 也有人用它来定义混沌： 混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。 敏感依赖性的一个严重后 果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。
引言． 混沌探秘
混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科 学和社会科学的几乎每一个分支。1972 年 12 月 29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开 创人之一 E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第 139 次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文， 提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷 风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌 则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。 混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的 海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的 烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就 是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬， 一 片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为 伴。
基于matlab的Lorenz系统模拟实验仿真
基于matlab的Lorenz系统模拟实验仿真
赖宏慧;陈澜祯
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2010(002)017
【摘要】非线性系统的研究难度一直较大,借助数学工具matlab进行模拟实验是目前研究的趋势.本文选取Lorenz系统为实验模型,探讨了采用matlab对Lorenz 系统实验的方法,快速求解能够获得实验结果以及模拟实验仿真图,最后使用matlab的动态建模环境simulik模拟仿真出的系统相图与前面实验比较.实验证明了模拟实验的可行性和通用性.
【总页数】2页(P850,1242)
【作者】赖宏慧;陈澜祯
【作者单位】赣南医学院,江西,赣州,341000;赣南医学院,江西,赣州,341000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于MATLAB GUI的迈克尔逊干涉实验仿真系统的研究 [J], 宋璐; 卫亚博; 冯艳平
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基于Matlab混沌系统的数值仿真
2
几类混沌系统的数值仿真
1023 收稿日期： 2012基金项目： 宁夏师范学院创新团队资助项目（ zy201207 ） ； 宁夏自然科学基金资助项目（ NZ12225 ） ； 宁夏师范学院本科教学工程资助项目 （ JXGC2012B01 ） 作者简介： 杨纪华（ 1983 － ） ， 男， 讲师， 硕士研究生， 主要研究方向： 微分方程的稳定性与分支理论．
第 32 卷 2． 1 Lorenz 系统
绵阳师范学院学家洛伦兹（ E． N． Lorenz） 于 1963 年在大气科学杂志上提出第一个表现奇异吸引子的动力 ［5 ］ 学系统． 该系统模型可以用下列微分方程组描述 dx = ay － ax， dt dy （ 1） dt = cx － y － xz， dz = － bz + xy， dt 8 b， c ＞ 0 为参数． 通常取 a = 10 ， b= ， 其中 a， 则系统（ 1 ） 成为 3 dx = 10 y － 10 x， dt dy （ 2） dt = cx － y － xz， dz = － 8 z + xy， dt 3 A， B， 容易得到， 当 0 ＜ c1 时， 原点是系统（ 2 ） 的唯一平衡点； 当 c ＞ 1 时， 系统（ 2 ） 有三个平衡点 O， 分 别是 8 8 8 8 （ c － 1） ） ， － （ c － 1） ， c － 1） ， （ （ c － 1） ， （ c － 1） ， c － 1） ， 3 3 3 3 从而 c = 1 是系统的一个叉分支点． 在平衡点 O 处， 系统（ 2 ） 的线性化方程为 dx = 10 y － 10 x， dt dy dt = cx － y， dz = － 8 z + xy． dt 3 其相应的特征方程为 8 （ λ2 + 11 λ + 10 － 10 c） = 0 λ+ 3 （ 0， 0， 0） ， （ －
Lorenz模型论文稳定性论文：一个Lorenz模型的数值解法
Lorenz模型论文稳定性论文：一个Lorenz模型的数值解法摘要：lorenz方程是描述混沌现象的第一例有名的方程。
本文从气象学和解的稳定性两方面对lorenz模型进行概述，然后对此模型作了数值分析，基于稳定性讨论了程序设计并用matlab语言编写程序进行了求解，对数值解在图形上进行了描绘，最后对数值解的收敛性及稳定性进行了分析。
关键词：lorenz模型数值解收敛性稳定性第一章 lorenz模型概述本文要研究的lorenz方程形式如下：其中参数a=10,b=,c=28，初值条件为。
当时，原点是lorenz方程的唯一平衡点。
取李雅普诺夫函数，容易验证，因定正、定负，原点是渐进稳定的。
lorenz方程的所有轨迹均趋于原点。
当时，原点仍是lorenz方程的唯一平衡点。
但，，，出现叉式分支，原点不稳定。
而当时，原点不稳定。
且此时除原点外还出现两个异于原点的平衡点（，，），（,,），对称于轴。
对此两平衡点，考虑在平衡点处线性化lorenz方程，可求得特征方程为。
因，特征方程系数均大于0，实特征根必为负根。
知平衡点，渐近稳定的条件是，或，，其中。
当时，，特征方程有一对共轭纯虚根，出现分支；当时，特征方程除一负根外有一对共轭复特征根，其实部为正，对空间线性微分方程，这种空间平衡点为鞍焦点，空间轨迹投映于平面上为焦点和鞍点状。
固定a=10,b=进行讨论，易知此时=24.7368。
当时，lorenz方程的所有轨线趋于原点；当时，存在原点和平面上三个平衡点。
当时，平衡点是稳定的；当时，平衡点不稳定，属鞍焦点。
因为此时=28，所以平衡点不稳定，属鞍焦点。
取参数的不同值，我们可以通过数值解画出lorenz方程在相空间的轨迹图貌。
当时，由原点出发的两条轨迹各自分别趋于两平衡点，；在处，出现同宿轨；当时，出现由原点出发的两条轨线各自分别绕过一平衡点趋于另一平衡点，并在相空间中可能存在闭轨线或其他复杂轨线；当时，由于两平衡点，属鞍焦点，相空间中的轨线更为复杂。
基于某matlab地Lorenz系统地仿真研究
MATLAB课程期末作业以下报告完成的是大作业第七题：7. Simulink仿真在高等数学课程中的应用21130223 宋沛儒基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究21130223 宋沛儒1.引言1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ，Lorenz 通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。
Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。
Lorenz 系统方程如下：(),,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪=--⎨⎪=-⎩（1）其中，a ，b ，c 为正的实常数。
本人利用了数学工具matlab ，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。
2.matlab 求解Lorenz 系统首先创建文件“Lorenz.m ”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，b=2.6667，c=30,程序如下：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)]; end然后利用ode45（Runge-Kutta 算法）命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)')>> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2))>> title('(c)')>> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>> title('(d)')运行后，得如下波形：图中,（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，（b）为其在y-z平面上的投影，（c）为其在x-y平面上的投影，（d）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟―――《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告物电05级1A班张丹伟20050003101摘要：本文利用数学软件MATLAB对Lorenz系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。
通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。
关键词：混沌；微分方程；MA TLAB；引言．混沌探秘混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。
1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。
混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。
一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。
一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。
可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。
一．混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。
2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。
(完整版)基于matlab的Lorenz系统仿真研究
基于Matlab的Lorenz系统仿真研究摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。
首先使用matlab 分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz 混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab；混沌系统1.引言Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。
这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。
Lorenz方程的表达式如下：{dxdt=σ(y−x) dydt=(μ−z)x−y dzdt=−bz+xy其中，σ、μ、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。
2.matlab求解Lorenz方程并绘图首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];end然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。
程序如下所示：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)') >> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2)) >> title('(c)') >> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) >> title('(d)')运行上述程序，可得到如下波形：其中，图（a ）为Lorenz 混沌吸引子在x-z 平面上的投影，图（b ）为Lorenz 混沌吸引子在y-z 平面上的投影，图（c ）为Lorenz 混沌吸引子在x-y 平面上的投影，图（d ）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计
洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计【摘要】本文基于Lorenz混沌系统的动力学方程，利用Matlab软件中的simulink模块搭建方程进行仿真，并将Lorenz方程进行标度变换为一个新的标准方程，使用Mutisim软件进行电路设计与模拟，得到了理想的结果。
【关键词】Lorenz混沌系统；Matlab仿真；模拟电路设计0 引言混沌系统对初始值非常敏感，并且具有类随机性，可控及同步性。
近年来，混沌保密通讯、混沌电路及加密发展成为一个前沿领域。
混沌加密等应用问题首先要解决的问题即混沌电路的设计。
本文基于Lorenz混沌系统，分析其基本特性，并进行了电路仿真及模拟电路的设计。
1963年著名的气象学家E.N.Lorenz研究大气热对流运动时发现了一种特殊的混沌现象，即蝴蝶效应。
Lorzen吸引子是目前文献记载最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成为“混沌之父”。
至今，Lorzen系统族的发展虽然有很长的历史，但是Lorzen系统族丰富的动力学行为依然值得更加深入的研究，并进行更多的应用发展。
lorenz系统的动力学方程为：■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）式中，x，y和z表示对流强弱，水平温差和与温差有关的变量；σ、γ和b 则分别为Rayleigh数、Rayleigh数和容器大小有关的参数。
当σ =10，b=8/3，γ=28时，lorenz系统出现混沌现象。
1999年，我国学者陈关荣等人提出了一个新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）当a=35，b=3，c=28时，Chen系统产生混沌现象。
2002年，吕金虎提出了LU系统，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）当a=36，b=3，c=20时，LU系统出现混沌现象。
这三个系统具有类似却不相同的动力学行为，被称为Lorzen系统族[1]，它对于混沌系统的理论研究以及控制、同步、加密应用等都具有重要的意义。
matlab lorenz模型的状态方程
Matlab Lorenz模型的状态方程1. 介绍Lorenz系统是由Edward Lorenz于1963年提出的一个简化的大气环流模型。
它是一种非线性、混沌系统，可以用于描述恒星演化、气象预测、流体力学等领域的问题。
Lorenz模型的状态方程是该系统的核心部分，它描述了系统的动态演化过程。
本文将详细介绍Matlab中如何实现Lorenz模型的状态方程，并探讨其应用。
2. Lorenz模型的基本原理Lorenz模型由三个耦合的非线性微分方程组成，可用于描述一个三维空间中的点在时间演化过程中的轨迹。
这三个方程分别描述了点的x、y、z坐标分量的演化过程，它们的数学形式如下：dx/dt = σ * (y - x)dy/dt = x * (ρ - z) - ydz/dt = x * y - β * z其中，x、y、z分别代表点在三个维度上的坐标，t代表时间。
σ、ρ、β是模型的参数，分别控制系统的非线性程度、混沌性质和系统的演化速率。
3. Matlab实现Lorenz模型状态方程的步骤在Matlab中实现Lorenz模型的状态方程可以按照以下步骤进行：3.1. 定义参数和初始条件首先，我们需要定义Lorenz模型的参数和初始条件。
可以根据具体问题的需求设置不同的参数值和初始条件，这里我们将使用经典的Lorenz参数值：σ = 10ρ = 28β = 8/3同时，我们也需要定义时间的范围和步长：tspan = [0 100] % 时间范围从0到100dt = 0.01 % 步长为0.013.2. 定义状态方程接下来，我们需要定义Lorenz模型的状态方程。
在Matlab中，我们可以使用函数的形式来定义状态方程：function dx = lorenz(t, x)dx = zeros(3, 1);dx(1) = σ * (x(2) - x(1));dx(2) = x(1) * (ρ - x(3)) - x(2);dx(3) = x(1) * x(2) - β * x(3);end这个函数接受时间t和状态x作为输入，并返回状态的导数。
基于Matlab混沌系统的数值仿真
基于Matlab混沌系统的数值仿真
杨纪华
【期刊名称】《绵阳师范学院学报》
【年(卷),期】2013(032)002
【摘要】利用Matlab软件对三个不同的混沌系统进行数值仿真.首先,对Lorenz 系统,通过对相应线性化方程特征根的分布理论得出了系统的线性稳定性区域.然后,利用Matlab软件,对三个不同的系统进入混沌状态的过程进行数值仿真,揭示出它们从规则运动转化到混沌运动所具有的普适特征,并给出了它们关于初值敏感性的数值仿真图以及相应的Matlab程序.本研究成果有助于理解最终的混沌状态的性质.
【总页数】6页(P11-16)
【作者】杨纪华
【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原756000
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9;O415.5
【相关文献】
1.基于复合混沌系统的彩色图像加密算法及Matlab实现 [J], 刘昭勇;代安定;李康;蔡家豪
2.基于Matlab的非线性混沌电路仿真系统开发 [J], 冯娟;姜宽;王亚威;樊振军
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宏伟;张建刚;杜文举;安新磊;卢加荣
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Lorenz系统动力学行为的MATLAB仿真与分析[1]
![Lorenz系统动力学行为的MATLAB仿真与分析[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a8ab0964561252d380eb6e55.png)
文章编号:100027709(2007)0520121204L o renz 系统动力学行为的M A TLAB 仿真与分析姚齐国1,2(1.华中科技大学水电与数字化工程学院,湖北武汉430074;2.武汉工程大学电气信息学院,湖北武汉430073)摘要:以L o renz 系统为例,采用相图和功率谱两种方法,借助M A TLAB 软件对之进行仿真研究,观察状态变量在时域和频域中的变化来了解系统的非线性特性。
通过调整控制参数,观察L o renz 系统动力学行为的演变过程,得知L o renz 系统可通过Pom eau -M anneville 途径走向混沌,间歇性与Hopf 分岔和倍周期分岔有关。
关键词:L o renz 系统;混沌;M A TLAB ;仿真与分析中图分类号:T P 391;O 415.5文献标志码:A收稿日期:2007207216,修回日期:2007208226作者简介:姚齐国(19662),男,副教授、博士,研究方向为系统建模与仿真、优化运算与运行、电路理论分析与应用、微机控制技术,E 2m ail :yaoqiguo @1 概述混沌是学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题。
混沌现象是指确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。
一个非线性动力学系统,在系统参数达到一定匹配时便会出现混沌现象。
在物质世界中,混沌现象无处不在。
一个确定的非线性系统,如果含有貌似噪声的有界行为,且又表现若干特性,便可称为混沌系统,其特性有如下几方面:①振荡信号的功率谱连续分布并可能为带状分布,表明振荡为非周期性,说明了信号貌似噪声的原因;②在相空间,该系统相邻轨道线彼此以指数规律迅速分离,从而导致对初始值的极端敏感性,使系统的行为长期不可预测;③在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内,轨线具有遍历性和混合性[1,2]。
追索混沌的发展历程,可以从Po incare’(庞加莱)开始,见文献[3]。
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4、“体验化”消费
除了“漂亮女生”形成的价格，优惠等条件的威胁外，还有“碧芝”的物品的新颖性，创意的独特性等，我们必须充分预见到。结果图
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（2）文化优势plot(b,Z,'-');
此次调查以女生为主，男生只占很少比例，调查发现58％的学生月生活费基本在400元左右，其具体分布如（图1-1）title('JD_{1}系统最大lyapunov指数')
加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果。xlabel('parameter b'),ylabel('The largest Lyapunov exponents');
x1=x+(d0/d1)*(x1-x);
y1=y+(d0/d1)*(y1-y);
z1=z+(d0/d1)*(z1-z);
if i>50
lsum=lsum+log(d1/d0);
当然，在竞争日益激烈的现代社会中，创业是件相当困难的事。我们认为，在实行我们的创业计划之前，我们首先要了解竞争对手，吸取别人的经验教训，制订相应竞争的策略。我相信只要我们的小店有自己独到的风格，价格优惠，服务热情周到，就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。end
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Lorenz 系统文档分两个文件方程m文件和计算L指数m文件分开写，复制粘贴即可运行matlab2012a，改写方程文件和参数即可算自己的系统，其中最大L指数用的是经典的柏内庭（G.Benettin）计算方法，准确快速无误！附计算结果图！！方程m文件：function dX = Loren(t,X)global a; % 变量不放入参数表中global b;global c;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量% 输出向量的初始化dX = zeros(6,1);% Lorenz吸引子dX(1)=a*(y-x);dX(2)=x*(b-z)-y;dX(3)=x*y-c*z;end计算最大L指数文件Z=[];global a;global b;global c;a=10;c=8/3;d0=1e-7;for b=linspace(0,500,500)lsum=0;x=1;y=1;z=1;x1=1;y1=1;z1=1+d0;for i=1:100[T1,Y1]=ode45('Loren',1,[x;y;z;16;b;4]);[T2,Y2]=ode45('Loren',1,[x1;y1;z1;16;b;4]);n1=length(Y1);n2=length(Y2);x=Y1(n1,1);y=Y1(n1,2);z=Y1(n1,3);x1=Y2(n2,1);y1=Y2(n2,2);z1=Y2(n2,3);d1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2);x1=x+(d0/d1)*(x1-x);y1=y+(d0/d1)*(y1-y);z1=z+(d0/d1)*(z1-z);if i>50lsum=lsum+log(d1/d0);endendZ=[Z lsum/(i-50)];endb=linspace(0,500,500);plot(b,Z,'-');title('JD_{1} 系统最大lyapunov指数')xlabel('parameter b'),ylabel('The largest Lyapunov exponents'); grid on;结果图欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
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基于Matlab的Lorenz系统仿真研究摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。
首先使用matlab 分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz 混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab；混沌系统1.引言Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。
这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。
Lorenz方程的表达式如下：{dxdt=σ(y−x) dydt=(μ−z)x−y dzdt=−bz+xy其中，σ、μ、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。
2.matlab求解Lorenz方程并绘图首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];end然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。
程序如下所示：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3)) >> title('(b)') >> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2)) >> title('(c)') >> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) >> title('(d)')运行上述程序，可得到如下波形：其中，图（a ）为Lorenz 混沌吸引子在x-z 平面上的投影，图（b ）为Lorenz 混沌吸引子在y-z 平面上的投影，图（c ）为Lorenz 混沌吸引子在x-y 平面上的投影，图（d ）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
可以看到，混沌吸引子在各平面上的投影类似于横写的“8”字形。
由于参数σ=10，μ=30，b=8/3时为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异会引起系统行为的显著改变。
因此，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制此时混沌吸引子在x-z 平面上的投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z 平面上的投影放在同一张图中比较。
为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z 平面上的投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z 平面上的投影用红色。
程序如下所示：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3)) >> hold on>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);(a)(b)(c)(d)>> x0=[0.1,0.11,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')得到的图形如下所示：可以看到，虽然初值只有0.01的改变，红色与蓝色图形明显不重合，这证明了系统的敏感性。
3.matlab 对Lorenz 系统仿真首先利用matlab 的Simulink 功能，搭建Lorenz 系统的模型，仿真模型如下图所示：0102030405060在仿真模型中，取参数σ=10，b=8/3，观察参数μ取不同值时系统的运行状态。
根据文献[1]的分析，当参数0<μ<1时，只有一个稳定平衡点O（0,0,0）。
取初值为x=y=z=2,参数μ=0.5，仿真停止时间取为50，运行仿真。
得到x、y、z 的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：050100150 00.511.522.53可见，系统很快地趋向并稳定在O（0,0,0），验证了前面所述。
根据文献[1]，当μ>1时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和P+，P-。
此时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。
当1<μ<13.926时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同侧的平衡点P+或P-；当μ=13.926时，不稳定流形刚好无限趋于原点O，即出现同宿轨；当μ>13.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的P+或P-。
可见，μ是一个同宿分岔点。
因此，取初值x=y=z=2，μ=8，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：05010015020025030035023456715020025030035040045023456710020030040050060070024681012可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点P+或P-。
取初值x=y=z=2，μ=18，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x 、y 、z 的相图以及x-z ，y-z ，x-y 的图形依次如下所示：050010001500-20-15-10-50510150500100015001015202530可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点P+或P-。
为了观察μ=13.926的同宿分岔点现象，在μ=13.926附近不断尝试，最终在μ=15.39682328时观察到比较明显的过渡迹象。
取初值x=y=z=2，μ=15.39682328，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：050010001500-10-5510152050010001500-15-10-5510155001000150020002500300005101520253035404550可以看到，虽然最终轨线趋向于与之同侧的平衡点P+或P-，但有着明显的过渡迹象。
可以推测，当μ取15.39682328到15.39682330间的某一个数值时，会出现同宿轨现象。
根据文献[1]，当μ>24.74时，P+与P-变为不稳定的，也就是说系统进入“混沌区”。
此时三个平衡点O、P+、P-都不稳定。
取初值x=y=z=2，μ=30，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：0500100015002000250030003500400045005000-20204060801000500100015002000250030003500400045005000-40-20204060801005001000150020002500300035004000450050000102030405060708090100可以看到，上述图形中，轨线绕着P+若干圈后，又绕着P-若干圈，如此循环，符合文献[1]的描述。
为了观察由系统趋向于与之异侧的平衡点向系统的混沌状态的过渡现象，在μ=24.74附近反复不断尝试，最终发现当μ=23.299时，可以观察到明显的过渡迹象。
因此，取初值x=y=z=2，μ=23.299，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：5001000150020002500-20-101020304005001000150020002500-20-1010203040500100015002000250005101520253035404550可以看到，在上图中，轨线看起来稳定在一条围绕与之异侧的平衡点的轨道上。
仅从仿真运行的这段时间，无法判断系统是处于混沌状态还是会趋向于与之异侧的平衡点，可以看出明显的过渡迹象。
4.对Lorenz 系统的反馈控制系统的稳定是系统的基本要求。
为了使Lorenz 系统的不稳定平衡点变为稳定平衡点，根据文献[2]，可以通过加入反馈控制的方法实现。
加入反馈后，Lorenz 方程变为：{ dx dt =σ(y −x)dy dt =(μ−z )x −y dz dt =−bz +xy+ky 由上式可以看出，第二个方程加入了简单的线性反馈ky 。
建立加入反馈后的系统仿真模型，如下图所示：根据文献[2]的分析，当k<-35.1时，可以满足使系统稳定的要求。
取初值x=y=z=2，μ=30，仿真停止时间为100，k=-36，运行仿真，得到x 、y 、z 的相图以及x-z ，y-z ，x-y 的图形依次如下所示：010020030040050060002468101202004006008001000120005101520250100200300400500600024681012可以看到，系统很快趋于原点O(0,0,0)并稳定下来，这验证了通过加入反馈使Lorenz系统变得稳定的这一方法的正确性。
5.结论本文直观地观察了Lorenz混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性，比较分析了在不同参数下的Lorenz系统仿真结果，最后验证了添加反馈控制这一方法可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。
通过使用matlab对Lorenz系统仿真，直观地观察到了Lorenz系统的运行轨迹，加深了对Lorenz方程和混沌现象的理解。
参考文献：[1]刘崇新.非线性电路理论及应用[M].西安：西安交通大学出版,2007.201-208[2]朱少平.Lorenz方程的动力学特性与控制[J].陕西教育学院学报，2007,23（4）：81-84[3]赖宏慧.基于matlab的Lorenz系统模拟实验仿真[J].科技信息.2010,17:18-19[4]柴彩春.关于Lorenz方程的动力学性态研究[J].廊坊师范学院学报，2011,11（1）：8-10[5]刘庆花.基于Matlab的lorenz混沌系统仿真[J].现代商贸工业，2014,02:194-195（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。