高等动力学习题(附答案)
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12-8机构如图,已知OA = O 1B = l ,O 1B ⊥OO 1,力偶矩M 。试求机构在图示位置平衡时,力F 的大小。
解:应用虚位移原理:0δδ=⋅-⋅θM r F B (1)
如图所示,e a δsin δr r =θ;其中:θδδa l r =;
δδe l l
r
r B =所以:B r l δsin sin δθθθ=,
代入式(1)得:l
M
F =
12-13在图示结构中,已知F = 4kN ,q = 3kN/m ,M = 2kN · m ,BD = CD ,AC = CB = 4m ,θ = 30º。试求固定端A 处的约束力偶M A 与铅垂方向的约束力F Ay 。
解:解除A 处约束力偶,系统的虚位移如图(a )。
0δsin δ2δ=-+D A r F r q M θϕ(1)
其中:ϕδ1δ⋅=r ;
ϕδ4δδδ⋅===B D C r r r 代入式(1)得:
0δ)sin 42(=-+ϕθF q M A m kN 22sin 4⋅=-=q
F M A θ
解除A 处铅垂方向位移的 约束,系统的虚位移如图(b )。 应用虚位移原理:
0δδ2cos δ=+-BC D A Ay M r F r F ϕθ(2)
其中:BC C A r r ϕθδcos 4δδ==;BC D r ϕδ2δ
=
代入式(2)得:0δ)22cos cos 4(=+⋅-⋅BC Ay M F F ϕθθ;kN 577.030cos 41=︒
-⋅=
M
F F Ay
习题12-8解图
B
5-27质量为1m 的滑块1M 可沿光滑水平面滑动,质量为2m 的小球2M 用长为l 的杆AB 与滑块连接,杆可绕轴A 转动,如图所示。若忽略杆的重量,试求系统的首次积分。 解:
取整个系统为研究对象,该系统有二个自由度,取滑块的位移x ,以及杆AB 与铅垂方向的夹角ϕ为广义坐标。系统的动能为:
22212
121B A v m v m T +=
])sin ()cos [(21
2122221ϕϕϕϕl l x m x m +++=
22222212
1
cos )(21ϕϕϕ l m x l m x
m m +++=
设0=ϕ时势能为零,系统的势能为: )cos 1(2ϕ-=gl m V 拉格朗日函数:
)cos 1(2
1
cos )(2122222221ϕϕϕϕ--+++=
-=gl m l m x l m x
m m V T L 拉格朗日函数中不显含广义坐标x 和时间t ,存在循环积分和广义能量积分,即:
=++=∂∂=∂∂ϕϕcos )(221 l m x
m m x T
x L 常数 =-++++=
+)cos 1(2
1
cos )(2122222221ϕϕϕϕgl m l m x l m x
m m V T 常数
5-28图示质量为2m 的滑块B 沿与水平成倾角
α的光滑斜面下滑,质量为1m 的均质细杆OD
借助铰链O 和螺旋弹簧与滑块B 相连,杆长为
l ,弹簧的刚度系数为k 。试求系统的首次积分。 解:
取整个系统为研究对象,该系统有二个自由度,取滑块B 沿斜面的位移s ,以及杆OD 与铅垂方向的夹角ϕ为广义坐标。杆OD 作平面运动,
系
A
v BA v
B v
CB
v C
φ
α
统的动能为:
2
2221212
1)121(2121B C v m l m v m T ++=
ϕ
2222122121
241}]2)cos([)]sin({[21s m l m l s s m ++-+++=
ϕϕαϕαϕ 22112216
1
)cos(21)(21ϕαϕϕ l m s l m s
m m ++-+=
设0
90,0==ϕs 时势能为零,系统的势能为:
22112
1
sin )(cos 2ϕαϕk gs m m l g m V ++-=
拉格朗日函数V T L -=中不显含时间t ,存在广义能量积分,即:
221122161
)cos(21)(21ϕαϕϕ l m s l m s
m m V T ++-+=
+
=++-+22112
1
sin )(cos 2ϕαϕk gs m m l g m 常数