高等动力学课后题目

1.（P85）已知刚体绕固定点O旋转，求证

i′�⃑=rj′�⃑−qk′���⃑

j′�⃑=pk′���⃑−ri′�⃑

k′���⃑=qi′�⃑−pj′�⃑

其中p、q、r是角速度w��⃑在Ox’y’z’各轴上的投影；i′�⃑,j′�⃑,k′���⃑是沿Ox’y’z’各轴的单位矢量。

2.（P85）求证刚体绕定点O转动的角加速度ε⃑在Ox’y’z’各轴上的投影等于

εx′=ṗ,εy′=q̇,εz′=ṙ

其中p,q,r是w��⃑在Ox’y’z’各轴上的投影。

3.（P85）求证：p=α2α3+β2β3+γ2γ3

q=α3α1+β3β1+γ3γ1

r=α1α2+β1β2+γ1γ2

其中p、q、r是刚体绕定点O转动的角速度w���⃑在Ox’y’z’各轴上的投影

；αk、βk、γk(k=1、2、3)是Ox’y’z’的各轴与固定坐标系Oxyz各轴的夹角余弦。

4.（P85）设刚体的角速度w��⃑≠0，求证刚体内某两点A和B的速度相等的充要条件是AB直线与w��⃑平行。

7.（P85）设刚体绕定点转动的方程为：Ψ=π2−2t,φ=4t,θ=π3。求刚体角速度的矢端坐标，并求出角速度和角加速度的大小。

8.（P85）顶点悬挂在固定点O的圆锥以不变大小的角速度ω1绕其对称轴Oz’旋转，同时它象摆一样绕垂直Oz’轴之水平轴Oy摆动。问当摆动的角速度ω2等于多少时，瞬时转动轴恰好与圆锥的母线相重合。设锥高为h，底半径为r。

9.（P85）高h=4和底面半径r=3的锥面锥以其顶点O为固定点在水平面内滚动而不滑动。

如圆锥底面中心C的速度v c=48，求圆锥角速度在Oxyz各轴上的投影，并求圆锥角加速度的大小。设t=0时，圆锥在Ox轴上与水平面相接触。

14.（P85）半径为r的薄圆轮沿半径为R的水平圆周作等速滚动。已知圆轮滚动一周需要的时间T=2π/ω1。求轮缘上点M的转动加速度和向轴向加速度。其中M点位置用角φ表示。

18.（P85）半径为a和b的两个同心球各以加速度ωa�����⃑和ωb�����⃑旋转，ωa�����⃑和ωb�����⃑之间的夹角为α。在两球之间有一个小球与已知两球面相切并作无滑动的滚动。试求小球的角速度和该小球中心C的速度。

1.（P254）证明刚体唯一薄片（指厚度零）的充分和必要条件是J z=J x+J y。其中z轴垂直薄片平面，x和y轴在平面内，Oxyz构成右手正交坐标系。

2.（P254）已知平面刚体对Oxy的惯量矩阵为

J o=�J x−J xy

−J xy J y�

求该刚体对Oξη的惯量矩阵。这里的Oξη是由Oxy绕O点右旋θ角后的新坐标系。1.（P323）设A=B≠C，求证G0����⃑，ω��⃑和k′���⃑共面；并且当AC时，ω��⃑位于G0����⃑和k′���⃑之间。

3.（P323）如定点转动刚体的动量矩于任何瞬时皆垂直于该刚体的瞬时角加速度，则此刚体的动能必为常量。试证明之。

5.（P323）一刚体在不受外力矩作用下绕其质心O作定点运动，求证：如果该刚体的中心主转动惯量之间有关系式J1=J2

6.（P323）一均质圆盘依惯性绕其重心旋转。于初瞬时，给此圆盘一角速度ω0使它绕与盘面法线成α角的轴旋转，求进动角速度Ω及进动轴和盘面法线所成的夹角θ。

10．（P323）一个A=B≠C的刚体，绕其中心作定点转动。已知作用在刚体上的阻力成一力偶，位于与瞬时转动轴相垂直的平面内，其力偶矩与瞬时角速度成正比，比例常数为Cλ。试证刚体的瞬时角速度在各惯量主轴上的投影为：

p=a e−CλT sin(nλe−λt+ε), q=ae−CλT cos(nλe−λt+ε), r=ωz′o e−λt

其中，a，ωz′o和ε都是常数，而n=C−A AωZ′O。

12.（P323）半径为r的均质圆盘之中心C与固定点O之间通过一根钢杆相连，OC垂直盘面，O点为球铰链，并且圆盘在水平面上无滑动的滚动。求证：在接触点A处的附加动反力可有下式表示。

N=aa+ℎr4[C(aa+ℎr)a−A(aℎ−ar)r]Ω2

其中Ω为对称轴OC绕铅垂轴BO的转动角速度，b=OC，a和h为图中所示的距离，A和C为圆盘对O点的主转动惯量，R2=a2+r2.

14.（P323）半径a、重为2P的轮子，以不变角速度w1绕水平轴AB转动；而AB轴以不变角速度w2绕铅垂轴CD转动。这两轴都通过轮子的中心。假定轮子的质量均匀地分布在轮子的边缘上，且OA=OB=h。试求轴承A和B所受到的压力NA和NB。

20.（P323）设半径为a的均质圆球沿着与水平面成α的斜面作纯滚动，试求圆球中心的运动和圆球转动角速度以及斜面对球的约束反力。

1.（P47）以铰链联接的四根直杆ABCD成平行四边形，AD杆固定。滑块M可沿光滑杆AD 滑动。直杆MK一端铰接于滑块M，另端铰接于直杆BC。今在C点沿BC方向加一作用力F1���⃗，在滑块M上沿DA方向加一作用力F2����⃗。当系统在α和β位置平衡时，求力F1���⃗与F⃗2的关系。

4.（P47）等边六边形连杆位于如图所示平面内，其中一边不动，受P�⃗，−P�⃗，Q�⃗三力作用如图所示。不计杆重，求系统平衡时角α之值。

9.（P47）长2l重P的均质直杆的一端以铰链固定于墙上的B点，杆上一点A靠在另墙的棱角上。已知二墙间的距离为a，A与B之间的铅垂距离为b。若杆本身是光滑的，求A和B 处的约束反力。

12.（P47）均质直杆AB=a，一端靠在光滑竖直墙上，另一端搁在光滑曲线y=f(x)上。欲使杆能在任意位置上平衡，求曲线的形状。

18.（P47）题图示菱形铰接连杆机构中，各杆长为L。其顶点A悬挂在天花板上。在铰链C 和D处各有重为G的小环（视为质点），又在A和B之间连一刚度系数为k的弹簧。当φ=450时，弹簧不受力。假定弹簧受压时仍保持铅垂方位。求系统的平衡位置，并判断其稳定性。设：不计各杆以及弹簧的质量；G>2kl�1−1√2�；机构位于铅垂平面内。