四年级下册数学试题奥数专题讲练第四讲等差数列及其应用含答案全国通用
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：4 定义新运算 竞赛篇(解析版)全国通用
第四讲 定义新运算卷Ⅰ这一讲我们主要学习定义新运算的三大计算类型：1、理解并熟练掌握根据新的定义运算方式进行加减乘除运算；2、理解并熟练掌握根据计算机编程语言计算输出结果；3、了解其它类型的定义运算．分析：因为狼△狼＝狼，所以原式＝羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式＝狼同学们，我们已经学习了加、减、乘、除四种运算，我们知道“+”这个符号表示求两数之和，“-”表示两个数的差，“×”表示两个数的积，“÷”表示两个数的商．但是在很多情况下，特别是当代计算机程序编辑过程中，仅仅应用这四种运算是不够的，我们还需要运用到很多其他的运算方式．这些运算是由一些新定义的运算符号而导出的一种运算，如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的，这类运算就是我们常见的定义新运算问题．定义新运算都是以一种新的面孔出现，其中的符号没有确定的运算意义，都是根据实际的需要而人为地规定．这种题型大多数都是根据题目规定的运算方式直接计算，但是还有一些与方程以及其他方面的综合．这主要考察学生的实际应用能力，我们不能死读书，要灵活运用题干信息，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算，这样才是解决这类题目的关键．专题精讲教学目标羊和狼在一起时，狼要吃掉羊．所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．小朋友总是希望羊能战胜狼．所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼， 这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了． 对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算．运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)想 挑 战 吗 ？（一） 直接运算型【例1】 定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求： （1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律．【例2】 定义新运算“\”表示求两个自然数相除所得商的运算，例如：9\2＝4，10\3＝3.(1) 求27\8,2007\81,2002\66;(2) 试用符号“\”和已经学过的运算符号来表示求两个自然数相除所得的余数的运算.分析：（1）27\8＝3;2007\81＝24; 2002\66＝30;（2）由于被除数÷除数＝商……余数， ∴余数＝被除数－除数×商，∴a 除以b 的余数为a －b ×（a\b ）. [前铺]两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为a b.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算：（1）(269)4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4【例3】 如果 3*2=3＋33=36 2*3=2＋22＋222=246 1*4=1＋11＋111＋1111=1234 那么4*5=( ).分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380[巩固]规定： 6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234. 求7*5.分析：7*5=7+77+777+7777+77777=86415【例4】 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=754[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75[巩固]规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25【例5】定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891 [前铺]定义运算“⊙”如下：2a ba b +⊕=． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝200720092+＝2008；2006⊕2008＝200620082+＝2007（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝392+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕592+＝1⊕7＝172+＝4；[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析: （教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001【例6】 对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；[(1)(1)][(1)1]m m m n m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯L L ．求：123456666666,,,,,C C C C C C分析：16C=（16P）÷（11P）=6÷1=6；26C=(6×5)÷（2×1）=15；36C=（6×5×4）÷（3×2×1）=20；46C=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；56C=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66C=（66P）÷（66P）=1[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.卷Ⅱ（二） 反求未知数【例7】 规定：a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b-1），其中a 、b 表示自然数。
四年级下册数学试题-奥数培优：利用等差规律计算(含答案)全国通用
课 题 利用等差规律计算【精品】教学内容在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律．1+2+3+---+98+99+10050101=1+100+2+99++50+51 1444442444443共（）（）（）= 101×50,即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050.按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如：1，2，3，4．…是等差数列，公差为l ；l ，3，5，7，…是等差数列，公差为2；5，10，15，20，…是等差数列，公差为5．由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律：项数=（末项首项）÷公差+1第几项=首项+（项-1）×公差总和=（首项十末项）×项数÷2本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式计算下面各题：(1) 2+5+8+…+23+26+29;(2)(2+4+6+...+100) - (1+3+5+ (99)解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和，原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155.(2)解法一原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2=2550 - 2500=50,解法二原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99）=l×50= 50.两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2008，2009，2010.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商解原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010= (1- 2010)×2010÷2÷2010=1000. 5此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。
四年级下册数学试题奥数等差数列人教版
小学四年级奥数《等差数列》(高斯求和 )A 卷求和的方法，可以总结出等差数列的以下公式：等差数列的和 =（首项 +末项）×项数÷ 2 末项 =首项 +公差×（项数 -1）例1、计算： 11+12+13+14+15+16+17+18+19+20练习 1：11+13+15+17+19+.....+25+27+29练习 2：求 50 以内所有奇数的和。
例 2：建筑工地上堆着一些钢管，最下一层有 16 根，每往上一层少一根，共有 8 层，求最上一层有几根，一共有多少根钢管？练习 1：有一堆电线杆，最下一层有8 根，每往上一层少一根，共有8 层，最上一层有 1 根，求一共有多少根电线杆？练习 2、自 1 开始，每隔 4 个数数一次，获取数列 1、5、9、13、、、97，他们的和是多少？1、计算22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+322、计算：13+23+33+43+53+63+73+83+933、计算：11+14+17+20+23+27+304、计算5+10+15+20+25+30+35+405、计算13+16+19+22+25+28+31+34+37+40+43等差数列(高斯求和 )B 卷1、下面数列中，那些是等差数列？若是是，指出公差；若是不是，明原由。
（1）37，41，45，49，53．。
（2）21，22，23，24，25，26，27，28．。
（3）31，32，31，32，31，32，31，32．。
（4）3，6，12，24，48，。
（5）8、8、8、8、8、8、8。
2 算： 31+33+35+37+39+41+43+453 算（ 2+4+6+⋯.+2006+2008）-（1+3+5+⋯.2005+2007）4、算 13+23+33+43+53+63+73+83+935、算 111+112+113+114+115+116+117+118+119+1206、在5和69之间插入8个数此后，使这些数成为一个等差数列的和是多少 ?7、计算1+2+3+。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第4讲 数学方法与思想(一) 精英篇(解析版)全国通用
第四讲数学方法和思想（一）数学是一座智慧的城堡，探索则是打开城堡大门的钥匙。
在这神秘的世界里有许多的难题，应用题便是其中有趣的一族。
这节课向你介绍一些巧妙解应用题的好方法-----假设法和对应法。
它们不但能让你的思维变得灵活，而且还能提高你的正确率。
假设法当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。
有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。
在奥数中，典型的“鸡兔同笼”问题，可是“假设法”一手建起的大家庭！用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于计算的条件。
聪明的小朋友们,让我们一起用智慧来探索难题吧，相信你一定能有不小的收获！【例1】三只木筏运木板910块,第一只木筏比第二只木筏多运30块,第三只木筏比第二只木筏少运20块,三只木筏各运多少块?分析: 法1：我们可以假设这三只木筏运的一样多.假设第二、三只木筏与第一只木筏运的一样多，以第一只木筏的运量为标准，则第二只木筏要比实际多运30块，第三只木筏要比实际多运20+30块，这时总量就不是910块了，是（910+30+30+20）块。
那么，第一只木筏运木板：（910+30+30+20）÷3=990÷3=330（块）；第二只木筏运木板：330-30=300（块）；第三只木筏运木板：300-20=280（块）。
法2 ：假设三只木筏与第二只木筏同样多。
第二只木筏运木板：（910-30+20）÷3=300（块）；第一只木筏运木板：300+30=330（块）；第三只木筏运木板：300-20=280（块）。
【例2】在一次登山活动中，张明上山时每分钟走50米，到达山顶后沿原路下山，每分钟走75米，张明上山下山的平均速度是多少？分析：我们要求平均速度，就必须知道上、下山共走了多少米的路，可它是个未知数，我们一点也不知道，这时我们就可以假设上、下山的总路程是150米（150是50和75的最小公倍数），那么平均速度就是用总路程除以总时间就可以了。
北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 第四讲 等差数列及其应用
第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
四年级下册数学试题-奥数专题训练：第4讲 和差问题(解析版)全国通用
第四讲和差问题【推荐题目】ps：这一讲中的题目都是比较经典的题目，A 卷可以先跳过去不做，如果 B 卷做的不是很好，再回来巩固 A 卷。
【B 卷的第 12 题】张强用 270 元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，外衣比鞋贵 140 元，买外衣和鞋比买帽子多花了 210 元，问张强买外衣。
帽子和鞋分别花了多少钱？【解析】：外衣+鞋+帽子=270 元——和外衣+鞋-帽子=210 元——差帽子=（270-210）÷2=30 元外衣+鞋=270-30=240 元又外衣-鞋=140 元鞋=（240-140）÷2=50 元【点评】：这道题目丌是难题，属于和差问题中的一种捆绑思想，我们把两个戒者更多的东西捆绑成一个整体做和差，比如在这道题目中就是把外衣和鞋捆绑成一个整体来做。
戒者这道题用等量代换的思想直接解。
外衣+鞋+帽子=270 元外衣+鞋-帽子=210 元外衣-鞋=140 元接下来就是方程思想。
【C 卷的第 10 题】甲箱里叧有五元的纸币，乙箱里叧有两元的纸币，甲箱里的钱比乙箱里的钱多 13 元，乙箱里的纸币比甲箱里的纸币多 19 张，共有（）张纸币。
【解析】：（19×2+13）÷（5-2）=17（张）——5 元17+19=36（张）——2 元共有纸币 17+36=53（张）【点评】：有的小朋友木有看明白这个式子的意思，那问一句，这道题目是什么类型呢，像丌像鸡兔同笼呢？有一种奇怪的兔子 5 条腿，普通的鸡 2 条腿，兔子比鸡多了 13 条腿，但是鸡比兔子多 19 叧，鸡兔共几叧？怎么样，这样是丌是看起来就顺眼了许多。
那接下来我们就来解一道头差脚差的鸡兔同笼，先砍掉鸡 19 叧，则鸡将少了 38 条腿，所以此时兔子比鸡多了 38+13=51 条腿。
而这时候鸡的数量和兔子的数量是一样多，之所腿上会有差，是因为每叧兔子比鸡多 3 条腿，因此兔子有51÷3=17 叧，鸡有17+19=36 叧。
四年级下册数学试题奥数专题讲练第四讲等差数列及其应用含答案全国通用
第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，⋯②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14⋯④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3=⋯=1；数列②中，d=3-1=5-3=⋯=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=⋯=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=⋯=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22，⋯，98；②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，⋯，第n项记为an，an。
四年级奥数等差数列练习题含答案
四年级奥数等差数列练习题-含答案求项数、末项练习题1、在等差数列2、4、6、8中.48是第几项168是第几项24；842、已知等差数列5,8,11….求出它的第15项和第20项。
47；623、按照1、4、7、10、13….排列的一列数中.第51个数是多少？1514、数列3、12、21、30、39、48、57、66……1）第12个数是多少？1022）912是第几个数？1025、已知数列2、5、8、11、14…….53应该是其中的第几项？186、在等差数列5、10、15、20中.155是第几项350是第几项31；707、在等差数列1、5、9、13、17……401中.401是第几项第60项是多少101；2378、在等差数列6、13、20、27……中.第几个数是1994？285求和练习题9、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75+76＝（）291110、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126+128＝（）416011、1＋2＋3＋4＋……＋2016＋2017＝（）203515312、有一个数列：6、10、14、18、22…….这个数列前100项的和是多少？2040013、3＋7＋11＋ (99)168314、有从小到大排列的一列数.共有100项.末项为2003.公差为3.求这个数列的和。
18545015、求首项是5.末项是93.公差是4的等差数列的和。
112716、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝（）100017、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝57018、求1~99个连续自然数的所有数字的和。
90019、一个剧场设置了22排座位.第一排有36个座位.往后没排都比前一排多2个座位.这个剧场共有多少个座位？125420、求所有除以4余1的两位数的和是多少？121021、工人体育馆的12区共有20排座位.呈梯形.第1排有10个座位.第2排有11个座位.第3排有12个座位……这个体育馆的12区共有多少个座位？390。
小学奥数 等差数列应用题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
【例 1】 100以内的自然数中。
所有是3的倍数的数的平均数是 。
【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是()09934179916832+⨯=⨯=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。
【答案】49.5【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。
最后，每只小猴分得8个野果。
这群小猴一共有_________只。
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题【解析】 平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15⨯-只果，共有15只猴.【答案】15只猴子【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有 位同学．【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】学而思杯，1年级【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105-=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123-=（个），15645--=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题【答案】5位【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 5】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550⨯⨯（）例题精讲等差数列应用题（方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ⨯-（）， 所以，第102项321021205=+⨯=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【例 7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。
四年级下册数学讲义-第4讲差倍问题(含答案、奥数板块)全国通用
差倍问题一、【名师解析】解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。
在一般问题下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。
当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数或：小数+差=大数二、【例题精讲】【例1】光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？练习：城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。
三年级和一年级各有多少人？【例2】仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。
仓库有大米和面粉各多少千克？练习：三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？【例3】育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。
足球、排球和篮球各买了多少只？练习：玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。
每个月各生产多少个？【例4】商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。
商店原有红糖和白糖各多少千克？练习：甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等。
两个仓库原来各有面粉多少千克？【例5】甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙书架取出60本后，甲书架的本数是乙书架的3倍。
原来两个书架各有图书多少本？练习：甲、乙两人的存款相等，甲取出60元，乙存入20元后，乙的存款是甲的3倍。
四年级下册数学试题-奥数专题练习：第三、四讲 排列 组合(含答案)全国通用
第三讲：排列基础班1．计算2．某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．3．有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？4．班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？5．由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的①三位数？②个位是5的三位数？③百位是1的五位数？④六位数？解答1．（1）30；（2）2002；（3）156；（4）1．第四讲：组合基础班1.计算：①C315；②C19982000；③C34×C28；④P28-C68.2.从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：①有多少种不同的和？②有多少个不同的加法算式？3.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？4.在圆周上有12个点.①过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？②过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？5.如图，图上一共有六个点，且六个点中任意三个点不共线，问：①从这六个点中任意选两点可以连成一条线段，这些点一共可以连成多少条线段？②从这六个点中任意选两点可以作一条射线，这些点一共可以作成多少条射线？（射线是一端固定，经另一点可以无限延长的.）6．下图中共有4×4＝16个小方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，每行和每列只能出现一个棋子，共有多少种放法？解答1.①455；②1999000；③112；④28.2.①C28＝28；②P28＝56.3.C28＝45.4.①C212＝66；②C312＝220.5.①C26＝15；②P26＝30.6．16×9×4×1＝576（种）或4！×4！＝576（种）提高班1． 5件不同的商品陈列在橱窗内，排成一排。
小学奥数培优-等差数列(含答案)
第四讲等差数列（一）解题方法若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
【引例】:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:（1）通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差（2）项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1（3）求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2注：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项【提示】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。
解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。
引申1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
答：这个数列共有27项2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?答: 这个数列共有19项3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。
例题2有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。
四年级奥数等差数列练习题-含答案
四年级奥数等差数列练习题-含答案1.在等差数列2、4、6、8中，求48是第几项，168是第几项？解析：公差为4-2=2，设48是第n项，则有2+(n-1)×2=48，解得n=24；同理，设168是第m项，则有2+(m-1)×2=168，解得m=84.2.已知等差数列5,8,11…，求出它的第15项和第20项。
解析：公差为8-5=11-8=3，第15项为5+14×3=47，第20项为5+19×3=62.3.按照1、4、7、10、13…，排列的一列数中，第51个数是多少？解析：这是一个公差为3的等差数列，第n项为1+(n-1)×3，所以第51个数为1+50×3=151.4.数列3、12、21、30、39、48、57、66……1）第12个数是多少？2）912是第几个数？解析：这是一个公差为9的等差数列。
1）第12个数为3+(12-1)×9=102.2）设912是第n个数，则有3+(n-1)×9=912，解得n=102.5.已知数列2、5、8、11、14……，53应该是其中的第几项？解析：这是一个公差为3的等差数列，设53是第n项，则有2+(n-1)×3=53，解得n=18.6.在等差数列5、10、15、20中，155是第几项？350是第几项？解析：公差为10-5=15-10=20-15=5，设155是第n项，则有5+(n-1)×5=155，解得n=31；同理，设350是第m项，则有5+(m-1)×5=350，解得m=70.7.在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第60项是多少？解析：公差为5-1=9-5=13-9=4，设401是第n项，则有1+(n-1)×4=401，解得n=101；第60项为1+(60-1)×4=237.8.在等差数列6、13、20、27……中，第几个数是1994？解析：公差为13-6=20-13=7，设1994是第n个数，则有6+(n-1)×7=1994，解得n=285.9.求6＋7＋8＋9＋……＋74＋75+76的和。
(完整版)四年级奥数第四讲_等差数列含答案.docx
等差数列一、知识点：1、数列：按一定序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做，第一称首，最后一称末。
数列中共有的的个数叫做数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二起，每一与与它前一的差都相等，的数列的叫做等差数列，其中相两的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的和=（首 +末）数2数 =（末 -首）公差+1末 =首 +公差（数-1）首 =末 -公差（数-1）公差 =（末 -首）（数-1）等差数列（奇数个数）的和=中数二、典例剖析：例（ 1）在数列3、6、9⋯⋯，201中，共有多少数？如果写下去，第201 个数是多少？分析：（1）因在个等差数列中，首=3，末 =201，公差 =3，所以根据公式：数 =（末 - 首）公差+1,便可求出。
（ 2）根据公式：末=首 +公差（数-1）解：数 =（ 201-3 ）3+1=67末 =3+3（201-1）=603答：共有 67 个数，第201 个数是 603一：在等差数列中4、10、16、22、⋯⋯中，第 48 是多少？ 508 是个数列的第几？答案 :第48是286，508是第85例（ 2 ）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从100~999 共 900 个数，察100、101、 102、⋯⋯、 998、999一数列，是一个公差 1 的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解：（ 100+999） 900 2=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。
一：求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案 :1000例（ 3）求自然数中被10 除余 1 的所有两位数的和。
分析一：在两位数中，被 10 除余 1 最小的是 11，最大的是 91。
从意可知，本是求等差数列 11、21、31、⋯⋯、 91 的和。
它的数是 9，我可以根据求和公式来算。
解一： 11+21+31+⋯⋯ +91=（ 11+91） 9 2=459分析二：根据求和公式得出等差数列9 个数的平均数是459 9=51，而中 ) ，由此我又可得到S=中用中公式算。
小学奥数 等差数列的认识与公式运用 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。
要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
四年级下册数学试题-奥数培优：利用等差规律计算(含答案)全国通用
课 题利用等差规律计算教学内容在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律． 1+2+3+---+98+99+10050101=1+100+2+99++50+51 1444442444443共（）（）（）= 101×50,即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050.按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如： 1，2，3，4．…是等差数列，公差为l ； l ，3，5，7，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5．由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律： 项数=（末项首项）÷公差+1 第几项=首项+（项-1）×公差 总和=（首项十末项）×项数÷2本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式计算下面各题：(1) 2+5+8+…+23+26+29;(2)(2+4+6+...+100) - (1+3+5+ (99)解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和，原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155.(2)解法一原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2=2550 - 2500=50,解法二原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99）=l×50= 50.两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2008，2009，2010.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商解原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010= (1- 2010)×2010÷2÷2010=1000. 5此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。
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第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，⋯②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14⋯④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3=⋯=1；数列②中，d=3-1=5-3=⋯=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=⋯=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=⋯=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22，⋯，98；②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，⋯，第n项记为an，an。
又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.二、通项公式对于公差为d的等差数列a1，a2，⋯a n⋯来说，如果a1；小于a2，则由此可知：(1)若a1；大于a2，则同理可推得：(2)公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.例2 求等差数列1，6，11，16⋯的第20项. 解：首项a1=1，又因为a2；大于a1；，公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：第20项a20=a1=（20-1）×5=1+19×5=96.一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：例3 已知等差数列2，5，8，11，14⋯，问47是其中第几项？解：首项a1=2，公差d=5-2=3令an=47则利用项数公式可得：n=（47-2）÷3+1=16.即47是第16项.例4 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项. 分析与解答方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.因为a4=a1+3×d，又a4=21，所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：21-3×d=33-5×d，所以d=6 a1=21-3×d=3，所以a8=3+7×6=45.方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6已知，只要求2×d即可.又a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d，所以2×d=a6-a4所以a8=3+7×6=45方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便.三、等差数列求和若a1小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3⋯an可以写为a1,a1+d,a1+d×2，⋯，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3=⋯=a n-1+a2=a n+a1.设Sn=a1+a2+a3+⋯+a n则Sn=a n+a n-1+a n-2+⋯+a1两式相加可得：2×Sn=（a1+a n）+(a2+a n-1)+⋯+(an+a1)即：2×Sn=n×（a1+a n）,所以，例5 计算 1+5+9+13+17+⋯+1993.当a1；大于a2。
时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.解：因为1，5，9，13，17，⋯，1993是一个等差数列，且al=1，d=4，an=1993. 所以，n=（a n－a1）÷d+1=499.所以，1+5+9+13+17+⋯+1993=（1+1993）×499÷2=997×499=497503.题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，而和恰等于997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：这个定理称为中项定理.例6 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖⋯，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，⋯容易知道，这是一个等差数列.方法1：a1=2，d=4，a n=2106，贝n=（a n-a1）÷d+1=527这堆砖共有则中间一项为a264=a1+（264-1）×4=1054.方法2：（a1+a n）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）. 则中间一项为（a1+a n）÷2=1054a1=2，d=4，a n=2106，这堆砖共有1054×527=555458（块）.n=（a n-a1）÷d+1=527例7 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.解：根据题意可列出算式：（2+4+6+8+⋯+2000）-（1+3+5+⋯+1999）解法1：可以看出，2，4，6，⋯，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，⋯，1999 也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000.解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000.例8 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？分析与解答方法1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个. 即条件中的九个连续自然数的末项.因为，条件中九个连续自然数的和为54，所以，这九个自然数的中间数为54÷9=6，则末项为6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）×9÷2=126.方法2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前一组自然数的对应项大8，因此，后一组自然数的和应为54+8×9=126.在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（a1+a n）×n÷2，则a1+a9=54×2÷9.又因为a1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.例9 100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个⋯第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？分析与解答方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来. 100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：首项+末项=8450×2÷100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46⋯134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷2=4250.四、等差数列的应用例10 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？解：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.例11 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.分析与解答因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到.例12 从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？解：设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.⋯若a=25，则b=26，27，⋯50，共25种.若a=26，则b=27，28，⋯50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）. 若a=27，则b=28，29，⋯50，共23种.⋯若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+⋯+25+24+23+22+⋯+l=2×（1+2+3+⋯+24）+25=625.例13 x+y+z=1993有多少组正整数解.显然，x不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整数解的组数是：l+2+3+⋯+1991=1983036.本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=1987时，因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5组解.例13 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：①197排在第几行的第几个数？②第10行的第9个数是多少？13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49⋯⋯分析与解答①197是奇数中的第99个数.数表中，第1行有1个数.第2行有3个数.第3行有5个数⋯第n行有2×n-l个数因此，前n行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+⋯+（2×n-1）=［1+（2×n-1）〕×n÷2=n×n因为9×9＜99＜10×10.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数.②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为9×9+9=90），它是179. 例14 将自然数如下排列，1 2 6 7 15 16 ⋯3 5 8 14 17 ⋯4 9 13 18 ⋯10 12 ⋯11 ⋯⋯在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？分析与解答不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数⋯第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：1+2+3+⋯+n-1＜1993≤1+2+3+⋯+n即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2 用试值的方法，可以求出n=63.又因为1+2+⋯+62=1953，即第62行中最大的数为1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.把三角阵与左图作比较，可以发现：①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行. 由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.习题四习题四1.求值：①6+11+16+⋯+501.②101+102+103+104+⋯+999.2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，⋯3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？7.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.1，2，3，4，5，6⋯98，99，1002，3，4，5，6，7⋯99，100，1013，4，5，6，7，8⋯100，101，102100，101，102，103，104，105⋯197，198，199习题四解答1.①25350.2.②494450.3.2.699.3.最小的数为11＋1992÷8＝260.4.分为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19.5.这些数构成以301为首项，7为公差，项数为15的等差数列，它们的和为：5250.6.考虑能被3整除的各数之和102＋１5＋⋯＋198然后，（100＋101＋102＋⋯＋200）—（102＋105＋⋯＋198）＝10200.7.1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个.8.每行数均为等差数列，且每行的和又构成公差为100。