第一章 导数及其应用

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学习重、难点
重点：掌握导数有关切线、极值、最值、零 点等问题的应用。 难点：深刻理解运用导数研究函数的工具性以 及应用导数解决与函数有关的综合问题。
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高三数学——导数及其应用
3
学
【课前预习】 1、
习
过
程
2、
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高三数学——导数及其应用
4
1 3 4 例 1 已知曲线 y＝ x ＋ . 3 3 (1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)变式：求曲线过点(2,4)的切线方程．
(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或≤f(x)min)； (2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或≤f(x)max)； (3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))；
(4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．
当x＝ ≥1时，即b≥6时，[f′(x)]min＝f′(1)＝3－b＋b>0，∴b≥6 时符合要求． b 当x＝ 6 ≤－2时，即b≤－12时，[f′(x)]min＝f′(－2)＝12＋ 2b＋b≥0b ，∴b不存在． 2 b 12 b b 当－2< 6 <1即－12<b<6时，[f′(x)]min＝ f′( )= ≥0， 6 12 ∴0≤b<6， 综上所述b≥0.
学
【典例讲解】
解析：(1)∵y′＝x ，
2
习
过
程
∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－ 2)， 即 4x－y－4＝0.
学
【典例讲解】
习
过
程
1 3 4 (2)设曲线 y＝3x ＋3与过点 P(2,4)的切线相切于 1 3 4 点 Ax0，3x0＋3，则切线的斜率 k＝y′|x＝x0＝x2 0. 1 4 3 2 x ＋ ∴切线方程为 y－ ＝ x 0 0(x－x0)， 3 3 2 3 4 2 即 y＝x0· x－ x0＋ . 3 3
学
【典例讲解】
习
过
程
例1 ：规律方法总结：
在 与 过
类型一：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
类型二：曲线y=f(x)过点P的切线方程：应先设切点
(x0,f(x0)) ，再利用切点是切线和曲线的交点， 构造方程组解出切点，进而转化为类型一求解。 即用“待定切点法”来求解。
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b 6
学
习
过
程
【典例讲解】 例2 ：规律方法总结： 1.用“导数法” 求单调区间的步骤: 2.求函数极值的步骤如下：
(1)确定函数的定义域；
定义域优先考虑
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；
求参数时 需验证
(4)检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那 么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值． 即“高 f′( x )＝0”是“x是f(x)极值点”的必要不充分条件 三 数学——导数及其应用 13 . 2018/10/23
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学
【小结反思】
习
过
程
通过本节课的学习你学到了哪些知识？ 掌握了那些数学思想方法？
你认为解题中易出错的地方在哪里？
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【作业布置】
学
案： 高考典例
！
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学
【典例讲解】
设函数f(x)= x 例3 ：
3
习
2
过
程

f(x)<m成立,求实数m的取值范围
1 2
x
2 x 5,若对于任意x∈[-1,2]都有
1. [7，f(x)的最小值为f(1)=
7 2.（- ∞，） 2
7 2
所以
7 3. （- ∞， ] 2 4.（
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学
【典例讲解】
∵点
习
过
程
2 3 4 2 P(2,4)在切线上，∴4＝2x0－ x0＋ ， 3 3
2 即 x3 － 3 x 0 0＋4＝0， 2 2 ∴x3 ＋ x － 4 x 0 0 0＋4＝0， ∴x2 0(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2， 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
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【典例讲解】 例2 ：函数f(x)＝ x a x
3 2
习
过
程
，在曲线y＝f(x)上的 点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1. (1)若y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式； (2)若函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的 取值范围．
f(x) 随x变化情况如下表：
x -1
11 2
f′(x) f(x)
(-1, 2 3 ) + 递增

0
5
2 3
2 （ ，1 3 ） -
1 0
7 2
（1,2） 2 + 递增 7
22 27
递减
f(x)的最大值为f(2)=7, 所以m>7,即实数m的取值范围 为(7,+∞)。
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bx c
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高三数学——导数及其应用
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【典例讲解】 例2 ：
习
过
程
x 解 (1)由f(x)＝ 求导数得f′(x)＝3 x ＋2ax＋b. 过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)， 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)． 而过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1. ① 2 a b 0 3 2a b 3 故 即 ca 3 ② -a c- 2 1 ∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0.∴－4a＋b＝－12. ③ 由①②③联立解得a＝2，b＝－4，c＝5，
∴f(x)＝ x 2 x 4 x 5
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3
a x bx c
2
2
3
2
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【典例讲解】
习
过
程
2 (2)y＝f(x)在[－2,1]上单调递增．又f′(x)＝3 x ＋ 2ax＋b.由(1) 知2a＋b＝0. 2 ∴f′(x)＝3 x －bx＋b.依题意在[－2,1]上恒有f′(x)≥0， 即 [f′(x)]min ≥0.
第一章 导数及其应用
（高三一轮复习）
学习目标
１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的 几何意义． ２）掌握常见函数的导数公式，会求初等函 数的导数。 ３）会用导数求函数的单调区间, 极值及闭 区间上的最值，利用导数证明函数的的 单调性，会利用导数求最值的方法解决 一些实际问题（如恒成立问题）．
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7 ，+ ∞ ） 2
高三数学——导数及其应用
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【典例讲解】
习
过
程
例3 ：规律方法总结： 1.求函数最大值或最小值的步骤：
(1)求f(x)在(a，b) 内的极值． (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与 最小值． 即最值只能在极值点或区间端点处取得。
2.不等式恒成立问题的转化技巧）
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【当堂检测】
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习
过
程
1．函数y x 3x 5，则下列判断正确的是（ D ） Ａ．在区间（－1，1）内函数为增函数 B．在区间（－∞，－1）内函数为减函数 C．在区间（－∞，1）内函数为减函数 D．在区间（1，＋∞）内函数为增函数 3 2 y x 3 x 6x 4 在点（0,4）处的切线方 2．求曲线 程 6x-y+4=0 ． 3．已知函数 y = ax3－ x2 ＋x－5 在（－∞，＋∞）上 1 单调递增， 则实数 a 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿ [ 3 ,+∞ ) . 4.已知函数 f x x3 3x 2 6x 2, x 1,1 ，则函数的最大 值为＿2 ＿。
学
【典例讲解】
设函数f(x)= x 例3 ：
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程

f(x)<m成立,求实数m的取值范围.
1 2
x
2 x 5,若对于任意x∈[-1,2]都有
解：因为f(x)<m恒成立,即为f(x)最大值<m成立, 2 2 1 f′(x) ， 又因为 f′(x) = 3 x x ,2由 f′(x)=0得 所以 x1 3 , x2,