第三章导数及其应用导数实际应用
河北省高中数学 第三章 导数及其应用 第一讲 导数的概
导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 知 识 梳 理1．导数与导函数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作＿＿＿＿＿＿，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝＿＿＿＿3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：(1)[f (x )±g (x )]′＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)[f (x )·g (x )]′＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．一．判断1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (3)已知曲线y ＝x 3，则过点P (1,1)的切线有两条．( )(4)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝2.( ) 二．选择1.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－22．(2015·保定调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e3．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 014)＋2 014ln x ，则f ′(2 014)＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．2 014D ．－2 014 4.函数f (x )＝ln x －2xx在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝05.设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x －3 6.曲线y ＝x 3在原点处的切线( )A ．不存在B ．有1条，其方程为y ＝0C ．有1条，其方程为x ＝0D ．有2条，它们的方程分别为y ＝0，x ＝0 7.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 8.曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1 D ．y ＝－2x －1 三．填空1. 曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为________.2.曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________________.3.若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 4．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 四．解答题1.求下列函数的导数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝ln x e x . (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 42.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．3.已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4，求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；4.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0，求f (x )的解析式 总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．。
高中数学第三章 导数及其应用 第3课时 导数与函数的综合应用
第3课时 导数与函数的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析 由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100 x ，总利润P (x )＝⎩⎨⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，又P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大． 答案 D2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 答案 D3．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]解析 令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20， ∴f (x )的最小值为f (2)＝－20，故m ≤－20. 答案 B4．(2017·景德镇联考)已知函数f (x )的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：f (x ))－a 的零点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2,1<a<2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案 D5．(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析 a ＝0时，不符合题意，a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .若a >0，则由图像知f (x )有负数零点，不符合题意． 则a <0，由图像结合f (0)＝1>0知，此时必有 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1>0， 化简得a 2>4. 又a <0，所以a <－2. 答案 C 二、填空题6．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值． 答案 407．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________. 解析 设f (x )＝x 3－3x ＋c ， 对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可知c ＝2； 若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2. 答案 －2或28．(2017·长沙调研)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )e x <1的解集为________． 解析 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x ·f ′(x )－e x ·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )e x <1，即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞)． 答案 (0，＋∞) 三、解答题9．据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)． (1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值． 解 (1)设点C 受A 污染源污染程度为kax 2， 点C 受B 污染源污染程度为kb(18－x )2，其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb(18－x )2.(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x 2＋kb(18－x )2，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b (18－x )3， 令y ′＝0，得x ＝181＋3b，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.10．(2017·榆林月考)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎨⎧x >0，x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减， 故当x >1时，F (x )<F (1)＝0， 即当x >1时，f (x )<x －1. 故当x >1时，f (x )<x －1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析 函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x ，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点． 答案 A12．(2017·山东省实验中学诊断)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( )A ．3f (1)<f (3)B ．3f (1)>f (3)C ．3f (1)＝f (3)D ．f (1)＝f (3) 解析 由于f (x )>xf ′(x )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， ∴f (3)3<f (1)1，即3f (1)>f (3)． 答案 B13．(2017·安徽江南名校联考)已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式xe x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为________． 解析 依题意，知k ＋2x －x 2>0.即k >x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，因此由原不等式，得k <e x x ＋x 2－2x 恒成立．令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,2)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，所以k <f (x )min ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)． 答案 [0，e －1)14．(2015·北京卷)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． (1)解 由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)， 得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)． f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：x (0，k ) k (k ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )k (1－ln k )2所以f x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)． f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k>e时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e－k2<0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点.。
第三章导数及其应用3-1导数的概念及运算
(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近 于 0 时， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 Δs ft0＋Δt－ft0 ＝ 趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 Δt Δt 时刻的瞬时速度．
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δy＝f(x0 Δy ＋Δx)－f(x0)．如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率 ＝ Δx fx0＋Δx－fx0 趋近于一个常数 l， 那么常数 l 称为函数 f(x) Δx 在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化率通 常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝x0 处可 导．
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝ xa
x－1
u u′ .还要特别注意(uv)′≠u′v′，v′≠ v′
4 ex 解析：y′＝－ x e ＋12 4 ex 4 ex 4 ∴tanα＝－ x ＝－ x 2 ＝－ 1 e ＋12 e ＋2ex＋1 ex＋ x＋2 e 1 ∵e ＞0，∴e ＋ x ≥2(当且仅当 x＝0 时取等号) e
x x
1 4 ∴e ＋ x＋2≥4，∴0＜ ≤1 e 1 x e ＋ x＋2 e
x 轴、直
线 x＝π 所围成的三角形的面积为( π2 A. 2 C．2π
2
)
B．π2 1 D. (2＋π)2 2
解析： 曲线 y＝xsinx
π π － ， 在点 2 2处的切线方程
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数在实际生活中有许多应用，例如：1. 物理学：导数被广泛应用于物理学中的运动学和动力学。
导数可以描述物体在某一时刻的加速度和速度，以及其位置和速度之间的关系。
例如，在抛物线运动中，导数可以用来描述物体在不同时间点的速度和加速度，从而可以预测物体的轨迹。
2. 经济学：导数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在微观经济学中，导数可以用来描述供求关系、生产函数和成本函数。
在宏观经济学中，导数可以用来描述经济增长率、通货膨胀率和失业率等关键绩效指标。
3. 工程学：导数在工程学中的应用也非常广泛。
例如，在电力工程中，导数可以用来描述电流的变化率和电压的变化率，从而可以预测电路的性能。
在机械工程中，导数可以用来描述速度和加速度等关键参数，从而可以预测机械元件的性能。
4. 生物学：导数在生物学中的应用也很重要。
例如，在生物医学中，导数可以用来描述药物的代谢率和药物的效果，从而可以设计更有效的药物。
在生态学中，导数可以用来描述物种群的增长率和灭绝率，从而可以预测生态系统的稳定性和可持续性。
5. 计算机科学：导数在计算机科学中的应用也非常广泛。
例如，在计算机图形学中，导数可以用来定义曲线和曲面，从而可以绘制出复杂的图形。
在人工智能中，导数可以用来设计更高效的算法，例如反向传播算法用于神经网络的训练。
总之，导数在实际生活中有多种应用，涵盖了许多不同的领域，包括物理学、经济学、工程学、生物学和计算机科学。
了解导数的应用有助于我们更好地理解和应用微积分的原理。
高考数学一轮复习第三章导数及其应用4导数的综合应用课件新人教A版2
-15考点1
考点2
考点3
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
2
-∞,
3
x
g'(x)
+
0
单调递增↗
g(x)
2
,4
3
2
3
68
27
则函数 g(x)的极大值为 g
-
4
(4,+∞)
0
+
-m 单调递减↘ -16-m 单调递增↗
2
3
=
68
27
-m,极小值为 g(4)=-16-m.
∴要使 g(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点,
则欲证
12 - 22
>2a,
只需证 2a(12 − 22 )>3x2-x1.
只需证 2a(12 − 22 )>2(x2-x1)+(x1+x2).
只需证 a(x1-x2)+
1 - 2
1 + 2
1
> .
2
因为 f'(x1)=0,f'(x2)=0,ax1=-ln x1,ax2=-ln x2,
(3)证明：由题设c>1,
设g(x)=1+(c-1)x-cx,
则g'(x)=c-1-cxln c,
ln
令 g'(x)=0,解得 x0=
-1
ln
ln
.
当 x<x0 时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当 x>x0 时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
由(2)知 1<
-1
ln
高中数学同步教学 第3章 §2 第1课时 实际问题中导数的意义
§2 导数在实际问题中的应用 第1课时 实际问题中导数的意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 低碳生活(lowcarbon life)可以理解为减少二氧化碳的 排
则f′(10)表示
A
•( )
• A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量
• C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度
• [解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度,故选A.
2．物体自由落体运动的方程为
s(t)＝12gt2，g＝9.8
m/s2，若lim Δt→0
s1＋Δt－s1 Δt
＝g＝9.8 m/s，那么下面说法正确的是( C )
即从 t＝2 变到 t＝3 时，s 关于 t 的平均变化率为 17，即此段时间质点的平均 速度为 17m/s.
(2)s′(t)＝6t＋2，∴s′(2)＝6×2＋2＝14(m/s)． 即当 t＝2 时的瞬时速度为 14m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s，则 v(t)＝s′(t)＝6t＋2， ∴v′(t)＝6，∴v′(2)＝6.即当 t＝2 时的加速度为 6m/s2.
•放,就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能 环
•保,势在必行．现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们 •希望汽油的使用效率最高,即每千米路程的汽油消耗最少 或
•每升汽油能使汽车行驶的路程最长． • 如何使汽油的使用效率最高？
• 1．在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理 解的量．以中路学程物关于理时为间例,速度是_______质_量__关_于__长_度的导数, 线密功度关是于_时_间____________的导数,功率是____________的导 数．
高等数学中的导数及其应用
高等数学中的导数及其应用导数是高等数学中的重要概念，它是描述函数变化率的工具。
本篇文章将介绍导数的定义、性质以及它在数学和实际生活中的应用。
一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，若函数在点x处有定义并且存在极限lim(x→x₀) [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)，则称该极限为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，也可表示为dy/dx|x=x₀。
导数也可以通过求导公式来计算，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有特定的求导法则。
函数的导数具有一些重要的性质。
首先，常数函数的导数为零。
其次，导数满足加法性、乘法性和链式法则。
加法性指的是导数的和等于各导数的和，乘法性指的是导数的乘积等于某一函数的导数与另一函数的值的乘积。
链式法则是导数运算中常用的规则，它描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。
二、导数的应用导数在数学和实际生活中具有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 函数的极值函数的导数可以用来确定函数的极值。
对于给定函数f(x)，如果在某一点x₀处导数为零或者不存在，那么该点上可能存在极值。
通过分析函数的导数和二阶导数可以判断该极值是极大值还是极小值。
这在优化问题、经济学等领域中具有重要意义。
2. 曲线的切线和法线导数也可以用来求解曲线的切线和法线。
对于二维平面上的曲线，曲线在某一点处的切线斜率为该点处函数的导数。
在求出切线斜率后，可以通过给定点和切线斜率的方程，求解出切线方程。
法线则是与切线垂直的线，其斜率为切线斜率的负倒数。
3. 变化率和速度导数可以用来描述函数的变化率。
在实际生活中，我们经常需要计算某一物理量的变化率，例如速度。
假设物体的位置随时间变化，那么位置函数关于时间的导数即为速度函数。
通过求解速度函数，我们可以得知物体在某一时刻的速度情况。
4. 函数的凹凸性和拐点函数的导数还可以用来判断函数的凹凸性和拐点。
导数在实际生活中的应用举例
导数在实际生活中的应用举例导数在实际生活中的应用举例___________________________导数是微积分里的一个重要概念，它可以让我们更好的理解变化的趋势和求取一些常见的量，在实际生活中也有广泛的应用。
下面就来介绍一些常见的应用案例。
##### 地形测量地形测量是地理学、测量学等领域中的重要内容，在进行地形测量时，需要通过计算导数来求取地形的斜率，以此来判断地形的坡度，从而可以准确的测量出地形的变化情况。
##### 加速度的计算加速度是物体运动中的重要参数，它是衡量物体运动变化的重要指标，而物体运动的速度则是其位置变化的函数，所以我们可以通过计算物体运动位置函数的导数来计算出物体的加速度。
##### 温度变化温度也是一个随时间变化的量，我们可以通过计算温度随时间变化函数的导数来求得温度变化率，从而得出温度变化情况。
##### 热传导热传导是物理学中的一个重要概念，它是描述物体温度随时间变化的一个重要函数，我们可以通过计算热传导函数的导数来求得物体温度随时间变化率，从而得出物体温度变化情况。
##### 势能势能也是物理学中常见的一个概念，它是衡量物体能量变化情况的重要参数，我们可以通过计算势能函数的导数来获得物体能量随时间变化率，从而得出物体能量变化情况。
##### 压强压强也是物理学中常见的一个概念，它是衡量物体压力变化情况的重要参数，我们可以通过计算压强函数的导数来获得物体压力随时间变化率，从而得出物体压力变化情况。
##### 投资分析投资分析也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算投资回报函数的导数来求得投资回报随时间变化率，从而得出未来投资回报情况。
##### 工程设计工程设计也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算工程成本函数的导数来求得工程成本随时间变化率，从而得出未来工程成本情况。
##### 社会发展分析社会发展分析也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算人口增长函数的导数来求得人口增长随时间变化率，从而得出未来人口增长情况。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的数学工具。
在数学上，导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也就是函数在该点附近的局部近似线性变化率。
导数的计算可以帮助我们研究函数的几何性质和特征，如最大值、最小值、凹凸性等。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼兹在17世纪同时独立发现，是微积分学科的基础之一。
导数在实际生活中扮演着至关重要的角色。
通过导数，我们可以了解事物的变化速率和趋势，从而为我们的决策和行为提供依据。
比如在经济领域，导数可以帮助我们预测股票价格的波动趋势，优化投资组合，分析市场需求和供给关系。
在工程领域，导数可以帮助我们设计建筑的结构稳定性，优化材料的使用效率，提高工程项目的效率和安全性。
在医学领域，导数可以帮助我们分析生物体的生长发育规律，制定治疗方案和药物剂量，提高医疗技术水平和治疗效果。
导数不仅是一种抽象的数学概念，更是一种强大的工具和思维方式，对我们的生活、工作和社会发展有着深远而广泛的影响。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性体现在我们日常生活的方方面面。
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的变化规律以及预测未来的趋势。
在金融领域中，导数被广泛应用于投资和风险管理中，帮助分析股票价格的波动性和趋势，提高投资决策的准确性和效益。
在医学领域中，导数可以用来描述人体各种生理指标的变化趋势，帮助医生准确地诊断疾病和制定治疗方案。
在工程领域中，导数可以帮助工程师分析和优化设计方案，提高产品的质量和效率。
在生态学领域中，导数可以帮助科学家研究生态系统的稳定性和变化规律，提高环境保护和生态恢复的效果。
在物理学领域中，导数可以帮助研究人员描述物体的运动和相互作用，推动科学技术的发展和应用。
导数在实际生活中的重要性不言而喻，它不仅拓宽了我们对世界的认识，还促进了人类社会的进步和发展。
2. 正文2.1 金融领域中的应用金融领域中，导数的应用是非常广泛和重要的。
选修1-1第三章导数及其应用课件人教新课标1
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（x∈R）
的导数为 f‘（x）=3ax2+2bx+c
(1)有三个单调区间
a ≠0
(2)有极大值和极小值 (3)有极值 (4)仅有一个单调区间
Δ>0 a ≠0
(5)没有极值
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
三.导数的基本运算
一、利用分离参数法解决恒成立问题
已知函数f(x)=ax -lnx . 若f(x)>1在 (1，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 解题根据： （1）a≥f(x)恒成立 a [ f (x)]max （2）a≤f(x)恒成立 a [ f (x)]min
课堂小结： 这节课你有什么收获？
作业设计： 习题
第三章 导数及其应用复习小结
本章知识结构
导数概念 导数 导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率
基本初等函数求导
导数的四则运算法则
函数单调性研究
函数的极定义和几何意义
①函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
y f(x2 ) f (x1)
第三章 导数及其应用3-3导数的实际应用
(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r， 则f ′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)． 1 令f ′(x)＝0，得x＝ r. 2 r 因为当0<x< 时，f ′(x)>0， 2 r 当 <x<r时，f ′(x)<0， 2
1 所以f2r是f(x)的最大值．
(理)(2010·山东济南市模考)直线y＝kx＋b与 曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值 为( ) A．－3 B．9 C．－15 D．－7 [答案] C [解析] 将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋ 1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3. 又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9， ∴b＝3－2k＝3－18＝－15，故选C.
当x∈(0,80)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数； 当x∈(80,120]时，f ′(x)>0，f(x)是增函数． ∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)． 因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是 最小值． 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
4＋π A．x－y－ ＝0 4 4＋π C．x＋y－ ＝0 4
π π π [解析] Cy′|x＝ ＝－ 2sinx|x＝ ＝－ 2sin ＝ [答案] 4 4 4 －1，
π π ∴切线方程为y－ 2cos ＝－x－4， 4
π 即x＋y－1－ ＝0，故选C. 4
100 1 3 3 依题意得f(x)＝128000x －80x＋8· x
1 2 800 15 ＝ x＋ － 1280 x 4
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。
在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。
在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。
2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。
通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。
3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。
在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。
4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。
导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。
5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。
在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。
导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。
导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。
掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。
高考数学一轮复习第3章导数及其应用第13节导数的概念与运算课件文
2021/12/13
第二十四页，共四十二页。
命题角度 3 导数与函数图象
(2018 许昌模拟)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且 其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
C．y＝2x
D．y＝x
【答案】D
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【解析】∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴ f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又 f(x)为奇函数， ∴ f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立， ∴ a＝1，∴ f ′(x)＝3x2＋1， ∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x. 故选 D.
2.(2018 江西南昌六校联考)若曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，则 a＋b 的值等于________．
【答案】－3
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【解析】∵直线 2x－7y＋3＝0 的斜率 k＝27， ∴切线的斜率为－72， ∵曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，
【答案】0
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【解析】由题意可知，直线 y＝kx＋2 与曲线 y＝f(x)的切点为(3,1)， 则可得1f＝3＝3k＋1，2
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x， 所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
理科高三数学教案：导数及其应用
理科高三数学教案：导数及其应用【】鉴于大伙儿对查字典数学网十分关注，小编在此为大伙儿搜集整理了此文理科高三数学教案：导数及其应用，供大伙儿参考!本文题目：理科高三数学教案：导数及其应用第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景;(2)明白得导数的几何意义.2.导数的运算(1)能依照导数定义，求函数y=c(c为常数)，y=x，y=x2，y=x3，y= ，y= 的导数;(2)能利用差不多初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一样不超过三次);(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一样不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一样不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分差不多定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的差不多思想，了解定积分的概念;(2)了解微积分差不多定理的含义. 本章重点：1.导数的概念;2.利用导数求切线的斜率;3.利用导数判定函数单调性或求单调区间;4.利用导数求极值或最值;5.利用导数求实际问题最优解.本章难点：导数的综合应用. 导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一样、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所表达，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的差不多运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.知识网络3 .1 导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f(x)=2ln 3x+8x，求f(1-2x)-f(1)x的值.【解析】由导数的定义知：f(1-2x)-f(1)x=-2 f(1-2x)-f(1)-2x=-2f(1)=-20.【点拨】导数的实质是求函数值相关于自变量的变化率，即求当x0时，平均变化率yx的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时刻t(min)的函数关系能够近似地表示为f(t)=t2100，则在时刻t=10 min的降雨强度为()A.15 mm/minB.14 mm/minC.12 mm/minD.1 mm/min【解析】选A.题型二求导函数【例2】求下列函数的导数.(1)y=ln(x+1+x2);(2)y=(x2-2x+3)e2x;(3)y=3x1-x.【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y=1x+1+x2(x+1+x2)=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.(2)y=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x=2(x2-x+2)e2x.(3)y=13(x1-x 1-x+x(1-x)2=13(x1-x 1(1-x)2=13x (1-x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))= ; f(1+x)-f(1)x= (用数字作答).【解析】f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2，由导数定义f(1+x)-f(1)x=f(1).当02时，f(x)=4-2x，f(x)=-2，f(1)=-2.题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l：y=kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x00)，求直线l的方程及切点坐标.【解析】由l过原点，知k=y0x0 (x00)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0=x30-3x20+2x0，因此y0x0=x20-3x0+2.而y=3x2-6x+2，k=3x20-6x0+2.又k=y0x0，因此3x20-6x0+2=x20-3x0+2，其中x00，解得x0=32.因此y0=-38，因此k=y0x0=-14，因此直线l的方程为y=-14x，切点坐标为(32，-38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y=x3-3x+4的切线通过点(-2，2)，求此切线方程.【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y=3x2-3得切线的斜率为k=3x20-3.因此函数y=x3-3x+4在P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(3x20-3)(x-x0).又切线通过点(-2,2)，得2-y0=(3x20-3)(-2-x0)，①而切点在曲线上，得y0=x30-3x0+4，②由①②解得x0=1或x0=-2.则切线方程为y=2 或9x-y+20=0.总结提高1.函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求yx= f(x0+x)-f(x0)x的值;(2)先求导函数f(x)，再将x=x0的值代入，即得f(x0)的值.2.求y=f(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式;(2)利用四则运算的导数公式;(3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)，确实是函数y =f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(aR)，求函数f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1，+).f(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1，①若a0，则a+221，f(x)=2x(x-a+22)x-10在(1，+)上恒成立，因此a0时，f(x)的增区间为(1，+).②若a0，则a+221，故当x(1，a+22]时，f(x)=2x(x-a+22)x-1当x[a+22，+)时，f(x)=2x(x-a+22)x-10，因此a0时，f(x)的减区间为(1，a+22]，f(x)的增区间为[a+22，+).【点拨】在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数a+22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范畴.【解析】因为f(x)=2x+1x-a，f(x)在(0,1)上是增函数，因此2x+1x-a0在(0,1)上恒成立，即a2x+1x恒成立.又2x+1x22(当且仅当x=22时，取等号).因此a22，故a的取值范畴为(-，22].【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立;同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要依照不等式恒成立的条件来求参数的取值范畴了.题型二求函数的极值【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a，b，c的值;(2)试判定x=1是函数的极小值点依旧极大值点，并说明理由.【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c.因为x=1是函数f(x)的极值点，因此x=1是方程f(x)=0，即3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系，得又f(1)=-1，因此a+b+c=-1. ③由①②③解得a=12，b=0，c=-32.(2)由(1)得f(x)=12x3-32x，因此当f(x)=32x2-320时，有x-1或x当f(x)=32x2-320时，有-1因此函数f(x)=12x3-32x在(-，-1)和(1，+)上是增函数，在(-1,1)上是减函数.因此当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数取得极小值f (1)=-1.【点拨】求函数的极值应先求导数.关于多项式函数f(x)来讲，f(x)在点x=x0处取极值的必要条件是f(x)=0.然而，当x0满足f(x0)=0时，f(x)在点x=x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.同时假如f(x)在x0两侧满足左正右负，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;假如f(x)在x0两侧满足左负右正，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.【变式训练2】定义在R上的函数y=f(x)，满足f(3-x)=f(x)，(x-32)f(x) 0，若x13，则有()A. f(x1)f(x2)C. f(x1)=f(x2)D.不确定【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32)，即f(32-x)=f(x+32)，因此函数f(x)的图象关于x=32对称.又因为(x-32)f(x)0，因此当x32时，函数f (x)单调递减，当x32时，函数f(x)单调递增.当x1+x22=32时，f(x1)=f(x2)，因为x1+x23，因此x1+x2232，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，因此f(x1)f(x2).故选B.题型三求函数的最值【例3】求函数f(x)=ln(1+x)-14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f(x)=11+x-12x，令11+x-12x=0，化简为x2+x-2=0，解得x1=-2或x2=1，其中x1=-2舍去.又由f(x)=11+x-12x0，且x[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，因此f(1)=ln 2-14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)=0，f(2)=ln 3-10，f(1)f(2)，因此，f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)=ln 2-14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，第一需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.【变式训练3】(2021江苏)f(x)=ax3-3x+1对x[-1,1]总有f(x)0成立，则a= .【解析】若x=0，则不管a为何值，f(x)0恒成立.当x(0,1]时，f(x)0能够化为a3x2-1x3，设g(x)=3x2-1x3，则g(x)=3(1-2x)x4，x(0，12)时，g(x)0，x(12，1]时，g(x)0.因此g(x)max=g(12)=4，因此a4.当x[-1,0)时，f(x)0能够化为a3x2-1x3，现在g(x)=3(1-2x)x40，g(x)min=g(-1)=4，因此a4.综上可知，a=4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D;(2)求导数f(3)依照f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递增区间;依照f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是：(1)求导数f(2)求方程f(x)=0的根;(3)判定f(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在那个根处取极大值依旧取极小值.3.求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值;再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)=12x2+ln x.(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域;(2)求证：x1时，f(x)23x3.【解析】(1)由已知f(x)=x+1x，当x[1，e]时，f(x)0，因此f(x)在[1，e]上为增函数.故f(x)max=f(e)=e22+1，f(x)min=f(1)=12，因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22+1].(2)证明：令F(x)=f(x)-23x3=-23x3+12x2+ln x，则F(x)=x+1x-2x2=(1-x) (1+x+2x2)x，因为x1，因此F(x)0，故F(x)在(1，+)上为减函数.又F(1)=-160，故x1时，F(x)0恒成立，即f(x)23x3.【点拨】有关超越性不等式的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A.f(x)0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0，g(x)0D.f(x)0，g(x)0【解析】选B.题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x) x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即n=mx-1.因此y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(mx-1)+mx(2+x)x=256mx+mx+2m-256.(2)由(1)知f(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).令f(x)=0，得x =512.因此x=64.当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数.因此f(x)在x=64处取得最小值.现在n=mx-1=64064-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.【变式训练2】(2021上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r+2h)=9.6，因此2r+h=1.2.S=2.4r2，h=1.2-2r0，因此r0.6.因此S=2.4r2(0令f(r)=2.4r2，则f(r)=2 .4r.令f(r)=0得r=0.4.因此当00;当0.4因此r=0.4时S最大，Smax=1.51.题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x，xR.(1)当m=3时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且.若对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，求实数m的取值范畴.【解析】(1)当m=3时，f(x)=13x3-3x2+5x，f(x)=x2-6x+5.因为f(2)=23，f(2)=-3，因此切点坐标为(2，23)，切线的斜率为-3，则所求的切线方程为y-23=-3(x-2)，即9x+3y-20=0.(2)f(x)=x2-2mx+(m2-4).令f(x)=0，得x=m-2或x=m+2.当x(-，m-2)时，f(x)0，f(x)在(-，m-2)上是增函数;当x(m-2，m+2)时，f(x)0，f(x)在(m-2，m+2)上是减函数;当x(m+2，+)时，f(x)0，f(x)在(m+2，+)上是增函数.因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)]，因此解得m(-4，-2)(-2,2)(2,4).当m(-4，-2)时，m-2因此现在f()=0，f(1)f(0)=0，与题意不合，故舍去.当m(-2,2)时，m-20因此因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，因此1.因此f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，因此m+2=1，即m=-1.当m(2,4)时，0因此0因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，因此1.因此f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，因此m+2=1，即m=-1(舍去).综上可知，m的取值范畴是{-1}.【变式训练3】已知f(x)=ax2(aR)，g(x)=2ln x.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;(2)若方程f(x)=g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范畴.【解析】(1)当a0时，F(x)的递增区间为(1a，+)，递减区间为(0，1a);当a0时，F(x)的递减区间为(0，+).(2)[12ln 2，1e).总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，第一应熟练地将方程、不等式问题直截了当转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分差不多定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】运算下列定积分的值.(1) (x-1)5dx;(2) (x+sin x)dx.【解析】(1)因为[16(x-1)6]=(x-1)5，因此(x-1)5dx= =16.(2)因为(x22-cos x)=x+sin x，因此(x+sin x)dx= =28+1.【点拨】(1)一样情形下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值;(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和;(3)关于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分;(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx=2 f(x)dx;②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx=0.【变式训练1】求(3x3+4sin x)dx.【解析】(3x3+4sin x)dx表示直线x=-5，x=5，y=0和曲线y=3x3+4si n x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x).因此f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数，因此(3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx，因此(3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.题型二利用定积分运算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，-4)，则S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx=163+383=18.方法二：S= [(4-y)-y22]dy= =18.【点拨】依照图形的特点，选择不同的积分变量，可使运算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1+xk)k的展开式中x3的系数为1 16，则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】Tr+1=Crk(xk)r，令r=3，得x3的系数为C3k1k3=116，解得k =4.由得函数y=x2与y=4x-3的图象的交点的横坐标分别为1,3.因此阴影部分的面积为S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.题型三定积分在物理中的应用【例3】(1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)=1-t2，初始位置为x0 =1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置;(2)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时刻t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功.【解析】(1)当01时，v(t)0，当12时，v(t)0，因此前2秒内所走过的路程为s= v(t)dt+ (-v(t))dt= (1-t2)dt+ (t2-1)dt= + =2.2秒末所在的位置为x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.因此它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1=13.(2) 物体的速度为v=(bt3)=3bt2.媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4，其中k为比例常数，且k0.当x=0时，t=0;当x=a时，t=t1=(ab) ，又ds=vdt，故阻力所做的功为W阻= ds = kv2vdt=k v3dt= k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)= a(t)dt，s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx这三个公式.【变式训练3】定义F(x，y)=(1+x)y，x，y(0，+).令函数f(x)=F[1，log 2(x2-4x+9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.【解析】因为F(x，y)=(1+x)y，因此f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))= =x2-4x +9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，f(x) =2x-4.因此解得B(3,6)，因此S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.总结提高1.定积分的运算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?3.利用定积分求平面图形面积的步骤：?(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;?(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;?(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;?死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
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第三章导数及其应用导数实际应用
故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函 数．
所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万 元用于技术改造，1百万元用于广告促销， 该公司由此获得的收益最大．
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4 (0≤t≤3)，
∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万 元．即投入2百万元的广告费时，该公司由 此获得的收益最大．
第三章导数及其应用导数实际应用
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广 告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益 是g(x)，则有g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)] －3＝－31x3＋4x＋3 (0≤x≤3)，
[例1] 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶
中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的
函数解析式可以表示为y＝
1 128000
x3－
3 80
x＋
8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，
从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到
第三章导数及其应用导数实际应用
(3)生活中，经常遇到求利润最大、用料最 省、效率最高等问题，这些问题通常称为优 化问题．在解决实际优化问题中，不仅要注 意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给 予表示，还应确定函数关系式中自变量的定 义区间．
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
3V 5π
3 代入①中得h＝r＝
3V 5π
，∴当h＝r＝
3
3V 5π
时
用料最省.
第三章导数及其应用导数实际应用
[例2] 某集团为了获得更大的利益，每年要 投入一定的资金用于广告促销．经调查，每 年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为－ t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)
(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万 元之内，则应投入多少广告费，才能使该公 司由此获得的收益最大？
第三章导数及其应用导数实际应用
某工厂设计一个密闭容器，下部是圆柱体形， 上部是半球形，容积为常数V，当圆柱的底 半径r与高h为何值时，制造这个容器的用料 最省？
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：32πr3＋πr2h＝V① ∴43πr2＋2πrh＝2rV，S＝5π3r2＋2rV，
由S′＝103πr－2rV2 ＝0得，r＝ 3
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
当x∈(0,80)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数； 当x∈(80,120]时，f ′(x)>0，f(x)是增函数． ∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)． 因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是 最小值． 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
第三章导数及其应用导数实际应用
某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在
生产过程中产品的正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的
关系为P＝
4200－x2 4500
，每生产一件正品盈利4000元，每
出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正
品件数÷产品总件数)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
乙地耗油最少？最少为多少升？
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了 14000＝2.5(小时)，耗油1281000×403－830×40＋8×2.5 ＝17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油17.5升．
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
重点难点 重点：利用导数解决实际问题中的优化问题 难点：如何建立数学模型，借助导数求最值
第三章导数及其应用导数实际应用
知识归纳 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出
实际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值 大小，最大(小)者为最大(小)值．
第三章导数及其Байду номын сангаас用导数实际应用
(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广
告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费
x(百万元)，可增加的销售额约为－
1 3
x3＋x2＋3x(百万
元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得
的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)．
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的 收益为f(t)(百万元)，则有
(2)问该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求
出日利润的最大值．
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)∵y＝4000×
4200－x2 4500
×x－2000(1－
4240500－0 x2)2·x＝3600x－34x3.
∴所求的函数关系式是y＝－
4 3
x3＋3600x(x∈
N*,1≤x≤40)．
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行 驶了10x0小时，设耗油量为f(x)升．
依题意得f(x)＝1281000x3－830x＋8·10x 0 ＝12180x2＋80x0－145 (0<x≤120)， f ′(x)＝64x0－8x020＝x63－408x02 3(0<x≤120)． 令f ′(x)＝0，得x＝80.
第三章导数及其应用导数实际应用
误区警示 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注
意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的 值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间 内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数 在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较， 也可以知道这就是最大(小)值．