高中数学选修2-3：第一章 计数原理章末复习课

章末复习

学习目标

1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.

2.理解排列与组合的区别与联系，能利用排列组合解决一些实际问题.

3.能用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质．

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质

4.二项式定理

(1)二项式定理的内容：

(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n (n∈N*)．

(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，k∈{0,1,2，…，n}．

(3)二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；

②若n 为偶数，中间一项⎝⎛⎭

⎫第n

2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝⎛⎭

⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．

③C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3

n ＋…＝2

n －

1.

类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用 命题角度1 分类讨论思想

例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 考点 组合的应用

题点 有限制条件的组合问题

解 方法一 设A ，B 代表2位老师傅．

A ，

B 都不在内的选派方法有

C 45C 44＝5(种)，

A ，

B 都在内且当钳工的选派方法有

C 22C 25C 44＝10(种)， A ，B 都在内且当车工的选派方法有C 22C 45C 24＝30(种)，

A ，

B 都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有A 22

C 35C 34＝80(种)， A ，B 有一人在内且当钳工的选派方法有C 12C 35C 44＝20(种)， A ，B 有一人在内且当车工的选派方法有C 12C 45C 34＝40(种)，

所以共有C 45C 44＋C 22C 25C 44＋C 22C 45C 24＋A 22C 35C 34＋C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝185(种)． 方法二 5名男钳工有4名被选上的方法有C 45C 44＋C 45C 34C 12＋C 45C 24C 22＝75(种)， 5名男钳工有3名被选上的方法有C 35C 12C 44＋C 35C 34A 22＝100(种)， 5名男钳工有2名被选上的方法有C 25C 22C 44＝10(种)，

所以共有75＋100＋10＝185(种)．

方法三4名女车工都被选上的方法有C44C45＋C44C35C12＋C44C25C22＝35(种)，

4名女车工有3名被选上的方法有C34C12C45＋C34C35A22＝120(种)，

4名女车工有2名被选上的方法有C24C22C45＝30(种)，

所以共有35＋120＋30＝185(种)．

反思与感悟解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．

跟踪训练1从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)

考点排列组合综合问题

题点排列与组合的综合应用

[答案]60

[解析]1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．

分三类：①没有数字1和3时，有A34个；

②只有1和3中的一个时，有2A24个；

③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C14·C13个．

所以满足条件的三位数共有

A34＋2A24＋C14·C13＝60(个)．

命题角度2“正难则反”思想

例2设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1

A．78B．76C．83D．84

考点组合的应用

题点有限制条件的组合问题

[答案] C

[解析]若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决．

集合S的含有三个元素的子集的个数为C39＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a16的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.

反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．

跟踪训练2由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且