2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解读
湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析教学文稿
2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的单位的幂运算求解即可．解答：解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．解答：解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．29考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．解答：解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．点评：本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．解答：解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P （Y≤t）．故选：C．点评：本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．解答：解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．s gn[g（x）]=sgnx B．s gn[g（x）]=﹣sgnx C．s gn[g（x）]=sgn[f（x）]D．s gn[g（x）]=﹣sgn[f （x）]考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．解答：解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．点评：本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P1考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．解答：解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．解答：解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30考点：集合中元素个数的最值．专题：新定义；开放型；集合．分析：由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求解答：解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素故选：C．点评：本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6考点：进行简单的演绎推理．专题：创新题型；简易逻辑．分析：由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4解答：解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4故选：B．点评：本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．解答：解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．解答：解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．点评：本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．解答：解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定．专题：创新题型；简易逻辑．分析：（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可．解答：解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．点评：本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．选修4-1：几何证明选讲15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．解答：解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．点评：本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．选修4-4：坐标系与参数方程16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．考点：简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．解答：解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．点评：本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．解答：解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．解答：解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．点评：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．解答：解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．点评：本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．考点：简单线性规划的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．解答：（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C （6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．点评：本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n }的各项均为正数，b n =n （1+）n a n （n ∈N +），e 为自然对数的底数．（1）求函数f （x ）=1+x ﹣e x 的单调区间，并比较（1+）n 与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n =（a 1a 2…a n ），数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜eS n ．考点：数列与不等式的综合． 专题： 创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用． 分析：（1）求出f （x ）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x ＜e x ．取x=即可得到答案；（2）由b n =n （1+）na n （n ∈N +），变形求得，，，由此推测=（n+1）n ．然后利用数学归纳法证明． （3）由c n 的定义、=（n+1）n 、算术﹣几何平均不等式、b n 的定义及，利用放缩法证得T n ＜eS n ．解答： （1）解：f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），f ′（x ）=1﹣e x ． 当f ′（x ）＞0，即x ＜0时，f （x ）单调递增；当f ′（x ）＜0，即x ＞0时，f （x ）单调递减． 故f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）． 当x ＞0时，f （x ）＜f （0）=0，即1+x ＜e x ．令，得，即．①（2）解：；=；．学习资料仅供学习与参考 由此推测：=（n+1）n ．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k 时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得 =．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）证明：由c n 的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n 的定义及①得T n =c 1+c 2+…+c n = === =＜ea 1+ea 2+…+ea n =eS n ．即T n ＜eS n ．点评：本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【1，5分】i 为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．（2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（ ）（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ． （3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数）（A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)nx +中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ． 以及计算能力．（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密 （A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）（A q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立； ②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要（6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】【解析】依题意，22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．复的元素．（10）【2015年，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年，理11，5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ． 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，3OA =u u u r ，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（12）【2015年，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点， 所以函数()f x 由2个零点．（13）【2015年，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．【答案】1006 【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中， 因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD CDBC ︒==，所以1006CD =m ．（14）【2015年，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =Q ，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M Q ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+， ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______． 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． （16）【2015年，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 础的计算题．三、解答题：共6题，共75（17）【2015年，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期x ωϕ+ 0π2 π 3π2 2π x π3 5π6sin()A x ωϕ+0 5 5- 0（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+ 0π2π 3π22πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律（18）【2015年，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ，故12362nn n T -+=-． （19）【2015年，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ． （1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =I ，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=． 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． （1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-u u u r ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =u u u r ，于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =I ，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r ， 解得2λ=． 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 于难题．（20）【2015年，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶210001吨B 产品需鲜牛奶1．51．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时． 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18 P 0．3 0．5 0．2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0．3 0．5 0．2 因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．问题解决问题的能力．（21）【2015年，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN D AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，（2②8．【点评】本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年，理22，14（（（解：（1①（2②（3运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607, -i 的共轭复数为 i 选 A . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估计总体.3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.4.设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点：正态分布密度曲线.5．设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A 【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a L 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12xy +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p <<【答案】B（1） （2） （3） 考点：几何概型.8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） A ．77 B ．49 C ．45 D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，则OA OB •=u u u r u u u r .【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，所以OA OB •=u u u r u u u r93||||)(222===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA .考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意，ο30=∠BAC ，ο105=∠ABC ，在ABC ∆中，由ο180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以ο45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得οο30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ， 在BCD Rt ∆中，因为ο30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD ==ο，所以6100=CD m.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+，222121222222NB MA NAMB+===-+正确结论的序号是①②③.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似.16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0ρθθ-=，曲线C的参数方程为1,1x tty tt⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t为参数) ，l 与C相交于A,B两点，则||AB=.【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t 得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+， 解得2λ=． 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷,含答案)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，607i的共轭复数为A．i B．i-C．1 D．1-2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石 D．1365石3．已知(1)nx+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．122B．112C．102D．924．设211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >第4题图9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．3010．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NAMA NBMB=； ②2NBMA NAMB-=；③NBMA NAMB+=．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）第13题图ABAPBC如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC =.16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于 点F ，连接,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC 的值． 20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 21．（本小题满分14分） 一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处第19题图铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e xf x x =+-的单调区间，并比较1(1)nn +与e 的大小； （Ⅱ）计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n nb b b a aa 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <.第21题图1 第21题图2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分） 11．912．2 13．14．（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③ 15．12 16．三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（11分）π5,2,6A ωϕ===-且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z .由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6. 18．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=++++++， ①2345113579212222222n n n T -=++++++. ②①-②可得 221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故nT 12362n n -+=-. 19．（12分） （解法1）（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =， 所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥，DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，. （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PDPB P =，所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有BD =第19题解答图2第19题解答图1 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 πtan tan3BD DPF PD =∠==, 解得λ 所以1DC BC λ==故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC=.（解法2）（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B Cλ，(,1,1)PB λ=-，点E是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，.（Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量； 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3， 则π1cos32||||BP DP BP DP λ⋅===⋅，解得λ. 所以12DC BC λ==故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC=.20．（12分）（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有 2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+， 当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大， 最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+， 当3, 6x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大， 第20题解答图1 第20题解答图2第20题解答图33311(1)10.30.973.p p =--=-=最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+， 当6,4x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大， 最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为21．（14分） （Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意， 2MD DN =，且||||1DN ON ==所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x yx y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，第21题解答图即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--.当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--； 当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQS ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.22．（14分）（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<.令1x n =，得111e n n +<，即1(1)e n n +<. ①（Ⅱ）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=.由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ②下面用数学归纳法证明②.（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立.（2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+.当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++.所以当1n k =+时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得 123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n na a a n =++++++ 12e e e n a a a <+++=e n S .即e n n T S <.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
（）
A． sgn[g(x)] sgn x
B． sgn[g(x)] sgn x
C． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
D． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 f (x) 是 R 上的增函数，令 f (x) x ，所以 g(x) (1 a)x ，因为 a 1 ，
x,
y
，记
p1 为事件“
x
y
1 2
”的概率，p2
为事件“ |
x
y
|
1 2
”
的概率，
p3
为事件“
xy
1 2
”的概率，则
（
A． p1 p2 p3
B． p2 p3 p1
【答案】B
） C． p3 p1 p2
D． p3 p2 p1
（1）
（2）
考点：几何概型.
（3）
8．将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a b) 同时增加 m (m 0) 个单位长
度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ，则（ ）
A．对任意的 a, b ， e1 e2
B．当 a b 时， e1 e2 ；当 a b 时， e1 e2
C．对任意的 a, b ， e1 e2
D．当 a b 时， e1 e2 ；当 a b 时， e1 e2
【答案】D
3
考点：1.双曲线的性质，2.离心率.
9．已知集合 A {(x, y) x2 y2 1, x, y Z}， B {(x, y) | x | 2 , | y | 2, x, y Z}，定义集合
A B {(x1 x2 , y1 y2 ) (x1, y1) A, (x2 , y2 ) B} ，则 A B 中元素的个数为（ ）
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查． （2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． （3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n nC C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 条件．故选A ．0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m > 个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭， 因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． （9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点）， 即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<；由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶 在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006 【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中， 因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③ 【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方， 所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =， 22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +， M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ， ()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力． （16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A ⎝⎭，B ⎛ ⎝⎭，由两点间的距离公式得AB = 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称， 令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． （19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作 EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ． （1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是 0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则π1cos 32||||BP DP BP DP λ⋅===⋅， 解得λ 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC = 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0),(3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0． 3 0．5 0．2 （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8． 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e xf x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
2015高考数学理科(湖北卷)含答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭．．复数．．为 A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A ．134石 B ．169石 C ．338石D ．1365石3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A ．122B ．112C ．102D ．924．设211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥56712”8 121212e C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．3010．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 第4题图A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知向量OA AB ⊥ ，||3OA = ，则OA OB ⋅=．121314 题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线， 且3BC PB =，则ABAC= . 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）CD第15题图APBC在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C相交于AB 两点，则||AB = .三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17182，19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底第19题图面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD-中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD CD⊥交PB于=，过棱PC的中点E，作EF PB点F，连接,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF⊥平面．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；20元的概率．21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；22（Ⅱ）计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()nn n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）17 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6. 18．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++ ， ①19.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角， 设1PD DC ==，BC λ=，有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则 πtantan 3BD DPF PD=∠===, 解得λ=.所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =（解法2）（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系..若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3， 则π1cos 32， 解得λ=. 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =20．（12分）（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．． 当6,4x y ==时，直线l ：61200y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=21．（14分）（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON == ，由原点O 到直线PQ 的距离为d =和||||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.22根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++= 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b bb b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++ 1212n b b b n <+++ 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++ =e n S .即e n n T S <.。
15年高考真题——理科数学(湖北卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 为虚数单位，607i=（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石3．已知()1nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122 （B ）112 （C ）102 （D ）924．设()211,X N μσ ，()222,Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ） （A ）()()21P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）()()21P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥5．设12,,,n a a a R ∈ ，3n ≥，若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：()()()22222221212312231n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．已知符号函数()()()10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x f ax =-，其中1a >，则（ ） （A ）()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦ （B ）()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦ （C ）()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ （D ）()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦7．在区间[]0,1上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤12xy ≤”的概率，则（ ）（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p <<8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加()0m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） （A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 9．设集合(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈，(){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） （A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）3010．设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数。
2015年高考理科数学湖北卷-答案
【解析】由 a1, a2,, an R, n 3，运用柯西不等式，可得：
(a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2
)
(a1a2
a2a3
an-1an
)2
，若
a1,
a2 ,,
an
成等比数列，即有
a2 a1
a3 a2
an an1
，则 (a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2 ) (a1a2
但当 t 5 时，无法找到实数 t 使其在区间[1,2) I [ 2,3) I [3 3, 3 4) I [4 4, 4 5) I [5 5, 5 6) 上，正整数 n 的最
大值 4. 【提示】由新定义可得 t 的范围，验证可得最大的正整数 n 为 4. 【考点】进行简单的演绎推理
第Ⅱ卷
二、填空题 （一）必考题 11.【答案】9
a2a3 an-1an )2 ，即由 p 推
得 q，但由 q 推不到 p，比如 a1 a2 a3 an 0 ，则 a1, a2,, an 不成等比数列，故 p 是 q 的充分不
必要条件.
【提示】运用柯西不等式，可得
(a12
a22
a2 n-1
)(a22
a32
an2 )
(a1a2
a2a3
an-1an
y
g
(
x)
的图象关于点
5π 12
,
0
成中心对称，
令 kπ π 5π ，解得 kπ π ， k Z .
2 12 12
23
由 0 可知，当 k 1 时，θ 取得最小值 π . 6
【提示】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 A 5 ， 2, ， π ，从而可补全数据，解得函数表达式为 6
2015年湖北高考理科数学真题及答案
绝密★启用前2015年湖北高考理科数学真题及答案本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭复数为 A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A ．134石 B ．169石 C ．338石D ．1365石3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A ．122 B ．112C ．102D ．924．设211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．3010．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6第4题图二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知向量OA AB ⊥ ，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线， 且3BC PB =，则ABAC= . 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为第13题图第14题图第15题图APBC(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平平．试判断四面体DBEF是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3， 求DCBC的值． 20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W12 15 18 P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；第19题图（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1()n n n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <.第21题图1第21题图2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）11．912．2 13．14．（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③ 15．1216．三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（11分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(26f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6. 18．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++ ， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++ . ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-. 19．（12分） （解法1）（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D = ，所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥.而PC BC C = ，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥，DE EF E = ，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，. （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥.又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PD PB P = ，所以DG PBD ⊥平面. 故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角， 设1PD DC ==，BC λ=，有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则πtantan 3BD DPF PD=∠===,解得λ=.所以1DC BC λ==第19题解答图2第19题解答图1故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =（解法2）（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=- ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,22E ，11(0,,22DE = ，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥，而DE EF E = ，所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅= , 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.（Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则π1cos 32， 解得λ=. 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =20．（12分）（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 1020010800 P0.3 0.50.2因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为第20题解答图1第20题解答图2第20题解答图33311(1)10.30.973.p p =--=-=21．（14分）（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意， 2MD DN = ，且||||1DN ON == ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=， 即所求的曲线C 的方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:(2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++. 由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得 22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--； 第21题解答图当2104k ≤<时，2224128()8(11414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.22．（14分）（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<. 令1x n =，得111e n n +<，即1(1e n n +<. ① （Ⅱ）11111(11121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测： 1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立.（2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k k k b b b k a a a =+ . 当1n k =+时，1111(1)(11k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211*********(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++ . 所以当1n k =+时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++= 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++ 111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[[1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)(()1211n b b b n n n n =-+-++-+++ 1212n b b b n <+++ 1212111(1(1(112n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++ =e n S .即e n n T S <.。
湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料#
2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A sgn[g（x）]=sgnxB sgn[g（x）]=﹣sgnxC sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）] 7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P18．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．3010．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．选修4-4：坐标系与参数方程16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．答案：1、解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．2、解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．3、解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．4、解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．5、解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．6、解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．7、解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．8、解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．9、解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素故选：C．10、解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4故选：B．11、解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．12、解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．13、解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．14、解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．15、解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．16、解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．17、解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18、解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．19、解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个矩形，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．20、（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：21、解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．22、（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x．当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n．即T n＜eS n．最新文件仅供参考已改成word文本。
【高考试题】2015年普通高考数学试题----湖北卷(数学理)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试·湖北卷(理科)23.1.(2015·湖北高考理科·T1)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.iB.-iC.1D.-1【解析】选A.因为i607=(i2)303·i=-i,-i的共轭复数为i,所以应选A.502.(2015·湖北高考理科·T2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石【解题指南】简单随机抽样,样本估计总体.【解析】选B.设这批米内夹谷x石,则由题意知,=,即x=×1534≈169.533.(2015·湖北高考理科·T3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29【解题指南】利用二项式系数的性质.二项式系数之和为2n.奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.【解析】选D.=,n=3+7=10,二项式系数之和为210.奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,所以奇数项的二项式系数和为29.564.(2015·湖北高考理科·T4)设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)【解题指南】P(Y≥μ1)的概率,表示为x=μ1右边曲线与横轴围成的面积.【解析】选C.由图可知μ1<μ2,0<σ1<σ2.25.(2015·湖北高考理科·T5)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(++…+)(++…+)=(a1a2+a2a3+…+a n-1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解题指南】命题成立需要证明,不成立只需要举反例即可.【解析】选A.证若p则q,若p:a1,a2,…,a n成等比数列,(++…+)(++…+)=(++…+)(q2+q2+…+q2)=(++…+)(++…+)q2=(++…+)2q2=(q+q+…+q)2=(a1a2+a2a3+…+a n-1a n)2,则q成立.p是q的充分条件.若q则p,举反例,若a1,a2,…,a n均为零,q成立,p不成立.所以p不是q的必要条件.46.(2015·湖北高考理科·T6)已知符号函数sgnx=f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]【解题指南】理解新概念和分段函数的表示,分类讨论.【解析】选B.f(x)的符号不确定,所以sgn[f(x)]的值也不确定.g(x)的符号可以讨论,排除C,D; 当x>0,a>1时,ax>x,f(x)-f(ax)<0,g(x)<0,sgn[g(x)]=-1,-sgnx=-1,sgnx=1;所以,sgn[g(x)]=-sgnx.当x=0时,ax=x,f(x)-f(ax)=0,g(x)=0,sgn[g(x)]=0,-sgnx=0,sgnx=0;所以,sgn[g(x)]=-sgnx.当x<0,a>1时,ax<x,f(x)-f(ax)>0,g(x)>0,sgn[g(x)]=1,-sgnx=1,sgnx=-1;所以,sgn[g(x)]=-sgnx.综上,x 属于R ,都有sgn[g(x)]= -sgnx.排除A,选B.547.(2015·湖北高考理科·T7)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≥”的概率,p 2为事件“|x-y|≤”的概率,p 3为事件“xy ≤”的概率,则 ( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1【解析】选B.由题意知,事件“x+y ≥”的概率为p 1=1-=;事件“|x-y|≤”的概率为p 2=1-=,事件“xy ≤”的概率为p 3=,其中,S 0=×1+112 12x dx=(1+ln2),S=1×1=1,由图知<S0<;所以,p2<p3<p1.458.(2015·湖北高考理科·T8)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2【解题指南】1.考虑与的大小关系;与e的关系.2.双曲线的简单几何性质.【解析】选D.不妨设双曲线C1的焦点在x轴上,即其方程为:-=1,则双曲线C2的方程为:-=1,所以e1==,e2==,当a>b时,-==>0,所以>,所以()2>()2,所以e2>e1;。
2015年湖北省高考数学试卷(理科)
2015年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y ≥t）5．（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P18．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．3010．（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．13．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．14．（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B （B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t 为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．2．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．29【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．4．（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y ≥t）【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．5．（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．6．（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．8．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求【解答】解：解法一：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．10．（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4故选：B．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）已知向量⊥，||=3，则•=9．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．12．（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为2．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．13．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．14．（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B （B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可．【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．【解答】（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且||=||=1，∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，即，且t（t﹣2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，代入x02+y02=1，得方程为．=，（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，可得S△OPQ将①代入②得S=||=8||，△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当k2＞时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），当0≤k2＜时，S△OPQ∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴S△OPQ的最小值为8，∴当k=0时，S△OPQ综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e x．取x=即可得到答案；（2）由b n=n（1+）n a n（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n．然后利用数学归纳法证明．（3）由c n的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及，利用放缩法证得T n＜eS n．【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x．当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n．即T n＜eS n．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．第31页（共31页）。
2015年高考理科数学湖北卷-答案
（Ⅱ）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线，利用直线平面的垂直判断出 ， ，根据平面角的定义得出 是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可.
【考点】简单曲线的极坐标方程，双曲线的参数方程
三、解答题
17.【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 ， ， ，数据补全如下表：
0
x
0
5
0
0
且函数表达式为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ，
因为 的对称中心为 ， ，
令 ，解得 ， ，
由于函数 的图象关于点 成中心对称，
令 ，解得 ， .
由底面ABCD为长方形，有 ，而 ，所以 平面PCD，
而 平面PDC，所以 .
又因为 ，点E是PC的中点，所以 ，
而 ，所以 平面PBC，
而 平面PBC，所以 .
又 ， ，所以 平面DEF.
由 平面PBC， 平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 ， ， ， .
【考点】随机抽样，样本估计总体的实际应用
3.【答案】D
【解析】已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得 ，可得 ， 的展开式中奇数项的二项式系数和为 .
【提示】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
4.【答案】C
【解析】正态分布密度曲线图象关于 对称，所以 ，从图中容易得到 .
2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【年，理1，5分】i 为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查． （2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（ ）（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．（3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式）（A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．以及计算能力．（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密 （A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）（A q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列，则公比()13nn a q n a -=≥且0n a ≠； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 （6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】【解析】依题意，22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） （A ）77 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．复的元素．（10）【2015年，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题） （11）【2015年，理11，5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，3OA =u u u r ，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（12）【2015年，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点， 所以函数()f x 由2个零点．（13）【2015年，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶 在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD CDBC ︒==，所以1006CD =m ．（14）【2015年，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =Q ，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M Q ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+， ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______． 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． （16）【2015年，理16，5分】（选修4-4O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 础的计算题．三、解答题：共6题，共75（17）【2015年，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2π3π2 2πxπ12 π3 7π125π613π12 sin()A x ωϕ+0 5 05-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律（18）【2015年，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ②由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． （19）【2015年，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥． 而PD PB P =I ，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=． 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-u u u r ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =u u u r ，于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =I ，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r ， 解得2λ=． 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．W 12 15 18 P0．30．50．2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个（1）求Z 的分布列和均值；解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0．3 0．5 0．2 因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．问题解决问题的能力．（21）【2015年，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN D 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y += （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++． 由原点O 到直线PQ 的距离为2||1m d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（（（解：（1①（2②（3运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
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2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A sgn[g（x）]=sgnxB sgn[g（x）]=﹣sgnxC sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P18．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．3010．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．选修4-4：坐标系与参数方程16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．答案：1、解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．2、解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．3、解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．4、解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．5、解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．6、解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．7、解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．8、解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．9、解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素故选：C．10、解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4故选：B．11、解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．12、解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．13、解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．14、解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．15、解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．16、解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．17、解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18、解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．19、解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个矩形，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．20、（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C （7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：21、解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．22、（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x．当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n．即T n＜eS n．。