2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
607
2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内
×
3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇
的展开式中奇数项的二项式系数和为：
4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，ς12），Y～N（μ2，ς22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）
5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：
2222222
成等比数列，即有==
6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）
，
，
7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，
P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）
，，
=
×=1=，
×+dx=+lnx|=﹣ln=+
8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时
=
∴﹣，
9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）
10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，2n
[，
二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=9．
⊥，得•=0•（
∵|
∴
12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数
为2．
2cos﹣
=2sinx﹣
13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．
h
=，
h=100
．
14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：
①=；②﹣=2；③+=2．
其中正确结论的序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）
，计算出、、的值即可．
，
）
）
）
﹣+1
∴==
同理可得=
∴=
﹣﹣（
+（
选修4-1：几何证明选讲
15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，
则=．
∴=
故答案为：．
选修4-4：坐标系与参数方程
16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），
l与C相交于A，B两点，则|AB|=．
，得，即
（
．
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）
2
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．
．从而可补全数据，解得函数表
﹣
）=k．令
，
．数据补全如下表：
2
﹣
））
=k x=
）的图象关于点（）成中心对称，令=
．
18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式
（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
，写出、
，由题意可得
，或
；
=
•••
∴+3+5+7+•
∴+++﹣
﹣
19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD
中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
，所以
，所以
FDB=
tan=tan DPF==，解得
==
时，=
=
，，，，）
=，=0
，所以=
=
所成二面角的大小为
=，
．所以所以=
时，=
20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：
Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
变形为：
21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
其方程为．
=
k
（，，）
|PQ|=
=|PQ|d=|m||x|m|||=|
=||=8|
时，
＜（
时，∴
1+
22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．
x=
1+变形求得，，由此推测
的定义、
，利用放缩法证得
，得，即．①
解：；
由此推测：
成立，即
，由归纳假设可得
．
21。