2015年湖北省高考数学试卷理科-高考

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15年高考真题——理科数学(湖北卷)

15年高考真题——理科数学(湖北卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(湖北卷)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.为虚数单位,( ) (A ) (B ) (C )1 (D )i 607i=i i -1-2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )(A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石3.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系()1nx +数和为( ) (A )(B )122112(C ) (D )102924.设,,这两个()211,X Nμσ:()222,Y N μσ:正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( ) (A )()()21P Y P Y μμ≥≥≥(B )()()21P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数,t ()()P X t P Y t ≤≥≤(D )对任意正数,t ()()P X t P Y t ≥≥≥5.设,,若:成等比数列;12,,,n a a a R ∈ 3n ≥p 12,,,n a a a :,则( )q ()()()22222221212312231n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ (A )是的充分条件,但不是的必要条件p q q (B )是的必要条件,但不是的充分条件p q q (C )是的充分必要条件p q (D )既不是的充分条件,也不是的必要条件p q q 6.已知符号函数,是上的增函数,()()()10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x R ,其中,则( ) (A )()()()g x f x f ax =-1a >()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦(B )()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦(C )(D )()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦7.在区间上随机取两个数,记1p 为事件“”的概率,2p 为事件[]0,1,x y 12x y +≥“”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( )1||2x y -≤12xy ≤(A )123p p p << (B )231p p p <<(C )312p p p <<(D )321p p p <<8.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加1e 1C a ()b a b ≠个单位长度,得到离心率为的双曲线,则( ) (A )对任意的,()0m m >2e 2C ,a b 12e e >(B )当时,;当时, (C )对任意的,a b >12e e >a b <12e e <,a b 12e e <(D )当时,;当时,12e e >a b >12e e <a b <9.设集合,(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈,定义集合(){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈,则中元素的个数为(()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈A B ⊕) (A )77 (B )49(C )45(D )3010.设,表示不超过x 的最大整数。

2015年高考(湖北卷)数学(理工类)试题参考答案

2015年高考(湖北卷)数学(理工类)试题参考答案

11.9
12.2
13.100 6
14.(Ⅰ) (x 1)2 ( y 2)2 2 ;(Ⅱ)①②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 17.(11 分)
15. 1 2
16. 2 5
(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A 5, 2, π . 数据补全如下表: 6
x
0
π

π

22
22
于是 PB DE 0 ,即 PB DE . 又已知 EF PB ,而 DE EF E ,所以 PB 平面DEF .
因 PC (0, 1, 1) , DE PC 0 , 则 DE PC , 所以 DE 平面PBC .
由 DE 平面 PBC , PB 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形,
而 PC BC C ,所以 DE 平面 PBC . 而 PB 平面PBC ,所以 PB DE . 又 PB EF , DE EF E ,所以 PB 平面 DEF . 由 DE 平面 PBC , PB 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB,DEF,EFB,DFB . (Ⅱ)如图 1,在面 PBC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G ,则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线. 由(Ⅰ)知, PB 平面DEF ,所以 PB DG . 又因为 PD 底面 ABCD ,所以 PD DG . 而 PD PB P ,所以 DG 平面PBD . 故 BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角,
令 2x 2 π kπ ,解得 x kπ π , k Z .
6
2 12
由于函数 y g(x) 的图象关于点 (5π , 0) 成中心对称,令 kπ π 5π ,

2015年湖北卷(理科数学)

2015年湖北卷(理科数学)

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖北卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,607i 的共轭复数为A .iB .i -C .1D .1-2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 A .134石 B .169石 C .338石 D .1365石3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数 和为A .122B .112C .102D .924.设X :211(,)N μσ,Y :222(,)N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥5.设1a ,2a ,L ,n a R ∈,3n ≥.若p :1a ,2a ,L ,n a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.已知符号函数10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,()f x 是R 上的增函数,()()()g x f x f ax =-(1a >),则A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-7.在区间[0,1]上随机取两个数x ,y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“12x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则A .123p p p <<B .231p p p <<C .312p p p <<D .321p p p << 8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长b (a b ≠)同时增加m (0m >)个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则A .对任意的a ,b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的a ,b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 9.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y Z =+≤∈,{(,)2,2,,}A x y x y x y Z =≤≤∈,定义集合12121221{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 A .77 B .49 C .45 D .3010.设x R ∈,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立,则正整数n 的最大值是A .3B .4C .5D .6 二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分. (一)必考题(11—14题)11.已知向量OA OB ⊥u u u r u u u r ,3OA =u u u r,则OA OB ⋅=u u u r u u u r . 12.函数2()4cos cos()2sin ln(1)22x f x x x x π=---+的零点个数为 . 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75o 的方向上,仰角为30o ,则此山的高度CD = m .14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ; (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=;③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号)(二)选考题:请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分. 15.(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC= .APBCAB16.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l 与C相交于A ,B 两点,则AB = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+,0ω>,2πϕ<,在某一个周期内的(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0θ>)个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5(,0)12π,求θ的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)当1d >时,记n n n ac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接DE ,DF ,BD ,BE .(Ⅰ)证明:PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为3π,求DC BC 的值.20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ,B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产A ,B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W 单位:吨)是一个随该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求Z 的分布列和均值;(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1l :20x y -=和2l :20x y +=分别交于P ,Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:OPQ ∆的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)n n n b n a n=+(n N *∈),e 为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数()1x f x x e =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小; (Ⅱ)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212n nb b b a a a L L 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令112()nn n c a a a =L ,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:n n T eS <.。

2015年高考理科数学湖北卷

2015年高考理科数学湖北卷

B. sgn[g(x)] sgn x
C. sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
D. sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
1
7 . 在 区 间 [0,
1]
上随机取两个数
x, y
,记
p1
为事件“
x
y≥ 2
”的概率,
p2
为事件
1
1
“ | x y |≤ ”的概率, p3 为事件“ xy≤ ”的概率,则
2
2
()
A. p1 p2 p3
B. p2 p3 p1
C. p3 p1 p2
D. p3 p2 p1
8.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a b) 同时增加 m (m 0) 个单位
长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则
()
A.对任意的 a, b , e1 e2
绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 此
分钟.
注意事项:
1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置.用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 卷
黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑,再在

2015年湖北省高考数学试卷(理科)

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2015年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•湖北)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.﹣i C.1 D.﹣12.(5分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(5分)(2015•湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.(5分)(2015•湖北)设X~N(μ1,ς12),Y~N(μ2,ς22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤ς2)≤P(X≤ς1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)5.(5分)(2015•湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]7.(5分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P18.(5分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.3010.(5分)(2015•湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)(2015•湖北)已知向量⊥,||=3,则•=.12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为.13.(5分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.14.(5分)(2015•湖北)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)选修4-1:几何证明选讲15.(5分)(2015•湖北)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.选修4-4:坐标系与参数方程16.(2015•湖北)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.18.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD 中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.20.(12分)(2015•湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(14分)(2015•湖北)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.2015年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•湖北)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.﹣i C.1 D.﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.【解答】解:i607=i604+3=i3=﹣i,它的共轭复数为:i.故选:A.【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查.2.(5分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论.【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,故选:B.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.3.(5分)(2015•湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29【分析】直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.【解答】解:已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得,可得n=3+7=10.(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为:=29.故选:D.【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用以及计算能力.4.(5分)(2015•湖北)设X~N(μ1,ς12),Y~N(μ2,ς22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤ς2)≤P(X≤ς1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)【分析】直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可.【解答】解:正态分布密度曲线图象关于x=μ对称,所以μ1<μ2,从图中容易得到P(X≤t)≥P(Y≤t).故选:C.【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差ς这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.5.(5分)(2015•湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣2,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到.1a n)【解答】解:由a1,a2,…,a n∈R,n≥3.运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,若a1,a2,…,a n成等比数列,即有==…=,则(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,即由p推得q,但由q推不到p,比如a1=a2=a3=…=a n=0,则a1,a2,…,a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查等比数列的定义,注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]【分析】直接利用特殊法,设出函数f(x),以及a的值,判断选项即可.【解答】解:由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),不妨令f(x)=x,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以A不正确,B正确,sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;对于D,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[f(x)]=sgn(x+1)=;sgn[g(x)]=sgn(﹣x)=,﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=;所以D不正确;故选:B.【点评】本题考查函数表达式的比较,选取特殊值法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.7.(5分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P1【分析】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.【解答】解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分):P1:D(0,),F(,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=,S2=1×1﹣2×=1﹣=,S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2,∴S2<S3<S1,即P2<P3<P1,故选:B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.8.(5分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.【解答】解:由题意,双曲线C1:c2=a2+b2,e1=;双曲线C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2=,∴=﹣=,∴当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2,故选:D.【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.9.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30【分析】由题意可得,A={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)},根据定义可求【解答】解:解法一:∵A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)}∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2),(﹣2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣3),(2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣2)(﹣3,2)(﹣3,1),(1,﹣3),(﹣3,﹣1),(﹣3,0),(﹣3,﹣2)}共45个元素;解法二:因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5个元素,即图中圆中的整点,B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},中有5×5=25个元素,即图中正方形ABCD 中的整点,A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点),即7×7﹣4=45个.故选:C.【点评】本题以新定义为载体,主要考查了集合的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.10.(5分)(2015•湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】由新定义可得t的范围,验证可得最大的正整数n为4.【解答】解:若[t]=1,则t∈[1,2),若[t2]=2,则t∈[,)(因为题目需要同时成立,则负区间舍去),若[t3]=3,则t∈[,),若[t4]=4,则t∈[,),若[t5]=5,则t∈[,),其中≈1.732,≈1.587,≈1.495,≈1.431<1.495,通过上述可以发现,当t=4时,可以找到实数t使其在区间[1,2)∩[,)∩[,)∩[,)上,但当t=5时,无法找到实数t使其在区间[1,2)∩[,)∩[,)∩[,)∩[,)上,∴正整数n的最大值4故选:B.【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)(2015•湖北)已知向量⊥,||=3,则•=9.【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【解答】解:由⊥,得•=0,即•()=0,∵||=3,∴.故答案为:9.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为2.【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域,画出函数的图象,求出交点个数即可.【解答】解:函数f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}.f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|=2sinx﹣|ln(x+1)|=sin2x﹣|ln(x+1)|,分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,由函数的图象可知,交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为:2.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.13.(5分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=100m.【分析】设此山高h(m),在△BCD中,利用仰角的正切表示出BC,进而在△ABC中利用正弦定理求得h.【解答】解:设此山高h(m),则BC=h,在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600.根据正弦定理得=,解得h=100(m)故答案为:100.【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.14.(5分)(2015•湖北)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是①②③.(写出所有正确结论的序号)【分析】(1)取AB的中点E,通过圆C与x轴相切于点T,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系,计算即可;(2)设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),计算出、、的值即可.【解答】解:(1)∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴圆心的横坐标x=1,取AB的中点E,∵|AB|=2,∴|BE|=1,则|BC|=,即圆的半径r=|BC|=,∴圆心C(1,),则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2,故答案为:(x﹣1)2+(y﹣)2=2.(2)∵圆心C(1,),∴E(0,),又∵|AB|=2,且E为AB中点,∴A(0,﹣1),B(0,+1),∵M、N在圆O:x2+y2=1上,∴可设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),∴|NA|=====,|NB|====,∴===,同理可得=,∴=,①成立,﹣=﹣()=2,②正确.+=+()=,③正确.故答案为:①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.选修4-1:几何证明选讲15.(5分)(2015•湖北)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.【分析】利用切割线定理推出PA=2PB,利用相似三角形求出比值即可.【解答】解:由切割线定理可知:PA2=PB•PC,又BC=3PB,可得PA=2PB,在△PAB与△PAC中,∠P=∠P,∠PAB=∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得△PAB∽△PAC,∴==.故答案为:.【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力.选修4-4:坐标系与参数方程16.(2015•湖北)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.【分析】化极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式得答案.【解答】解:由ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,得y﹣3x=0,由C的参数方程为(t为参数),两式平方作差得:x2﹣y2=﹣4.联立,得,即.∴A(),B(),∴|AB|=.故答案为:.【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.【分析】(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.从而可补全数据,解得函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可得解.【解答】解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.【点评】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.18.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.【分析】(1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;(2)当d>1时,由(1)知c n=,写出T n、T n的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.【解答】解:(1)设a1=a,由题意可得,解得,或,当时,a n=2n﹣1,b n=2n﹣1;当时,a n=(2n+79),b n=9•;(2)当d>1时,由(1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1,∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,∴T n=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,∴T n=6﹣.【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(12分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD 中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.【分析】解法1)(1)直线与直线,直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF,即可判断DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,确定直角.(2)根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF,DG⊥DB,根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可.2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【解答】解法1)(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如图1,在面BPC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF,DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DGF=∠FDB=,则tan=tan∠DPF===,解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.(解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ1,﹣1),点E是PC的中点,所以E(0,,),=(0,,),于是=0,即PB⊥DE.又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.因=(0,1,﹣1),=0,则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,则运用向量的数量积求解得出cos==,解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.20.(12分)(2015•湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.【分析】(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,列出可行域,目标函数,通过当W=12时,当W=15时,当W=18时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z的分布列.求出期望即可.(2)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可.【解答】(12分)解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为,当x=2.4,y=4.8时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)..将z=1000x+1200y变形为,当x=3,y=6时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为:,当x=6,y=4时,直线l:y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.(2)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【分析】(1)根据条件求出a,b即可求椭圆C的方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解:(1)设D(t,0),|t|≤2,N(x0,y0),M(x,y),由题意得=2,且||=||=1,∴(t﹣x,﹣y)=2(x0﹣t,y0),且,即,且t(t﹣2x0)=0,由于当点D不动时,点N也不动,∴t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=,y0=﹣,代入x02+y02=1,得方程为.(2)①当直线l的斜率k不存在时,直线l为:x=4或x=﹣4,都有S△OPQ=,②直线l的斜率k存在时,直线l为:y=kx+m,(k),由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,由,可得P(,),同理得Q(,),原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|,可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②,将①代入②得S△OPQ=||=8||,当k2>时,S△OPQ=8()=8(1+)>8,当0≤k2<时,S△OPQ=8||=﹣8()=8(﹣1+),∵0≤k2<时,∴0<1﹣4k2≤1,≥2,∴S△OPQ=8(﹣1+)≥8,当且仅当k=0时取等号,∴当k=0时,S△OPQ的最小值为8,综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,三角形OPQ的面积存在最小值为8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.22.(14分)(2015•湖北)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.【分析】(1)求出f(x)的定义域,利用导数求其最大值,得到1+x<e x.取x=即可得到答案;(2)由b n=n(1+)n a n(n∈N+),变形求得,,,由此推测=(n+1)n.然后利用数学归纳法证明.(3)由c n的定义、=(n+1)n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及,利用放缩法证得T n<eS n.【解答】(1)解:f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1﹣e x.当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令,得,即.①(2)解:;=;.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(1)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(2)假设当n=k时,②成立,即.当n=k+1时,,由归纳假设可得=.∴当n=k+1时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.(3)证明:由c n的定义,②,算术﹣几何平均不等式,b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====<ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n<eS n.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;刘长柏;双曲线;maths;吕静;lincy;sxs123;cst;w3239003;sdpyqzh(排名不分先后)菁优网2016年8月29日。

2015年湖北省高考数学试卷(理科).doc

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2015年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.﹣i C.1 D.﹣12.(5分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.(5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y ≥t)5.(5分)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(5分)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]7.(5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P18.(5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.3010.(5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)已知向量⊥,||=3,则•=.12.(5分)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为.13.(5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.14.(5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B (B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)选修4-1:几何证明选讲15.(5分)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.选修4-4:坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t 为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)05﹣50(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g (x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.18.(12分)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.20.(12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(14分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.2015年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.﹣i C.1 D.﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.【解答】解:i607=i604+3=i3=﹣i,它的共轭复数为:i.故选:A.【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查.2.(5分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论.【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,故选:B.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.3.(5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29【分析】直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.【解答】解:已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得,可得n=3+7=10.(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为:=29.故选:D.【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用以及计算能力.4.(5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y ≥t)【分析】直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可.【解答】解:正态分布密度曲线图象关于x=μ对称,所以μ1<μ2,从图中容易得到P(X≤t)≥P(Y≤t).故选:C.【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.5.(5分)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到.【解答】解:由a1,a2,…,a n∈R,n≥3.运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,若a1,a2,…,a n成等比数列,即有==…=,则(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,即由p推得q,但由q推不到p,比如a1=a2=a3=…=a n=0,则a1,a2,…,a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查等比数列的定义,注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.6.(5分)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]【分析】直接利用特殊法,设出函数f(x),以及a的值,判断选项即可.【解答】解:由于本题是选择题,可以采用特殊法,符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),不妨令f(x)=x,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以A不正确,B正确,sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;对于D,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[f(x)]=sgn(x+1)=;sgn[g(x)]=sgn(﹣x)=,﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=;所以D不正确;故选:B.【点评】本题考查函数表达式的比较,选取特殊值法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.7.(5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P1【分析】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.【解答】解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分):P1:D(0,),F(,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=,S2=1×1﹣2×=1﹣=,S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2,∴S2<S3<S1,即P2<P3<P1,故选:B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.8.(5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.【解答】解:由题意,双曲线C1:c2=a2+b2,e1=;双曲线C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2=,∴=﹣=,∴当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2,故选:B.【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.9.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30【分析】由题意可得,A={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)},根据定义可求【解答】解:解法一:∵A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)}∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2),(﹣2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣3),(2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣2)(﹣3,2)(﹣3,1),(1,﹣3),(﹣3,﹣1),(﹣3,0),(﹣3,﹣2)}共45个元素;解法二:因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5个元素,即图中圆中的整点,B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},中有5×5=25个元素,即图中正方形ABCD中的整点,A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点),即7×7﹣4=45个.故选:C.【点评】本题以新定义为载体,主要考查了集合的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.10.(5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】由新定义可得t的范围,验证可得最大的正整数n为4.【解答】解:若[t]=1,则t∈[1,2),若[t2]=2,则t∈[,)(因为题目需要同时成立,则负区间舍去),若[t3]=3,则t∈[,),若[t4]=4,则t∈[,),若[t5]=5,则t∈[,),其中≈1.732,≈1.587,≈1.495,≈1.431<1.495,通过上述可以发现,当t=4时,可以找到实数t使其在区间[1,2)∩[,)∩[,)∩[,)上,但当t=5时,无法找到实数t使其在区间[1,2)∩[,)∩[,)∩[,)∩[,)上,∴正整数n的最大值4故选:B.【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)已知向量⊥,||=3,则•=9.【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【解答】解:由⊥,得•=0,即•()=0,∵||=3,∴.故答案为:9.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.12.(5分)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为2.【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域,画出函数的图象,求出交点个数即可.【解答】解:函数f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}.f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|=2sinx﹣|ln(x+1)|=sin2x﹣|ln(x+1)|,分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,由函数的图象可知,交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为:2.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.13.(5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=100m.【分析】设此山高h(m),在△BCD中,利用仰角的正切表示出BC,进而在△ABC中利用正弦定理求得h.【解答】解:设此山高h(m),则BC=h,在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600.根据正弦定理得=,解得h=100(m)故答案为:100.【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.14.(5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B (B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是①②③.(写出所有正确结论的序号)【分析】(1)取AB的中点E,通过圆C与x轴相切于点T,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系,计算即可;(2)设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),计算出、、的值即可.【解答】解:(1)∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴圆心的横坐标x=1,取AB的中点E,∵|AB|=2,∴|BE|=1,则|BC|=,即圆的半径r=|BC|=,∴圆心C(1,),则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2,故答案为:(x﹣1)2+(y﹣)2=2.(2)∵圆心C(1,),∴E(0,),又∵|AB|=2,且E为AB中点,∴A(0,﹣1),B(0,+1),∵M、N在圆O:x2+y2=1上,∴可设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),∴|NA|=====,|NB|====,∴===,同理可得=,∴=,①成立,﹣=﹣()=2,②正确.+=+()=,③正确.故答案为:①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.选修4-1:几何证明选讲15.(5分)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.【分析】利用切割线定理推出PA=2PB,利用相似三角形求出比值即可.【解答】解:由切割线定理可知:PA2=PB•PC,又BC=3PB,可得PA=2PB,在△PAB与△PAC中,∠P=∠P,∠PAB=∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得△PAB∽△PAC,∴==.故答案为:.【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力.选修4-4:坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t 为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.【分析】化极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式得答案.【解答】解:由ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,得y﹣3x=0,由C的参数方程为(t为参数),两式平方作差得:x2﹣y2=﹣4.联立,得,即.∴A(),B(),∴|AB|=.故答案为:.【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)05﹣50(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g (x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.【分析】(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.从而可补全数据,解得函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可得解.【解答】解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)050﹣50且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.【点评】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.18.(12分)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.【分析】(1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;(2)当d>1时,由(1)知c n=,写出T n、T n的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.【解答】解:(1)设a1=a,由题意可得,解得,或,当时,a n=2n﹣1,b n=2n﹣1;当时,a n=(2n+79),b n=9•;(2)当d>1时,由(1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1,∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,∴T n=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,∴T n=6﹣.【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.【分析】解法1)(1)直线与直线,直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF,即可判断DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,确定直角.(2)根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF,DG⊥DB,根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可.2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【解答】解法1)(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如图1,在面BPC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF,DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DPB=∠FDB=,则tan=tan∠DPF===,解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.(解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ1,﹣1),点E是PC的中点,所以E(0,,),=(0,,),于是=0,即PB⊥DE.又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.因=(0,1,﹣1),=0,则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,则运用向量的数量积求解得出cos==,解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.20.(12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.【分析】(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,列出可行域,目标函数,通过当W=12时,当W=15时,当W=18时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z的分布列.求出期望即可.(2)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可.【解答】(12分)解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为,当x=2.4,y=4.8时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)..将z=1000x+1200y变形为,当x=3,y=6时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为:,当x=6,y=4时,直线l:y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为:Z81601020010800P0.30.50.2因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708(2)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【分析】(1)根据条件求出a,b即可求椭圆C的方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解:(1)设D(t,0),|t|≤2,N(x0,y0),M(x,y),由题意得=2,且||=||=1,∴(t﹣x,﹣y)=2(x0﹣t,y0),且,即,且t(t﹣2x0)=0,由于当点D不动时,点N也不动,∴t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=,y0=﹣,代入x02+y02=1,得方程为.=,(2)①当直线l的斜率k不存在时,直线l为:x=4或x=﹣4,都有S△OPQ②直线l的斜率k存在时,直线l为:y=kx+m,(k),由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,由,可得P(,),同理得Q(,),原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|,=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②,可得S△OPQ将①代入②得S=||=8||,△OPQ=8()=8(1+)>8,当k2>时,S△OPQ=8||=﹣8()=8(﹣1+),当0≤k2<时,S△OPQ∵0≤k2<时,∴0<1﹣4k2≤1,≥2,∴S=8(﹣1+)≥8,当且仅当k=0时取等号,△OPQ的最小值为8,∴当k=0时,S△OPQ综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,三角形OPQ的面积存在最小值为8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.22.(14分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.【分析】(1)求出f(x)的定义域,利用导数求其最大值,得到1+x<e x.取x=即可得到答案;(2)由b n=n(1+)n a n(n∈N+),变形求得,,,由此推测=(n+1)n.然后利用数学归纳法证明.(3)由c n的定义、=(n+1)n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及,利用放缩法证得T n<eS n.【解答】(1)解:f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1﹣e x.当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令,得,即.①(2)解:;=;.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(1)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(2)假设当n=k时,②成立,即.当n=k+1时,,由归纳假设可得=.∴当n=k+1时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.(3)证明:由c n的定义,②,算术﹣几何平均不等式,b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====<ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n<eS n.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法证明数列不等式,是压轴题.。

2015年高考理科数学湖北卷(含详细答案)

2015年高考理科数学湖北卷(含详细答案)

数学试卷 第1页(共51页)数学试卷 第2页(共51页)数学试卷 第3页(共51页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i 的共轭复数为( )A .iB .i -C .1D .1-2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A .134石B .169石C .338石D .1 365石3.已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A .122 B .112C .102 D .924.设211(,)X N μσ~,222(,)Y N μσ~,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ( )A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :222121()n a a a -+++22(a +222312231)()n n n a a a a a a a a -++=+++,则( )A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( )A .123p p p <<B .231p p p <<C .312p p p <<D .321p p p <<8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )A .对任意的,a b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >9.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤,{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 ( ) A .77B .49C .45D .30 10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立,则正整数n 的最大值是( )A .3B .4C .5D .6 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. (一)必考题(11~14题)11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB =___________. 12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22xf x x x x =---+的零点个数为___________. 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =___________m .14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准方程为___________;(2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于M ,N 两点,下列三个结论: ①||||||||NA MA NB NB =; ②||||2||||NB MA NA MB -=;③||||||||NB MA NA MB += 其中正确结论的序号是___________(写出所有正确结论的序号). -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共51页)数学试卷 第5页(共51页)数学试卷 第6页(共51页)(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,如果全选,则按第15题作答结果记分) 15.(选修4—1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=___________. 16.(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1,x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB =___________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)当1d >时,记nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作E F P B ⊥交PB 于点F ,连接,,,DE DF BD BE . (Ⅰ)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DC BC的值.20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求Z 的分布列和均值;(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,MN 3=.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,*1(1)()n n n b na n n=+∈N ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n +与e 的大小; (Ⅱ)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)3 / 17数学试卷第10页(共51页)数学试卷第11页(共51页)数学试卷第12页(共51页)即77445⨯-=个.5 / 17数学试卷 第16页(共51页) 数学试卷 第17页(共51页)数学试卷 第18页(共51页)334554,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上,334554,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上,∴正整数n 的最的范围,验证可得最大的正整数n 为4.∠,∠,45BCACBA30,105=,解得h30sin457 / 17数学试卷 第22页(共51页) 数学试卷 第23页(共51页)数学试卷 第24页(共51页)22AC PA PB9 / 17数学试卷第28页(共51页)数学试卷第29页(共51页)数学试卷第30页(共51页)PD CD D=,所以⊥,DE PC11 / 17数学试卷 第34页(共51页) 数学试卷 第35页(共51页)数学试卷 第36页(共51页)32BC13 / 17数学试卷 第40页(共51页) 数学试卷 第41页(共51页)数学试卷 第42页(共51页)因此,.1641直线15 / 17数学试卷 第46页(共51页) 数学试卷 第47页(共51页)数学试卷 第48页(共51页)20k ≤<OPQS ∴=△17 / 17111131211212312()()()()nn n c a a a a a a a a a ++=++++113()()nb b b b b b b b bb b b b ++++L 1211112nn b b b b n n n⎛⎫++-<+++⎪+⎝⎭ 1n22(nnb n a =+22(n nb n a =+。

2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•湖北)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.﹣i C.1D.﹣12.(5分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(5分)(2015•湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.(5分)(2015•湖北)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)5.(5分)(2015•湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A sgn[g(x)]=sgnxB sgn[g(x)]=﹣sgnxC sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]7.(5分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P18.(5分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.3010.(5分)(2015•湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.6二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)(2015•湖北)已知向量⊥,||=3,则•=.12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为.13.(5分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.14.(5分)(2015•湖北)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)选修4-1:几何证明选讲15.(5分)(2015•湖北)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.选修4-4:坐标系与参数方程16.(2015•湖北)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ)0 5 ﹣5 0(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.18.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD 中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.20.(12分)(2015•湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(14分)(2015•湖北)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.答案:1、解:i607=i604+3=i3=﹣i,它的共轭复数为:i.故选:A.2、解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,故选:B.3、解:已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得,可得n=3+7=10.(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为:=29.故选:D.4、解:正态分布密度曲线图象关于x=μ对称,所以μ1<μ2,从图中容易得到P(X≤t)≥P(Y≤t).故选:C.5、解:由a1,a2,…,a n∈R,n≥3.运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,若a1,a2,…,a n成等比数列,即有==…=,则(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,即由p推得q,但由q推不到p,比如a1=a2=a3=…=a n=0,则a1,a2,…,a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选:A.6、解:由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),不妨令f(x)=x,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以A不正确,B正确,sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;对于D,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x﹣1,sgn[f(x)]=sgn(x+1)=;sgn[g(x)]=sgn(﹣x﹣1)=,﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=;所以D不正确;故选:B.7、解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分):P1:D(0,),F(,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=,S2=1×1﹣2×=1﹣=,S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2,∴S2<S3<S1,即P2<P3<P1,故选:B.8、解:由题意,双曲线C1:c2=a2+b2,e1=;双曲线C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2=,∴=﹣=,∴当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2,故选:D.9、解:∵A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)}∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2),(﹣2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣3),(2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣2)(﹣3,2)(﹣3,1),(1,﹣3),(﹣3,﹣1),(﹣3,0),(﹣3,﹣2)}共45个元素故选:C.10、解:∵[t]=1,∴t∈[1,2),又∵[t2]=2,∴t2∈[2,3),∴t∈[,),又t2∈[2,3),∴t4∈[4,9),∴[t4]=4,∴正整数n的最大值4故选:B.11、解:由⊥,得•=0,即•()=0,∵||=3,∴.故答案为:9.12、解:函数f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}.f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|=2sinx﹣|ln(x+1)|=sin2x﹣|ln(x+1)|,分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,由函数的图象可知,交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为:2.13、解:设此山高h(m),则BC=h,在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600.根据正弦定理得=,解得h=100(m)故答案为:100.14、解:(1)∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴圆心的横坐标x=1,取AB的中点E,∵|AB|=2,∴|BE|=1,则|BC|=,即圆的半径r=|BC|=,∴圆心C(1,),则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2,故答案为:(x﹣1)2+(y﹣)2=2.(2)∵圆心C(1,),∴E(0,),又∵|AB|=2,且E为AB中点,∴A(0,﹣1),B(0,+1),∵M、N在圆O:x2+y2=1上,∴可设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),∴|NA|=====,|NB|====,∴===,同理可得=,∴=,①成立,﹣=﹣()=2,②正确.+=+()=,③正确.故答案为:①②③.15、解:由切割线定理可知:PA2=PB•PC,又BC=3PB,可得PA=2PB,在△PAB与△PAC中,∠P=∠P,∠PAB=∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得△PAB∽△PAC,∴==.故答案为:.16、解:由ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,得y﹣3x=0,由C的参数方程为(t为参数),两式平方作差得:x2﹣y2=﹣4.联立,得,即.∴A(),B(),∴|AB|=.故答案为:.17、解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ)0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.18、解:(1)设a1=a,由题意可得,解得,或,当时,a n=2n﹣1,b n=2n﹣1;当时,a n=(2n+79),b n=9•;(2)当d>1时,由(1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1,∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,∴T n=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,∴T n=6﹣.19、解法1)(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面ABCD.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如图1,在面BPC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF,DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DGF=∠FDB=,则tan=tan∠DPF===,解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.(解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ1,﹣1),点E是PC的中点,所以E(0,,),=(0,,),于是=0,即PB⊥DE.又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.因=(0,1,﹣1),=0,则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个矩形,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,则运用向量的数量积求解得出cos==,解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.20、(12分)解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为,当x=2.4,y=4.8时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C (7.5,0)..将z=1000x+1200y变形为,当x=3,y=6时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为:,当x=6,y=4时,直线l:y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为:Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708(2)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:21、解:(1)∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立,同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.∴椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为.(2)①当直线l的斜率k不存在时,直线l为:x=4或x=﹣4,都有S△OPQ=,②直线l的斜率k存在时,直线l为:y=kx+m,(k),由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,由,可得P(,),同理得Q(,),原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|,可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②,将①代入②得S△OPQ=||=8||,当k2>时,S△OPQ=8()=8(1+)>8,当0≤k2<时,S△OPQ=8||=﹣8()=8(﹣1+),∵0≤k2<时,∴0<1﹣4k2≤1,≥2,∴S△OPQ=8(﹣1+)≥8,当且仅当k=0时取等号,∴当k=0时,S△OPQ的最小值为8,综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,三角形OPQ的面积存在最小值为8.22、(1)解:f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1﹣e x.当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令,得,即.①(2)解:;=;.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(1)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(2)假设当n=k时,②成立,即.当n=k+1时,,由归纳假设可得=.∴当n=k+1时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.(3)证明:由c n的定义,②,算术﹣几何平均不等式,b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====<ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n<eS n.。

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2015年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.﹣i C.1 D.﹣12.(5分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石3.(5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.(5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y ≥t)5.(5分)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(5分)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]7.(5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P18.(5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.3010.(5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)已知向量⊥,||=3,则•=.12.(5分)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为.13.(5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.14.(5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B (B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)选修4-1:几何证明选讲15.(5分)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.选修4-4:坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t 为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)05﹣50(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g (x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.18.(12分)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.20.(12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(14分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.2015年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.﹣i C.1 D.﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.【解答】解:i607=i604+3=i3=﹣i,它的共轭复数为:i.故选:A.【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查.2.(5分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论.【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,故选:B.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.3.(5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29【分析】直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.【解答】解:已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得,可得n=3+7=10.(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为:=29.故选:D.【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用以及计算能力.4.(5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y ≥t)【分析】直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可.【解答】解:正态分布密度曲线图象关于x=μ对称,所以μ1<μ2,从图中容易得到P(X≤t)≥P(Y≤t).故选:C.【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.5.(5分)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到.【解答】解:由a1,a2,…,a n∈R,n≥3.运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,若a1,a2,…,a n成等比数列,即有==…=,则(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,即由p推得q,但由q推不到p,比如a1=a2=a3=…=a n=0,则a1,a2,…,a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查等比数列的定义,注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.6.(5分)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]【分析】直接利用特殊法,设出函数f(x),以及a的值,判断选项即可.【解答】解:由于本题是选择题,可以采用特殊法,符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),不妨令f(x)=x,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以A不正确,B正确,sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;对于D,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[f(x)]=sgn(x+1)=;sgn[g(x)]=sgn(﹣x)=,﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=;所以D不正确;故选:B.【点评】本题考查函数表达式的比较,选取特殊值法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.7.(5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P1【分析】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.【解答】解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分):P1:D(0,),F(,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=,S2=1×1﹣2×=1﹣=,S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2,∴S2<S3<S1,即P2<P3<P1,故选:B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.8.(5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.【解答】解:由题意,双曲线C1:c2=a2+b2,e1=;双曲线C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2=,∴=﹣=,∴当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2,故选:B.【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.9.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30【分析】由题意可得,A={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)},根据定义可求【解答】解:解法一:∵A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)}∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2),(﹣2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣3),(2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣2)(﹣3,2)(﹣3,1),(1,﹣3),(﹣3,﹣1),(﹣3,0),(﹣3,﹣2)}共45个元素;解法二:因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5个元素,即图中圆中的整点,B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},中有5×5=25个元素,即图中正方形ABCD中的整点,A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点),即7×7﹣4=45个.故选:C.【点评】本题以新定义为载体,主要考查了集合的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.10.(5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】由新定义可得t的范围,验证可得最大的正整数n为4.【解答】解:若[t]=1,则t∈[1,2),若[t2]=2,则t∈[,)(因为题目需要同时成立,则负区间舍去),若[t3]=3,则t∈[,),若[t4]=4,则t∈[,),若[t5]=5,则t∈[,),其中≈1.732,≈1.587,≈1.495,≈1.431<1.495,通过上述可以发现,当t=4时,可以找到实数t使其在区间[1,2)∩[,)∩[,)∩[,)上,但当t=5时,无法找到实数t使其在区间[1,2)∩[,)∩[,)∩[,)∩[,)上,∴正整数n的最大值4故选:B.【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)已知向量⊥,||=3,则•=9.【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【解答】解:由⊥,得•=0,即•()=0,∵||=3,∴.故答案为:9.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.12.(5分)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为2.【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域,画出函数的图象,求出交点个数即可.【解答】解:函数f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}.f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|=2sinx﹣|ln(x+1)|=sin2x﹣|ln(x+1)|,分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,由函数的图象可知,交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为:2.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.13.(5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=100m.【分析】设此山高h(m),在△BCD中,利用仰角的正切表示出BC,进而在△ABC中利用正弦定理求得h.【解答】解:设此山高h(m),则BC=h,在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600.根据正弦定理得=,解得h=100(m)故答案为:100.【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.14.(5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B (B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是①②③.(写出所有正确结论的序号)【分析】(1)取AB的中点E,通过圆C与x轴相切于点T,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系,计算即可;(2)设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),计算出、、的值即可.【解答】解:(1)∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴圆心的横坐标x=1,取AB的中点E,∵|AB|=2,∴|BE|=1,则|BC|=,即圆的半径r=|BC|=,∴圆心C(1,),则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2,故答案为:(x﹣1)2+(y﹣)2=2.(2)∵圆心C(1,),∴E(0,),又∵|AB|=2,且E为AB中点,∴A(0,﹣1),B(0,+1),∵M、N在圆O:x2+y2=1上,∴可设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),∴|NA|=====,|NB|====,∴===,同理可得=,∴=,①成立,﹣=﹣()=2,②正确.+=+()=,③正确.故答案为:①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.选修4-1:几何证明选讲15.(5分)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.【分析】利用切割线定理推出PA=2PB,利用相似三角形求出比值即可.【解答】解:由切割线定理可知:PA2=PB•PC,又BC=3PB,可得PA=2PB,在△PAB与△PAC中,∠P=∠P,∠PAB=∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得△PAB∽△PAC,∴==.故答案为:.【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力.选修4-4:坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t 为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.【分析】化极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式得答案.【解答】解:由ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,得y﹣3x=0,由C的参数方程为(t为参数),两式平方作差得:x2﹣y2=﹣4.联立,得,即.∴A(),B(),∴|AB|=.故答案为:.【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)05﹣50(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g (x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.【分析】(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.从而可补全数据,解得函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可得解.【解答】解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)050﹣50且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.【点评】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.18.(12分)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.【分析】(1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;(2)当d>1时,由(1)知c n=,写出T n、T n的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.【解答】解:(1)设a1=a,由题意可得,解得,或,当时,a n=2n﹣1,b n=2n﹣1;当时,a n=(2n+79),b n=9•;(2)当d>1时,由(1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1,∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,∴T n=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,∴T n=6﹣.【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.【分析】解法1)(1)直线与直线,直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF,即可判断DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,确定直角.(2)根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF,DG⊥DB,根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可.2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【解答】解法1)(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如图1,在面BPC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF,DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DPB=∠FDB=,则tan=tan∠DPF===,解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.(解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ1,﹣1),点E是PC的中点,所以E(0,,),=(0,,),于是=0,即PB⊥DE.又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.因=(0,1,﹣1),=0,则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,则运用向量的数量积求解得出cos==,解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.20.(12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.【分析】(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,列出可行域,目标函数,通过当W=12时,当W=15时,当W=18时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z的分布列.求出期望即可.(2)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可.【解答】(12分)解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为,当x=2.4,y=4.8时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)..将z=1000x+1200y变形为,当x=3,y=6时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为:,当x=6,y=4时,直线l:y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为:Z81601020010800P0.30.50.2因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708(2)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【分析】(1)根据条件求出a,b即可求椭圆C的方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解:(1)设D(t,0),|t|≤2,N(x0,y0),M(x,y),由题意得=2,且||=||=1,∴(t﹣x,﹣y)=2(x0﹣t,y0),且,即,且t(t﹣2x0)=0,由于当点D不动时,点N也不动,∴t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=,y0=﹣,代入x02+y02=1,得方程为.=,(2)①当直线l的斜率k不存在时,直线l为:x=4或x=﹣4,都有S△OPQ②直线l的斜率k存在时,直线l为:y=kx+m,(k),由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,由,可得P(,),同理得Q(,),原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|,=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②,可得S△OPQ将①代入②得S=||=8||,△OPQ=8()=8(1+)>8,当k2>时,S△OPQ=8||=﹣8()=8(﹣1+),当0≤k2<时,S△OPQ∵0≤k2<时,∴0<1﹣4k2≤1,≥2,∴S=8(﹣1+)≥8,当且仅当k=0时取等号,△OPQ的最小值为8,∴当k=0时,S△OPQ综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,三角形OPQ的面积存在最小值为8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.22.(14分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.【分析】(1)求出f(x)的定义域,利用导数求其最大值,得到1+x<e x.取x=即可得到答案;(2)由b n=n(1+)n a n(n∈N+),变形求得,,,由此推测=(n+1)n.然后利用数学归纳法证明.(3)由c n的定义、=(n+1)n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及,利用放缩法证得T n<eS n.【解答】(1)解:f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1﹣e x.当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令,得,即.①(2)解:;=;.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(1)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(2)假设当n=k时,②成立,即.当n=k+1时,,由归纳假设可得=.∴当n=k+1时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.(3)证明:由c n的定义,②,算术﹣几何平均不等式,b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====<ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n<eS n.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法证明数列不等式,是压轴题.第31页(共31页)。

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