高考理科数学试题及答案483
新高考理科数学试卷及答案
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1. 下列函数中,在其定义域内单调递增的是()A. y = x^2 - 1B. y = -x^2 + 1C. y = 2x - 1D. y = x^3 - 3x2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3,若f(x)的图像关于点(2, -1)对称,则f(x)的对称轴方程是()A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 43. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=3,b=4,c=5,则角A的余弦值是()A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/44. 下列不等式中,恒成立的是()A. x^2 + y^2 ≥ 2xyB. x^2 - y^2 ≥ 0C. x^2 + y^2 ≤ 2xyD. x^2 - y^2 ≤ 05. 已知数列{an}的前n项和为Sn,若an = 3^n - 2^n,则数列{an}的通项公式是()A. an = 3^nB. an = 2^nC. an = 3^n - 2^nD. an = 3^n + 2^n6. 已知等差数列{an}的首项为2,公差为3,则第10项与第15项之和是()A. 72B. 84C. 96D. 1087. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值,则a、b、c之间的关系是()A. a > 0,b = 0,c > 0B. a < 0,b = 0,c < 0C. a > 0,b ≠ 0,c > 0D. a < 0,b ≠ 0,c < 08. 下列复数中,是纯虚数的是()A. 2 + 3iB. 1 - 2iC. 3 + 4iD. -1 + 2i9. 在直角坐标系中,点P(a, b)关于直线y = x的对称点为P',则P'的坐标是()A. (b, a)B. (-a, -b)C. (a, -b)D. (-b, a)10. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0,则该圆的半径是()A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知等比数列{an}的首项为3,公比为-2,则第5项与第8项的乘积是()A. 48B. -48C. 96D. -9612. 下列命题中,正确的是()A. 函数y = x^3在定义域内单调递增B. 数列{an} = n^2 + 1是等差数列C. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上,则a > 0D. 等差数列{an}的前n项和为Sn,若an > 0,则Sn > 0二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)13. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在x=1时取得最小值,则该函数的对称轴方程为______。
高三数学试卷理科及答案
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一、选择题(每小题5分,共50分)1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x,若存在实数a,使得f(a) = 0,则a的取值范围是()。
A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 下列函数中,是奇函数的是()。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + 13. 在等差数列{an}中,若a1 = 2,d = 3,则第10项an的值为()。
A. 27B. 28C. 29D. 304. 若等比数列{bn}中,b1 = 2,b3 = 8,则公比q的值为()。
A. 2B. 4C. 8D. 165. 下列命题中,正确的是()。
A. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上无定义B. 函数y = e^x的图像在第一象限内单调递减C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = tan(x)的图像在y轴上无定义6. 已知直线l的方程为2x - y + 3 = 0,点P(1, 2)到直线l的距离为()。
A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中,点A(1, 2),B(3, 4),C(5, 6)构成三角形ABC,则三角形ABC的面积S为()。
A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c,若f(1) = 2,f(2) = 4,则f(3)的值为()。
A. 6B. 8C. 10D. 129. 在等差数列{an}中,若a1 = 3,d = 2,则前n项和Sn的表达式为()。
A. Sn = n^2 + 2nB. Sn = n^2 + 3nC. Sn = n^2 + 4nD. Sn = n^2 + 5n10. 已知等比数列{bn}中,b1 = 3,b3 = 27,则前n项和Tn的表达式为()。
A. Tn = 3^nB. Tn = 3^(n+1)C. Tn = 3^(n-1)D. Tn = 3^(n-2)二、填空题(每小题5分,共25分)11. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上,则a的取值范围是__________。
高三数学理科真题试卷答案
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一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 函数y=2^x在R上的单调性是()A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无单调性答案:A解析:指数函数y=2^x的底数大于1,因此其在R上单调递增。
2. 已知函数f(x)=x^2+2x-3,其图像的对称轴是()A. x=-1B. x=1C. x=-3D. x=3答案:B解析:二次函数f(x)=x^2+2x-3的对称轴为x=-b/2a,即x=-2/2=-1。
3. 若向量a=(2,3),向量b=(-3,4),则向量a与向量b的数量积是()A. 0B. -1C. 1D. 6答案:B解析:向量a与向量b的数量积为a·b=2(-3)+34=-6+12=6,故选B。
4. 已知等差数列{an}的公差d=3,且a1+a5=24,则a3=()B. 12C. 15D. 18答案:A解析:等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,由题意得a5=a1+4d,代入a1+a5=24得2a1+4d=24,解得a1=6,代入an=a1+(n-1)d得a3=6+23=9。
5. 下列不等式中,正确的是()A. |x|<1B. |x|≤1C. |x|>1D. |x|≥1答案:B解析:绝对值不等式|x|≤1表示x的取值范围在-1到1之间,包括-1和1。
6. 已知函数f(x)=x^3-3x,其图像在x=0处的切线斜率为()A. 0B. -3C. 3D. 6答案:B解析:函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3,代入x=0得f'(0)=-3。
7. 若复数z满足|z-1|=|z+1|,则复数z的实部是()A. 0B. 1D. 2答案:A解析:复数z在复平面上的几何意义为点z到点1和点-1的距离相等,即点z位于点1和点-1的中垂线上,因此z的实部为0。
8. 已知函数f(x)=ln(x+1),其定义域是()A. (-1, +∞)B. [-1, +∞)C. (-∞, -1)D. (-∞, -1]答案:A解析:对数函数的定义域要求对数内的值大于0,因此x+1>0,解得x>-1。
高三数学(理科)试题及答案
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高三数学(理科)试题及答案高三数学(理科)试题及答案试题一:1. 解方程:(1) 解方程 $3x - 5 = 4x + 7$(2) 解方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$2. 已知函数 $f(x) = \frac{3}{x+1}$,求 $f(2) \cdot f(-2)$ 的值。
3. 已知 $\triangle ABC$,$AB = 3$,$BC = 4$,$AC = 5$。
求$\angle BAC$ 的大小。
4. 已知等差数列 $a_1 = 3$,$d = 4$。
求前10项的和 $S_{10}$。
5. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$。
求顶点坐标和焦点坐标。
答案:1.(1) 将 $4x + 7$ 移项得 $3x - 4x = 7 + 5$,化简得 $x = -12$。
(2) 使用因式分解法或配方法,将方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ 化简为$(2x - 1)(x + 3) = 0$。
解得 $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = -3$。
2. 代入函数 $f(x)$ 的定义,得到 $f(2) \cdot f(-2) = \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{1} = 3$。
3. 根据余弦定理,$AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot\cos(\angle BAC) = BC^2$。
代入已知条件,解得 $\cos(\angle BAC) = -\frac{7}{25}$。
因为 $\angle BAC$ 是锐角,所以 $\angle BAC =\arccos\left(-\frac{7}{25}\right)$。
4. 使用等差数列的求和公式 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$,其中$S_{10}$ 是前10项的和,$n = 10$,$a_1 = 3$,$d = 4$。
高考理科生数学试卷及答案
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知函数f(x) = 2x - 3,则f(2)的值为:A. 1B. 3C. 5D. 72. 若a、b、c是等差数列,且a + b + c = 12,则a + c的值为:A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中,∠A = 60°,∠B = 45°,则∠C的度数为:A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 下列哪个数是无穷小量:A. 1/2B. 1/√2C. 1/3D. 1/e5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,则f(2)的值为:A. 0B. 1C. 4D. 66. 若log2(3x + 1) = 3,则x的值为:A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列哪个方程的解为x = 2:A. x^2 - 2x - 3 = 0B. x^2 + 2x - 3 = 0C. x^2 - 4x + 3 = 0D. x^2 + 4x + 3 = 08. 已知等比数列{an}的前三项分别为1,a,a^2,则a的值为:A. 1B. 2C. 3D. 49. 若sinθ = 1/2,cosθ = √3/2,则tanθ的值为:A. 1B. √3C. -1D. -√310. 已知函数f(x) = x^3 - 3x,则f'(x)的值为:A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 1C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 111. 若复数z = 1 + i,则|z|^2的值为:A. 2B. 3C. 4D. 512. 下列哪个数是实数:A. iB. √-1C. √2D. √-2二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分。
)13. 若sinα = 1/2,则cosα的值为______。
14. 若等差数列{an}的首项为2,公差为3,则第10项an的值为______。
新高考理科数学试卷答案
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一、选择题1. 答案:D解析:题目考查函数的定义。
根据函数的定义,若对于集合A中的任意元素x,在集合B中存在唯一元素y与之对应,则称y是x的函数。
选项D中的函数关系满足这个定义。
2. 答案:B解析:题目考查三角函数的性质。
由三角函数的定义可知,sin(α + β) =sinαcosβ + cosαsinβ。
根据题目给出的选项,只有选项B满足这个关系。
3. 答案:A解析:题目考查数列的通项公式。
根据数列的定义,可得数列的通项公式为an = 2n - 1。
将n = 1代入公式,得到a1 = 1,符合题意。
4. 答案:C解析:题目考查概率的计算。
根据概率的定义,事件A发生的概率为P(A) = 满足事件A的样本点数 / 样本空间中的样本点数。
根据题目给出的选项,只有选项C 满足这个计算公式。
5. 答案:B解析:题目考查立体几何的计算。
根据立体几何的体积公式,可得长方体的体积为V = 长× 宽× 高。
将题目给出的长、宽、高代入公式,得到V = 6 × 4 × 3 = 72,符合题意。
二、填空题6. 答案:-3解析:题目考查一元二次方程的解法。
根据一元二次方程的解法,可得方程的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
将题目给出的a、b、c代入公式,得到x = (-1 ± √(1 - 4 × 1 × (-3))) / (2 × 1) = (-1 ± √13) / 2。
由于题目要求的是方程的解,故取x = (-1 - √13) / 2,即x = -3。
7. 答案:π/2解析:题目考查三角函数的值。
根据三角函数的定义,可得sin(π/2) = 1。
因此,答案为π/2。
8. 答案:3解析:题目考查排列组合的计算。
根据排列组合的计算公式,可得A(5, 3) = 5×4 × 3 = 60。
高三数学试卷(理科)答案
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一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知函数$f(x) = 2^x - 1$,则$f(-1)$的值为()A. 0B. 1C. 2D. 3答案:A2. 在三角形ABC中,$A=45^\circ$,$B=60^\circ$,$a=6$,则$cosC$的值为()A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{6}}{4}$答案:B3. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$,公差$d=2$,则第10项$a_{10}$的值为()A. 17B. 18C. 19D. 20答案:A4. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$的对称中心为()A. (1, -3)B. (1, 3)C. (-1, -3)D. (-1, 3)答案:A5. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$,$\vec{b} = (1, 2)$,则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为()A. 7B. 5C. 4D. 3答案:A6. 下列命题中,正确的是()A. 函数$f(x) = \frac{1}{x}$在定义域内单调递增B. 向量$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直的充分必要条件是$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$C. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$的开口方向由系数$a$决定D. 等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$答案:D7. 已知函数$f(x) = \log_2(x+1)$,则$f^{-1}(2)$的值为()A. 1B. 0C. -1D. 3答案:B8. 在等比数列$\{a_n\}$中,$a_1=2$,公比$q=3$,则第5项$a_5$的值为()A. 54B. 27C. 18D. 9答案:A9. 已知直线$l: x - 2y + 1 = 0$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切,则圆心到直线$l$的距离为()A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$B. $\sqrt{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\sqrt{3}$答案:B10. 函数$f(x) = e^x + e^{-x}$的极值点为()A. $x=0$B. $x=\frac{\pi}{2}$C. $x=\pi$D. 无极值点答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分。
全国统一高考数学试卷及参考答案(理科)(全国新课标III)
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全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标III)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.02.(5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.23.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7, 8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.(5分)(x+y)(2x﹣y)5的展开式中的x3y3系数为()A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.805.(5分)已知双曲线C:﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=16.(5分)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为﹣2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在(,π)单调递减7.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.28.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C.D.9.(5分)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.﹣24 B.﹣3 C.3 D.810.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=()A.﹣B.C.D.112.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3 B.2C.D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
高三数学试卷理科答案解析
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一、选择题1. 答案:D解析:本题考查函数的奇偶性。
根据函数的定义域关于原点对称,可得f(-x) = -f(x),即函数为奇函数。
所以正确答案为D。
2. 答案:B解析:本题考查数列的通项公式。
由等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d,代入a1 = 2,d = 3,得an = 2 + 3(n-1)。
当n = 10时,an = 2 + 3(10-1) = 29。
所以正确答案为B。
3. 答案:A解析:本题考查导数的应用。
由题意,f(x)在x = 1处的导数为0,则f'(1) = 0。
所以正确答案为A。
4. 答案:C解析:本题考查复数的运算。
将复数z = 1 + i写成极坐标形式,得z =√2(cos(π/4) + isin(π/4))。
所以正确答案为C。
5. 答案:B解析:本题考查二项式定理的应用。
根据二项式定理,(a + b)^n = Σ(nCk)a^(n-k)b^k,其中k = 0, 1, ..., n。
代入n = 4,a = x,b = 2,得(2x + 1)^4 =16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1。
所以正确答案为B。
二、填空题6. 答案:-1/2解析:本题考查三角函数的周期性。
由题意,sin(2x + π/6) = -1/2。
因为sin函数的周期为2π,所以2x + π/6的取值范围为[2kπ - 5π/6, 2kπ + π/6],其中k为整数。
解得x的取值范围为[kπ - π/2, kπ - π/6],其中k为整数。
所以x的值为-1/2。
7. 答案:-2解析:本题考查一元二次方程的根。
根据一元二次方程的求根公式,x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)。
代入a = 1,b = -2,c = 1,得x = (2 ± √(4 - 4)) / 2 = 1。
所以正确答案为-2。
8. 答案:3π/2解析:本题考查向量积的应用。
高考理科数学试卷及解析
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数,且f(1) = 2,f'(2) = 1,f(3) = 4。
则下列说法正确的是:A. a = 1,b = 2,c = 1B. a = 1,b = -2,c = 3C. a = 2,b = 1,c = 2D. a = 2,b = -1,c = 32. 已知数列{an}是等比数列,且a1 = 2,a2 = 4,则公比q为:A. 2B. 4C. 1/2D. 1/43. 在平面直角坐标系中,点A(1, 2),点B(-3, 4),则线段AB的中点坐标为:A. (-1, 3)B. (-2, 3)C. (0, 5)D. (2, 1)4. 若复数z满足|z - 2i| = |z + 3|,则复数z的实部为:A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数y = log2(x - 1)的图像上一点P,若点P到直线y = 2x的距离为1,则点P的坐标为:A. (3, 2)B. (2, 1)C. (4, 3)D. (1, 4)6. 若函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在区间(0, 2)上单调递增,则下列说法正确的是:A. a > 1B. a < 1C. a = 1D. a不存在7. 在△ABC中,已知∠A = 60°,∠B = 45°,∠C = 75°,则sinA + sinB + sinC的值为:A. √3/2B. √3C. 1D. 28. 若平面直角坐标系中,直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切,则k^2 + b^2的值为:A. 1B. 2C. 3D. 49. 若数列{an}满足an = an-1 + an-2,且a1 = 1,a2 = 2,则数列{an}的通项公式为:A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^(n+1)10. 已知函数f(x) = e^x - x,则f(x)在x = 0处的切线斜率为:A. 1B. 2C. eD. e - 111. 在平面直角坐标系中,若点P在曲线y = x^2 + 1上,且点P到原点的距离为2,则点P的坐标为:A. (1, 2)B. (-1, 2)C. (2, 1)D. (-2, 1)12. 若数列{an}满足an = 3an-1 + 2an-2,且a1 = 1,a2 = 2,则数列{an}的前n项和Sn为:A. Sn = (3^n - 1)/2B. Sn = (3^n - 1)/2C. Sn = (3^n - 2)/2D. Sn = (3^n - 2)/2二、填空题(本大题共6小题,每小题10分,共60分)13. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|,则z的实部为______。
四川省2024年高考理科数学真题及参考答案
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四川省2024年高考理科数学真题及参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若i z +=5,则()=+z z i ()A.i10B.i2 C.10D.-22.已知集合{}954321,,,,,=A ,{}A x xB ∈=,则()=B AC A ()A.{}9,41,B.{}9,43, C.{}3,2,1D.{}5,3,23.若实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ,则5z x y =-的最小值为()A.5B.12C.2-D.72-4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知105S S =,15=a ,则=1a ()A.27B.73C.31-D.117-5.已知双曲线()0,012222>>=-b a b x a y C :的上、下焦点分别为()4,01F ,()402-,F ,点()4,6-P 在该双曲线上,则双曲线的离心率是()A.4B.3C.2D.26.设函数()21sin 2xxe xf x ++=,则曲线()x f y =在点()1,0处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.61B.31C.12D.327.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[]8.2,8.2-的图像大致为()8.已知cos cos sin ααα=-,则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.132+B.1-C.23D.31-9.设向量()x x a ,1+=,()2,x b = ,则()A.3-=x 是b a⊥的必要条件 B.3-=x 是b a∥的必要条件C.0=x 是b a⊥的充分条件D.31+-=x 是b a∥的充分条件10.设m 、n 为两条直线,α、β为两个平面,且m =βα ,下述四个命题:①若n m ∥,则α∥n 或β∥n ;②若n m ⊥,则α⊥n 或β⊥n ;③若α∥n 且β∥n ,则n m ∥;④若n 与α,β所成的角相等,则m n ⊥,其中所有真命题的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.记ABC △的内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,若3π=B ,294b ac =,则sin sin A C +=()A.23B.2C.2D.2312.已知b 是c a ,的等差中项,直线0=++c by ax 与圆01422=-++y y x 交于A,B 两点,则AB 的最小值为()A.2B.3C.4D.52二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1031⎪⎭⎫⎝⎛+x 的展开式中,各项系数中的最大值为.14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ,圆台的母线长分别为()122r r -,()123r r -,则圆台甲与乙的体积之比为.15.已知1a >,8115log log 42a a -=-,则a =.16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m与n 差的绝对值不大于21的概率为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:(1)填写如下列联表:能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p .设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果()np p p p -+>165.1,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为产品线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(247.12150≈)18.(12分)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知434+=n n a S .(1)求{}n a 的通项公式;(2)设()n n n na b 11--=,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.(12分)如图,在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,AD EF ∥,AD BC ∥,4=AD ,2===EF BC AB ,10=ED ,32=FB ,M 为AD 的中点.(1)证明:∥BM 平面CDE ;(2)求二面角E BM F --的正弦值.20.(12分)设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于A ,B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.21.(12分)已知函数()()()x x ax x f -+-=1ln 1.(1)若2-=a ,求()x f 的极值;(2)当0≥x 时,()0≥x f 恒成立,求a 的极值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)试卷(全国甲卷)含部分答案
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2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)试卷(全国甲卷)一、选择题1.若,则( )5i z =+i()z z +=A. B. C.10D.-210i2i2.已知集合,,则( ){1,2,3,4,5,9}A={}B A =()A A B = ðA. B. C. D.{1,4,9}{3,4,9}{1,2,3}{2,3,5}3.若实数x ,y 满足约束条件,则的最小值为( )4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩5z x y =-724.记等差数列的前n 项和,若,,则( )n S {}n a 510S S =51a =1a =7115.已知双曲线的两个焦点分别为,,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率(0,4)(0,4)-(6,4)-为( )6.设函数在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的()f x =()y f x =(0,1)面积为( )7.函数在区间的大致图像为( )()2e e sin xx y x x -=-+-[ 2.8,2.8]-A. B.C. D.( )=π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B.19.已知向量,,则( )(1,)x x =+a (,2)x =b A.是的必要条件 B.是的必要条件3x =-⊥a b 3x =-//a bC.是的充分条件D.是的充分条件0x =⊥a b 1x =-+//a b 10.设,为两个平面,m ,n 为两条直线,且.下述四个命题:αβm αβ= ①若,则或//m n //n α//n β②若,则或m n ⊥n α⊥n β⊥③若且,则//n α//n β//m n④若n 与,所成的角相等,则.αβm n ⊥其中所有真命题的编号是( )A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.记的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知,,则ABC △60B =︒294b ac =( )sin sin A C +=12.已知b 是a ,c 的等差中项,直线与圆交于A ,B 两点,则0ax by c ++=22410x y y ++-=A.1B.2C.4D.二、填空题13.的展开式中,各项系数中的最大值为_________.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为,圆台的母线长分别为,1r 2r ()212r r -,则圆台甲与乙的体积之比为_________.()213r r -15.已知_________.a >1log 4a -==16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的三、解答题17.某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p =p >+)12.247≈附:2K =(1)求的通项公式;{}n a(2)设,求数列的前n 项和.1(1)n n n b na -=-{}n b n T 19.如图,已知,//AB CD,,,//CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =点.(1)证明:平面BCF ;//EM (2)求二面角的正弦值.A EM B --20.已知函数.()(1)ln(1)f x ax x x =-+-(1)若,求的极值;2a =-()f x (2)当时,,求a 的取值范围.0x ≥()0f x ≥21.设椭圆的右焦点为F ,点在C 上,且轴.2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭MF x ⊥(1)求C 的方程;(2)过点的直线交C 于A ,B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q .证(4,0)P 明:轴.AO y ⊥22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为.cos 1ρρθ=+(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :(t 为参数),若C 与l 相交于A ,B 两点,且,求a .,x t y t a=⎧⎨=+⎩||2AB =23.[选修4-5:不等式选讲]已知实数a ,b 满足.3a b +≥(1)证明:;2222a b a b +>++-≥b b a226答案1.答案:A解析:因为,所以,故选A.5i z =+i()10i z z +=2.答案:D解析:因为,,所以,{1,2,3,4,5,9}A ={}{1,4,9,16,25,81}B A ==(){2,3,5}A A B = ð故选D.3.答案:D解析:将约束条件两两联立可得3个交点:,和,经检验都符合约束条件.代(0,1)-3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭13,2⎛⎫⎪⎝⎭入目标函数可得:min z =4.答案:B解析:因为,所以,,又因为,所以公差510S S =718S S =80a =51a =d =187a a d =-=5.答案:C 解析:,故选C.12212F F c e a PF PF ===-6.答案:A解析:因为,所以,,563y x '=+3k =31y x =-11123S =⨯⨯=7.答案:B 解析:8.答案:B,故选=1α=πtan 1141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭B.9.答案:C解析:,则,解得:或-3,故选C.⊥a b (1)20x x x ++=0x =10.答案:A 解析:11.答案:C解析:因为,所以B =294ac =24sin sin sin 9A C B ==,即:,22294b a c ac ac =+-=22134a c ac +=22sin sin A C +=222(sin sin )sin sin 2sin sin A C A C A C+=++=sin A +12.答案:C解析:因为a ,b ,c 成等差数列,所以,直线恒过.当20a b c -+=0ax by c ++=(1,2)P -,,故选C.PC ⊥|1PC =||4AB =13.答案:5解析:展开式中系数最大的项一定在下面的5项:、、、、55101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭46101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭37101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭,计算可得:系数的最大值为.19101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭h h ===15.答案:64,所以,而,221315log log 4log 22a a a -=-=-()()22log 1log 60a a +-=1a >故,.2log 6a =64a =解析:记前三个球的号码分别为a 、b 、c ,则共有种可能.令36A 120=可得:,根据对称性:或6时,2||0.5236a b a b c a b cm n ++++-=≤-=-|2|3a b c +-≤1c =均有2种可能;或5时,均有10种可能;或4时,均有16种可能;故满足条件的共有2c =3c =56种可能,56120P ==17.答案:(1)没有的把握99%(2)有优化提升解析:(1),没有的把握;22150(70242630) 6.635965450100x ⨯-⨯=<⨯⨯⨯99%p >+18.答案:(1)14(3)n n a -=⋅-(2)(21)31n n T n =-+解析:(1)因为,所以,434n n S a =+11434n n S a ++=+两式相减可得:,即:,11433n n n a a a ++=-13n n a a +=-又因为,所以,11434S a =+14a =故数列是首项为4,公比为-3的等比数列,;{}n a 14(3)n n a -=⋅-(2)解法1:,11(1)43n n n n b na n --=-=⋅所以,.()012141323333n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 12334(1323)333n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 两式相减可得:,()12113241333343(24)3213n n nn n n T n n n -⎛⎫--=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭.(21)31n n T n =-+解法2:,所以,11(1)43n n n n b na n --=-=⋅1143n n n T T n --=+⋅两边同时减去可得:,(21)3nn -11(21)3(23)3n n n n T n T n ----=--故为常数列,即:,.{}(21)3n n T n --(21)31n n T n --=(21)31n n T n =-+19.答案:(1)证明见解析解析:(1)由题意:,,//EF CM EF CM =而平面,平面ADO ,CF ÜADO EM Ú所以平面BCF ;//EM(2)取DM 的中点O ,连结OA ,OE ,则,,,,OA DM ⊥OE DM⊥3OA =OE =AE =故.OA OE ⊥以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,(0,0,3)A E (0,1,0)M (0,2,3)B 3)AE =- (EM =,(0,1,3)MB =设平面AEM 的法向量为,(,,)n x y z =由可得:,00n AE n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩300z y -=+=⎪⎩令,则,1z =,1)3n =同理:取平面BEM 的法向量为,1)m =-则cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==,m n 〈〉= 故二面角A EM B --20.答案:(1)极小值为,无极大值(0)0f =(2)1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦解析:(1)当时,,.2a =-()(12)ln(1)f x x x x =++-1x >-时,,当时,,()2ln(1)f x x =+0>()0f x >10x -<<()0f x <所以在上递增,()f x (-)+∞故的极小值为,无极大值;()f x (0)0f =(2),()(1)ln(1)f x ax x x =-+-()ln(1)f x a x =-+-令,则.()()g x f x =21()1(1)a a g x x x +'=--++因为当时,,且,,0x ≥()0f x ≥(0)0f =(0)0f '=所以,(0)120g a '=--≥a ≤当,在上递增,a ≤2211()02(1)2(1)2(1)x g x x x x '≥-=≥+++()g x [0,)+∞,()()(0)0g x f x g =≥=故在上递增,恒成立,即a 的取值范围为.()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦213y =(2)证明见解析解析:(1)设椭圆C 的左焦点为,.F 23||2MF =因为,MF ⊥1MF =1||4a MF MF =+=解得:,,24a =2213b a =-=;213y =(2)解法1:设,,,()11,A x y ()22,B x y ,AP PB λ=则,即.12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩212144x x y y λλ=+-⎧⎨=-⎩又由可得,()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-结合上式可得.25230x λλ-+=,,,则,故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭222122335252Q y y y y y x x λλλ===-=--AQ y ⊥解法2:设,,()11,A x y (22,B x y =()1221214y x y y y -=-所以()()2222122112211221x y x y x y x y x y x y -+=-,()()()()22221221212121122144444433y y y y y y y y y y x y x y ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即:,.122121x y x y y y +=+2112253x y y y =-,,,则,故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭21212112335252Q y y y y y x y y x ===--AQ y ⊥22.答案:(1)221y x =+(2)34a =解析:(1)因为,所以,cos 1ρρθ=+22(cos 1)ρρθ=+故C 的直角坐标方程为:,即:;222(1)x y x +=+221y x =+(2)将代入可得:,x t y t a=⎧⎨=+⎩221y x =+222(1)10t a ta +-+-=,解得.2||2AB t ===34a =23.答案:(1)证明见解析(2)证明见解析解析:(1)因为,所以;3a b +≥22222()a b a b a b +≥+>+222222222222()b b a a b b a a b a b +-≥-+-=+-+.22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥。
高考理科数学试题及答案(高清版)
![高考理科数学试题及答案(高清版)](https://img.taocdn.com/s3/m/a2cea438f02d2af90242a8956bec0975f465a436.png)
普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.理科:第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题,满分150分.第Ⅰ卷一、选择题:(理科)本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科)本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足z i =1-i ,则z 等于()A .-1-i B .1-i C .-1+i D .1+i A .3+4i B .5+4i C .3+2i D .5+2i2.等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为()A .1B .2C .3D .43.下列命题中,真命题是()A .x 0∈R ,0ex ≤B .x ∈R ,2x >x 2C .a +b =0的充要条件是1ab=-D .a >1,b >1是ab >1的充分条件4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是()A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱5.下列不等式一定成立的是()A .lg(x 2+14)>lg x (x >0)B .sin x +1sin x≥2(x ≠k π,k ∈Z )C .x 2+1≥2|x |(x ∈R )D .2111x >+(x ∈R )6.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A .14B .15C .16D .177.设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,则下列结论错误的是()A .D (x )的值域为{0,1}B .D (x )是偶函数C .D (x )不是周期函数D .D (x )不是单调函数8.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()AB.C .3D .59.若函数y =2x 图象上存在点(x ,y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为()A .12B .1C .32D .210.函数f (x )在[a ,b ]上有定义,若对任意x 1,x 2∈[a ,b ],有()()12121()22x x f f x f x +≤[+],则称f (x )在[a ,b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的;②f (x 2)在[1]上具有性质P ;③若f (x )在x =2处取得最大值1,则f (x )=1,x ∈[1,3];④对任意x 1,x 2,x 3,x 4∈[1,3],有12341()44x x x x f +++≤[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f (x 4)].其中真命题的序号是()A .①②B .①③C .②④D .③④第Ⅱ卷二、填空题:(理科)本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.(文科)本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(a +x )4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =________.12s 值等于________.13.已知△ABC 的等比数列,则其最大角的余弦值为________.14.数列{a n }的通项公式πcos12n a n =+,前n 项和为S n ,则S 2012=________.15.对于实数a 和b ,定义运算“*”:22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩,,,设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是__________.三、解答题:(理科)本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(文科)本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x (年)0<x ≤11<x ≤2x >20<x ≤2x >2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2,分别求X 1,X 2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.17.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin 213°+cos 217°-sin13°cos17°;②sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°;③sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°;④sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.18.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AD =1,E 为CD 中点.(1)求证:B 1E ⊥AD 1.(2)在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.(3)若二面角A -B 1E -A 1的大小为30°,求AB 的长.19.如图,椭圆E :22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率12e =.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l :y =kx +m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.20.已知函数f(x)=e x+ax2-e x,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(2)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.21.(1)选修4-2:矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.①求实数a,b的值;②求A2的逆矩阵.(2)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭,圆C的参数方程为22cos,2sinxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).①设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;②判断直线l与圆C的位置关系.(3)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].①求m的值;②若a,b,c∈R+,且11123ma b c++=,求证:a+2b+3c≥9.22.(文)已知函数f(x)=ax sin x-32(a∈R),且在[0,π2]上的最大值为π32-.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.1.A由z i=1-i,得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----.2.B∵a1+a5=10=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.3.D∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,即a>1,b>1⇒ab>1.4.D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆,∴这个几何体不可以是圆柱.5.C∵x2+1≥2|x|⇔x2-2|x|+1≥0,∴当x≥0时,x2-2|x|+1=x2-2x+1=(x-1)2≥0成立;当x<0时,x2-2|x|+1=x2+2x+1=(x+1)2≥0成立.故x2+1≥2|x|(x∈R)一定成立.6.C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰,∴所求概率为11616=.7.C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数,∴D (x )不是周期函数是错误的.8.A由双曲线的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,知32pc ==,c 2=9=4+b 2,于是b 2=5,b =.因此该双曲线的渐近线的方程为2y x =±,即20y ±=.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d ==.9.B由约束条件作出其可行域如图所示:由图可知当直线x =m 经过函数y =2x 的图象与直线x +y -3=0的交点P 时取得最大值,即得2x =3-x ,即x =1=m .10.D ①如图1,图1在区间[1,3]上f (x )具有性质P ,但是是间断的,故①错.②可设f (x )=|x -2|(如图2),当x ∈[1,3]时易知其具有性质P ,但是f (x 2)=|x 2-2|=222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3).故②错.图2图3③任取x 0∈[1,3],则4-x 0∈[1,3],1=f (2)=004()2x x f +-≤12[f (x 0)+f (4-x 0)].又∵f (x 0)=1,f (4-x 0)≤1,∴12[f (x 0)+f (4-x 0)]≤1.∴f (x 0)=f (4-x 0)=1.故③正确.④3412123422()(42x x x x x x x x f f ++++++=≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f (x 4)],故④正确.11.答案:2解析:∵T r +1=4C r a r x 4-r ,∴当4-r =3,即r =1时,T 2=14C ·a ·x 3=4ax 3=8x 3.故a =2.12.答案:-3解析:(1)k =1,1<4,s =2×1-1=1;(2)k =2,2<4,s =2×1-2=0;(3)k =3,3<4,s =2×0-3=-3;(4)k =4,直接输出s =-3.13.答案:24-解析:设△ABC 的最小边长为a (m >0),则其余两边长为,2a ,故最大角的余弦值是22222cos 4θ==-.14.解析:∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==,∴可用分组求和法:a 1+a 5+…+a 2009=50311+1=503++个...;a 2+a 6+...+a 2010=(-2+1)+(-6+1)+...+(-2010+1)=-1-5- (2009)503(12009)2--=-503×1005;a 3+a 7+…+a 2011=50311+1=503++个…;a 4+a 8+…+a 2012=(4+1)+(8+1)+…+(2012+1)=503(52013)2⨯+=503×1009;故S 2012=503-503×1005+503+503×1009=503×(1-1005+1+1009)=3018.15.答案:(1316,0)解析:由已知,得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩-,,=-+,>,作出其图象如图,结合图象可知m 的取值范围为0<m <14,当x >0时,有-x 2+x =m ,即x 2-x +m =0,于是x 1x 2=m .当x <0时,有2x 2-x -m =0,于是314x -=.故123(118)4m x x x =.设h (m )=m (1,∵h ′(m)=(1-+[m()]=10,∴函数h (m )单调递减.故x 1x 2x 3的取值范围为(1316,0).16.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==.(2)依题意得,X 1的分布列为X 1123P125350910X 2的分布列为X 2 1.82.9P110910(3)由(2)得,E (X 1)=1×125+2×350+3×910=14350=2.86(万元),E (X 2)=1.8×110+2.9×910=2.79(万元).因为E (X 1)>E (X 2),所以应生产甲品牌轿车.17.解:方法一:(1)选择②式,计算如下:sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=13144-=.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34.证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α·(cos30°cos α+sin30°sin α)=sin 2α+34cos 2α+2sin αcos α+14sin 2α-2sin α·cos α-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34.方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34.证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1cos21cos(602)22αα-+︒-+-sin α(cos30°cos α+sin30°sin α)=12-12cos2α+12+12(cos60°·cos2α+sin60°sin2α)-32sin αcos α-12sin 2α=12-12cos2α+12+14cos2α+34sin2α-34sin2α-14(1-cos2α)=11131cos2cos24444αα--+=.18.解:(1)以A 为原点,AB ,AD ,1AA的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB =a ,则A (0,0,0),D (0,1,0),D 1(0,1,1),E (2a,1,0),B 1(a,0,1),故1AD =(0,1,1),1B E =(2a -,1,-1),1AB =(a,0,1),AE =(2a,1,0).∵1AD ·1B E =2a-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0,z 0),使得DP ∥平面B 1AE .此时DP=(0,-1,z 0).又设平面B 1AE 的法向量n =(x ,y ,z ).∵n ⊥平面B 1AE ,∴n ⊥1AB ,n ⊥AE ,得00.2ax z axy +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,取x =1,得平面B 1AE 的一个法向量n =(1,2a-,-a ).要使DP ∥平面B 1AE ,只要n ⊥DP ,有2a -az 0=0,解得012z =.又DP平面B 1AE ,∴存在点P ,满足DP ∥平面B 1AE ,此时12AP =.(3)连接A 1D ,B 1C ,由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1=AD =1,得AD 1⊥A 1D .∵B 1C ∥A 1D ,∴AD 1⊥B 1C .又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1,且B 1C ∩B 1E =B 1,∴AD 1⊥平面DCB 1A 1.∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量,此时1AD=(0,1,1).设1AD 与n 所成的角为θ,则11·2cos ||||a a AD AD θ--== n n .∵二面角A -B 1E -A 1的大小为30°,∴|cos θ|=cos30°3322a =,解得a =2,即AB 的长为2.19.解:方法一:(1)因为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=8,即|AF 1|+|F 1B |+|AF 2|+|BF 2|=8,又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ,所以4a =8,a =2.又因为12e =,即12c a =,所以c =1.所以b ==故椭圆E 的方程是22143x y +=.(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0,y 0),所以m ≠0且∆=0,即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.(*)此时024443km k x k m =-=-+,y 0=kx 0+m =3m ,所以P (4k m -,3m ).由4x y kx m =⎧⎨=+⎩,,得Q (4,4k +m ).假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上.设M (x 1,0),则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ,k 恒成立.因为MP =(14k x m--,3m ),MQ =(4-x 1,4k +m ),由0MP MQ ⋅= ,得211141612430kx k kx x m m m-+-+++=,整理,得(4x 1-4)km+x 12-4x 1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ,k 恒成立,所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1=1.故存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M .方法二:(1)同方法一.(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0,y 0),所以m ≠0且∆=0,即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.(*)此时024443km k x k m =-=-+,y 0=kx 0+m =3m ,所以P (4k m -,3m ).由4x y kx m =⎧⎨=+⎩,,得Q (4,4k +m ).假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上.取k =0,m =,此时P (0,Q (4,以PQ 为直径的圆为(x -2)2+(y)2=4,交x 轴于点M 1(1,0),M 2(3,0);取12k =-,m =2,此时P (1,32),Q (4,0),以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=,交x 轴于点M 3(1,0),M 4(4,0).所以若符合条件的点M 存在,则M 的坐标必为(1,0).以下证明M (1,0)就是满足条件的点:因为M 的坐标为(1,0),所以MP =(41k m --,3m),MQ =(3,4k +m ),从而1212330k kMP MQ mm ⋅=--++= ,故恒有MP MQ ⊥ ,即存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M .20.解:(1)由于f ′(x )=e x +2ax -e ,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线斜率k =2a =0,所以a =0,即f (x )=e x -e x .此时f ′(x )=e x -e ,由f ′(x )=0得x =1.当x ∈(-∞,1)时,有f ′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,有f ′(x )>0.所以f (x )的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)设点P (x 0,f (x 0)),曲线y =f (x )在点P 处的切线方程为y =f ′(x 0)(x -x 0)+f (x 0),令g (x )=f (x )-f ′(x 0)(x -x 0)-f (x 0),故曲线y =f (x )在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数g (x )有唯一零点.因为g (x 0)=0,且g ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0)=e x -e x 0+2a (x -x 0).(1)若a ≥0,当x >x 0时,g ′(x )>0,则x >x 0时,g (x )>g (x 0)=0;当x <x 0时,g ′(x )<0,则x <x 0时,g (x )>g (x 0)=0.故g (x )只有唯一零点x =x 0.由P 的任意性,a ≥0不合题意.(2)若a <0,令h (x )=e x -e x 0+2a (x -x 0),则h (x 0)=0,h ′(x )=e x +2a .令h ′(x )=0,得x =ln(-2a ),记x ′=ln(-2a ),则当x ∈(-∞,x *)时,h ′(x )<0,从而h (x )在(-∞,x *)内单调递减;当x ∈(x *,+∞)时,h ′(x )>0,从而h (x )在(x *,+∞)内单调递增.①若x 0=x *,由x ∈(-∞,x *)时,g ′(x )=h (x )>h (x *)=0;x ∈(x *,+∞)时,g ′(x )=h (x )>h (x *)=0,知g (x )在R 上单调递增.所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x =x *.②若x 0>x *,由于h (x )在(x *,+∞)内单调递增,且h (x 0)=0,则当x ∈(x *,x 0)时有g ′(x )=h (x )<h (x 0)=0,g (x )>g (x 0)=0;任取x 1∈(x *,x 0)有g (x 1)>0.又当x ∈(-∞,x 1)时,易知g (x )=e x +ax 2-[e +f ′(x 0)]x -f (x 0)+x 0f ′(x 0)<e x 1+ax 2-[e +f ′(x 0)]x -f (x 0)+x 0f ′(x 0)=ax 2+bx +c ,其中b =-[e +f ′(x 0)],c =e x 1-f (x 0)+x 0f ′(x 0).由于a <0,则必存在x 2<x 1,使得ax 22+bx 2+c <0.所以g (x 2)<0.故g (x )在(x 2,x 1)内存在零点,即g (x )在R 上至少有两个零点.③若x 0<x *,仿②并利用3e 6xx >,可证函数g (x )在R 上至少有两个零点.综上所述,当a <0时,曲线y =f (x )上存在唯一点P (ln(-2a ),f (ln(-2a ))),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .21.(1)选修4-2:矩阵与变换解:①设曲线2x 2+2xy +y 2=1上任意点P (x ,y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′,y ′).由 0 1x a y b '⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x ax y bx y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,得,.x ax y bx y '=⎧⎨'=+⎩又点P ′(x ′,y ′)在x 2+y 2=1上,所以x ′2+y ′2=1,即a 2x 2+(bx +y )2=1,整理得(a 2+b 2)x 2+2bxy +y 2=1.依题意得222,22,a b b ⎧+=⎨=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =-⎧⎨=⎩因为a >0,所以1,1.a b =⎧⎨=⎩②由①知, 1 01 1⎛⎫=⎪⎝⎭A ,2 1 0 1 0 1 01 1 1 1 2 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,所以|A 2|=1,(A 2)-1= 1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.(2)选修4-4:坐标系与参数方程解:①由题意知,M ,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0,233).又P 为线段MN 的中点,从而点P 的平面直角坐标为(1,33),3②因为直线l 上两点M ,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0,3),所以直线l 30y +-=.又圆C 的圆心坐标为(2,),半径r =2,圆心到直线l 的距离32d r ==<,故直线l 与圆C 相交.(3)选修4-5解:①因为f (x +2)=m -|x |,f (x +2)≥0等价于|x |≤m ,由|x |≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x |-m ≤x ≤m }.又f (x +2)≥0的解集为[-1,1],故m =1.②由①知111123a b c ++=,又a ,b ,c ∈R +,由柯西不等式得a +2b +3c =(a +2b +3c )(11123a b c ++)≥29=.。
高考理科数学真题及答案
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理科高考数学真题及答案一、选择题(共18小题,每小题3分,满分54分)1.(3分)的值是()A.B.1C.D.22.(3分)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为()A.4B.2C.D.3.(3分)极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是()A.2B.C.1D.4.(3分)方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是()A.10°B.20°C.50°D.70°5.(3分)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是()A.6:5B.5:4C.4:3D.3:26.(3分)图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象.已知n取±2,±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为()A.﹣2,﹣,,2B.2,,﹣,﹣2C.﹣,﹣2,2,D.2,,﹣2,﹣7.(3分)若log a 2<logb2<0,则()A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>18.(3分)直线(t 为参数)的倾斜角是()A.20°B.70°C.45°D.135°9.(3分)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.(3分)圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是()A.x 2+y 2﹣x﹣2y﹣=0B.x 2+y 2+x﹣2y+1=0C.x 2+y 2﹣x﹣2y+1=0D.x 2+y 2﹣x ﹣2y+=011.(3分)在(x 2+3x+2)5的展开式中x 的系数为()A.160B.240C.360D.80012.(3分)若0<a<1,在[0,2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是()A.[0,arcsina]B.[arcsina,π﹣arcsina]C.[π﹣arcsina,π]D.[arcsina,+arcsina]13.(3分)已知直线l 1和l2的夹角平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0,那么直线l2的方程为()A.bx+ay+c=0B.ax﹣by+c=0C.bx+ay﹣c=0D.bx﹣ay+c=014.(3分)在棱长为1的正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中,M 和N 分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是()A.B.C.D.15.(3分)已知复数z 的模为2,则|z﹣i|的最大值为()A.1B.2C.D.316.(3分)函数y=的反函数()A.是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数B.是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数C.是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数D.是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数17.(3分)如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2﹣t),那么()A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)18.(3分)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()A.B.C.5D.6二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)19.(3分)方程的解是.20.(3分)sin15°sin75°的值是.21.(3分)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则的值为_________.22.(3分)焦点为F(﹣2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是.1}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值23.(3分)已知等差数列{an是.三、解答题(共5小题,满分51分)24.(10分)已知z∈C,解方程z﹣3i=1+3i.25.(10分)已知,cos(α﹣β)=,sin(α+β)=.求sin2α的值.的长度为d.在26.(10分)已知:两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.求证:EF=.}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.27.(10分)设等差数列{an(1)求公差d的取值范围.(2)指出S,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.128.(11分)已知椭圆(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明.参考答案一、选择题(共18小题,每小题3分,满分54分)1.(3分)的值是()A.B.1C.D.2考点:对数的运算性质.分析:根据,从而得到答案.解答:解:.故选A.点评:本题考查对数的运算性质.2.(3分)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为()A.4B.2C.D.考点:二倍角的正弦.分析:逆用二倍角正弦公式,得到y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再利用正弦周期公式和周期是求出ω的解答:解:∵y=sin(ωx)cos(ωx)=sin(2ωx),∴T=2π÷2ω=4π∴ω=,故选D点评:二倍角公式是高考中常考到的知识点,特别是余弦角的二倍角公式,对它们正用、逆用、变形用都题还考的周期的公式求法,记住公式,是解题的关键,注意ω的正负,要加绝对值.3.(3分)极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是()A.2B.C.1D.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题.分析:先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,将极坐标方程为ρ=sinθ化成直角坐标方程,最后利用直角坐标方程的形式,结合两点间的距离公式求解即得.解答:解:由ρ=cosθ,化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0,其圆心是A(,0),由ρ=sinθ,化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0,其圆心是B(0,),由两点间的距离公式,得AB=,故选D.点评:本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及利用圆的几何性质计算圆心距等基们要给予重视.4.(3分)方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是()A.10°B.20°C.50°D.70°考点:两角和与差的正弦函数.分析:把原式移项整理,逆用两角和的正弦公式,解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解,写出所有一个合适的,因为是选择题,也可以代入选项验证.解答:解:∵sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x,∴sin4xcos5x+cos4xsin5x=0,∴sin(4x+5x)=0,∴sin9x=0,∴9x=kπ,k∈Z,∴x=20°故选B.点评:抓住公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结想到相应的公式,从而找到解题的切入点,对公式的逆用公式,变形式也要熟悉.5.(3分)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是()A.6:5B.5:4C.4:3D.3:2考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).专题:计算题.分析:设圆柱的底面半径,求出圆柱的全面积以及球的表面积,即可推出结果.解答:解:设圆柱的底面半径为r,则圆柱的全面积是:2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是:4πr2,所以圆柱的全面积与球的表面积的比:3:2故选D.点评:本题考查旋转体的表面积,是基础题.6.(3分)图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象.已知n 取±2,±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n 依次为()A.﹣2,﹣,,2B.2,,﹣,﹣2C.﹣,﹣2,2,D.2,,﹣2,﹣考点:幂函数的图像.专题:阅读型.分析:由题中条件:“n 取±2,±四个值”,依据幂函数y=x n的性质,在第一象限内的图象特征可得.解答:解:根据幂函数y=x n的性质,在第一象限内的图象,n 越大,递增速度越快,故曲线c 1的n=﹣2,曲线c2的n=,c3的n=,曲线c 4的n=2,故依次填﹣2,﹣,,2.故选A.点评:幂函数是重要的基本初等函数模型之一.学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征,即图象语言数的图象、性质,把握幂函数的关键点(1,1)和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸7.(3分)若log a 2<logb2<0,则()A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1考点:对数函数图象与性质的综合应用.专题:计算题.分析:利用对数的换底公式,将题中条件:“log a 2<logb2<0,”转化成同底数对数进行比较即可.解答:解:∵log2<logb2<0,a由对数换底公式得:∴a>log2b∴0>log2∴根据对数的性质得:∴0<b<a<1.故选B.点评:本题主要考查对数函数的性质,对数函数是许多知识的交汇点,是历年高考的必考内容,在高考中定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质(单调性等)及这些知识的8.(3分)直线(t为参数)的倾斜角是()A.20°B.70°C.45°D.135°考点:直线的参数方程.专题:计算题.分析:已知直线(t为参数)再将直线先化为一般方程坐标,然后再计算直线l的倾解答:解:∵直线(t为参数)∴x﹣3=tsin20°,y=﹣tsin20°,∴x+y﹣3=0,∴直线倾斜角是135°,故选D.点评:此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程这也是每年高考必考的热点问题.9.(3分)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有()A.1个B.2个C.3个D.4个考点:棱锥的结构特征.专题:作图题.分析:借助长方体的一个顶点画出图形,不难解答本题.解答:解:如图底面是矩形,一条侧棱垂直底面,那么它的四个侧面都是直角三角形.故选D.点评:本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,要求学生心中有图,是基础题.10.(3分)圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是()A.x 2+y 2﹣x﹣2y﹣=0B.x 2+y 2+x﹣2y+1=0C.x 2+y 2﹣x﹣2y+1=0D.x 2+y 2﹣x ﹣2y+=0考点:圆的一般方程.分析:所求圆圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切,不难由抛物线的定义知道,圆得结果.解答:解:圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程,以及抛物线的定所求圆的圆心的横坐标x=,即圆心(,1),半径是1,所以排除A、B、C.故选D.点评:本题考查圆的方程,抛物线的定义,考查数形结合、转化的数学思想,是中档题.11.(3分)在(x 2+3x+2)5的展开式中x 的系数为()A.160B.240C.360D.800考点:二项式定理的应用.专题:计算题.分析:利用分步乘法原理:展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积,展开式中x 的系数是5一个多项式出3x,其它4个都出2组成.解答:解:(x 2+3x+2)5展开式的含x 的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x,出2∴展开式中x 的系数为C 51•3•24=240故选项为B点评:本题考查二项式定理的推导依据:分步乘法计数原理,也是求展开式有关问题的方法.12.(3分)若0<a<1,在[0,2π]上满足sinx≥a的x的范围是()A.[0,arcsina]B.[arcsina,π﹣arcsina]C.[π﹣arcsina,π]D.[arcsina,+arcsina]考点:正弦函数的图象;反三角函数的运用.分析:在同一坐标系中画出y=sinx、y=a,根据sinx≥a即可得到答案.解答:解:由题可知,如图示,当sinx≥a时,arcsina≤x≤π﹣arcsina故选B.点评:本题主要考查三角函数的图象问题.三角函数的图象和性质是高考热点问题,要给予重视.13.(3分)已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0,那么直线l2的方程为()A.bx+ay+c=0B.ax﹣by+c=0C.bx+ay﹣c=0D.bx﹣ay+c=0考点:与直线关于点、直线对称的直线方程.专题:计算题.分析:因为由题意知,直线l1和l2关于直线y=x对称,故把l1的方程中的x和y交换位置即得直线l解答:解:因为夹角平分线为y=x,所以直线l1和l2关于直线y=x对称,故l2的方程为bx+ay+c=0.故选A.点评:本题考查求对称直线的方程的方法,当两直线关于直线y=x对称时,把其中一个方程中的x和即得另一条直线的方程.14.(3分)在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.B.C.D.考点:异面直线及其所成的角.专题:计算题.分析:先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B 1,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在利用余弦定理求出此角即可.解答:解:如图,将AM 平移到B 1E,NC 平移到B1F,则∠EB1F 为直线AM 与CN 所成角设边长为2,则B 1E=B1F=,EF=,∴cos∠EB 1F=,故选D.点评:本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及余弦定理的应用,属于基础题.15.(3分)已知复数z 的模为2,则|z﹣i|的最大值为()A.1B.2C.D.3考点:复数的代数表示法及其几何意义.分析:根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆,|z﹣i|表示的是圆上一点的距离,其最大值为圆上点(0,﹣2)到点(0,1)的距离.解答:解:∵|z|=2,则复数z 对应的轨迹是以圆心在原点,半径为2的圆,而|z﹣i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,∴其最大值为圆上点(0,﹣2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.故选D.点评:本题考查了复数及复数模的几何意义,数形结合可简化解答.16.(3分)函数y=的反函数()A.是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数B.是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数C.是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数D.是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数考点:反函数;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.专题:计算题;综合题.分析:先求函数的反函数,注意函数的定义域,然后判定反函数的奇偶性,单调性,即可得到选项.解答:解:设e x=t(t>0),则2y=t﹣,t 2﹣2yt﹣1=0,解方程得t=y+负跟已舍去,e x=y+,对换X,Y 同取对数得函数y=的反函数:g(x)=由于g(﹣x)===﹣g(x),所以它是奇函数,并且它在(0,+∞)上是增函数.故选C.点评:本题考查反函数的求法,函数的奇偶性,单调性的判定,是基础题.17.(3分)如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2﹣t),那么()A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)考点:二次函数的图象;二次函数的性质.专题:压轴题;数形结合.分析:先从条件“对任意实数t 都有f (2+t)=f (2﹣t)”得到对称轴,然后结合图象判定函数值的可.解答:解:∵对任意实数t都有f(2+t)=f(2﹣t)∴f(x)的对称轴为x=2,而f(x)是开口向上的二次函数故可画图观察可得f(2)<f(1)<f(4),故选A.点评:本题考查了二次函数的图象,通过图象比较函数值的大小,数形结合有助于我们的解题,形象直观18.(3分)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()A.B.C.5D.6考点:棱柱的结构特征.专题:计算题;压轴题.分析:设出长方体的长、宽、高,表示出长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,然后整理可得度.解答:解:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,由题意可知,4(a+b+c)=24…①,2ab+2bc+2ac=11…②,由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25,这个长方体的一条对角线长为:5,故选C.点评:本题考查长方体的有关知识,是基础题.二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)19.(3分)方程的解是x=﹣1.考点:有理数指数幂的化简求值.分析:将方程两边乘以1+3x,令t=3x,然后移项、合并同类项,从而解出x.解答:解:∵,∴1+3﹣x=3(1+3x),令t=3x,则1+=3+3t,解得t=,∴x=﹣1,故答案为:x=﹣1.点评:此题考查有理数指数幂的化简,利用换元法求解方程的根,是一道不错的题.20.(3分)sin15°sin75°的值是.考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.专题:计算题.分析:注意角之间的关系,先将原式化成sin15°cos15°,再反用二倍角求解即得.解答:解:∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=.∴sin15°sin75°的值是.故填:.点评:本题主要考查三角函数中二倍角公式,求三角函数的值,通常借助于三角恒等变换,有时须逆向公式.21.(3分)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则的值为.考点:子集与真子集.专题:计算题;压轴题.分析:先根据子集的定义,求集合的子集及其个数,子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合,解答:解:∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024,3=120.又∵其中由3个元素组成的子集数为C10∴则的值为=.故填:.点评:本题考查集合的子集个数问题,对于集合M的子集问题一般来说,若M中有n个元素,则集合M的个.22.(3分)焦点为F(﹣2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是1.考点:双曲线的标准方程;双曲线的简单性质.专题:计算题;压轴题.分析:先由已知条件求出a,b,c的值,然后根据函数的平移求出双曲线的方程.(﹣2,0)和F2(6,0),离心率为2,解答:解:∵双曲线的焦点为F1∴2c=6﹣(﹣2)=8,c=4,,b2=16﹣4=12,∴双曲线的方程是.故答案为:.点评:本题考查双曲线方程的求法,解题时要注意函数的平移变换,合理地选取公式.}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值23.(3分)已知等差数列{an是.考点:等差数列的性质.专题:压轴题.分析:,a3,a9成等比数列求得a1与d的关系,再代入即可.由a1解答:解:∵a,a3,a9成等比数列,1∴(a+2d)2=a1•(a1+8d),1∴a=d,1∴=,故答案是:.点评:本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质.三、解答题(共5小题,满分51分)24.(10分)已知z∈C,解方程z﹣3i=1+3i.考点:复数代数形式的混合运算.专题:计算题.分析:设出复数z将其和它的共轭复数代入复数方程,利用复数相等,求出复数z即可.解答:解:设z=x+yi(x,y∈R).将z=x+yi代入原方程,得(x+yi)(x﹣yi)﹣3i(x﹣yi)=1+3i,整理得x2+y2﹣3y﹣3xi=1+3i.根据复数相等的定义,得由①得x=﹣1.将x=﹣1代入②式解得y=0,y=3.=﹣1,z2=﹣1+3i.∴z1点评:本小题考查复数相等的条件及解方程的知识,考查计算能力,是基础题.25.(10分)已知,cos(α﹣β)=,sin(α+β)=.求sin2α的值.考点:两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦.专题:计算题.分析:本题主要知识是角的变换,要求的角2α变化为(α+β)+(α﹣β),利用两个角的范围,得到范围,用两角和的正弦公式,代入数据,得到结果.解答:解:由题设知α﹣β为第一象限的角,∴sin(α﹣β)==.由题设知α+β为第三象限的角,∴cos(α+β)==,∴sin2α=sin[(α﹣β)+(α+β)],=sin(α﹣β)cos(α+β)+cos(α﹣β)sin(α+β)=.点评:本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.已知一个角的某一个三角函数值,便关系式求出其它三角函数值.角的变换是解题的关键.的长度为d.在26.(10分)已知:两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.求证:EF=.考点:空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面垂直的判定.专题:证明题.分析:由题意作辅助面,作出两条异面直线a、b所成的角,再由垂直关系通过作辅助线把EF放在直角解.的平面为β,α∩β=c,则c∥a.答:解:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1因而b,c所成的角等于θ,且AA⊥c.1⊥b,∴AA1⊥α.∵AA1根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α..在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连接FG,则EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.∵AG=m,∴在△AFG中,FG2=m2+n2﹣2mncosθ.∵EG2=d2,∴EF2=d2+m2+n2﹣2mncosθ.)的另一侧,则如果点F(或E)在点A(或A1EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.因此,EF=.点评:本题利用条件作出辅助面和辅助线,结合线面、面面垂直的定理,在直角三角形中求公垂线的长图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.27.(10分)设等差数列{an(1)求公差d的取值范围.(2)指出S,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.1考点:等差数列的前n项和;数列的函数特性.专题:计算题;压轴题.分析:(1)由S>0,S13<0,利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②,然后利用等差数列12化简a3得到首项与公差的关系式,解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组,求出不集即可得到d的范围;(2)根据(1)中d的范围可知d小于0,所以此数列为递减数列,在n取1到12中的正整数中一项大于0,它的后一项小于0,则这项与之前的各项相加就最大,根据S>0,S13<0,利用等差12及前n项和的公式化简可得S1,S2,…,S12中最大的项.解答:解:(1)依题意,有,即=12,得a1=12﹣2d③,由a3将③式分别代①、②式,得∴<d<﹣3.>a2>a3>…>a12>a13.(2)由d<0可知a1因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得a>0,an+1<0,n就是S1,S2,…,S12中的最大值.则Sn⇒,∴a>0,a7<0,6,S2,…,S12中S6的值最大.故在S1点评:本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力,是一道中档题.28.(11分)已知椭圆(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明.考点:椭圆的简单性质.专题:证明题;压轴题.,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行分析:设A、B的坐标分别为(x1x1≠x2.又交点为P(x0,0),故|PA|=|PB|.把点P坐标代入,同时把A、B代入椭圆方程,最后可得到x0关于x1和x2的关系式,最后根据x1和x2的范围确定x0的范围.,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB 解答:证明:设A、B的坐标分别为(x1轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故|PA|=|PB|,即﹣x0)2+y12=(x2﹣x0)2+y22①(x1∵A、B在椭圆上,∴,.将上式代入①,得﹣x1)x0=②2(x2≠x2,可得.③∵x1≤a,﹣a≤x2≤a,且x1≠x2,∵﹣a≤x1+x2<2a,∴﹣2a<x1∴.点评:本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.。
高三数学理科试卷含答案
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一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x,则f(x)的对称中心为:A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, -3)D. (1, -3)2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3,公差d = 2,则第10项a10的值为:A. 19B. 21C. 23D. 253. 函数y = log2(3x - 1)的定义域为:A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1/3D. x ≥ 1/34. 已知复数z = 2 + 3i,则|z|的值为:A. 5B. 6C. 7D. 85. 下列不等式中,正确的是:A. x^2 > 0B. x^2 ≥ 0C. x^2 < 0D. x^2 ≤ 06. 函数y = e^x在定义域内是:A. 单调递减B. 单调递增C. 先增后减D. 先减后增7. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2,公比q = 3,则第5项b5的值为:A. 54B. 48C. 42D. 368. 下列各式中,正确的是:A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 1C. tan(π/2) = 1D. cot(π/2) = 19. 函数y = |x|的图像是:A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 双曲线的一部分10. 下列各式中,正确的是:A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2二、填空题(本大题共5小题,每小题10分,共50分。
)11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为______。
12. 等差数列{an}的首项a1 = 5,公差d = -3,则第10项a10 = ______。
2024年陕西高考数学(理)试题(含答案)
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2024年陕西高考数学(理)试题及答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设5i z =+,则()i z z +=( )A 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=,则()i 10i z z +=.故选:A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð( )A. {}1,4,9B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ,结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==,所以{}1,4,9,16,25,81B =,则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð 故选:D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为( )A. 5 B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后,利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,作出可行域如图:.由5z x y =-可得1155y x z =-,即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-,则该直线截距取最大值时,z 有最小值,此时直线1155y x z =-过点A ,联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则min 375122z =-⨯=-.故选:D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若510S S =,51a =,则1a =( )A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =,即可计算出公差,即可得1a 的值.【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==,则80a =,则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-,故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选:B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ,结合双曲线定义计算可得2a ,即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ,则1228F F c ==,110PF ==,26PF ==,则1221064a PF PF =-=-=,则28224c e a ===.故选:C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+,则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程,即可得其与坐标轴交点坐标,即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+,则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+,即该切线方程为13y x -=,即31y x =+,令0x =,则1y =,令0y =,则13x =-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.7. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ,代入1x =可得()10f >,可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=,又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C ,又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故可排除D.故选:B.8. 已知cos cos sin ααα=-,则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α,再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-,所以11tan =-α,tan 1⇒α=-,所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭,故选:B.9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=,则( )A. “3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D. “1x =-”是“//a b”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.【详解】对A ,当a b ⊥ 时,则0a b ⋅=,所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x =时,()()1,0,0,2a b ==,故0a b ⋅=,所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =±,即必要性不成立,故B 错误;对D ,当1x =-+时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.10. 设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ= .下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β ②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是( )A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①;举反例即可判断②④;根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β,当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α,当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ,因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s ,同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β,因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确,故选:A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=( )A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =,再利用余弦定理有22134a c ac+=,再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值,最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=,即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=,因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin A C +=.故选:C.12. 已知b 是,a c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为( )A. 2 B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换,求出直线恒过的定点,采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列,所以2b a c =+,2c b a =-,代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=,即()()120a x b y -++=,令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩,故直线恒过()1,2-,设()1,2P -,圆化为标准方程得:()22:25C x y ++=,设圆心为C ,画出直线与圆的图形,由图可知,当PC AB ⊥时,AB最小,1,PC AC r ===,此时24AB AP ====.故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是______.【答案】5【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大,则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,进而求出r即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z ,设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r =,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ,母线长分别为()212r r -和()213r r -,则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______.【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高,再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲,)12h r r ==-乙,所以V h V h ====甲甲乙乙.15. 已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a ______.【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,整理得()2225log 60log a a --=,2log 1a ⇒=-或2log 6a =,又1a >,所以622log 6log 2a ==,故6264a ==故答案为:64.16. 有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______.【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则323a b c a b +-≤≤++,就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A 120=种,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则1322a b c a b +++-≤,故2()3c a b -+≤,故32()3c a b -≤-+≤,故323a b c a b +-≤≤++,若1c =,则5a b +≤,则(),a b 为:()()2,3,3,2,故有2种,若2c =,则17a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4,()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种,当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5,()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4,故有16种,当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种,当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种,当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种,共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=,故所求概率为56712015=.故答案为:715三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据,能否认为12.247≈)附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【解析】【分析】(1)根据题中数据完善列联表,计算2K,并与临界值对比分析;(2)用频率估计概率可得0.64p=,根据题意计算p+.【小问1详解】根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯,因为3.841 4.6875 6.635<<,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64 150=,用频率估计概率可得0.64p=,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=,则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈,可知p p >+,所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,且434n n S a =+.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】(1)14(3)n n a -=⋅- (2)(21)31n n T n =-⋅+【解析】【分析】(1)利用退位法可求{}n a 的通项公式.(2)利用错位相减法可求n T .【小问1详解】当1n =时,1114434S a a ==+,解得14a =.当2n ≥时,11434n n S a --=+,所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-,而140a =≠,故0n a ≠,故13nn a a -=-,∴数列{}n a 是以4为首项,3-为公比的等比数列,所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-,(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.【答案】(1)证明见详解; (2【解析】【分析】(1)结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形,可证//BM CD ,进而得证;(2)作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF ,易证,,OB OD OF 三垂直,采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =,四边形BCDM 平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE ;【小问2详解】如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =,结合(1)BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =,为所以ABM 为等边三角形,O 为AM中点,所以OB =,又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =,四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF ==,所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF ==,因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直,以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系,()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3BM E,()(),BM BF ==,()2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =,平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =,则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =113,1y z ==,即)m =,则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩,令2x =,得223,1y z ==-,即)1n =-,11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅,则sin ,m n =,故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q,证明:AQ y ⊥轴.【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析【解析】【分析】(1)设(),0F c ,根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量,故可求椭圆方程.(2)设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线方程和椭圆方程,用,A B 的坐标表示1Q y y -,结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=,故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ,由题设有1c =且232b a =,故2132a a -=,故2a =,故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在,设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=,故()()422Δ102443464120k k k=-+->,故1122k -<<,又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++,而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-,故22223325252Qy y y x x --==--,所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-,故1Q y y =,即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为()()1122,,,x y x y ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,注意∆的判断;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x (或12y y +、12y y )的形式;(5)代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-.(1)当2a =-时,求()f x 的极值;(2)当0x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)极小值0,无极大值. (2)12a ≤-【解析】【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数,就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.小问1详解】当2a =-时,()(12)ln(1)f x x x x =++-,故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++,因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数,为【故()f x '在()1,∞-+上为增函数,而(0)0f '=,故当10x -<<时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>,故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =,无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++,设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+,则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+,当12a ≤-时,()0s x '>,故()s x 在()0,∞+上增函数,故()()00s x s >=,即()0f x '>,所以()f x 在[)0,∞+上为增函数,故()()00f x f ≥=.当102a -<<时,当210a x a+<<-时,()0s x '<,故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数,故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <,即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数,故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=,不合题意,舍.当0a ≥,此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立,同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立,不合题意,舍;综上,12a ≤-.【点睛】思路点睛:导数背景下不等式恒成立问题,往往需要利用导数判断函数单调性,有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征,处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.为[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :x ty t a=⎧⎨=+⎩(t 为参数),若C 与l 相交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【解析】【分析】(1)根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程.(2)将直线的新的参数方程代入C 的直角方程,法1:结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程,从而可求参数a 的值;法2:将直线的直角方程与曲线的直角方程联立,结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+,将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+,1x =+,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为y x a =+.法1:直线l 的斜率为1,故倾斜角为π4,故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s,则)()212121,21s s a s s a +=--=-,且()()22Δ818116160a a a =---=->,故1a <,12AB s s ∴=-=2==,解得34a =.法2:联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩,得22(22)10x a x a +-+-=,()22Δ(22)41880a a a =---=-+>,解得1a <,设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-,则AB ==2=,解得34a =[选修4-5:不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥.(1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a -+-≥.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.(2)根据绝对值不等式并结合(1)中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥,当a b =时等号成立,则22222()a b a b +≥+,因为3a b +≥,所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。
高考理科数学试题及答案
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高考理科数学试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列函数中,为奇函数的是()A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案:C2. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在点 \( x = 2 \) 处的切线方程是()A. \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \)B. \( y = x - 2 \)C. \( y = \frac{1}{2}x - 1 \)D. \( y = -x + 2 \)答案:A3. 一个等差数列的前三项分别为 \( a_1, a_2, a_3 \),若 \( a_2 = 5 \),\( a_3 = 8 \),则 \( a_1 \) 的值为()A. 2B. 3C. 4D. 5答案:B4. 已知 \( \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \),\( \sin(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \),且 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 都在第一象限,则 \( \cos(\alpha - \beta) \) 的值为()A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{3} \)答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 已知 \( \tan(\theta) = 3 \),求 \( \sin(\theta) \) 的值。
答案:\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)2. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,求斜边的长度。
答案:53. 已知 \( \log_2(3) = a \),求 \( \log_2(9) \) 的值。
答案:2a4. 一个等比数列的前三项分别为 \( b_1, b_2, b_3 \),若 \( b_1 = 2 \),\( b_2 = 4 \),则 \( b_3 \) 的值为。
高考理科数学试题及参考答案
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高考理科数学试题及参考答案一、选择题:1. 已知函数f(x) = 2x + 3,下列函数与f(x)图象平行的直线方程是:A. y = 2x + 1B. y = 4x - 5C. y = -2x + 1D. y = -4x + 5答案:A2. 若矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\),则矩阵A的行列式值为:A. 2B. -2C. 5D. -5答案:C3. 已知函数g(x) = x^3 - 3x + 1,下列函数与g(x)图象只有一个交点的是:A. h(x) = x^2 - 2x + 1B. h(x) = x^2 + 2x + 1C. h(x) = -x^2 + 2x - 1D. h(x) = -x^2 - 2x + 1答案:A4. 若复数z = 3 + 4i,则|z|的值为:A. 5B. 7C. 9D. 25答案:A5. 已知三角形ABC,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a = 5, b = 8, cosC = 1/4,则sinA的值为:A. 3/14B. 5/14C. 15/14D. 20/21答案:D二、填空题:6. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图象经过点(1, 2),(2, 5),(3, 8),则b的值为______。
答案:27. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 +3n,则第5项a5的值为______。
答案:538. 若矩阵B = \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\),则|B|的值为______。
答案:29. 若函数g(x) = ln(x) - x + 1在区间(0, 1)上单调递增,则m的取值范围是______。
答案:m ≥ 110. 已知函数h(x) = x^3 - 3x + 1,则h'(x)的值为______。
理科高考数学试题及答案
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理科高考数学试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的最小正周期是:A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案:B2. 已知数列{an}满足a1 = 1,且an+1 = 2an + 1,求数列{an}的通项公式:A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^(n-1) + 1D. an = 2^(n-1) - 1答案:A3. 直线l的方程为y = 2x + 3,与x轴的交点坐标是:A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (-3, 0)答案:D4. 已知向量a = (3, -1),向量b = (1, 2),则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为:A. 1/√10B. -1/√10C. 1/√5D. -1/√5答案:A5. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间(1, 2)内:A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案:C6. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,若双曲线C的一条渐近线方程为y = (√3/3)x,则双曲线C的离心率为:A. √3B. 2C. 3D. √6答案:B7. 已知等比数列{bn}的前三项分别为1,2,4,则该数列的公比q为:A. 2B. 1/2C. 1/4D. 4答案:A8. 函数f(x) = x^2 - 6x + 8的值域为:A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 8]D. [8, +∞)答案:B9. 已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a^2 + b^2 = c^2,若三角形ABC的面积为3√3,则三角形ABC的周长为:A. 6B. 8C. 10D. 12答案:C10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + m,若f(x)在区间[2, +∞)上单调递增,则实数m的取值范围为:A. m ≥ 4B. m ≤ 4C. m > 4D. m < 4答案:A二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 = 1,公差d = 2,则S5的值为______。
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高考理科数学试题及答案(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -2. 设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=.若{}1AB =,则B =()A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π5. 设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是()A .15-B .9-C .1D .96. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A .12种B .18种C .24种D .36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的S =()A .2 B .3 C .4 D .59. 若双曲线C:22221x y a b-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的 离心率为()A .2B .3C .2D .2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为()A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为()A .32 B .155 C .105D .33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X =. 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是.15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11nk kS ==∑. 16. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点,M 是C 上一点,F M 的延长线交y 轴于点N .若M 为F N 的中点,则F N =.三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=. (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )某频率直方图如下: 1.设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率;2.填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法 新养殖法3.根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)P ()0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819.(12分)如图,四棱锥PABCD 中,侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ,o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点.(1)证明:直线//CE 平面PAB(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ,求二面角MABD 的余弦值 20. (12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2212x y +=上,过M 做x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x=3上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.(12分)已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. (1)求a ;(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且230()2ef x --<<.(二)选考题:共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值.23.[选修45:不等式选讲](10分)已知330,0,2a b a b >>+=,证明: (1)33()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤.参考答案1.D2.C【解析】1是方程240x x m -+=的解,1x =代入方程得3m =∴2430x x -+=的解为1x =或3x =,∴{}13B =,3.B【解析】设顶层灯数为1a ,2=q ,()7171238112-==-a S ,解得13a =.4.B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半. 5.A【解析】目标区域如图所示,当直线-2y =x+z 取到点()63--,时,所求z 最小值为15-.6.D【解析】只能是一个人完成2份工作,剩下2人各完成一份工作.由此把4份工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=7.D【解析】四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然)→乙看了丙成绩,知自己成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知自己成绩.8.B【解析】0S =,1k =,1a =-代入循环得,7k =时停止循环,3S =. 9.A【解析】取渐近线by x a =,化成一般式0bx ay -=,圆心()20,到直线距离为2223b a b =+ 得224c a =,24e =,2e =.10.C【解析】M ,N ,P 分别为AB ,1BB ,11B C 中点,则1AB ,1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角(异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦,)可知1152MN AB ==,1122NP BC ==,作BC 中点Q ,则可知PQM △为直角三角形. 1=PQ ,12MQ AC =ABC △中,2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭,7=AC则7MQ =,则MQP △中,22112MP MQ PQ =+= 则PMN △中,222cos 2MN NP PM PNM MH NP+-∠=⋅⋅又异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦,,则余弦值为10.11.A 【解析】()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦, 则()()32422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦,则()()211x f x x x e -=--⋅,()()212x f x x x e -'=+-⋅, 令()0f x '=,得2x =-或1x =, 当2x <-或1x >时,()0f x '>, 当21x -<<时,()0f x '<, 则()f x 极小值为()11f =-.12.B【解析】几何法:如图,2PB PC PD +=(D 为BC 中点), 则()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅,要使PA PD ⋅最小,则PA ,PD 方向相反,即P 点在线段AD 上, 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅, 即求PD PA ⋅最大值, 又323PA PD AD +==⨯=, 则223324PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤, PD CBA则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-. 解析法:建立如图坐标系,以BC 中点为坐标原点, ∴()03A ,,()10B -,,()10C ,. 设()P x y ,, ()3PA x y=--,,()1PB x y =---,,()1PC x y =--,,∴()222222PA PB PC x y y ⋅+=-+则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时0x =,3y =.13.1.96【解析】有放回的拿取,是一个二项分布模型,其中0.02=p ,100n =则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14.1【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,令cos x t =且[]01t ∈, 则当3t =时,()f x 取最大值1. 15.2+1n n 【解析】设{}n a 首项为1a ,公差为d .则3123a a d =+=求得11a =,1d =,则n a n =,()12n n n S +=16.6【解析】28y x =则4p =,焦点为()20F ,,准线:2l x =-,如图,M 为F 、N 中点,l FN M C BAOyx故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线, ∵2CN =,4AF =, ∴3ME =又由定义ME MF =, 且MN NF =, ∴6NF NM MF =+=17.【解析】(1)依题得:21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-. ∵22sin cos 1B B +=, ∴2216(1cos )cos 1B B -+=, ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=, ∴15cos 17B =, (2)由⑴可知8sin 17B =. ∵2ABC S =△, ∴1sin 22ac B ⋅=, ∴182217ac ⋅=, ∴172ac =, ∵15cos 17B =, ∴22215217a cb ac +-=,∴22215a c b +-=, ∴22()215a c ac b +--=,∴2361715b --=,∴2b =.18.【解析】(1)记:“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(2)由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关.(3)150.2÷=,()0.20.0040.0200.0440.032-++=80.0320.06817÷=,85 2.3517⨯≈ 50 2.3552.35+=,∴中位数为52.35.19.【解析】(1)令PA 中点为F ,连结EF ,BF ,CE .∵E ,F 为PD ,PA 中点,∴EF 为PAD △的中位线,∴12EF AD ∥.又∵90BAD ABC ∠=∠=︒,∴BC AD ∥. 又∵12AB BC AD ==,∴12BC AD ∥,∴EF BC ∥. ∴四边形BCEF 为平行四边形,∴CE BF ∥. 又∵BF PAB ⊂面,∴CE PAB 面∥(2)以AD 中点O 为原点,如图建立空间直角坐标系.设1AB BC ==,则(000)O ,,,(010)A -,,,(110)B -,,,(100)C ,,,(010)D ,,,(00P ,.M 在底面ABCD 上的投影为M ',∴MM BM ''⊥.∵45MBM '∠=︒,∴MBM '△为等腰直角三角形.∵POC △为直角三角形,OC =,∴60PCO ∠=︒.设MM a '=,3CM a '=,31OM a '=-.∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭,,. 222231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭.∴3211OM a '=-=-. ∴21002M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭,,,26102M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,, 2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,,(100)AB =,,.设平面ABM 的法向量11(0)m y z =,,. 1160y z +=,∴(062)m =-,, (020)AD =,,,(100)AB =,,.设平面ABD 的法向量为2(00)n z =,,,(001)n =,,.∴10cos ,m n m n m n⋅<>==⋅. ∴二面角M AB D --的余弦值为10. 20.【解析】 ⑴设()P x y ,,易知(0)N x ,(0)NP y =,又1022NM NP ⎛== ⎪⎝⎭,∴2M x y ⎛⎫⎪⎝⎭,,又M 在椭圆上. ∴22122x += ⎪⎝⎭,即222x y +=. (3)Q Q y -,,()P P P x y ,,(0)Q y ≠,⑵设点由已知:()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=,,, ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=,∴213OP OQ OP ⋅=+=, ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=.设直线OQ :3Q y y x =⋅-,因为直线l 与OQ l 垂直.∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+, 令0y =,得3()P Q P y y x x -=-, 13P Q P y y x x -⋅=-, ∴13P Q P x y y x =-⋅+,∵33P Q P y y x =+,∴1(33)13P P x x x =-++=-,若0Q y =,则33P x -=,1P x =-,1P y =±, 直线OQ 方程为0y =,直线l 方程为1x =-, 直线l 过点(10)-,,为椭圆C 的左焦点.21.【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥,0x >,所以ln 0ax a x --≥.令()ln g x ax a x =--,则()10g =,()11ax g x a x x-'=-=, 当0a ≤时,()0g x '<,()g x 单调递减,但()10g =,1x >时,()0g x <; 当0a >时,令()0g x '=,得1x a=. 当10x a <<时,()0g x '<,()g x 单调减;当1x a>时,()0g x '>,()g x 单调增. 若01a <<,则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调减,()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭;若1a >,则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调增,()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭;若1a =,则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()0g x ≥.综上,1a =.⑵()2ln f x x x x x =--,()22ln f x x x '=--,0x >.令()22ln h x x x =--,则()1212x h x x x-'=-=,0x >. 令()0h x '=得12x =, 当102x <<时,()0h x '<,()h x 单调递减;当12x >时,()0h x '>,()h x 单调递增.所以,()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭.因为()22e 2e 0h --=>,()22ln 20h =->,21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,,所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭,和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上,()h x 即()f x '各有一个零点.设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭,和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上的零点分别为02x x ,,因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭,上单调减,所以当00x x <<时,()0f x '>,()f x 单调增;当012x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减.因此,0x 是()f x 的极大值点.因为,()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上单调增,所以当212x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减,2x x >时,()f x 单调增,因此2x 是()f x 的极小值点.所以,()f x 有唯一的极大值点0x .由前面的证明可知,201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,则()()24220e e e e f x f ---->=+>.因为()00022ln 0f x x x '=--=,所以00ln 22x x =-,则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-,因为0102x <<,所以()014f x <. 因此,()201e 4f x -<<. 22.【解析】⑴设()()00M P ρθρθ,,, 则0||OM OP ρρ==,.解得4cos ρθ=,化为直角坐标系方程为()2224x y -+=.()0x ≠⑵连接AC ,易知AOC △为正三角形.||OA 为定值.∴当高最大时,AOB S △面积最大,如图,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于H 点 交圆C 于B 点, 此时AOB S △最大23.【解析】⑴由柯西不等式得:()()()2255334a b a b a b ++=+=≥1a b ==时取等号. ⑵∵332a b +=∴()()222a b a ab b +-+= ∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦∴()()332a b ab a b +-+=∴()()323a b aba b +-=+由均值不等式可得:()()32232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤ ∴()()32232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭≤ ∴()()33324a b a b ++-≤∴()3124a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立.高考模拟复习试卷试题模拟卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.)1.【高考湖南卷第3题】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且1)()(23++=-x x x g x f ,则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 32.【普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A .4B .3C .2D .13.【广东实验中学期中测试】已知为R 上的奇函数,且满足,当时,,则( )A .2B .2C .8D .84.【威海市高三第二次模考】周期为4的奇函数在上的解析式为,则( )(A )(B )(C ) (D )5.【内蒙古呼伦贝尔市统一考试】已知函数满足,关于轴对称,当时,,则下列结论中正确的是( ) A .B .C .D .6.【山东卷】下列判断正确的是 ( )(4.5)(6.5)(7)f f f <<(7)(6.5)(4.5)f f f <<(7)(4.5)(6.5)f f f <<(4.5)(7)(6.5)f f f <<22()log f x x =)2,0(∈x y (2)y f x =-)2()2(-=+x f x f ()f x (2015)=f 2()=2f x x ()0,2x ∈(4)=()f x f x +3210(2014)+(2015)f f =22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩[0,2]()f x ()f xA.函数是奇函数 B. 函数是偶函数C. 函数D. 函数既是奇函数又是偶函数7.【北京市昌平区二模】若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为( ) (A )( ) (B )() (C ) (D )8.【期中备考总动员】已知函数(R )是偶函数,其部分图象如图所示,则在上与函数的单调性相同的是( )A .B .C .D .9.【鹰潭市高三第一次模拟考试理科】已知命题:函数的最小正周期为;命题:若函数为偶函数,则关于对称.则下列命题是真命题的是( ) A .B . C . D .10.【朝阳市三校协作体高三下学期开学联考理科】已知定义在上的奇函数满足,若,,则实数的取值范围为( )2log y x=,0,0xxe x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩cos y x=21y x =-+()f x (2,0)-x ∈()y f x =a ()1732a f a +-=-()12f ->-()()2f x f x +=-()f x R ()p q ∨⌝)()(q p ⌝∧⌝q p ∨q p ∧1=x )(x f )1(+x f q π21()sin 2f x x =-p 1,+∞()0,1()x ()3f x >21()2x xf x a +=-1)(=x f 4616)(2-++-=x x x x f 1()(1)1xf x x x +=--22()2x x f x x -=-A.B .C .D .11.函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则( )A .()f x 是偶函数B .()f x 是奇函数C .()(2)f x f x =+D .(3)f x +是奇函数12.【高考湖北卷理第10题】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=,若R ∈∀x ,)()1(x f x f ≤-,则实数a 的取值范围为( )A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[- 3.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)13.【天水市一中高三信息卷】函数为奇函数,则实数.14.【高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[)0,3x ∈时,21()22f x x x =-+,若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是.15.【第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】已知函数32tan sin )(x xx x f ++=,)1,1(-∈x ,则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是. 16.【成都外国语学校高三10月月考理科数学】已知函数的定义域为[],部分对应值如下表:0 4 5 1221的导函数的图象如图所示,)('x f y =)(x f )(x f 1-x5,1-)(x f =a )12lg()(x a x f ++=()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,1-3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭下列关于的命题:①函数是周期函数;②函数在[0,2]上是减函数;③如果当时,的最大值是2,那么的最大值是4;④当时,函数有4个零点;⑤函数的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确命题的序号是_____________(写出所有正确命题的序号). 4.解答题 (本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.【江西上饶地区德兴一中期末测试】(本题满分17分)已知 (Ⅰ)判断的奇偶性; (Ⅱ)求的值域.18.【期中备考总动员浙江卷】(本题满分17分)已知函数)(x f 定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈≠R x Z k kx x ,,2,且0)2()(=-+x f x f ,)(1)1(x f x f -=+,当121<<x 时,x x f 3)(=. (1)证明:)(x f 为奇函数;(2)求)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1上的表达式;(3)是否存在正整数k ,使得⎪⎭⎫⎝⎛++∈12,212k k x 时,k kx x x f 2)(log 23-->有解,若存在求出k 的值,若不存在说明理由.19.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足(2)(2)f x f x -=+,f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0.(Ⅰ)试判断函数()y f x =的奇偶性;(Ⅱ)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论. 20.【长安五中等五校高三第二次联考】函数.(1)令,求的解析式;)(2014x f )(),()(),()(*'1'1N n x f x f x f x f n n ∈==+xx f sin )(=ax f y -=)(ax f y -=)(21<<a t )(x f ],1[t x -∈)(x f )(x f )(x f )(x f )(x f 1212)(+-=x x x f(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.高考模拟复习试卷试题模拟卷a[]π,0x ax x f cos 1)(+≥+。