计算——第三种科学方法

“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失 望之余，我只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍，算术我一 向很差，不过间接地用代数方法，我很快又会正确计算的”
马克思致恩格斯的信《马克思恩格斯全集》第29卷第247页，人民出版社

气象预报
传统方法：观察、对比资料、分析归纳、作出定性描述。 数值方法：确定初始和边界条件，求解大气运动方程。进行定量和定性分析。
例3: 全国天文大地三角网首次平差
16万个未知数，31万个方程式的矛盾方程组 例4： 由于计算机字长的限制，有舍入误差
( a b ) c a (b c )
对 k 位字长的计算机
1 (1 2
( k 1 ) ( k 1 ) k
)2 2
1 (2
( k 1 )
1983年一个以美国著名数学家拉克斯为首包括不同学科 的专家委员会向美国政府提出报告，强调科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家 命脉的大事。报告提请美国政府密切注意日本和欧洲的挑战。 报告特别指出计算能力的提高来自算法研究的进步与来自计 算机硬件技术的进步同等重要。呼吁美国政府对于科学计算 研究和高性能计算机研制在政策上给以重视和支持。美国总 统科学顾问基沃斯在国会作证时表示决心捍卫美国在超级计 算机和大型科学计算方面的历史性领先地位。 很快美国政府就把科学工程计算、生物工程、和地球科 学一起列入美国国家科学基金三大重点优先支持领域。 1986年我国科学家冯康院士等也给当时的李鹏副总理写 过“紧急建议”，建议把大型科学工程计算方法及应用软件 的研究纳入国家重点科技攻关项目，得到积极支持。
2 n a n
a n 2 sin

n
n
1 2
n a n n sin

n
sin

n
lim
n
n
lim
n

n
n

n
3
2.5980
6
3.0000
12
3.1053
… …
4
16
192
3.141042
… …
采用外推算法

(i)

编码相当于两个大素数相乘 译码相当于把这个乘积进行因子分解 11927×20903=249310081
一个计算机在瞬间制造这样一个密钥很容易, 但要打开却很困难. 例如250位字长的质数的分解
超级计算对计算机和计算方法都提出挑战
银河III 100亿次计算机(1997)
曙光4000A
10万亿次 高效并行(多处理器,多核)

水坝、桥梁、建筑等工程设计
有限元方法
机器证明、人工智能
以知识库(专家规则库)为基础，以顺序离散符号推理为特征
吴文俊获2000年首届国家最高科技奖

计算智能(Computational intelligence)
计算的方式上溶入或模仿人的智能，让信息处理系统具有综合、优化、联想、 辨别、学习能力，是人工智能的深化和发展。 以模型（数学模型、计算模型）为基础，以分布、并行计算为特征。 智能结构模拟：人工神经网络 智能行为模拟：模糊逻辑、模糊推理
6i
3

3i
( 2i)
(i)
[i]
3
15

(1 )
( 4 ( 4
6

) / 3 3 . 1340
6
(2)
12

) / 3 3 . 1412
[1 ]
(16
(2)

(1 )
) / 15 3 . 14168
圆周率 = 3.141592653589793…
1990s 本科分三类: 基础数学与应用数学，统计学， 信息与计算 研究生: 同上五个二级学科 应用数学主要是数学模型(model) 计算数学主要是算法 (algorithm) 没有很好的模型就不可能有好的算法，一个模型 可以对应多个算法。


计算数学是各种计算学科联系的纽带和基础
把数学模型离散化，设计计算方法 研究算法的稳定性和收敛性 设计可靠、高效、使用方便的软件 偏微分方程的数值解法 数值代数方法 数值逼近方法 最优化计算方法 概率统计计算方法 反演问题的数值计算 神经网络计算方法
( k 1 )
) 1 2
例5： 多重积分的计算
I( f )
f (x , , x
0 0 s 1
1
1
s
) dx 1 dx
s
用累次积分法，例如将梯形公式用于每个变量，得近似值
In ( f ) 1 n

k1 0 ks
m 1
m 1
Hale Waihona Puke Baidu
f (
k1 m
诺贝尔经济学奖
1969年首届获奖者 弗瑞希和丁伯根—计量经济学的创始人 1970年获奖者 萨缪尔森—1937年写出到1947 年发表的成名作 《经济分析基础》 1972年获奖者 希克斯和阿罗（1951年获数学博士，创立数理经济学分支： 公共选择、社会选择，其中的奠基性定理 《阿罗不可能定理》完全是 一条数学定理 1973年获奖者 列昂节夫—成为经济学常识的投入产出方法是一种数学方法 1975年获奖者 康托洛维奇（前苏联的大数学家）和库普曼（美籍荷兰人） 运用数学规划理论来研究资源的最优利用和经济的最优增长 …………………………………………… 绝大多数获奖者获奖的情况都是在经济学和数学以一种极高的水平的 联系下获得的。
r
1
(
sn x rn
x r1
)
r
其中
s1 , , s n
满足方程

i 1
1
n
si ( x r j ) 1
ji
由此得到
si
n ( ri r j ) j 1 ji
n
i 1, , n
注意到
z
n
r ( z rj )
联想研制30万亿次计算机。 美国劳伦斯-利弗摩尔 蓝色基因/L 280.6万亿次/秒-360万亿次/秒 日本NEC 地球模拟器(Earth Simulator) 35.86万亿次/秒 中科院计算所联合曙光公司研制出的百万亿次超级计算机曙光5000
2010年推出千万亿次超级计算机，
科学计算的要求是无限的,，计算机硬件的 能力是有限的。当硬件的技术水平受限时, 应当充分依赖智力，用软件的优势来弥补 硬件的不足。

核武器和核电站的研制
核反应和核爆炸的数值模拟

飞行器的设计
我国启动17亿元的飞机数字化设计项目研究、数值风洞
油气资源的勘察与开采
人工地震波，求解地震波方程的反演问题

社会、经济系统
人口发展趋势预测 国家宏观经济最优控制模型 精算 博弈论
2002年著名数学家纳什在北京国际数学家大会作题为《通过代理来研究博弈 中的合作》的公众报告。纳什在21岁时就提出了纳什均衡理论，后来成为博 弈论的两大基础之一。电影《美丽心灵》就是根据纳什的传奇经历改编的。
例
仿生过程算法（SEC）：从智能生成过程的观点模拟
进化计算 （Simulated Evolutionary Computation）
max
x
f (x)
1。目标函数没有明确的表达式（如非数值优化）。 2。目标函数虽有表达式，但无法计算，不能恰当估值。 3。目标函数有极多峰值（如DNA计算、组合优化计算） 4。目标函数是向量函数，即多目标（Multiobjective） 目标函数不连续、不可微、高度非线性 或无法解析表达
和英国文化委员会的支持
高性能科学计算研究
共性问题 并行自适应方法 保结构算法 并行自适应 支撑软件框架 及核心应用程序 千万自由度 完整气候系统模式的算法 千万自由度三维多介质 大变形流体力学数值模拟 处理几百上千个原子 的实空间第一原理计算方法 材料多物理多尺度耦合模型 及其计算方法

科学的计算机化
计算—第三种科学方法
祝家麟
计算已成为第三种科学方法
“实验、理论、计算已成为科学方法上 相辅相成的而又相对独立，可以相互补 充替代而又彼此不可缺少的三个主要环 节” 冯康
伽利略系统创立科学实验方法 牛顿奠定了力学、物理学的理论基础
1846年海王星的发现 马克斯威尔发现电磁波
阿伦.图灵，克劳德.商农，约翰.冯.诺依曼 Alan Turing， Claude Shannon， John Von Neumann
人类的计算能力是计算工具的性能与计算 方法效率的总和
1955-1975 硬件IBM650 CRAY1的运算速度提 高数千倍，同一时期求解一特定规模的椭圆型方 程计算方法的效率提高一百万倍。
不能低估人的计算能力。 例：RAS密码系统
计算方法的研究对于提高计算能力的贡献 是与新一代计算机的研制同样重要
Rivest Shamir Adleman密码系统
已用于人工网络训练、程序自动生成、专家系统知识库维护
大分子计算、蛋白质结构预测、基因比对。
计算生物学

前沿生物学处于基因组时代 生命个体的遗传信息都保存在载体DNA上 生物基因的演化形成了物种的变化 基因的协同\变异的进化过程的树结构 用计算手段来研究基因组到蛋白组的结构
“计算生物学方法在基因组和蛋白组学 中的应用” 课题得到国家自然科学基金
Ai x ri
i 1, , n
B i s i / Ai
C
i 1, , n

i 1
n
Bi
D 1/ C
E Dr (E x )
n
以上算法计算
x
n
没有用任何乘法，只需花费
2 次除法和 [log n]+2 次加法的时间
比串行算法加速 O（n /log n）
例2： 计算圆周率
IBM为美国核安全管理局（NNSA） 洛斯阿拉莫斯 国家实验室提供的混合超级计算机在日前公布的超级 计算机500强名录中，以巨大的领先优势荣获全球最强 大系统桂冠。该款超级计算机高达1.02 petaflops（每秒 运算1.02×1015次）的持续性能令其独占鳌头，速度 比超级计算机排名中其他领先对手快3倍多。 这一突破了千万亿次计算大关的系统由IBM为NNSA 制造，部署在洛斯阿拉莫斯国家实验室内， 这台NNSA超级计算机不但将用于保证美国核武器 储备的可靠性和安全性，还将为多种科学和商业领域 的未来研究奠定基础，包括生物科技、替代能源、气 候变化和物理学方面的研究。
三。计算数学是科学工程计算的基础


1980s 中国数学: 五个二级学科 基础数学，应用数学，计算数学， 概率统计，运筹控制 国外数学: 纯粹数学(pure)， 应用数学 (applied) ， 统计 (statistics)
数学是各种计算学科联系的纽带和基 础

j 1
在 ri 的一阶导数为
nr i
n 1
( ri r j )
ji
因此
si
1 nr i
n 1

ri nr i
n

ri nr
i 1, , n
常数
r1 , , rn
s1 , , s n
可事先算出并存储起来
这样，可建立并行求值的如下算法：
1。 并行计算 2。 并行计算 3。 并行计算 4。 计算 5。 计算
, ,
ks m
)
在 n ms
1 s
个点上取值，可以证明其误差 ε 不小于 当 s 增大时，误差 ε 增长很快 若 s=5，要求 10
3
O (n
)
则有 n 10 15
若以每秒运算百万次的计算机计算，至少需要10年。 华罗庚---王元 创立求解高维积分的 华---王方法。
科学与工程问题 经济问题
局限于从数学基本原理的计算或数学中的计算还不能称 为计算数学。计算数学是指研究用电子计算机计算所涉 及的计算方法及数学分析的学科。
例1：
x
n
n
x x x
n
z r 0
x
n
r0
n个根 r1 , , rn
1
x s1
n
1 r r n x r s2 x r2
应用数学
数学模型
计算数学 数学模型 程序设计 计算模型 计算模型
计算软件 实验
计算
理论
二。 计算是知识经济和信息时代的要求

信息时代的信息是变成数字的信息
比尔•盖茨： 《未来之路》 Bill. Gates <The road Ahead> 王选： 《我一生中的八个重要选择》
李未：《海量存储》，《关于信念集的修正演算系统》
二十世纪四十年代一群数学家在宾夕法尼亚大学摩尔电子工程 学院研制了地一台电子计算机器 ENIAC。
计算是指依赖于电子计算机这种计算工具来解决科学和 工程中的问题的一种手段。涉及到对计算方法、数值分 析、程序设计的研究。其基础学科是计算数学。
计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、工程计算……
一。数学中的计算不等同于计算数学