(易错题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案

（易错题精选）初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案

一、选择题

1．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋

转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2

x

的图象上，OA'交反比例函数y=

k

x

的图象

于点C，且OC=2CA'，则k的值为（）

A．4 B．7

2

C．8 D．7

【答案】C

【解析】

【详解】

解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），

∵点B'在反比例函数y=﹣2

x

的图象上，

∴﹣asinα=﹣

2

acosα

，得a2sinαcosα=2，

又∵点C在反比例函数y=k

x

的图象上，

∴2acosα=

k

2asinα

，得k=4a2sinαcosα=8.

故选C.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=2

3

，那么AB的长是（）

A ．3

B ．43

C ．5

D ．13

【答案】A

【解析】 根据锐角三角函数的性质，可知cosA=

AC AB =23

，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值

cosA=A ∠的邻边

斜边，然后带入数值即可求解.

3．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2

sin cos θθ-=( )

A ．15

B 5

C ．355

D ．95

【答案】A

【解析】 【分析】

根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．

【详解】

解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，

∴大正方形的边长为555，

∴55555θθ-=，

∴5cos sin θθ-=

， ∴()21sin cos 5

θθ-=

． 故选：A ．

【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正

确得出5cos sin 5

θθ-=．

4．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）

A ．53

B ．35

C ．22

D ．23

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，

∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，

∴∠BED ＝∠CDF ，

设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，

∴DF ＝FA ＝2﹣x ，

∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，

CF 2+CD 2＝DF 2，

即x 2+1＝（2﹣x ）2，

解得：34

x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠=

=． 故选：B ．

【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

5．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法

是：如图：

（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；

（3）连接BD，BC．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝

3

2

D．cosD＝

1

2

【答案】D

【解析】

【分析】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．

【详解】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确；

∴点B在以AD为直径的圆上，

∴∠ABD＝90°，故A正确；

∴点C是△ABD的外心，

在Rt△ABC中，sin∠D＝AB

AD

＝

1

2

，

∴∠D＝30°，∠A＝60°，

∴sinA 3

C正确；cosD

3

D错误，

故选：D．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

6．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE GF AB

=<（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是

（）