考点16 三角函数答案

考点16：三角函数的图象与应用【考纲要求】（1）能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图像；（2）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图像，了解参数,,A ωϕ对函数图像变化的影响；（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【命题规律】三角函数的图象是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：（1）三角函数图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；（2）利用三角函数的图象求解与三角函数有关的函数的零点、方程的根、图象的交点等问题，通常以选择题与填空题形式考查．预计2018年高考对三角函数图象的考查也主要体现在函数图象的识别与应用，会以客观题出现． 【典型高考试题变式】（一）根据三角函数图象（或图象特征）确定解析式例1 【2016浙江】函数2sin y x =的图象是（ ）【答案】D【解析】因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即2x π=±时，1max y =，排除B 选项，故选D ．【方法技巧归纳】根据函数解析式判断函数的图象的方法：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置； （2）从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的周期性，判断图象的循环往复； （5）从函数的极值点，判断图象的拐点．【变式1】【例题中解析式改变了】函数sin23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图是（）A B C D【答案】A【解析】将6xπ=代入到函数解析式中得y=，可排除C，D；将xπ=代入到函数解析式中求出函数值为3-负数，可排除B，故选A．【变式2】【例题解析式改变了，且增加了一个参数，同时判断的问题也改变了】已知a是实数，则函数()1sinf x a ax=+的图象不可能是（）【答案】D（二）根据三角函数图象（或图象特征）确定解析式例2【2016新课标】函数sin()y A xωϕ=+的部分图像如图所示，则A．2sin(2)6y xπ=-B．2sin(2)3y xπ=-C．2sin()6y xπ=+D．2sin()3y xπ=+【答案】A【方法技巧归纳】根据函数的图象确定函数()sin()(0,0)f x A x B Aωϕω=++>>中的参数主要方法：（1）A，B主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即2A-=最大值最小值，2B+=最大值最小值；（2）ω的值主要由周期T的值确定，而T的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定．【变式1】【例题给出的方式没有改变，解析式中增加了一个参数】如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数()siny A x bωϕ=++，则这段曲线的函数解析式可以为（）A．3sin2084y A xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]6,14x∈B．5sin2084y A xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]6,14x∈C．3sin2084y A xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[]6,14x∈D．5sin2084y A xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[]6,14x∈【答案】A【变式2】【例题由直接给出图象改为由描述性给出图象特征，所求也适当有变化】若以函数sin(0)y A xωω=>的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为（）A．1B．2C．πD．2π【答案】C【解析】如图所示，由题意可得：ABC1==12S AB BC⨯，∴2AB BC==，则2T AC==，2Tπωπ==，故选C．（三）三角函数图象的变换例3【2017新课标1】已知曲线1C：cosy x=，2C：2sin(2)3y xπ=+，则下面结论正确的是（）A．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C【答案】D【方法技巧归纳】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移，后伸缩”主要体现为由函数sin y x =平移得到函数()sin y x ϕ=+的图象时，平移ϕ个长度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数()sin y x ω=平移得到函数()sin y x ωϕ=+的图象时，平移ϕω个长度单位．【变式1】【由例题确定平移过程改为了确定平移后的函数解析式】把函数cos y x =的图象向左平移4π个单位，然后把图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），则所得图形对应的函数解析式为（ ）A ．1cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1cos 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】把函数cos y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选B ． 【变式2】【例题中的一个函数的解析式改变为较复杂的解析式，变换过程改为一个】为了得到函数3sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位B ．向左平移6π个单位C ．向右平移18π个单位D ．向左平移18π个单位【答案】D【解析】函数3sin3cos32sin 32sin3618y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数2sin3y x =的图象向左平移18π个单位可得函数3sin3cos3y x x =+的图象，故选D ．（四）三角函数图象的应用例4 【2015湖北】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为＿＿＿＿＿＿．【答案】2【解析】因为2()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x π=---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x ＝sin 2|ln(1)|x x -+，所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数，函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点．【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解．【变式1】【将例题中求函数的零点个数改为求函数的零点之和】函数()2πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＋2311π19π4cos 2,3π1212x x x ⎛⎫⎡⎤--∈- ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭所有零点之和为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．2πD ．8π3【答案】B【变式2】【将例题中求零点个数改为求根据零点个数求参数的取值范围】9．若函数sinlog 2a y x xπ=-的图象至少有12个零点点，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1,14B ．[)14,+∞C ．(]1,7D ．[)7,+∞【答案】D【解析】2y sinxπ= 与log xa y = 都是偶函数，所以sinlog 2a y x xπ=-是偶函数，只需0x >时，有至少6个零点，即可画出0x >时，函数sin2y xπ=的图象与log a y x=的图象，如图，由图可知，7log 1,7a a ≤≥ ,即a 的取值范围是[)7,+∞，故选D ．【数学思想】 1．转化与化归的思想在三角函数图象中主要体现在当平移前与平移后的函数名称不一致时，常常要利用诱导公式将它们转化为同名函数；研究三角函数的零点时，常常转化为三角方程来求解．2．数形结合的思想研究与三角函数有关的零点、方程的根、图象的交点问题时，通常要将其转化为两个新函数的交点，通过作出它们的图象来解决；求不常规的三角函数的单调性区间可利用图象来解决．3．分类讨论思想遇到画形如sin()y A x B ωϕ=++的图象中时，如果解析式中的,,,A B ωϕ有符号不确定的字母参数时，常常要分类作其可能的图象来研究问题．【处理三角函数图象问题注意点】1．五点作图法画图列表时要注意借助于整体代换思想的应用，特别是作已知区间上的图象时，注意确定起始点与终止点．2．图象变换中，注意区分两种变换方式：“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”在平移单位的确定上的差异；同时在坐标伸缩上的也须注意确定其倍数．3．根据函数的图象求函数的解析式时，注意确定三角函数的零点、最值点与函数的周期的关系，特别是求初相ϕ时，要尽量取非零点来确定．4．注意正切函数的图象的对称性，正切函数只有对称中点，没有对称称，且不要误认为正切函数的对称中心为函数的零点．【典例试题演练】1．函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D ；将x π=代入到函数解析式中求出函数值为32-负数，可排除B ，C ，故选A ．2．【2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟】()cos 1y x =+图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ）A 24π+B ．πC ．2D 21π+【答案】A【解析】函数的周期2T π= ，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为π ，根据勾股定理最高点和24π+A ．3．【2017届阜阳市高三3月模拟考】要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos2y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】C【解析】由题意得，cos2sin 22x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此只需要将函数cos2y x =的图象向右平移12π个单位即可得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的图象，故选C ． 4．【山西省运城市2017届高三4月模拟调研】函数()()sin f x A x bωϕ=++的部分图像如图，则()2017f =（ ）A ．1B ．32C ．12D ．34【答案】B【解析】由函数图像可知周期4T =，所以()()()2017504411f f f =⨯+=，观察图像可知()312f =，所以()320172f =，故选B ．5．要得到函数cos2y x=的图象，只需将函数sin23y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（）A．向左平行移动12π个单位长度B．向左平行移动6π个单位长度C．向右平行移动12π个单位长度D．向右平行移动6π个单位长度【答案】A【解析】cos2sin2sin2sin2236123y x x x xπππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++=++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故选A．6．【江西省抚州市临川区第一中学2017届高三4月模拟】定义函数()(){}()()()()()()()max,()f x f xg xf xg xg x f x g x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则{}max sin,cosx x的最小值为（）A．2-B．2C．2-D．2【答案】C【解析】根据题中定义的函数可知{},max sin,cos,sinx sinx cosxx xcosx sinx cosx≥⎧=⎨<⎩，则该函数图像如下图，由图可知函数的最小值为2-，故选C．7．【安徽省合肥市2018届高三调研性检测】已知函数()sin6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，所得的图象关于y轴对称，则ω的最小正值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B8．【江西省新余市第一中学2017届高三高考全真模拟】已知函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A ．19π27π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．9π13π,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．17π25π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4π,6π 【答案】C【解析】因为函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，所以函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上至少有两个周期加八分之一周期,少于三个周期加八分之一周期，所以4ππ6ππ144ωωωω+≤<+，所以17π25π44ω≤<，故选C ．9．【江西师范大学附属中学2017届高三第三次模拟】已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像的一个最高点坐标为()1,2，相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于()2,0中心对称B ．()f x 的图像关于直线3x =对称C ．()f x 在区间()2,3上单调递增D ．()20172f =【答案】D10．【2017届淮北市高三第二次模拟】已知函数()()sin ,(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<，其部分图像如下图，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()132sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()132sin 44f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】由图知3212,44222T A T T ππππω==-⇒=⇒==，,132sin 222πφ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，∴3sin 14πφ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()33242k k Z ππφπ+=+∈，∴()324k k Z πϕπ=+∈．因为0φπ<<《，所以34πφ=，故选B ．11．【黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前得分训练（一）】设函数()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为1x ， 2x ， 3x（123x x x <<），则123x x x ++的值为（ ）A ．πB ．34πC ．32πD ．54π【答案】C【解析】画出该函数的图象如图，当212a ≤<时方程()f x a =恰好有三个根，且点()1,0x 和()2,0x 关于直线8x π=对称，点()2,0x 和()3,0x 关于直线58x π=对称，所以124x x π+=， 2354x x π+=，从而123322x x xπ++=．故选C．12．【安徽省亳州市二中2017届高三下学期教学质量检测】已知函数()()2sin1(0,)2f x xπωϕωϕ=++>≤，其图象与直线1y=-相邻两个交点的距离为π，若()1f x>对,123xππ⎛⎫∀∈-⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是（）A．,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】令()2sin11xωϕ++=-，得到()sin1xωϕ+=-，即()siny xωϕ=+的图像和1y=-相邻两个交点的距离为π，故2ππω=，2ω=，所以()()2sin21f x xϕ=++根据题意，若()1,123f x xππ⎛⎫>∀∈-⎪⎝⎭对恒成立，即()sin20xϕ+>，所以当12xπ=-时，26kπϕπ-+≥，当3xπ=时，223kπϕππ+≤+，所以2263k kπππϕπ+≤≤+，2πϕ≤结合选项，当0k=时，63ππϕ≤≤，故选D．13．【湖南省衡阳市2017届高三下学期第三次联考】函数()()[]12sin,2,41f x x xxπ=-∈--的所有零点之和为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D14．【广西省陆川中学2017届高三下学期期中】已知0ω>，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2，则ω=__________．【答案】2π【解析】令sin cos x x ωω=，则tan 1x ω=，由题意，得tan 1x ω=的两个相邻解相差2，则π2ω=，解得π2ω=．15．【河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测】已知函数()()sin (0,0)2f x M x M πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，其中()2,3A （点A 为图象的一个最高点）5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()f x =___________．【答案】3sin36xππ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】35932422M T=⋅=+=，故6T=，故23Tππω==，将点()2,3A代入可得()2232kx k Zππϕ⨯+=+∈，故()26kx k Zπϕ=-+∈，∵2πϕ<，∴()3sin36f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭．16．【河北省武邑中学2017届高三下学期第四次模拟】设0ω>，将函数πsin23y xω⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是_________．【答案】32【解析】因为将函数πsin23y xω⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，所以函数πsin23y xω⎛⎫=++⎪⎝⎭的周期T=2πω满足:2π4π,3n n Nω+⋅=∈，当1n=时, ω取得最小值为32．17．函数()()2sinf x xωϕ=+(()()2,3,1,2a b==-)的部分图象如上图所示，其中()()//2ma b a b+-两点之间的距离为m，则ω=___________．【答案】3π【解析】由题意可设AB之间的水平距离为d，则由题意可得[]222225d+--=（），解得3d=，故函数的周期223Tπω==⨯，解得3πω=．18．【天津市河东区2017届高三二模】已知0ω>，在函数siny xω=与cosy xω=的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为__________．【答案】π【解析】由sin cosx xωω=，得交点坐标为12121212,,,(,4242k k k kππππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为整数），因为在函数siny xω=与cosy xω=的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，()222215223,4422ππωπω⎛⎫⎛⎫∴=-++∴=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19．已知函数()[]()sin0,f x x xπ=∈和函数()1tan3g x x=的图像相交于,,A B C三点，则ABC∆的面积为__________．【答案】23π20．【2017届吉林省实验中学高三上学期二模】已知()y f x=的定义域为R的偶函数，当0x≥时，5sin,02,44()1()1,2,2xx xf xxπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关于x的方程[]2()()0f x af x b++=（a，b R∈）有且仅有6个不同的实数根，在实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿．【答案】5991244--⋃--（，）（，）【解析】如图所示，因为()f x是定义域为R的偶函数，则1()1,2,25sin,20,44()5sin,02,441()1,2,2xxxx xf xx xxππ-⎧+<-⎪⎪⎪--≤<⎪=⎨⎪≤≤⎪⎪⎪+>⎩，依题意()f x在2-∞-（，）和02（，）上递增，在20-（，）和2+∞（，）上递减，当2x=±时，函数取得极大值54；当0x=时，取得极小值0．要使关于x的方程[]2()()0f x af x b++=（a，b R∈）有且仅有6个不同的实数根．设t f x=（），则20t at b++=必有两个根12t t、，则有两种情况符合题意：（1）154t=，且2514t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），此时12a t t-=+，则5924a∈--（，）；（2）1250114]t t∈∈（，，（，），此时同理可得914a∈--（，），综上可得a的范围是5991244--⋃--（，）（，）．。