全国高中数学联赛模拟试题(九) 新人教A版
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
2023-2024学年广西桂林市高中数学人教A版选修三随机变量及其分布强化训练-9-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年广西桂林市高中数学人教A版选修三随机变量及其分布强化训练(9)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）121. 从集合M={1，2，3，4}中任取三个元素组成三位数．记组成三位数的三个数字中偶数个数为ζ，则ζ的数学期望为（ ）A.B. C.D. 2. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、 宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）A. B. C. D.353. 设随机变量服从正态分布 ， 若 ， 则的值为（ ）A. B. C. D. 9，49，24，12，14. 样本数据的平均数， 方差 ， 则样本数据.的平均数，方差分别为（ ）A. B. C. D. 0.97590.81860.730.47725. 已知某地居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额ξ（单位：千元）服从正态分布 ，则该地某居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额在 内的概率为（ ）附：随机变量ξ服从正态分布，，0.9545，．A. B. C. D. 6. 已知随机变量 的分布列为（ ）则 的值为（ ）A. B. C. D.7. （1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为， 则（ ）A. B. C.D.②④①②③③④②③④8. 开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有 的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n 天选择米饭套餐的概率，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；②；③；④前n 天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 .其中正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 有 名学生，其中有 名男生.从中选出 名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）A. B. C. D.①④①③②③②④10. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是 ；③他至少击中目标1次的概率是 ;④他恰好有连续2次击中目标的概率为 ;其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 11. 已知事件A ，B ，若 ， ， 则（ ）A. B. C. D.0.20.30.50.812. 已知随机变量服从正态分布， ， 则（ ）A. B. C. D. 13. 设随机变量X 满足正态分布X ～N （﹣1，σ2），若P （﹣3≤x≤﹣1）=0.4，则P （﹣3≤x≤1）= ．14. 已知随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ＜a ）=0.3，则P （a≤X ＜4﹣a ）= ．15. 现有A、B、C、D、E、F6个不同的货柜，准备用甲、乙、丙三辆卡车一次运送出去，每台卡车至少运一个货柜，则不同的分配方案的种数为 .设卡车甲运送货柜的数量为随机变量X，则期望 .16. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则＝，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为．17. 近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．(1) 用表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望；(2) 设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率．18. 某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1) 求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；(2) 从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望．19. 2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）利用该正态分布，求；（ii）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：，若，则，20. 最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为，每个“次密接"人员被感染的概率为(1) 求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；(2) 设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量，求的数学期望.21. 北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表成绩[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数55152510(1) 从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，(2) 用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测(九)新人教A版必修第二册(最新整理)
2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A 版必修第二册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A版必修第二册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A版必修第二册的全部内容。
章末综合检测(九)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A，B,C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4,为检验该公司的产品质量,用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（)A．96 B．72C．48 D．36解析：选B。
由题意得错误!n－错误!n＝8，所以n＝72。
故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15),6;［15，20），8；［20,25),13；［25，30)，35；［30，35），46;[35,40)，34；［40,45），28；［45，50),15；[50，55)，10；［55，60],5。
则样本在［35,60]上的频率是( )A．0。
69 B．0.46C．1 D．不存在解析：选B.由题可知,样本在［35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0。
46.3．2019年高考某题的得分情况如下:得分(分）01234百分率(%)37.08。
2022-2023学年全国高中高考专题数学人教A版高考模拟(含解析)
2022-2023学年全国高考专题数学高考模拟考试总分：136 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图．集合 ，则图中阴影部分表示A. B. C. D.2. A.B.C.D.3. 已知函数是偶函数，当时，，则在上，下列函数中与的单调性相同的是（ ）A.＝A ={2,3,4.5,6,8}B ={1,3.4,5,7}C ={2.4,5.7,8.9}{2.4.5.8}{2,8}{2.6,8}{1.3,6}=(1+3i 1−i)−2−4i−2+4i−1+2i−1−2if(x)x >0f(x)=x 13(−2,0)f(x)y −+1x 2|x +1|B.＝C.＝D.4. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A.B.C.D.5. 在矩形中，＝，＝，点为的中点，点在线段上．若，且点在直线上，则 A.B.C.D.6. 若，且，则 A.B.C.D.7. 在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，，，的面积分别为，，，则三棱锥外接球的表面积为( )A.B.y |x +1|y e |x|y ={ 2x −1,x ≥0+1,x <0x 36π+12–√23–√2–√ABCD AB 2BC 1E BC F DC +=AE →AF →AP →P AC ⋅=(EF →AP →)32−94−52−3α∈(0,π)sin α+2cos α=23–√tan =(α2)3–√23–√423–√343–√3A −BCD AB AC AD △ABC △ACD △ADB 112A −BCD 6π9πC.D.8. 五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共本进行研读，若每人至少分一本，则本书的分配方案种数是( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）9. 如图是函数的部分图像，则函数解析式可为( )A.B.C.D.10. 如图所示，在正方体中，是棱的中点，是侧面（包含边界）内的动点，且平面，下列说法正确的是8π12π5536024015090y =sin(ωx +φ)y =sin(x +)π3y =sin(−2x)π3y =cos(2x +)π6y =cos(−2x)5π6AC 1E CC 1F BCC 1B 1F//A 1AE D 1( )F AA.与是异面直线B.不可能与平行C.不可能与平面垂直D.与平面所成角的正切值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）11. 已知展开式中二项式系数的和为，则该展开式中常数项为________．12. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________.13. 某电商年的产值为 万元，预计产值每年以 递增，则该厂到年的产值（单位：万元）是_________.14. 函数的极大值是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ） 15. 已如，，且．求的值；若，求的值． 16. 在等差数列中，＝，再从条件①＝、条件②设数列的前项和为，＝这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 17. 如图，在直角梯形中，，，＝＝＝，点是的中点，现沿将平面折起，设＝．（1）当为直角时，求直线与平面所成角的大小；F A 1BE F A 1E D 1DF A E D 1E D 1AC 2(2x −(n ∈)1x−√)n N ∗51260∘+−4y =0x 2y 22000a p%2012f(x)=1+x e xαβ∈[,π]π2cos α=−35(1)tan(−α)π4(2)sin(α−β)=35sin β{}a n a 57+a 2a 612{}a n n S n S 312{}a n n T n PBCD PB //DC DC ⊥BC PB BC 2CD 2A PB AD PAD ∠PAB θθPC PAD –√（2）当为多少时，三棱锥的体积为；（3）在（2）的条件下，求此时二面角的大小．18. 某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为，，为了检验设备动行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？19.已知动点到定点 和 的距离之和为（1）求动点轨迹的方程；（2）若直线 交椭圆于两个不同的点,,是坐标原点，求 的面积。
全国高中数学联赛模拟试题第九卷附答案
全国高中数学联赛模拟试题（九）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=10n i i a 等于（A ）2 （B ）-1（C ）1 （D ）04、已知α、β是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且α是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）-3（C ）4 （D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、θ∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、θ，F (a ,θ)的最大值和最小值分别是 ．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ． 6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．第二试一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试二、填空题：1、该凸多边形存在内切圆；2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、有．。
2022年全国高中数学联赛加试A卷参考答案
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛 加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，90ABC ADC ，对角线BD 上一点P 满足2APB CPD ，线段AP 上两点,X Y 满足2AXB ADB ，2AYD ABD ．证明：2BD XY ．Y XDBCPA证明：注意90ABC ADC ，取AC 的中点O ，则O 为凸四边形ABCD 的外心．显然,P B 在AC 的同侧（否则2APB CPD CPD ，不合题意）．根据条件，可知2,2AXB ADB AOB AYD ABD AOD ，分别得到,,,A O X B 四点共圆，,,,A Y O D 四点共圆． ………………10分因此OXA OBA CAB CDB ，OYP ODA CAD CBD ，所以OXY CDB ∽． ………………20分M LK Y X DBCP AO设OM AP 于点M ，CK AP 于点K ，CL BD 于点L ． 由O 为AC 的中点，得2CK OM ．由于2KPL APB CPD ，即有PC 平分KPL ，故CK CL ．………………30分考虑到,OM CL 是相似三角形,OXY CDB 的对应边,XY DB 上的高，从而12XY OM OM BD CL CK ， 即有2BD XY ． ………………40分二．（本题满分40分）设整数(1)n n 恰有k 个互不相同的素因子，记n 的所有正约数之和为()n ．证明：()(2)!n n k ．证法1：设1i ki i n p 为n 的标准分解．记1(1,2,,)i i i im p p i k ，则1()ki i n m ．我们证明2(1,2,,)i n k km i k ．①事实上，111i i i ii i m p p p 11122i i i p 12212i i i i i p p (1,2,,)i k ． ………………10分所以11,222122i ji i kk j j j inn nm p kp， 最后一步是因为11121C (2)k k k k 以及021 ．故①成立．………………20分由①可知，对每个1,2,,i k ，在1,2,,2n k 中至少有k 个i m 的倍数．从而1,2,,2n k 中可找到两两不同的正整数12,,,k t t t ，它们分别是12,,,k m m m 的倍数．因此1()ki i n m 整除(2)!n k ． ………………40分证法2：设1i ki i n p 为n 的标准分解．记1(1,2,,)ii i im p p i k ，则1()ki i n m ．令1(1,2,,)jj i i S m j k ，00S ．我们证明以下两个结论：（1）()!k n S ；（2）2k S n k ．结论（1）的证明：对1,2,,i k ，连续i m 个整数111,2,,i i i S S S 中必存在i m 的倍数，故11(1)(2)Z i i iiS S S m ．从而111(1)(2)Z ki i ii i S S S m ，这等价于()!k n S ．………………10分结论（2）的证明：对1,2,,i k ，有111ii i ii i m p p p 11122i i i p 12212i ii i i p p． ②………………20分记(1,2,,)i i i p i k ，则2i ．反复利用“若,2a b ≥，则ab a b ≥+”，可得11kki i i i n ，结合②得111(21)22kkkk i i i i i i S m k n k ．由结论（1）、（2），原题得证． ………………40分三．（本题满分50分）设12100,,,a a a 是非负整数，同时满足以下条件： （1）存在正整数100k ，使得 12k a a a ，而当i k 时0i a ； （2）123100100a a a a ； （3）123100*********a a a a ． 求22212310023100a a a a 的最小可能值．解法1：当121819202122231000,19,40,41,0a a a a a a a a a ===========，21k =时，符合题设三个条件，此时10023221192040214140940ii i a==+×+×=∑． ………………10分下面证明这是最小可能值．首先注意21k ≥．否则，若20k ≤，则100111202000kki i i i i i ia ia a ===≤≤∑∑∑，这与条件（3）矛盾． 根据条件（2）、（3），有100100100100221111(20)40400iiiii i i i i a i a ia a ====−+−∑∑∑∑10021(20)40880ii i a ==−+∑． 当2040a ≤时，100100100222011,1,2020(20)(20)10060i iii i i i i i a i a aa ==≠≠−=−≥=−≥∑∑∑，故1002140940ii i a=≥∑． ………………30分当2041a ≥时，由21k ≥及条件（1）可知2141a ≥，故10010010010021111(19)(20)39380iiiii i i i i a i i a ia a ====−−+−∑∑∑∑1001(19)(20)40858i i i i a ==−−+∑21(2119)(2120)4085840940a ≥−−+≥．综上，所求最小值为40940． ………………50分 解法2：对于满足题目条件的非负整数12100,,,a a a ，可对应地取100个正整数12100,,,{1,2,,100}x x x ∈ ，其中恰有1a 个1，2a 个2，……，100a 个100（条件（2）保证恰好是100个数）．条件（1）、（3）分别转化为以下条件（A ）、（B ）：（A ） 存在正整数100k ≤，12100,,,x x x 中不含大于k 的数，且1的个数，2的个数，……，k 的个数依次（非严格地）递增；（B ） 100100112022j i j i x ia ===∑∑，即12100,,,x x x 的平均值为20.22µ=．注意到1001002211i j i j i a x ==∑∑，故题目转化为：100个数12100,,,{1,2,,100}x x x ∈ 满足条件（A ）和（B ），求10021j j x =∑的最小值．当12100,,,x x x 取19个19，40个20，41个21时，1002140940j j x ==∑．………………10分下面证明10021j j x =∑的值至少为40940．由于100100100100222221111()1002100()jjj j j j j j x xx x µµµµµ====−−+=+−∑∑∑∑，故转化为考虑10021()j j x µ=−∑的最小值．由20.22µ=知存在21j x ≥，也存在20j x ≤．设12100,,,x x x 中有a 个21j x ≥，b 个20j x =及c 个19j x ≤．由条件（A ）可知a b ≥．我们放宽条件（A ）至条件（A ′）：a b ≥．在条件（A ′）、（B ）下，证明最小值仍是在19个19，40个20，41个21时取到． ………………20分由于满足（A ′）、（B ）的12100,,,x x x 的取法只有有限种，选取平方和最小的一组12100,,,x x x ．若19c ≥，注意到100a b c ++=及a b ≥，有10022221()0.780.22 1.22jj xa b c µ=−≥++∑ 2221001000.780.22 1.2222c c c −− ≥⋅+⋅+2220.78410.2240 1.2219≥×+×+×．………………30分若18c ≤，则82a b +≥．此时有0c >，因为若0c =，则j x 的平均值不小于20.5，与条件（B ）不符．亦有0b >．否则，假如0b =，则由82a ≥及0c >知，可取一个20i x <和一个20j x >，替换为1i x +和1j x −，平均值不变，但2222(1)(1)i j i j x x x x ++−<+，平方和变小，a 至多减少1，b 至多增加2，条件（A ′）、（B ）仍满足，与12100,,,x x x 使得平方和最小矛盾．又假如存在一个18i x ≤，则由0b >知可取一个20j x =，将,i j x x 替换为1i x +和1j x −，类似可知平均值不变，平方和减小，且b 减少1，条件（A ′）、（B ）仍满足，与12100,,,x x x 使得平方和最小矛盾．所以c 个19j x ≤都等于19．但此时1001()0.780.22 1.22jj xa b c µ=−≥−−∑1001000.780.22 1.2222c c c −−≥⋅−⋅− 0.78410.2241 1.22180≥×−×−×>，与条件（B ）矛盾．所以当且仅当12100,,,x x x 取19个19，40个20，41个21时，10021()j j x µ=−∑取得最小值，相应地，1001002211i j i j i a x ==∑∑取到最小值40940． ………………50分四．（本题满分50分）求具有下述性质的最小正整数t ：将100100 的方格纸的每个小方格染为某一种颜色，若每一种颜色的小方格数目均不超过104，则存在一个1t 或1t 的矩形，其中t 个小方格含有至少三种不同颜色．解：答案是12．将方格纸划分成100个1010×的正方形，每个正方形中100个小方格染同一种颜色，不同的正方形染不同的颜色，这样的染色方法满足题目条件，且易知任意111×或111×的矩形中至多含有两种颜色的小方格．因此12t ≥．………………10分下面证明12t =时具有题述性质．我们需要下面的引理．引理：将1100×的方格表X 的每个小方格染某一种颜色，如果以下两个条件之一成立，那么存在一个112×的矩形，其中含有至少三种颜色．（1）X 中至少有11种颜色．（2）X 中恰有10种颜色，且每种颜色恰染了10个小方格． 引理的证明：用反证法，假设结论不成立．取每种颜色小方格的最右边方格，设分别在（从左往右）第12kx x x <<< 格，分别为12,,,k c c c 色，则对2i k ≤<，有111i i x x −−≥．这是因为若110i i x x −−≤，则从第1i x −格至第1i x +格（不超过12格）中至少含有三种不同颜色（第1i x −格为1i c −色，第i x 格为i c 色，第1i x +格一定不同于1,i i c c −色），与假设不符．若条件（1）成立，则11k ≥，于是10111911100,100x x x ≥+×≥>，矛盾．因此在条件（1）下结论成立．若条件（2）成立，考虑第11x +格至第111x +格，因每种颜色的方格至多10个，故这11个方格至少含有两种颜色，且均不同于1c 色，则从第1x 至第111x +格中至少含有三种颜色，与条件（2）不符．因此在条件（2）下结论也成立．引理得证． ………………20分 回到原问题，设12,,,k c c c 为出现的所有颜色．对1i k ≤≤，记i s 为含有i c 色小方格的个数，i u 为含有i c 色小方格的行的个数，i v 为含有i c 色小方格的列的个数．由条件知104i s ≤．又显然i i i u v s ≥，等号成立当且仅当含有i c 色小方格的所有行与列的交叉位置上都是i c 色小方格．下面证明：15i i i u v s +≥，等号成立当且仅当10,100i i iu v s ===． 若21i i u v +≥，则由104i s ≤知15i i i u v s +>；若20i i u v +≤，则2()2055i i i i ii i u v u v s u v ++≥≥≥，等号成立当且仅当10,100i i iu v s ===． ………………30分 于是111()20005k ki i i i i u v s =+≥=∑∑．若1()2000ki i i u v =+>∑，由抽屉原理知，存在一行或者一列至少含有11种颜色的小方格．若1()2000ki i i u v =+=∑，则由等号成立的条件，可知每种颜色恰染100格，且是10行与10列交叉位置，因此每一行每一列中恰有10种颜色的方格，每种颜色的方格恰有10个．由引理可知这两种情况都导致存在112×或121×的矩形含有至少三种颜色的小方格．综上所述，所求最小的t 为12． ………………50分。
2019年全国高中数学联赛A卷加试试题与解答
2019 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）一、（本题满分40 分）如图，在锐角D ABC 中，M 是BC 边的中点．点P 在D ABC 内，使得AP 平分ÐBAC ．直线MP 与ABP ,D D ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D , E ．证明：若DE = MP ，则B = 2C BP ．二、（本题满分40分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =£££=．记22212201913243520172019()()f a a a a a a a a a a a =+++-++++．0f f =成立的数组122019(,,,)a a a 的个数． 求 f 的最小值 f 0 ．并确定使三、（本题满分50分）设m 为整数，2m ||³．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s (2)r s >³使得1r s a a a ==，则r s m ||-³．四、（本题满分50分）设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面．某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合．试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集．2019年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC D 中，M 是BC 边的中点．点P 在ABC D 内，使得AP 平分BAC ．直线MP 与,ABP ACP D D 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,D E ．证明：若DE MP =，则2BC BP =．证明：延长PM 到点F ，使得MF ME =．连接,,BF BD CE ．由条件可知BDP BAP CAP CEP CEM = = = = ． ………………10分 因为BM CM =且EM FM =，所以BF CE =且//BF CE ．于是F CEM BDP = = ，进而BD BF =． ………………20分 又DE MP =，故DP EM FM ==．于是在等腰BDF D 中，由对称性得BP BM =．从而22BC BM BP ==．………………40分二、（本题满分40分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =£££=．记22212201913243520172019()()f a a a a a a a a a a a =+++-++++． 求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组122019(,,,)a a a 的个数． 解：由条件知2017222221220182019212()i i i f a a a a a a +==++++-å．①由于12,a a 及2(1,2,,2016)i i a a i +-=均为非负整数，故有221122,a a a a ³³，且222()(1,2,,2016)i i i i a a a a i ++-³-=．于是201620162221221222017201811()()i i i i i i a a a a a a a a a a ++==++-³++-=+åå． ②………………10分由①、②得2222017201820192017201820192()f a a a a a a ³++-++，结合201999a =及201820170a a ³>，可知()22220172017201712(99)992f a a a ³+-++ 22017(49)74007400a =-+³． ③………………20分另一方面，令1219201920211920220191,(1,2,,49),99k k a a a a a k k a +-+========， 此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30分以下考虑③的取等条件．此时2017201849a a ==，且②中的不等式均取等，即121a a ==，2{0,1}(1,2,,2016)i i a a i +-Î=．因此122018149a a a =£££=，且对每个(149)k k ££，122018,,,a a a 中至少有两项等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件．对每个(149)k k ££，设122018,,,a a a 中等于k 的项数为1k n +，则k n 为正整数，且1249(1)(1)(1)2018n n n ++++++=，即12491969n n n +++=．该方程的正整数解1249(,,,)n n n 的组数为481968C ，且每组解唯一对应一个使④取等的数组122019(,,,)a a a ，故使0f f =成立的数组122019(,,,)a a a 有481968C 个．………………40分三、（本题满分50分）设m 为整数，2m ||³．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s (2)r s >³使得1r s a a a ==，则r s m ||-³．证明：不妨设12,a a 互素（否则，若12(,)1a a d =>，则1a d 与2a d互素，并且用123,,,a a a d d d代替123,,,a a a ，条件与结论均不改变）． 由数列递推关系知234(mod )a a a m || ººº．① 以下证明：对任意整数3n ³，有 2212((3))(mod )n a a a n a m m º-+-．② ………………10分事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有212(mod )k ma ma m -º，结合归纳假设知112122((3))k k k a a ma a a k a m ma +-=-º-+--2212((2))(mod )a a k a m º-+-，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ³均成立． ………………20分注意，当12a a =时，②对2n =也成立．设整数,(2)r s r s >³，满足1r s a a a ==．若12a a =，由②对2n ³均成立，可知2212212((3))((3))(mod )r s a a r a m a a a a s a m m -+-º=º-+-，即1212(3)(3)(mod )a r a a s a m ||+-º+-，即2()0(mod )r s a m ||-º． ③若12a a ¹，则12r s a a a a ==¹，故3r s >³．此时由于②对3n ³均成立，故类似可知③仍成立． ………………30分我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为234,,,a a a 的公因子，而12,a a 互素，故p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得0(mod )r s m ||-º．又r s >，所以r s m ||-³．………………50分四、（本题满分50分）设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面．某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合．试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集．解：为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”．先证明一个引理：设(,)G V E =是一个简单图，且G 是连通的，则G 含有||2E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角（这里[]a 表示实数a 的整数部分）． 引理的证明：对E 的元素个数E 归纳证明．当0,1,2,3E =时，结论显然成立．下面假设4E ≥，并且结论在E 较小时均成立．只需证明，在G 中可以选取两条边,a b 构成一个角，在G 中删去,a b 这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含||2E -条边．对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立．考虑G 中的最长路12:k P v v v ，其中21,,,k v v v 是互不相同的顶点．因为G 连通，故3k ≥．情形1：1deg()2v ≥．由于P 是最长路，1v 的邻点均在2,,k v v 中，设1i v v E ∈，其中3i k ≤≤．则121{,}i v v v v 是一个角，在E 中删去这两条边．若1v 处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若1v 处仅有被删去的两条边，则1v 成为孤立点，其余顶点仍互相连通．总之在剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．情形2：1deg()1v =，2deg()2v =．则1223{,}v v v v 是一个角，在G 中删去这两条边后，12,v v 都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形3：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与4,,k v v 中某个点相邻．则1223{,}v v v v是一个角，在G 中删去这两条边后，1v 成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形4：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与某个13{,,,}k u v v v ∈/ 相邻．由于P 是最长路，故u 的邻点均在2,,k v v 之中．因122{,}v v v u 是一个角，在G 中删去这两条边，则1v 是孤立点．若u 处仅有边2uv ，则删去所述边后u 也是孤立点，而其余点互相连通．若u 处还有其他边i uv ，3i k ≤≤，则删去所述边后，除1v 外其余点互相连通．总之，剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．引理获证． ………………20分 回到原题，题中的V 和E 可看作一个图(,)G V E =．首先证明2795n ≥．设122019{,,,}V v v v = ．在1261,,,v v v 中，首先两两连边，再删去其中15条边（例如1311216,,,v v v v v v ），共连了26115C 1815-=条边，则这61个点构成的图是连通图．再将剩余的2019611958-=个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G 中一共连了181********+=条线段．由上述构造可见，G 中的任何一个角必须使用1261,,,v v v 相连的边，因此至多有18159072⎡⎤⎢=⎥⎣⎦个两两无公共边的角．故满足要求的n 不小于2795． ………………30分 另一方面，若2795E ≥，可任意删去若干条边，只考虑2795E =的情形． 设G 有k 个连通分支，分别有1,,k m m 个点，及1,,k e e 条边．下面证明1,,k e e 中至多有979个奇数．反证法，假设1,,k e e 中有至少980个奇数，由于12795k e e ++= 是奇数，故1,,k e e 中至少有981个奇数，故981k ≥．不妨设12981,,,e e e 都是奇数，显然12981,,,2m m m ≥ ．令9812k m m m =++≥ ，则有2C 1980)(i m i e i ≥≤≤，2981C m k e e ≥++ ，故98022112795C C i mk i i i m e ===≤+∑∑． ① 利用组合数的凸性，即对3x y ≥≥，有222211C C C C x y x y +-+≤+，可知当1980,,,m m m 由980个2以及一个59构成时，980221C C i mm i =+∑取得最大值．于是 98022225921C C C 980C 26912795i mm i =≤=<++∑， 这与①矛盾．从而1,,k e e 中至多有979个奇数． ………………40分 对每个连通分支应用引理，可知G 中含有N 个两两无公共边的角，其中1111979(2795979)908222k ki i i i e N e ==⎛⎫⎡⎤=≥-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑． 综上，所求最小的n 是2795． ………………50分。
高考数学模拟题复习试卷全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷9
高考数学模拟题复习试卷全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷一、选择题（每题6分，共36分）1、若点P （x ，y ）在直线x+3y=3上移动，则函数f （x ，y ）=yx93+的最小值等于（ ）（A ）51)427(5 （B ）71)927(7 （C ）71)916(7 （D ）31)25(32、满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）（ ）（A ）只有一对 （B ）恰有有两对 （C ）至少有三对 （D ）不存在3、设集合M={2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（ ）（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）114、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+y x 所表示的曲线是（ ） （A ）双曲线 （B ）焦点在x 轴上的椭圆（C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。
（A ）100 （B ）120 （C ）160 （D ）2006、设61=a ，)](24345[21++∈-+=N n a a a n n n ，其中[x]表示不超过x 的最大整数。
则200721a a a +⋅⋅⋅++的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知三个正整数x ，y ，z 的最小公倍数是300，并且⎩⎨⎧=+-=-+032023222z y x z y x ，则方程组的解（x ，y ，z ）=。
2、已知关于x 的实系数方程0222=+-x x 和0122=++mx x 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是。
2019年全国高中数学联赛模拟试卷9套及答案
全国高中数学联赛模拟试题(一)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、 方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是 （A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）52、 函数12-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0（D ）x ≤21-或x ≥23、 过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小，则l 的方程为（A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝0 4、 若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜15、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、 在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是（A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、填空题：（每小题9分，共54分）1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ．2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝ ．3、数799被2550除所得的余数是 ． 4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sin B ＝135，则cos C ＝ ．5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是 ． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是 ．三、（20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2＋(a ＋2002)x ＋a ＝0的两根皆为整数．（2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2－2a ＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2＋(y －7)2≤r 2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋x cos ＋y ≥0}之中．第二试一、（50分）设a 、b 、c ∈R ，b ≠ac ，a ≠－c ，z 是复数，且z 2－(a －c )z －b ＝0．求证：()12=-+-+bac zc a b a 的充分必要条件是(a －c )2＋4b ≤0． 二、（50分） 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：（1） AK ⊥BC ；ACBD QK P（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j j i a 1),,3,2,1(124．确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）．参考答案 第一试二、填空题：1、38181-或381587； 2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{|＝2n ＋或2n －2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．三、()11212++-=n S ．全国高中数学联赛模拟试题(二)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、 若集合S ＝{n |n 是整数，且22n ＋2整除2003n ＋2004}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集 （C ）二元集 （D ）无穷集2、 若多项式x 2－x ＋1能除尽另一个多项式x 3＋x 2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a ＋b等于（A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、 设a 是整数，关于x 的方程x 2＋(a －3)x ＋a 2＝0的两个实根为x 1、x 2，且tan(arctanx 1＋arctan x 2)也是整数．则这样的a 的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 4、 设一个四面体的体积为V 1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V 2．则12V V 为 （A ）21 （B ）32 （C ）常数，但不等于21和32（D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、 在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为 （A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）10136、 在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、 若直线x cos ＋y sin ＝cos2－sin2（0＜＜＝与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则的取值范围是 ．2、 在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于 ． 3、 若常数a 使得关于x 的方程lg(x 2＋20x )－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是 ．4、 f (x )＝82x ＋x cos x ＋cos(2x )(x ∈R )的最小值是 ．5、 若k 是一个正整数，且2k整除20034006400624006124006040063C 3C 3C C +++++ i i 则k 的最大值为 ．6、 设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a ,b ] ．则a ＋b ＝ ．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF 1F 2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）． 四、（20分）设a 0＝1，a 1＝2，a n +1＝2a n -1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出a n 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）． 五、（20分）试求出所有的有序整数对(a ,b )，使得关于x 的方程x 4＋(2b －a 2)x 2－2ax ＋b 2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC ＝60°，且PQPC BP 111=+． 求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2b a >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f (a ,b )＝a 2－3ab ＋b 2的取值范围． 三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a 1,a 2,…,a k（允许相等），必定存在相应的k 的整数x 1,x 2,…,x k （也允许相等），且|x i |≤2(i ＝1,2,…,k )，|x 1|＋|x 2|＋…＋|x k |≠0，使得2003整除x 1a 1＋x 2a 2＋…＋x k a k ．参考答案第一试二、填空题：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ；2、5615±；3、⎪⎭⎫⎝⎛--21,6163；4、－1；5、2004；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a 2n ＝2n +2－2n －3；a 2n +1＝3×2 n +1－2n －4．五、(a ,b )＝(2l ―1,l 2―l ―1)(∀l ∈Z )第二试 一、证略（提示：将条件变形为PQPCPB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)．三、k min ＝7．1全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题（每小题6分，共36分）：1、函数()aaxxaxf-+-=22是奇函数的充要条件是（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1（C）a＞0 （D）a＜02、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l：y＝kx．当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是（A）点A在直线l上（B）点B在直线l上（C）点C在直线l上（C）点A、B、C均不在直线l上3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l可以做（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条4、整数的100200C=n两位质因数的最大值是（A）61 B）67 （C）83 （D）975、若正整数a使得函数()axxxfy213-+==的最大值也是整数，则这个最大值等于（A）3 （B）4 （C）7 （D）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是（A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006二、填空题（每小题9分，共54分）：1、在复平面上，Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z＋1、2z＋1、(z＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|z m∈R，m∈N+}，P＝{x|x＝m21，m∈M}．则集合P所有元素之和等于．2、函数f(x)＝|sin x|＋sin42x＋|cos x|的最大值与最小值之差等于．3、关于x的不等式()()074547422222222<-+--++-+-++aaxaaxaaxax的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是 ．4、银行计划将某项资金的40%给项目M 投资一年，其余的60%给项目N ．预计项目M 有可能获得19%到24%的年利润，N 有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 ．5、已知点(a ,b )在曲线arcsin x ＝arccos y 上运动，且椭圆ax 2＋by 2＝1在圆x 2＋y 2＝32的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsin b 的取值范围是 ．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是 ．三、（20分）△ABC 的三边长a 、b 、c （a ≤b ≤c ）同时满足下列三个条件（i ）a 、b 、c 均为整数；（ii ）a 、b 、c 依次成等比数列；（iii ）a 与c 中至少有一个等于100．求出(a ,b ,c )的所有可能的解．四、（20分）在三棱锥D -ABC 中，AD ＝a ，BD ＝b ，AB ＝CD ＝c ，且∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°，∠DBA ＋∠ABC ＋∠DBC ＝180°．求异面直线AD 与BC 所成的角．五、（20分）设正系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．证明：（1） max{a ,b ,c }≥94(a ＋b ＋c )；（2） min{a ,b ,c }≤41(a ＋b ＋c )．第二试一、（50分）已知△ABC的外角∠EAC平分线与△ABC的外接圆交于D，以CD为直径的圆分别交BC、CA于点P、Q．求证：线段PQ平分△ABC的周长．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，x n+1＝6x n－x n-1（n∈N+）．求证：数列{x n}中无完全平方数．三、（50分）有2002名运动员，号码依次为1，2，3，…，2002．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．参考答案 第一试一、选择题：二、填空题： 1、71； 2、2； 3、[1,3]；4、10%；5、⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,44,6ππππ ；6、aR334-． 三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)． 四、222arccos a c b -．五（1）证略（提示：令a ＋b ＋c ＝t ，分b ≥t 94和b ＜t 94讨论）； （2）证略（提示：分a ≤t 41和a ＞t 41讨论）；第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得x n ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++nn22322321，设y n ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+nn223223221，于是1222=-n n y x，原结论等价于方程x 4－2y 2＝1无整数解，由数论只是可证）．三、43．全国高中数学联赛模拟试题(四)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、 空间中n （n ≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论 （1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与n -2个平面相交． 其中，正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2、 若函数y =f (x )在[a ,b ]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c ∈(a ,b )时，f (c )的近似值可表示为（A ）()()2b f a f +（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f（C ）()()()()()a b b f a c a f c b --+-（D ）()()()[]a f b f ab ac a f ----3、 设a ＞b ＞c ，a +b +c =1，且a 2+b 2+c 2=1，则（A ）a +b ＞1 （B ）a +b =1 （C ）a +b ＜1 （D ）不能确定，与a 、b 的具体取值有关4、 设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b = （A ）161 （B ）81（C ）41（D ）21 5、 S ={1,2,…,2003}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（A ）32003C（B ）2100221001C C +（C ）2100221001A A +（D ）32003A6、 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AC 1为体对角线．现以A 为球心，AB 、AD 、AA 1、AC 1为半径作四个同心球，其体积依次为V 1、V 2、V 3、V 4，则有 （A ）V 4＜V 1+V 2+V 3 （B ）V 4=V 1+V 2+V 3 （C ）V 4＞V 1+V 2+V 3（D ）不能确定，与长方体的棱长有关二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知k ==βαβαcos cos sin sin 33，则k 的取值范围为 ． 2、等差数列{a n }的首项a 1=8，且存在惟一的k 使得点(k ,a k )在圆x 2+y 2=102上，则这样的等差数列共有 个． 3、在四面体P -ABC 中，PA =PB =a ，PC =AB =BC =CA =b ，且a ＜b ，则ba的取值范围为 ．4、动点A 对应的复数为z =4(cos +isin )，定点B 对应的复数为2，点C 为线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线交OA 与D ，则D 所在的轨迹方程为 ．5、∑=200313k k被8所除得的余数为 ．6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为 ．三、（20分）已知抛物线y 2=2px (p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．四、（20分）单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方形A 1B 1C 1D 1的中心为点N ，连AN 、B 1M ．（1）求证：AN 、B 1M 为异面直线； （2）求出AN 与B 1M 的夹角．五、（20分）对正实数a 、b 、c ．求证：cabc b ac b a bc a 888222+++++≥9．第二试一、（50分）设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边AB 的切点．乘积PA ·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当PA ·PB 取最小值时，（1）证明：AB ≥2BC ； （2）求AQ ·BQ 的值．二、（50分）给定由正整数组成的数列⎩⎨⎧+===++n n n a a a a a 12212,1（n ≥1）． （1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a 1,a 2)，(a 3,a 4)，…，(a 2k -1,a 2k )，…均在曲线x 2+xy -y 2+1=0上．（2）若设f (x )=x n +x n -1-a n x -a n -1，g (x )=x 2-x -1，证明：g (x )整除f (x )．三、（50分）我们称A 1,A 2,…,A n 为集合A 的一个n 分划，如果 （1）A A A A n = 21； （2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j ≤n ．求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m }的任意一个13分划A 1,A 2,…,A 13，一定存在某个集合A i (1≤i ≤13)，在A i 中有两个元素a 、b 满足b ＜a ≤89b ．参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,2121,1 ；2、17；3、⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32；4、()134122=+-y x ；5、4；6、117600．三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l p l ．四、（1）证略；（2）32arccos ．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA ·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）；（2）AQ ·BQ =1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m =117．全国高中数学联赛模拟试题(五)第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z 1、z 2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上，21z z ⋅的实部为零，arg z 1=6π，则z 2= （A ）i 2323+-（B ）i 2323- （C ）i 2323+- （D ）i 2323- 2、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21log 2x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛85,21（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2385,21（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 3、已知双曲线过点M (-2,4)，N (4,4)，它的一个焦点为F 1(1,0)，则另一个焦点F 2的轨迹方程是（A ）()()116425122=-+-y x （y ≠0）或x =1（y ≠0）（B ）()()125416122=-+-y x （x ≠0）或x =1（y ≠0）（C ）()()116125422=-+-y x （y ≠0）或y =1（x ≠0）（D ）()()125116422=-+-y x （x ≠0）或y =1（x ≠0）4、已知正实数a 、b 满足a +b =1，则b a M 2112+++=的整数部分是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）45、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是 （A ）9米 （B ）10米 （C ）12米 （D ）15米6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站（n ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是 （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15二、 填空题：（每小题6分，共36分）1、长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是 ．2、在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a 2+b 2=2c 2，则角C 的最大值是 ．3、从盛满a 升（a ＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n 次操作后溶液的浓度是 ．4、已知函数f (x )与g (x )的定义域均为非负实数集，对任意x ≥0，规定f (x )*g (x )=min{f (x ),g (x )}．若f (x )=3-x ，g (x )=52+x ，则f (x )*g (x )的最大值为 ．5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有不同的取法．6、若实数a ＞0，则满足a 5-a 3+a =2的a 值属于区间：①()63,0；②()663,2；③()+∞,36；④()32,0．其中正确的是 ．三、 （20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、 （20分）直线Ax +Bx +C =0（A ·B ·C ≠0）与椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ．求证：2222222BA b a C b a ++=．五、 （20分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？第二试一、 （50分）矩形ABCD 的边AD =·AB ，以AB 为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ，连PC 、PD 交AB 于E 、F ，若AE 2+BF 2=AB 2，试求正实数的值．二、 （50分）若a i ∈R +（i =1,2,…,n ），∑==ni iaS 1，且2≤n ∈N ．求证：∑=-nk kk a S a 13≥∑=-n k k a n 1211．三、 （50分）无穷数列{c n }可由如下法则定义：c n +1=|1-|1-2c n ||，而0≤c 1≤1． （1）证明：仅当c 1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c 1值，使得数列自某项之后以T 为周期（对于每个T =2,3,…）？参考答案第一试二、填空题：1、6π； 2、3π；3、na ⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；4、132-；5、2500；6、③④．三、证略．四、证略．五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．第二试 一、22=λ；二、证略．三、 （1）证略． （2）无穷个．全国高中数学联赛模拟试题(六)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）7、 a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条8、 已知f (x )是R 上的奇函数，g (x )是R 上的偶函数，若f (x )-g (x )=x 2+2x +3，则f (x )+g (x )=（A ）-x 2+2x -3 （B ）x 2+2x -3 （C ）-x 2-2x +3 （D ）x 2-2x +39、 已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB =∠BOC =∠COA =32π，则使AB +BC +CA ≥m (AO +BO +CO )成立的m 的最大值是 （A ）2（B ）35（C ）3（D ）23 10、 设x =0.820.5，y =sin1，z =log 37则x 、y 、z 的大小关系是（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜z ＜x（C ）z ＜x ＜y（D ）z ＜y ＜x11、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10 （B ）01 （C ）00 （D ）2012、 设(a ,b )表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a ,b )=1，则(a 2+b 2,a 3+b 3)为（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f (x )=x 10+2x 9-2x 8-2x 7+x 6+3x 2+6x +1，则f (2-1)= ．2、设F 1、F 2是双曲线x 2-y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是 ．3、给定数列{x n }，x 1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x 1999-x 601= ．4、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB 1中点，则四面体AD 1EF 的体积是 ．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是 ．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周．三、（20分）已知椭圆12222=+by a x 过定点A (1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y |=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M (m ,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围． 四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a ≠b ，b ≠c ，c ≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2．五、（20分）已知f (x )=ax 4+bx 3+cx 2+dx ，满足 （i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{-2, -1,0,1,2}，f (x )为整数； （iii ）f (1)=1,f (5)=70．试说明，对于每个整数x ，f (x )是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C 1、B 1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C 1K 交于点B 2，直线AB 于B 1K 交于点C 2．若△AB 2C 2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sini 5cosππ+=w ，f (x )=(x -w )(x -w 3)(x -w 7)(x -w 9)．求证：f (x )为一整系数多项式，且f (x )不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案 第一试二、填空题： 1、4； 2、x 2+y 2=4； 3、0； 4、245； 5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1．四、证略．五、是．第二试一、60°；二、证略．三、100．全国高中数学联赛模拟试题(七)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设log a b 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②log a b +log b a =0； ③0＜a ＜b ＜1； ④ab -1=0． 其中正确结论的个数是（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为 （A ）222ba al + （B ）222ba l a ++（C ）()2222ba a l a +- （D ）()2222ba a l a ++4、在复平面上，曲线z 4+z =1与圆|z |=1的交点个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）35、设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A ）6（B ）2（C ）6.5（D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于（A ）30°（B ）45°（C ）60°（D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααc os sin c os 2c os sin 2c os 3c os sin 3c os 4c os sin +++的值等于 ．2、2004321132112111+++++++++++= ． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于 ．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1iz b a z z z ，则ab 的最大值等于 ．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为 ． 三、（20分）已知实数x 、y 满足x 2+y 2≤5．求f (x ,y )=3|x +y |+|4y +9|+|7y -3x -18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M (2,-1)作抛物线y 2=x 的四条弦P i Q i (i =1,2,3,4)，且P 1、P 2、P 3、P 4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ M P MQ M P MQ MP MQ M P ->-．五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程x n +1+rx n -r n +1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C (I )是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C (I )的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分）非负实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2． 三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n =2的一个例子．A CBC B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案 第一试二、填空题：1、33； 2、20054008； 3、36-； 4、816； 5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-．四、证略．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、 n =1．全国高中数学联赛模拟试题(八)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是（A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集（D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）170093、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1n i ia等于 （A ）2（B ）-1（C ）1（D ）04、已知、是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A 的值是（A ）3（B ）-3（C ）4 （D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、，F (a ,)的最大值和最小值分别是 ．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．第二试一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB 的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5； 3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k ,k )或(3m +2,2)（m ∈N +）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、 有．全国高中数学联赛模拟试题(九)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、 设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）112、 已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案：①ab-1； ②b a-1； ③ab+1； ④b a +1； ⑤11-++-b a b a ． 其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）9815、 14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n （C ）⎪⎭⎫⎝⎛+-4cos 22211πn nn （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn nn 6、 一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、 过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是．2、 已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角（0＜＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f ()= ．3、 不等式()92211422+<+-x xx 的解集为 ．4、 设复数z 满足条件|z -i|=1，且z ≠0，z ≠2i ，又复数使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数-2的辐角主值的取值范围是 ． 5、 设a 1,a 2,…,a 2002均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a 1a 2…a 2002的最小值是 ．6、 在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．三、（20分）已知数列{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为S n ． （1） 用S n 表示S n +1；（2） 是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立．四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF |=2，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R +上的函数f (x )满足（i ）对于任意a 、b ∈R +，有f (ab )=f (a )+f (b )； （ii ）当x ＞1时，f (x )＜0； （iii ）f (3)=-1．现有两个集合A 、B ，其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2＞0，p 、q ∈R +}，集合B ={(p ,q )|f (q p )+21=0，p 、q ∈R +}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若POQ O S S △⊙32π=，求证：∠POQ =60°．二、（50分）已知数列a 1=20，a 2=30，a n +2=3a n +1-a n （n ≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5a n a n +1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．参考答案 第一试一、选择题：PQ二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33；2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan； 5、40022002；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++63142789102111n n ．三、（1）2211+=+n n S S ； （2）不存在．四、1922=+y x ．五、不存在．第二试一、证略；二、n =3．三、 p ≠2,7,11,13时，324个；p =2时，162个；p =7,11,13时，180个．。
高中数学 课时达标训练(九)直线与椭圆的位置关系(习题课) 新人教A版高二选修2-1数学试题
课时达标训练（九）直线与椭圆的位置关系（习题课） [即时达标对点练] 题组1 直线与椭圆的位置关系 1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值X 围是________． 题组2 直线与椭圆的相交弦问题3．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．184．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 5．已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程． 题组3 与椭圆有关的最值问题6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为________． 8．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值X 围．[能力提升综合练]1．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( ) A ．至多一个 B ．2个C ．1个D ．0个2．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值X 围是( )A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋2 2 ]D ．[4－2，4＋2]3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．34．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(0，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)O 为坐标原点，求△OAB 的面积．6．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝x ＋m 相交于不同的两点M ，N ，问是否存在实数m 使|AM |＝|AN |；若存在求出m 的值；若不存在说明理由．答 案即时达标对点练1.解析：选A 因为直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交． 2. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16 m 2－4m 2－12m＝12m 2－12m >0，解得m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.答案：(1，3)∪(3，＋∞)3. 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.4. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 54（4＋24）＝35. 答案：355. 解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0，x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1， 所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，所以得a 2＝75，b 2＝25，所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1. 6. 解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点．答案： 37. 解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)． 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，取得最大值6. 答案：68. 解：∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， (1)∵P (0，1)，即b ＝2，且B (3，1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1. (2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得，9a 2＋t 2（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴3（3－t ）23－2t >(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 能力提升综合练1. 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n2 >2，即m 2＋n 2<4， 所以n 2<4－m 2，则m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1. 所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部， 故过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．2. 解析：选A 方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所以－3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.3. 解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1，0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴||＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2. 4. 解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－15. 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0， 由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得21＋k 2＝1，解得k ＝± 3.将y ＝±3x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0，得13x 2±163x ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝±16313，x 1x 2＝1213， |AB |＝2（x 1－x 2）2＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫163132－4×1213＝2413. 又O 到AB 的距离d ＝1.∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝1213. 6解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1， 则右焦点F (a 2－1，0)．由题设|a 2－1＋22|2＝3， 解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1， 得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即－2<m <2， 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝m 4＋1－3m 4，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，所以m 4＋1－3m 4＝－1，解得m ＝2，所以不存在实数m 使|AM |＝|AN |.。
2019年全国高中数学联赛A+B卷(含答案)
2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为 ．答案：916．解：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以9log (3)16a a =．2. 若实数集合{1,2,3,}x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．答案：32-．解：假如0x ³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-．3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e⋅=，且25a a te£+对任意实数t 成立，则a的取值范围是 ．答案：．解：不妨设(1,0)e =．由于2a e ⋅=，可设(2,)a s=，则对任意实数t ，有2245s a a te +=£+= 这等价于245s s +£，解得[1,4]s Î，即2[1,16]s Î．于是a=Î．4. 设,A B 为椭圆G 的长轴顶点，,E F 为G 的两个焦点，4,AB =2AF =P 为G 上一点，满足2PE PF ⋅=，则PEF D 的面积为 ． 答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据条件得24,2a AB a AF ====可知2,1a b ==，且EF ==由椭圆定义知24PE PF a +==，结合2PE PF ⋅=得()2222212PE PF PE PF PE PF EF +=+-⋅==，所以EPF 为直角，进而112PEF S PE PF D =⋅⋅=．5. 在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10 ----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．答案：37100．解：数组(,)a b 共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．若a 被3整除，则b 也被3整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(,)a b 有239=组．若a 不被3整除，则21(mod3)a º，从而1(mod3)b º-．此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(,)a b 有7428´=组．因此92837N =+=．于是所求概率为37100．6. 对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为 ．答案：56p 或1312p ．解：假如02a p<£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sin a a a M a M <=£，与条件不符．因此2a p >，此时[0,]1a M =，故[,2]12a a M =．于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k p p p p +£<£+， ①且①中两处“£”至少有一处取到等号．当0k =时，得56a p =或1326a p =．经检验，513,612a p p =均满足条件． 当1k ³时，由于13522266k k p p p p æö÷ç+<+÷ç÷çèø，故不存在满足①的a ． 综上，a 的值为56p 或1312p ．7. 如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF 的值为 ． 答案．解：记a 为截面所在平面．延长,AK BF 交于点P ，则P在a 上，故直线CP 是a 与平面BCGF 的交线．设CP 与FG 交于点L ，则四边形AKLC 为截面．因平面ABC 平行于平面KFL ，且,,AK BF CL 共点P ，故ABC KFL -为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC KFL -的体积14V =．设PF h =，则1KF FL PF h AB BC PB h ===+．注意到,PB PF 分别是棱锥P ABC -与棱锥P KFL -的高，于是111466P ABC P KFL V V V AB BC PB KF FL PF --==-=⋅⋅-⋅⋅ 3221331(1)1616(1)h h h h h h æöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø． 化简得231h =，故h =1EK AE KF PF h ===． 8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A ．易知55!600A =´=（这里及以下，X 表示有限集X 的元素个数）． 将A 中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ；A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ．易知4!B =，5!B C +=，44!B D +=´，即24,96,72B C D ===． 由B 中排列产生的每个8位数，恰对应B 中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C 或D 中排列产生的每个8位数，恰对应C 或D 中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42B C DA B C D +++3600184836498422B C DA =---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC D 中，,,BC a CA b AB c ===．若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin()B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．解：因b 是,a c 的等比中项，故存在0q >，满足2,b qa c q a ==． ①因sin A 是sin(),sin B A C -的等差中项，故2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===， 即2222b c a ac +-=． …………………8分αLD F B K将①代入并化简，可知24212q q q +-=，即421q q =+，所以212q =． …………………12分 进而2224222111cos 222c a b q q B ac q q +-+-====． …………………16分10. （本题满分20分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆W 与抛物线2:4y x G =恰有一个公共点，且圆W 与x 轴相切于G 的焦点F ．求圆W 的半径．解：易知G 的焦点F 的坐标为(1,0)．设圆W 的半径为(0)r r >．由对称性，不妨设W 在x 轴上方与x 轴相切于F ，故W 的方程为222(1)()x y r r -+-=． ①将24yx =代入①并化简，得2221204y y ry æö÷ç÷-+-=ç÷÷çèø．显然0y >，故 222221(4)12432y y r y y y æöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷ç÷èøçèø． ② …………………5分根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应W 与G 的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32y f y y y+=>的最小值．由平均值不等式知2244444333y y +=+++³，从而1()329f y y ³⋅=． 当且仅当243y =，即3y =时，()f y取到最小值9． ………………15分由②有解可知9r ³．又假如9r >，因()f y 随y 连续变化，且0y +及y +¥时()f y 均可任意大，故②在0,3æççççèø及3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有9r =满足条件（此时1,33æ÷ç÷ç÷ç÷çèø是W 与G 的唯一公共点）． …………………20分11. （本题满分20分）称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12m z z z C +++³．解：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n nz z n z z N ++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷ç÷÷çèøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î．因此1112n n n n z z z z ++===，故 *11111()22N n n n z z n --=⋅=Î．①…………………5分进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②记*12()N m m T z z z m =+++Î． 当*2()N m s s =Î时，利用②可得122122sm k k k T z z z z -=³+-+å21222k k k z z ¥-=>-+å212223k k ¥-==-=å．…………………10分 当*21()N m s s =+Î时，由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故12212212s m k k s k T z z z z z -+=æö÷ç³+-+-÷ç÷çèøå212223k k k z z ¥-=>-+=å． 当1m =时，1113T z ==>．以上表明3C =满足要求． …………………15分另一方面，当*1221221111,,()22N k k k k z z z k ++--===Î时，易验证知{}n z 为有趣的数列．此时2112211lim lim ()ss k k s s k T z z z ++ ¥¥==++å134lim 11833ss k ¥=-=+=+⋅=， 这表明C不能大于3． 综上，所求的C为3． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．答案：3-．解：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0．显然0x <，从而120x ++=，得3x =-．2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为 ．答案解：令2m t =，则0t >．条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=，解得3t =．因此a=．3. 设,(0,)a b p Î，cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根，则sin sin a b 的值为 ．答案：5． 解：由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-，从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè．又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >，从而sin sin 5a b =． 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====，则该三棱锥的体积的最大值为 ．答案：3． 解：设三棱锥P ABC -的高为h ．取M 为棱AB 的中点，则h PM £==．当平面PAB 垂直于平面ABC 时，h 取到最大值．此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==．5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：95． 解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96195-=．6. 设整数4n >，(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，则n 的值为 ．答案：51．解：注意到0(1)C 1)nnr n r r nr x x -=+=å．其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x-中，其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24n n n n n ----=．而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中，其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---． 因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---．注意到4n >，化简得33(1)48n n --=-，故只能是n 为奇数且348n -=．解得51n =．7. 在平面直角坐标系中，若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³，则r 的最小值为 ．答案：4．解：由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---．即22(1)210a r a r --++£．上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³，解得4r ³．经检验，当4r =时，(,)(3,a b =满足条件．因此r 的最小值为4．8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=．这样的数列{}n a 的个数为 ．答案：5．解：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则 112(1)a d a k d +=+-，即1(2)k d a -=，因此必有2k ¹，且12ad k =-．这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø， 确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到2019为两个素数3与673之积，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆G 中，F 为一个焦点，,A B 为两个顶点．若3,2FA FB ==，求AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，并记c =F 为G 的右焦点．易知F 到G 的左顶点的距离为a c +，到右顶点的距离为a c -，到上、下顶点的距离均为a ．分以下情况讨论：(1) ,A B 分别为左、右顶点．此时3,2a c a c +=-=，故25AB a ==（相应地，2()()6b a c a c =+-=，G 的方程为2241256x y +=）． …………………4分(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时3,2a c a +==，故1c =，进而2223b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22143x y +=）． …………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点．此时3,2a a c =-=，故1c =，进而2228b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22198x y +=）．…………………12分 综上可知，AB的所有可能值为5,． …………………16分10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值．解：设lg ,lg ,lg a x b y c z ===，由,,1a b c >可知,,0x y z >．由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==．…………………5分由此，令3,4(0)x t y t t ==>，则241212z x xy t t =-=-．其中由0z >可知(0,1)t Î． …………………10分因此，结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø． 当22t t =-，即23t =（相应的,,a b c 分别为8833100,10,10）时，lg lg a c 取到最大值163． …………………20分11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．证明：对任意正整数m ，均有123m z z z +++<． 证明：归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î． …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===，故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î． ①进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②…………………10分当m 为偶数时，设*2()N m s s =Î．利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå． …………………15分 当m 为奇数时，设21()N m s s =+Î．由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå． 综上，结论获证． …………………20分。
全国高中数学联赛模拟试题(八) 新人教A版
2010全国高中数学联赛模拟试题（八）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设log a b 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>； ②log a b +log b a =0； ③0＜a ＜b ＜1；④ab -1=0．其中正确结论的个数是 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为 （A ）222ba al + （B ）222ba l a ++（C ）()2222ba a l a +- （D ）()2222ba a l a ++4、在复平面上，曲线z 4+z =1与圆|z |=1的交点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）35、设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A ）6（B ）2（C ）6.5（D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于（A ）30°（B ）45° （C ）60° （D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααcos sin cos 2cos sin 2cos 3cos sin 3cos 4cos sin +++的值等于 ． 2、2004321132112111+++++++++++= ． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于 ． 4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1i z b a z z z ，则ab 的最大值等于 ． 6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为 ．三、（20分）已知实数x 、y 满足x 2+y 2≤5．求f (x ,y )=3|x +y |+|4y +9|+|7y -3x -18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M (2,-1)作抛物线y 2=x 的四条弦P i Q i (i =1,2,3,4)，且P 1、P 2、P 3、P 4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ MP MQ M P MQ M P MQ M P ->-． 五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程x n +1+rx n -r n +1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C (I )是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C (I )的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分） 非负实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2．三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n =2的一个例子．A CBC B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案 第一试一、选择题：二、填空题： 1、33； 2、20054008； 3、36-；4、816；5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-．四、证略．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、 n =1．。
2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版(2019)月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若是虚数单位，则( )A.B.C.D.2. 已知，集合，若，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.3. 接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗Ⅰ作．截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新型冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若甲、乙、丙、丁人去接种新冠疫苗，则恰有两人接种同一种疫苗的概率为（ ）A.i =i −123i−+4i 13−4i 13+4i 13−−4i 13f (x)=a −1(a ∈R,x ∈R)x 2A ={x |f(x)=x},B ={x |f (f(x))=x}A =B ≠∅a [−,0]14[−,0)14[−,]1434[−,)1434202119202154499B.C.D.4. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )A.B.C.D.5. 设椭圆围成的区域（含边界）为＝,…，当点分别在，，…上时，的最大值分别是，，…，则＝（ ）A.B.C.D.6. 已知圆锥的表面积为，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为( )A.B.C.D.9162389a →b →||=2||a →b →(−)⊥a →b →b →a →b →π6π32π35π6+=1x 24ny 24n +1(n Ωn 1,2)(x,y)Ω1Ω2x +y M 1M 2M n 4−1n−−−−−√4+1n−−−−−√8−1n−−−−−√8+1n−−−−−√3ππ3–√6π3–√3π3–√2π3–√(x)=f(x)7. 已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为( )A.B.，C.D.，8. 设，， ，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 函数定义域为，对任意的都满足，下列结论正确的是（ ）A.函数在上是单调递减函数B.C.的解为D.10. 一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，＝＝，＝，＝，＝，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（ ）f(x)f'(x)g(x)=f(x)ex (0,4)(−∞,1)(,4)43(0,)43(0,1)(4,+∞)a =()12−13b =ln 1000−−−−√c =ln 5−ln 31513，，πa πb πc <<πc πb πa<<πb πa πc<<πa πc πb<<πc πa πbf (x)R ,∈R x 1x 2f ()+f ()>f ()+f ()x 1x 1x 2x 2x 1x 2x 2x 1f (x)R f (−2)<f (1)<f (2)f (x +1)<f (−x +2)x <12f (0)=060∘∠B ∠F 90∘∠A 60∘∠D 45∘BC DE F −CAB BC O AC M BC ⊥OFMA.直线平面B.与平面所成的角为定值C.设平面平面＝，则有D.三棱锥体积为定值11. 若角是第一象限角，在角的终边上有一点 ，则下列结论正确的有( )A.角一定等于B.角终边与的终边相同C.D.12. 在中，角，，的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）A.若，则为钝角三角形B.若，则为等腰直角三角形C.若，则为直角三角形D.在锐角中，不等式恒成立卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设随机变量服从正态分布，若，则________．14. 已知点为抛物线＝上的动点，过点作圆＝的切线，切点为，则的最小值为________．15. 已知数列的前项和为，对任意都有，且，则的取值集合为________.16. 足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去个顶角后剩下的如图所示的结构就是足球的表面结构．已知正二十面体是由个边长为的正三角形围成的封闭几何体，则如图所示的几何体中所有棱边数为________．BC ⊥OFMAC OFM ABF∩MOF l l //ABF −COM ααP(1,1)απ4απ4tan α=1sin(π−α)=−2–√2△ABC A B C a ，b ，c +<a 2b 2c 2△ABC a cos A =b cos B △ABC b cos C +c cos B =a sin A △ABC △ABC sin A >cos B ξN(0,1)P(ξ>1)=p P(−1<ξ<0)=P y 24x P +(y −3x 2)21A PA {}a n n S n n ∈N ∗4=S n 3a n +360≤||≤200S m m 1132022032四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， 是以为斜边的等腰直角三角形，且平面平面，，，点为棱的中点.求证：平面；求三棱锥的体积.18. 已知函数的图象如图所示.求的解析式；求的对称中心．19. 已知数列的前项和为，＝，．（1）求数列的通项公式；（2）令＝，求数列的前项和． 20. 为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是个中等难度题，每答对一个得分，答错得分．第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得分，答错一个扣分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽个．学生小明第一类题中有个能答对，第二类题中答对每个问题的概率都是．若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对个题的概率；若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽多少个题回答？P −ABCD BC//AD AB ⊥AD △PAB AB PAB ⊥ABCD AB =BC =2AD =4E PD (1)CE//PAB (2)C −ADE f(x)=A sin(ωx +φ)+h(A >0,ω>0,0<φ<)π2(1)f(x)(2)f (x){}a n n S n S n 2−n a n n ∈N ∗{}a n b n 2na n {}b n n T n 5100205425434(1)3(2)：−=1(a >0,b >0)2221. 双曲线 的左、右焦点分别为，点 在双曲线上求双曲线的方程；直线过点 且与双曲线交于,两点，且的中点的横坐标为，求直线的方程.22. 设函数.若），，求实数的取值范围；已知函数存在两个不同零点，求满足条件的最小正整数的值．C ：−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2,F 1F 2(,),(2,−1)5–√122–√C .(1)C (2)l F 2C A B AB −25–√l f (x)=−(a −2)x −a ln x x 2(1)x ∈[,+∞e √f (x)≥(2−a)x a (2)y =f (x),x 1x 2a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】无【解答】解：．故选．2.【答案】C【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】根据条件确定，集合的元素，再根据集合、相等的条件，求出的取值范围．【解答】解：①当时，显然成立.②当时.即方程有实数根,,解得：,方程可化作：,,∴无实数根,=i −123i (i −12)i 3i 2==+4i −1−12i −313C A B A B a a =0a ≠0∵A ≠∅,a −1=x x 2∴Δ=−4a ×(−1)≥0(−1)2a ≥−14f (f (x))=x (a −x −1)(⋅+ax +1−a)=0x 2a 2x 2∵A =B ⋅+ax +1−a =0a 2x 2Δ=−4(1−a)<022,解得：,综上所述）.故选3.【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】【解析】本题考查两个计数原理，排列与组合，古典概型与等可能事件的概率，考查数学建模、数学运算核心素养与运算求解能力．由题意，每位接种者可等可能地从种任选一种接种，由分步乘法计算原理知，共有不同的结果，恰有两人接种同一种疫苗，可先从人中任选两人并成一组，有种结果，再与另两人一起按三种疫苗的顺序排成一排，有种排法，一种排法对应一种接种方法，故恰有两人接种同一种疫苗共有种不同结果，由古典概型概率计算公式得： 4.【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】直接利用向量垂直，得到向量数量积为，再转换化简即可得到.【解答】解：因为，所以，即，即，∴Δ=−4(1−a)<0a 2a 2a <34a ∈[−,1434C.3=81344C 24A 33=36C 24A 33P ==3681490(−)⊥a →b →b →(−)⋅=0a →b →b →⋅−=0a →b →b →2⋅cos <,>−=0∣∣a →∣∣∣∣∣b →∣∣∣a →b →∣∣∣b →∣∣∣2<,>=→=→所以，又，所以.故选.5.【答案】D【考点】椭圆的离心率【解析】求出椭圆的参数方程为，（为参数），从而＝，由此能求出．【解答】∵椭圆，∴椭圆的参数方程为，（为参数），∴＝，∵椭圆围成的区域（含边界）为＝,…，当点分别在，，…上时，的最大值分别是，，…，则＝（ ∴＝．6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】首先根据圆锥表面积求出，，然后求出圆锥的高，最后利用圆锥体积公式求出结果.cos <,>=a →b →|b →|2||⋅||a →b →==|b →|22||⋅||b →b →12<,>∈[0,π]a →b →<,>=a →b →π3B x =2cos θy =sin θ4+1n−−−−−√θx +y 2cos θ+sin θ4+1n −−−−−√M n +=1x 24ny 24n +1 x =2cos θy =sin θ4+1n −−−−−√θx +y 2cos θ+sin θ4+1n −−−−−√+=1x 24ny 24n +1(n Ωn 1,2)(x,y)Ω1Ω2x +y M 1M 2M n M n (x +y ==)max 4+4+1n −−−−−−−−√8+1n −−−−−√【解答】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，由，得.又∵，解得，∴，∴圆锥的高为，∴圆锥的体积为.故选．7.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】结合函数图象求出成立的的范围即可．【解答】解：由题意得，，由图象知，，时，，即，故在，上单调递减.故选.8.【答案】D【考点】对数值大小的比较对数的运算性质【解析】无【解答】解：，，r l πl =2πr l =2r S =π+πr ⋅2r =3π=3πr 2r 2r =1l =2r =2h ==−2212−−−−−−√3–√V =πh =π××=π13r 213123–√3–√3B f(x)−f'(x)<0x (x)=g ′(x)−f (x)f ′e x x ∈(0,1)x ∈(4,+∞)(x)−f (x)<0f ′(x)<0g ′g(x)(0,1)(4+∞)D ∵a =(=∈(1,2)12)−132–√3b =ln =ln 10>ln =31000−−−−√3232e 2>53>–√3–√5又，则，故，即，则．（另一种判断的方法：假设，则，时，函数单调递增；时，，时，函数单调递减．，即，，函数 是上的单调递增函数，．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】函数单调性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】，所以在上单调递增，所以错，因为为上的递增函数，所以，所以对，，所以对不一定成立，故错．故选： .【解答】解：，所以在上单调递增，所以错，因为为上的递增函数，所以，所以对，，所以对不一定成立，故错．故选 .10.【答案】>3553>3–√35–√5ln >ln 3–√35–√5>ln 33ln 55c =ln 5−ln 3≤01513c ≤0y =ln x x =，x ∈(0,e)，≥0y ′1−ln x x 2y ′∴x ∈(0,e)x ∈(e,+∞)≤0y ′∴x ∈(e,+∞)∴ln 5<ln 31513c <0∴c <a <b ∵y =πx R ∴<<πc πa πb D (−)[f ()−f ()]>0x 1x 2x 1x 2f (x)R A f (x)R f (−2)<f (1)<f(2)B f (x +1)<f (−x +2)⇔x +1<−x +2⇒x <12C D D BC (−)[f ()−f ()]>0x 1x 2x 1x 2f (x)R A f (x)R f (−2)<f (1)<f(2)B f (x +1)<f (−x +2)⇔x +1<−x +2⇒x <12C D D BC空间中直线与平面之间的位置关系棱柱、棱锥、棱台的体积命题的真假判断与应用直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】B,C【考点】终边相同的角【解析】此题暂无解析【解答】解：因为角的终边上有一点，所以点到原点的距离为，由三角函数定义可知，，所以，故正确；错误；又的终边过点，所以角终边与的终边相同，，故错误；正确.故选12.【答案】A,C,D【考点】αP(1,1)P 2–√sin α=，cos α=2–√22–√2tan α=1，sin(π−α)=sin α=2–√2C D π4(1,1)απ4α=2kπ+π4A B BC.三角形的形状判断余弦定理解三角形【解析】在中，依据正弦定理，余弦定理以及正弦函数的单调性分别对四个选项逐一判断即可.【解答】解：在中，对于，若,则由余弦定理知：.可见角是钝角，可见正确；对于，若,由正弦定理得：,即，这时有或，于是有或.可见为等腰三角形或直角三角形，可见错误；对于，若,由正弦定理，得：,即.，，.可见正确；对于，在锐角三角形中，,.根据函数的单调性，知：,于是有.可见正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】△ABC △ABC A +<a 2b 2c 2cos C =<0+−a 2b 2c 22ab C A B a cos A =b cos B sin A cos A =sin B cos B sin 2A =sin 2B 2A =2B 2A +2B =πA =B A +B =π2△ABC B C b cos C +c cos B =a sin A sin B cos C +sin C cos B =A sin 2sin(B +C)=A sin 2∵sin(B +C)=sin A ≠0∴sin A =1A =π2C D △ABC A +B =π−C >π2∴>A >−B >0π2π2y =sin x sin A >sin(−B)π2sin A >cos B D ACD −p 12画出正态分布的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．【解答】解：画出正态分布的密度函数的图象如下图：由图象的对称性可得，若，则，∴，．故答案为：．14.【答案】【考点】圆与圆锥曲线的综合问题【解析】设出的坐标，求出到圆的圆心的距离的最小值，然后求解的最小值．【解答】点为抛物线＝上的动点，过点作圆＝的切线，切点为，则的最小值就是与圆的圆心连线的最小值的平方减去半径的平方再开方；设，由题意可得圆＝的圆心，半径为，，令，，令＝．即，可得＝，解得＝，时，，时，，所以＝时，取得最小值为：．此时的最小值：．15.【答案】N(0,1)N(0,1)P(ξ>1)=p P(ξ<−1)=p P(−1<ξ<1)=1−2p P(−1<ξ<0)=−p 12−p 121P P PA P y 24x P +(y −3x 2)21A PA P P(x,y)+(y −3x 2)21C(0,3)1PC ==+(y −3x 2)2−−−−−−−−−−√+(y −3116y 4)2−−−−−−−−−−−−−√g(y)=+−6y +9116y 4y 2g'(y)=+2y −614y 3g'(y)0+2y −6=014y 3(y −2)(+2y +12)y 20y 2y <2g'(y)<0y >2g'(y)>0y 2g(y)2–√PA =1(−2–√)212−−−−−−−−−√数列的应用数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，解得.当时，，两式相减得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，代入条件，得，则，，，，，，.因为，所以的取值集合为．故答案为：.16.【答案】【考点】归纳推理【解析】由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面条棱，每条棱属于两个面，所以共有条棱，此外每个面会产生条新棱，共产生＝条新棱，由此能求出结果．【解答】由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面条棱，每条棱属于两个面，所以共有条棱，此外每个面会产生条新棱，共产生＝条新棱，∴共有：＝条棱．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.n =14=3+3a 1a 1=3a 1n ≥24=3+3S n−1a n−1=−3a n a n−1=−3a n a n−1{}a n 3−3=−a n (−3)n =[1−]S n 34(−3)n =3S 1=−6S 2=21S 3=−60S 4=183S 5=−546S 6⋯60≤||≤200S m m {4,5}{4,5}903=303×20233×20603=303×20233×206030+6090为的中点，. 四棱锥的底面是直角梯形，，，，， ， ，即，四边形为平行四边形，，平面，平面.解：作，的中点，，连接，，，作.∵，分别为，的中点，，，平面 平面. 是以为斜边的等腰三角形，，. 平面平面，平面， 平面，且 . ，，，， .【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】∵E PD ∴EF AD =//12∵P −ABCD BC//AD ∴EF//BC ∵BC =2AD =4∴BC =AD 12∴EF =BC BF BC =//∴BCEF ∴CE//BF ∵BF ⊂PAB ∴CE//PAB (2)AB AD M N EN PM CN EO ⊥CN E N PD AD ∴EN//AP ∵CE//BF ∴CEN//BPA ∵△PAB AB ∴PM ⊥AB PM =AB 12∵PAB ⊥ABCD ∴PM ⊥ABCD ∴EO ⊥ABCD EO =PM 12∵AB =BC =2AD =4∴CN =2EO =1∴=⋅⋅AD ⋅CN ⋅EO =V C−ADE 131223为的中点，. 四棱锥的底面是直角梯形，，，，， ， ，即，四边形为平行四边形，，平面，平面.解：作，中点，，连接，，，作.∵，分别为，中点，，，平面 平面. 是以为斜边的等腰三角形，，. 平面平面，平面， 平面，且 . ，，，， .18.【答案】解：由题意可得，，，，∵E PD ∴EF AD =//12∵P −ABCD BC//AD ∴EF//BC ∵BC =2AD =4∴BC =AD 12∴EF =BC BF BC =//∴BCEF ∴CE//BF ∵BF ⊂PAB ∴CE//PAB (2)AB AD M N EN PM CN EO ⊥CN E N PD AD ∴EN//AP ∵CE//BF ∴CEN//BPA ∵△PAB AB ∴PM ⊥AB PM =AB 12∵PAB ⊥ABCD ∴PM ⊥ABCD ∴EO ⊥ABCD EO =PM 12∵AB =BC =2AD =4∴CN =2EO =1∴=⋅⋅AD ⋅CN ⋅EO =V C−ADE 131223(1)A ===2,f(x −f(x )max )min 26−22h ===4f(x +f(x )max )min 26+22T =[−(−)]×4=4π=π2π22πωω==2π4π12ππ1π故的解析式为；由得对称中心为．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的对称性【解析】由题意根据函数的图象的最值，可得，的值，再求函数的周期求的的值，又由为函数最大值，求得，即可得到函数的解析式.由三角函数的性质，令 ，进而得到对称中心的坐标.【解答】解：由题意可得，，，，为函数最大值， ，由得，故的解析式为；由得对称中心为．19.【答案】当＝时，＝，得＝，当时，，两式相减得＝，变形得＝，又∵＝，∴，即．f(x)f(x)=2sin(x +)+412π4(2)x +=kπ(k ∈Z)12π4(−+2kπ,0)(k ∈Z)π2A,h T w f ()π2φ=π4x +=kπ(k ∈Z)12π4(1)A ===2,f(x −f(x )max )min 26−22h ===4f(x +f(x )max )min 26+22T =[−(−)]×4=4π=π2π22πωω==2π4π12f ()π2×+φ=+2kπ(k ∈Z)π212π20<φ<π2φ=π4f(x)f(x)=2sin(x +)+412π4(2)x +=kπ(k ∈Z)12π4(−+2kπ,0)(k ∈Z)π2n 1S 13−1a 1a 21n ≥2a n 2+1a n−3(+1)a n 4(+1)a n−1+1a 72于是，，令，即＝．①，②，①-②得＝＝，∴，∴．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】当＝时，＝，得＝，当时，，两式相减得＝，变形得＝，又∵＝，∴，即．，于是，，令，即＝．①，②，T n −n(n +1)A n −2+−n ⋅2n+22n+2−(n −1)⋅−45n+2n 1S 13−1a1a 21n ≥2a n 2+1an−3(+1)a n 4(+1)an−1+1a 72T n −n(n +1)A n∴，∴．20.【答案】解：该同学答对个题有两种情况，第一种情况是第一类题对个，第二类题对个：，第二种情况是第一类题对个，第二类题对个：，所以概率为：.若小明后三题选择从第一类题中抽取道，从第二类题中抽取道进行作答，设后三题得分为分，则的所有肯能取值为：，，，，，，则；；；；；；∴.若小明后三题选择从第二类题中抽取道进行作答，设后三题大答对道，得分为分，则，，所以，所以，即后三题都应从第二类题中抽取作答，得分期望会高．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差两点分布二项分布超几何分布的期望与方差【解析】无无(1)312=×=P 1C 14C 25()34294021=×××=P 2C 24C 25C 123414940P =×+×××=C 14C 25()342C 24C 25C 123414920(2)12X X −10015254050P(X =−10)=×=14()142164P(X =0)=×=34()142364P(X =15)=×××=14C 121434332P(X =25)=×××=34C 121434932P(X =40)=××=143434964P(X =50)=××=3434342764EX =(−10)×+15×+25×+40×+50×=35164664186496427643Z Y Z ∼B (3,)34Y =20×Z −5×(3−Z)=25Z −15EY =25EZ −15=25×−15=941654EX <EY解：该同学答对个题有两种情况，第一种情况是第一类题对个，第二类题对个：，第二种情况是第一类题对个，第二类题对个：，所以概率为：.若小明后三题选择从第一类题中抽取道，从第二类题中抽取道进行作答，设后三题得分为分，则的所有肯能取值为：，，，，，，则；；；；；；∴.若小明后三题选择从第二类题中抽取道进行作答，设后三题大答对道，得分为分，则，，所以，所以，即后三题都应从第二类题中抽取作答，得分期望会高．21.【答案】解：由题意有解得故双曲线的方程为；设直线的方程为 ,联立方程消去整理为，得，故直线的方程为 .(1)312=×=P 1C 14C 25()34294021=×××=P 2C 24C 25C 123414940P =×+×××=C 14C 25()342C 24C 25C 123414920(2)12X X −10015254050P(X =−10)=×=14()142164P(X =0)=×=34()142364P(X =15)=×××=14C 121434332P(X =25)=×××=34C 121434932P(X =40)=××=143434964P(X =50)=××=3434342764EX =(−10)×+15×+25×+40×+50×=35164664186496427643Z Y Z ∼B (3,)34Y =20×Z −5×(3−Z)=25Z −15EY =25EZ −15=25×−15=941654EX <EY (1) −=1，5a 214b 2−=1，8a 21b 2{a =2，b =1，C −=1x 24y 2(2)l y =k(x −)5–√ −=1，x 24y 2y =k(x −)，5–√y (1−4)+8x −(20+k 2x 25–√k 2k 24)=0,+==−4x 1x 285–√k 24−1k 25–√k =±6–√6l y =±(x −)6–√65–√【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题直线与双曲线结合的最值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意有解得故双曲线的方程为；设直线的方程为 ,联立方程消去整理为，得，故直线的方程为 .22.【答案】解：由得，又因为，所以，所以.令，所以．所以函数在上单调递增，所以．所以，即实数的取值范围为．因为，所以(1) −=1，5a 214b 2−=1，8a 21b 2{a =2，b =1，C −=1x 24y 2(2)l y =k(x −)5–√ −=1，x 24y 2y =k(x −)，5–√y (1−4)+8x −(20+k 2x 25–√k 2k 24)=0,+==−4x 1x 285–√k 24−1k 25–√k =±6–√6l y =±(x −)6–√65–√(1)f (x)≥(2−a)x−a ln x ≥0x 2x ∈[,+∞)e √ln x ≥>012a ≤x 2ln x g(x)=x 2ln x (x)=≥0g ′x (2ln x −1)(ln x)2g(x)[,+∞)e √g =g()=2e (x)min e √a ≤2e a (−∞,2e](2)f (x)=−(a −2)x −a ln x x 2(x)=2x −(a −2)−f ′a x =2−(a −2)x −a x 2x (x >0)(2x −a)(x +1)．若，则，函数在上单调递增，函数至多一个零点.因为函数有两个不同零点，所以.当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值，因此若函数有两个零点，则，又因为，所以．令，显然在上为增函数，且，，所以存在，．当时，；当时，.所以满足条件的最小正整数．又因为当时，，，所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数的值为．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值函数恒成立问题由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，又因为，所以，所以.令，所以．所以函数在上单调递增，=(x >0)(2x −a)(x +1)x a ≤0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)f (x)f (x)a >0a >0f (x)(0,)a 2(,+∞)a 2f (x)f ()<0a 2f (x)−+4a −4a ln <0a 2a 2a >0a +4ln −4>0a 2h(a)=a +4ln −4a 2h (a)(0,+∞)h (2)=−2<0h (3)=4ln −1=ln −1>0328116∈(2,3)a 0h()=0a 0a >a 0h (a)>00<a <a 0h (a)<0a =3a =3f (3)=3(2−ln 3)>0f (1)=0a =3f (x)a 3(1)f (x)≥(2−a)x−a ln x ≥0x 2x ∈[,+∞)e √ln x ≥>012a ≤x 2ln x g(x)=x 2ln x (x)=≥0g ′x (2ln x −1)(ln x)2g(x)[,+∞)e √g =g()=2e(x)√所以．所以，即实数的取值范围为．因为，所以．若，则，函数在上单调递增，函数至多一个零点.因为函数有两个不同零点，所以.当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值，因此若函数有两个零点，则，又因为，所以．令，显然在上为增函数，且，，所以存在，．当时，；当时，.所以满足条件的最小正整数．又因为当时，，，所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数的值为．g =g()=2e (x)min e √a ≤2e a (−∞,2e](2)f (x)=−(a −2)x −a ln x x 2(x)=2x −(a −2)−f ′a x =2−(a −2)x −ax 2x =(x >0)(2x −a)(x +1)x a ≤0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)f (x)f (x)a >0a >0f (x)(0,)a 2(,+∞)a 2f (x)f ()<0a 2f (x)−+4a −4a ln <0a 2a 2a >0a +4ln −4>0a 2h(a)=a +4ln −4a 2h (a)(0,+∞)h (2)=−2<0h (3)=4ln −1=ln −1>0328116∈(2,3)a 0h()=0a 0a >a 0h (a)>00<a <a 0h (a)<0a =3a =3f (3)=3(2−ln 3)>0f (1)=0a =3f (x)a 3。
2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版(2019)月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部是( )A.B.C.D.2. 图中阴影部分表示的集合是（ ）A.B.C.D.3.已知随机变量服从正态分布，则（ ）（附：若，则，）A.B.C.D.z =1+z2+i i 3i z 33i−1−iA ∩B∁U B ∩A∁U (A ∩B)∁U (A ∪B)∁U X N(−1,1)P(0<X ≤1)=X ∼N (μ,)σ2P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6827P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.95450.13590.9060.27180.34134. 如图，长方体中，，、、分别是、、 的中点，则异面直线与所成的角为 A.B.C.D.5. 等比数列中， ，，则的值为（ ）A.B.C.D.6. 将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数的图像（如图所示），，是直线 与 的图像的两个交点，且，则函数的图像的一条对称轴为直线（ ）A.B.ABCD −A 1B 1C 1D 1A =AB =2AD A 1E F G DD 1AB CC 1E A 1GF ()π6π4π3π2{}a n =1a 3=4a 4a 6−a 10a 8−a 6a 424816f (x)=2cos ωx +1(ω>0)φ(0<φ<)π2g(x)A B y =1g(x)|AB|=3π2g(x)x =π6x =π2=2πC.D. 7. 已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，，当时，都有；②＝；③＝是偶函数；若＝，＝，＝，则，，的大小关系正确的是（ ）A.B.C.D.8. 在正方体中，点，分别是棱，的中点，则异面直线和所成的角为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知，则的值可能为( )A.B.C.D.10. 如图所示，在长方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）x =2π3x =5π6R x 1∈[4,8]x 2<x 1x 2>0f()−f()x 1x 2−x 1x 2f(x +4)−f(x)y f(x +4)a f(6)b f(11)c f(2017)a b c a <b <cb <a <ca <c <bc <b <aABCD −A 1B 1C 1D 1M N AA 1CC 1MN BC 190°60°45°30°sin θ+cos θ=15sin θ−cos θ−7575−1515ABCD −A 1B 1C 1D 1O DB C A 1BD C 1MA.，，三点共线B.，，三点共线C.，，，四点共面D.，，，四点共面11.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是 A.在上是增函数B.在上是减函数C.在上是增函数D.当时， 取得极小值12. 设，同时为椭圆与双曲线，的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，若( )A.，则B.，则C.，则的取值范围是D.，则的取值范围是卷II （非选择题）B 1M OC 1M O C 1O A MD 1D O M y =f (x)(x)f ′()f (x)(−3,1)f (x)(1,3)f (x)(1,2)x =4f (x)F 1F 2:+=1(a >b >0)C 1x 2a 2y 2b 2:−=1(>0C 2x 2a 21y 2b 21a 1>0)b 1C 1C 2M C 1C 2e 1e 2O ||=2|MO|F 1F 2+=1e 211e 222–√||=2|MO|F 1F 2+=21e 211e 22||=4|M |F 1F 2F 2e 1e 2(,)2332||=4|M |F 1F 2F 2e 1e 2(,2)23三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，则的值为________．14. 已知非零向量，满足，则与夹角的余弦值为________． 15. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点.若，且的面积为，则________.16. 由数字，，，，，可以组成________个是的倍数，但不是的倍数的四位数．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在平面四边形中，，，，．求的大小；求的长度．18. 如图，在矩形中，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使得平面平面.证明：；若点分别为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知数列的前项和为，且.求数列的通项公式；若，求数列的前项和.20. 教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务．惠州市多所中小学校响应教育部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了所学校（记为 、、、……、），所学校的参与人数统计图如下：sin(−x)=π435sin 2x a →b →||=||=|+|a →b →a →b →a →2−a →b →=2px (p >0)y 2F P Q (p,0)92|QF|=2|PF|△PQF 83–√p =01234535ABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC (2)CD ABCD AB =2AD =4E AB △ADE DE △PDE PDE ⊥BCDE (1)CE ⊥PD (2)F,M PC,DE MF PCD {}a n n S n =−S n 43a n 13(1){}a n (2)=n +1b n {⋅}a n b n n T n 10A B C J 10（1）若从这所学校中随机选取所学校进行调查，求选出的所学校参与足球运动人数都超过人的概率；（2）现有一名排球教练在这所学校中随机选取所学校进行指导，记为教练选中参加排球人数在人以上的学校个数，求的分布列和数学期望． 21. 双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点.若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；设，若的斜率存在且交双曲线于两支，的中点为， ，求的斜率.22. 已知函数，函数．若，求的极大值；当时，有两个零点，求的取值范围．102240103X 30X −=1(b >0)x 2y 2b2F 1F 2l F 2A B (1)l π2△AB F 1(2)b =3–√l AB M ⋅=0M F 1−→−−AB −→−l f(x)=xlnx −a (−x)+1x 2g(x)=(x)f ′(1)a =1f(x)(2)0<x <1g(x)a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴复数的虚部是.故选．2.【答案】B【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分是中去掉那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是中去掉那部分所得，即阴影部分的元素属于且不属于，即，故选．3.=1+z2+i i 3z =(1−i)(2+i)=3−i z −1C B A B A B A B ∩(A)∁U B【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：．故选．4.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】设，以，， 所在直线方向，，轴，建立空间直角坐标系，可得，的坐标，进而可得，可得答案．【解答】解：以，， 所在直线方向为，，轴，建立空间直角坐标系，设，，，，，∴，，∴，∴，即．故选．5.P(0<X ≤1)=[P(−3<X ≤1)−P(−2<X ≤0)]=0.135912A A =AB =2AD =2A 1DA DC DD 1x y z E A 1−→−GF −→−⊥E A 1−→−GF −→−DA DC DD 1x y z A =AB =2AD =2A 1(1,0,2)A 1E (0,0,1)G (0,2,1)F (1,1,0)=(−1,0,−1)E A 1−→−=(1,−1,−1)GF −→−⋅=−1+1=0E A 1−→−GF −→−⊥E A 1−→−GF −→−E ⊥GF A 1D【考点】等比数列的通项公式等比数列的性质【解析】设等比数列的公比为，由题意和等比数列的性质化简已知的式子，求出的值后，再由等比数列的性质化简所求的式子并求值．【解答】解：设等比数列的公比为，，，∴，化简得，，∴.故选．6.【答案】D【考点】余弦函数的图象余弦函数的对称性【解析】由题意，利用所给图象以及相关函数性质进行求解即可.【解答】解：由题知 ，由可得，解得，所以，则，又函数的图像过原点，所以，即，{}a n q q 4{}a n q ∵=1a 3=4a 4a 6(q)()=4a 3a 3q 3=4q 4===4−a 10a 8−a 6a 4−a 6q 4a 4q 4−a 6a 4q 4B g(x)=2cos(ωx −ωφ)+1|AB|=3π2T =323π2T =πω==22πT g(x)=2cos(2x −2φ)+1g(x)O (0,0)2cos(2×0−2×φ)+1=0cos2φ=−12<φ<π因为，解得，所以，由，可得，当时，，所以函数的图像的一条对称轴为 .故选.7.【答案】B【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由①分析可得函数在区间上为增函数，由②分析可得函数的周期为，由③分析可得函数的图象关于直线＝和＝对称，进而分析可得＝，＝＝＝，＝＝＝＝，结合函数在上的单调性，分析可得答案．【解答】故选：．8.【答案】B【考点】两个向量的夹角空间向量的夹角与距离求解公式异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解:以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0<φ<π2φ=π3g(x)=2cos(2x −)+12π32x −=kπ(k ∈Z)2π3x =+(k ∈Z)π3kπ2k =1x =5π6g(x)x =5π6D f(x)[4,8]f(x)8f(x)x −4x 4a f(6)b f(11)f(3)f(5)c f(2017)f(252×8+1)f(1)f(7)[4,8]B D DA x DC y DD 1z设正方体中棱长为，∵、分别为棱和棱的中点，∴，，，，，，设异面直线和所成的角为，则，∴，∴异面直线和所成的角为.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】由，得到，进而可得，开方即可得到答案.【解答】解：∵，ABCD −A 1B 1C 1D 12M N AA ′CC 1M(2,0,1)N(0,2,1)B(2,2,0)(0,2,2)C 1=(−2,2,0)MN −→−=(−2,0,2)BC 1−→−BC 1MN θcos θ===|⋅|MN −→−BC 1−→−||⋅||MN −→−BC 1−→−42⋅22–√2–√12θ=60°BC 1MN 60°B sin θ+cos θ=152sin θcos θ=−2425=1−2sin θcos θ=(sin θ−cos θ)24925sin θ+cos θ=15+2sin θcos θ=1∴，∴，∴，∴.故选.10.【答案】B,C【考点】棱柱的结构特征平面的基本性质及推论【解析】无【解答】解：如图，连接，，则．又平面，∴三点、、在平面与平面的交线上，即、、三点共线，∴不正确，，均正确，不正确．故选．11.【答案】C,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析1+2sin θcos θ=1252sin θcos θ=−2425=1−2sin θcos θ=(sin θ−cos θ)24925sin θ−cos θ=±75AB A 1C 1AC AC ∩BD =O C∩A 1BD =M C 1C 1M O BD C 1ACC 1A 1C 1M O A B C D BC【解答】解：的图象在上先小于，后大于，故在上先减后增，故错误；的图象在上先大于，后小于，故 在上先增后减，故错误；由图可知，当时， ，所以在上单调递增，故正确；当时， ，当时， ，所以当时， 取得极小值，故正确．故选.12.【答案】B,D【考点】椭圆的定义和性质双曲线的标准方程双曲线的定义椭圆的离心率双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，设，，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，当时，则，所以，即，由离心率的公式可得，故正确；(x)f ′(−3,1)00f (x)(−3,1)A (x)f ′(1,3)00f (x)(1,3)B x ∈(1,2)(x)>0f ′f (x)(1,2)C x ∈(2,4)(x)<0f ′x ∈(4,5)(x)>0f ′x =4f (x)D CD |M |=m F 1|M |=n F 22c m +n =2am −n =2a 1m =a +a 1n =a −a 1||=2|MO|F 1F 2∠M =F 1F 290∘+=4m 2n 2c 2+=2a 2a 21c 2+=21e 211e 22B =c 1−=c 1当时，可得，即，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在上单调递增，可得，则，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】用表示出，，代入夹角公式计算．【解答】||=4|M |F 1F 2F 2n =c 12a −=c a 112−=1e 11e 2120<<1e 1>11e 1>1e 2121<<2e 2=e 1e 22e 222+e 22+=t (3<t <4)e 2==2(t +−4)2e 222+e 22(t −2)2t 4t f (t)=t +−44t (3,4)f (t)∈(,1)13∈(,2)e 1e 223D BD 57–√14||a ∗(2−)a a b |2−|a b |=||=|+|→→解：∵，∴，∴，∴，∴，又，∴，．故答案为：.15.【答案】【考点】抛物线的标准方程抛物线的性质抛物线的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由条件知，所以，所以．由抛物线的准线为，及抛物线的定义可知，点的横坐标为，不妨设点在轴上方，则的纵坐标为，所以，解得．故答案为：．16.【答案】||=||=|+|a →b →a →b →==++2⋅a →2b →2a →2b →2a →b →⋅=−=−a →b →12a →212b →2(2−=4+−4⋅=7a →b →)2a →2b →2a →b →a →2|2−|=||a →b →7–√a →⋅(2−)=2−⋅=a →a →b →a →2a →b →52a →2cos <a →2−>=a →b →⋅(2−)a →a →b →|||2−|a →a →b →==52a →2||||a →7–√a →57–√1457–√142F (,0)p 2|QF|=4p |PF|=|QF|=2p 12x =−p 2P 2p −=p p 232P x P p 3–√=×4p ×p =8S △PQF 123–√3–√p =2258【考点】计数原理的应用【解析】无【解答】解：一个数是的倍数需满足各位数之和是的倍数，一个数是的倍数需满足个位是或，从数字，，，，，中选四个数字出来，其中满足四个数字是的倍数的有：，，，，，当选择的数字是时，能够组成个数，其中个位数是的有个，所以满足题意的有个，当选择的数字是时，能够组成个数，其中个位数是或的有个，所以满足题意的有个，当选择的数字是时，能够组成个数，其中个位数是的有个，所以满足题意的有个，当选择的数字是时，能够组成个数，其中个位数是或的有个，所以满足题意的有个，当选择的数字是时，能够组成个数，其中个位数是的有个，所以满足题意的有个，综上，共有个．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】..【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】证明：在矩形中，3350501234530123013502340345124501233=18A 330618−6=1201353=18A 33056+4=1018−10=802343=18A 330618−6=1203453=18A 33056+4=1018−10=81245=24A 445624−6=1812+8+12+8+18=5858(1)ABCD AB =2AD,E AB平面，所以平面，所以.解：如图，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系.由已知，为等腰直角三角形，则，又平面平面，则平面.又，则所以点，，因为为的中点，则点，所以设平面的法向量为，则由得，令得设直线与平面所成的角为 ，则，故直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】CE ⊂BCDE CE ⊥PDE CE ⊥PD (2)E EC x ED y △PDE PM ⊥ED PDE ⊥BCDE PM ⊥BCDE AD =2PM =ME =,CE =22–√2–√M(0,,0),P(0,,)2–√2–√2–√C(2,0,0),D(0,2,0)2–√2–√F PC F (,,)2–√2–√22–√2=(,−,)MF −→−2–√2–√22–√2PCD =(x,y,z)n → ⋅=2x −2y =0n →DC −→−2–√2–√⋅=−y +z =0n →DP −→−2–√2–√{x =y y =z x =1=(1,1,1)n →MF PCD θsin θ=cos , ==MF −→−n →⋅MF −→−n →||||MF −→−n →2–√3MF PCD 2–√3(1)ABCD平面平面，平面，所以平面，所以.解：如图，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系.由已知，为等腰直角三角形，则，又平面平面，则平面.又，则,所以点，，因为为的中点，则点，所以,设平面的法向量为，又,，则由得，令得,设直线与平面所成的角为 ，则，故直线与平面所成的角的正弦值为.19.【答案】解：因为，所以，所以当时，，即.当时，，所以，PDE∩BCDE =DE CE ⊂BCDE CE ⊥PDE CE ⊥PD (2)E EC x ED y △PDE PM ⊥ED PDE ⊥BCDE PM ⊥BCDE AD =2PM =ME =,CE =22–√2–√M(0,,0),P(0,,)2–√2–√2–√C(2,0,0),D(0,2,0)2–√2–√F PC F (,,)2–√2–√22–√2=(,−,)MF −→−2–√2–√22–√2PCD =(x,y,z)n →=(2,−2,0)DC −→−2–√2–√=(0,−,)DP −→−2–√2–√ ⋅=2x −2y =0n →DC −→−2–√2–√⋅=−y +z =0n →DP −→−2–√2–√{x =yy =z x =1=(1,1,1)n →MF PCD θsin θ=cos , ==MF −→−n →⋅MF −→−n →||||MF −→−n →2–√3MF PCD 2–√3(1)=−S n 43a n 13=−(n ≥2)S n−143a n−113n ≥2=−a n 43a n 43a n−1=4a n a n−1n =1=−S 143a 113=1a1=n−1所以.，于是，①，②由，得，所以【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以当时，，即.当时，，所以，所以.，于是，①，②由，得，所以20.【答案】参与足球人数超过人的学校共所，记“选出的两所学校参与足球人数都超过人”为事件，从这所学校中随机选取所学校，可得基本事件总数为＝，随机选择所学校共＝＝种，∴选出的所学校参与足球运动人数都超过人的概率为＝＝＝．参加排球人数在人以上的学校共所，的所有可能取值为，，，，＝＝＝，=a n 4n−1(2)⋅=(n +1)×a n b n 4n−1=2×+3×+4×+⋯+T n 404142n ×+(n +1)×4n−24n−14=2×+3×+4×+⋯+T n 414243n ×+(n +1)×4n−14n ①−②−3=2+++⋯+−T n 41424n−1(n +1)×4n=−(n +)×23234n =×−.T n 3n +294n 29(1)=−S n 43a n 13=−(n ≥2)S n−143a n−113n ≥2=−a n 43a n 43a n−1=4a n a n−1n =1=−S 143a 113=1a 1=a n 4n−1(2)⋅=(n +1)×a n b n 4n−1=2×+3×+4×+⋯+T n 404142n ×+(n +1)×4n−24n−14=2×+3×+4×+⋯+T n 414243n ×+(n +1)×4n−14n ①−②−3=2+++⋯+−T n 41424n−1(n +1)×4n=−(n +)×23234n =×−.T n 3n +294n 2940440S 102n 2n 6240P(S)304X 5128P(X 0)＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，∴的分布列为：＝＝．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】解：若的倾斜角为，是等边三角形，把代入双曲线的方程，可得点的纵坐标为，由，求得，，故双曲线的渐近线方程为，即双曲线的渐近线方程为．由已知，，，设，直线，显然，由得 ，因为与双曲线交于两点，所以，且．设的中点为，由，即，P(X 4)P(X 2)P(X 7)X X 0163P E(X)(1)l π2△AB F 1x =c =1+b 2−−−−−√A b 2tan ∠A =tan ==F 1F 2π63–√3b 221+b 2−−−−−√=2b 2b =2–√y =±bx =±x 2–√y =±x 2–√(2)(−2,0)F 1(2,0)F 2A(,)，B(,)x 1y 1x 2y 2l :y =k (x −2)k ≠0 −=1，x 2y 23y =k (x −2)，(−3)−4x +4+3=0k 2x 2k 2k 2l −3≠0k 2Δ=36(1+)>0k 2AB M (,)x M y M (+)⋅=0A F 1−→−B F 1−→−AB −→−⋅=0M F 1−→−−AB −→−M ⊥AB F 1知，故，而所以 ，得，故的斜率为.【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题直线与双曲线结合的最值问题双曲线的渐近线双曲线的标准方程直线的倾斜角【解析】（1）由题意求出点纵坐标，由是等边三角形，可得，从而求得值，则双曲线的渐近线方程可求；（2）写出直线的方程，即，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得值．【解答】解：若的倾斜角为，是等边三角形，把代入双曲线的方程，可得点的纵坐标为，由，求得，，故双曲线的渐近线方程为，即双曲线的渐近线方程为．由已知，，，设，直线，显然，由得 ，因为与双曲线交于两点，所以，且．设的中点为，由，即，知，故，M ⊥AB F 1⋅k =−1k M F 1==，=k(−2)=，=，x M +x 1x 222k 2−3k 2y M x M 6k −3k 2k M F 13k 2−3k 2⋅k =−13k 2−3k 2=k 235l ±15−−√5A △AB F 1tan ∠A =tan =F 1F 2π6b 221+b2−−−−−√b l y −0=k(x −2)y =kx −2k k (1)l π2△AB F 1x =c =1+b 2−−−−−√A b 2tan ∠A =tan ==F 1F 2π63–√3b 221+b 2−−−−−√=2b 2b =2–√y =±bx =±x 2–√y =±x 2–√(2)(−2,0)F 1(2,0)F 2A(,)，B(,)x 1y 1x 2y 2l :y =k (x −2)k ≠0 −=1，x 2y 23y =k (x −2)，(−3)−4x +4+3=0k 2x 2k 2k 2l −3≠0k 2Δ=36(1+)>0k 2AB M (,)x M y M (+)⋅=0A F 1−→−B F 1−→−AB −→−⋅=0M F 1−→−−AB −→−M ⊥AB F 1⋅k =−1k M F 1=，=k(−2)=，=，22而所以 ，得，故的斜率为.22.【答案】解：当时，，，，，令，在上单调递增，在上单调递减，，.当时，，当时，，∴的极大值为.，.∵，①当时，，单调递增，此时至多一个零点；②当时，，在上单调递增，在上单调递减.∵有两个零点，则， ，∴，∴.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：当时，，，，，==，=k(−2)=，=，x M +x 1x 222k 2−3k 2y M x M 6k −3k 2k M F 13k 2−3k 2⋅k =−13k 2−3k 2=k 235l ±15−−√5(1)a =1f(x)=x ln x −+x +1x 2x >0(x)=ln x −2x +2f ′(x)=−2=f ′′1x 1−2x x (x)>0 0<x <f ′′12(x)f ′(0,)12(,+∞)12()=1−ln 2>0f ′12(1)=0f ′x ∈(,1)12(x)>0f ′x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f(x)f(1)=1(2)g(x)=(x)=ln x −2ax +a +1f ′(x)=−2a =g ′1x 1−2ax x x ∈(0,1)a ≤0(x)>0g ′g(x)g(x)a >0(x)>0 0<x <g ′12a g(x)(0,)12a (,+∞)12a g(x)g()=a −ln 2a >012a g(1)=1−a <0a >1a ∈(1,+∞)(1)a =1f(x)=x ln x −+x +1x 2x >0(x)=ln x −2x +2f ′(x)=−2=f ′′1x 1−2x x x)>0 0<x <1令，在上单调递增，在上单调递减，，.当时，，当时，，∴的极大值为.，.∵，①当时，，单调递增，此时至多一个零点；②当时，，在上单调递增，在上单调递减.∵有两个零点，则， ，∴，∴.(x)>0 0<x <f ′′12(x)f ′(0,)12(,+∞)12()=1−ln 2>0f ′12(1)=0f ′x ∈(,1)12(x)>0f ′x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f(x)f(1)=1(2)g(x)=(x)=ln x −2ax +a +1f ′(x)=−2a =g ′1x 1−2ax x x ∈(0,1)a ≤0(x)>0g ′g(x)g(x)a >0(x)>0 0<x <g ′12ag(x)(0,)12a (,+∞)12a g(x)g()=a −ln 2a >012a g(1)=1−a <0a >1a ∈(1,+∞)。
2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版(2019)月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若复数z 满足，则～的实部与虚部之和为（ ）A.B.C.D.—2. 设集合，集合，且，则实数的取值范围是( )A.B.C.）D.3. 年是脱贫攻坚战决胜之年．凝心聚力打赢脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会．为了如期完成脱贫攻坚目标任务，某县安排包括甲、乙在内的个单位对本县的个贫困村进行精准帮扶，要求每个村至少安排一个单位，每个单位只帮扶一个村，则甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为（ ）A.B.C.z =2−i i 2021−1+2i−1−2i13A ={x|≤≤4}182x B ={x|a ≤x ≤2a −1}A ∪B =A a [1,]32[−3,]32[1,+∞(−∞,]32202063D.4. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.5. 过椭圆:的右焦点作轴的垂线，交于，两点，直线过的左焦点和上顶点．若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是 A.B.C.D.6. 如图，正八面体的棱长为，则此正八面体的体积为( )A.B.C.D.a →b →||=3||b →a →(+)⊥(15+)a →b →a →b →a →b →30∘45∘60∘120∘C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2x C A B l C AB l C ()(0,]5–√5[,1)5–√5(0,]2–√2[,1)2–√2282–√382–√62–√34(x)=sin x +a7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.8. 设，， ，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若函数同时满足：①对于定义域内的任意，恒有，②对于定义域上的任意，当时，恒有；则称函数具有性质．下列函数中具有性质的是（ ）A.B.C.D.10. 如图，在正方形中，点为线段上的动点（不含端点），将沿翻折，使得二面角为直二面角，得到图所示的四棱锥，点为线段上的动点（不含端点），则在四棱锥中，下列说法正确的有（ ）A.、、、四点不共面f (x)=sin x +a cos x (0,)π2a a ≤−1a ≤2a ≥−1a ≤1a =()12−13b =ln 1000−−−−√c =ln 5−ln 31513，，πa πb πc <<πc πb πa<<πb πa πc<<πa πc πb<<πc πa πbf (x)x f (x)+f (−x)=0,x 1x 2<x 1x 2f ()−f ()>f ()−f ()x 2x 2x 1x 2x 2x 1x 1x 1f (x)P P y =ln(+x)1+x 2−−−−−√y =tan xy ={,x ≥0x 2−,x <0x 2y =−1x 1ABCD E BC △ABE AE B −AE −D 2B −AECD F BD B −AECD B E C F CF//BAEB.存在点，使得平面C.三棱锥的体积为定值D.存在点使得直线与直线垂直11. 世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：“次方程的根如何求？”，法国数学家韦达利用三角知识成功解决了该问题，并指出当时，此方程的全部根为. 根据以上信息可得方程的根可以是( )A.B.C.D.12. 在中，内角，，所对的边分别为b ，，已知．若，则的面积可能为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若随机变量服从正态分布，且，则________．14. 已知直线经过抛物线＝的焦点，与抛物线交于，，且＝，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为________．15.已知正项数列的前项和为，满足，则________.F CF//BAEB −ADC E BE CD 1645−45+945−⋯+95364−3795+45x =C x 45x 43x 41x 5x 3C =2sin αx =2sin(),(k =0,1,2,⋯,44)2kπ+α45−45+945−⋯+95364−3795+45x =0x 45x 43x 4x 5x 33–√−1−3–√2△ABC A B C a c A =,a =π36–√a −b =c cos B −c cos A △ABC 23–√3–√6–√33–√2X N(0,1)P(X ≤1)=0.8413P(−1≤X ≤0)=l C :y A B +x A x B 8D O D l D D {}a n n S n 2−1=S n −−√a n −+−+⋯+(−1=+1a 2−1S 2+1a 4−1S 4+1a 6−1S 6+1a 8−1S 8)51+1a 100−1S 10016. 观察下列等式：①；②；③；④；⑤；可以推测，________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 多面体中，为等边三角形，为等腰直角三角形， 平面，平面.求证：；若，，求多面体的体积．18. 已知函数的图象如图所示.求的解析式；求的对称中心．19. 已知数列的前项和，是首项为的等比数列，且公比大于， .求数列和数列的通项公式；求数列的前项和．20. 某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了个进行测量，根据所测量的数据画出频率分布直方图如下：−12−14−16−18−1100cos 2α=2α−1cos 2cos 4α=8α−8α+1cos 4cos 2cos 6α=32α−48α+18α−1cos 6cos 4cos 2cos 8α=128α−256α+160α−32α+1cos 8cos 6cos 4cos 2cos 10α=m α−1280α+1120α+n α+p α−1cos 10cos 8cos 6cos 4cos 2m −n +p =ABC −DEF △DEF △ABC BE//ACFD AD//BCFE (1)AD//BE (2)AD =BE =AC =BC =1FC =2ABC −DEF f(x)=A sin(ωx +φ)+h(A >0,ω>0,0<φ<)π2(1)f(x)(2)f (x){}a n n =,(n ∈)S n 3−n n 22N ∗{}b n 20+=12b 2b 3(1){}a n {}b n (2){⋅}a n b 2n−1n 80注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率．从产品中随机抽取件，合格品的个数为，求的分布列与期望；从产品中随机抽取件，全是合格品的概率不小于，求的最大值；为了提高产品合格率，现提出，两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取件产品，不合格个数的期望是；若按方案试验后，抽取件产品，不合格个数的期望是，你会选择哪个改进方案？ 21. 已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，过左焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于，两点，为双曲线的右焦点，且轴，如图．求双曲线的离心率；若，求双曲线的标准方程．22. 已知函数求函数的单调区间；若函数有两个正零点，，求的取值范围，并证明：.[63.0,64.5)(1)4ξξ(2)n 30%n (3)A B A 152B 254x F 130∘l A B F 2A ⊥x F 2(1)(2)|AB |=16f (x)=a −ln x.x 2(1)f (x)(2)f (x)x 1x 2a >1x 1x 2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】略【解答】2.【答案】D【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】分为两种情况，若，和若，分别计算的取值范围.【解答】解：由题意，，而由可知，若，即，解得；若，即解得；综上，的取值范围为.故选.3.D(=1,x ==120212−i 1(2−i)⋅(−i)1⋅(−1)=−1−2iB =∅B ≠∅a A ={x|−3≤x ≤2}A ∪B =A B ⊆A B =∅a >2a −1a <1B ≠∅ a ≤2a −1，2a −1≤2，a ≥−3，1≤a ≤32a a ≤32D【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据分类计数原理计算出基本事件的个数和甲乙两个单位被安排在同一贫困村所包含的事件个数，再根据古典概型的概率公式求得结果即可．【解答】个单位对本县的个不同额贫困村进行帮扶，分三大类：①其中一个贫困村有个单位，另外两个分别有个单位，共有＝种情况；②一个贫困村有个单位，一个贫困村有个单位，共有＝种情况；③每个贫困村都有个单位，共有＝种情况，故共有＝种情况，其中甲、乙两个单位被安排在同一个贫困村的可能情况，同上分析有+++＝种情况，所以甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为＝．4.【答案】D【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】无【解答】解：设与的夹角为，因为，6381906236029090+360+90540150a →b →θ(+)⋅(15+)=0a →b →a →b →|+|+16⋅=0→→所以，又，所以，，解得．故选．5.【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由题设知，直线，即．根据题意，将代入椭圆的方程，得，所以以为直径的圆的圆心为，半径．又圆与直线有公共点，所以，化简得，平方整理得，所以．又，所以．故选．6.【答案】A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析15|+|+16⋅=0a →|2b →|2a →b →||=3||b →a →⋅=−|a →b →32a →|2cos θ==−×=−⋅a →b →||||a →b →321312θ=120∘D l :+=1x −cy b bx −cy +bc =0x =c C y =±b 2a AB (c,0)r =b 2a l ≤2bc +b 2c 2−−−−−−√b 2a 2c ≤b ≥5a 2c 2e =≤c a 5–√50<e <10<e ≤5–√5A【解答】解：易得正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为.故选.7.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：函数，则.，∴，要使函数在区间上单调递增，∴在上恒成立，即： 在上恒成立，∵， ，∴.故选.8.【答案】D【考点】对数值大小的比较对数的运算性质【解析】无【解答】解：，，3–√2–√×2=2×2×2–√382–√3A f (x)=sin x +a cos x (x)=f ′cos x ⋅cos x +sin x (sin x +a)x cos 2∵x ∈(0,)π2x >0cos 2f (x)=sin x +a cos x (0,)π2x +x +a sin x ≥0cos 2sin 2x ∈(0,)π2a sin x +1≥0x ∈(0,)π2x ∈(0,)π2sin x ∈(0,1)a ≥−1C ∵a =(=∈(1,2)12)−132–√3b =ln =ln 10>ln =31000−−−−√3232e 2>53>–√3–√5又，则，故，即，则．（另一种判断的方法：假设，则，时，函数单调递增；时，，时，函数单调递减．，即，，函数 是上的单调递增函数，．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】由条件知，在定义域内单调递增的奇函数具有性质，逐项判定即可.【解答】解：由对于定义域上的任意，恒有，可得是奇函数，对于定义域上的任意，当时恒有，即，可得为增函数；对于，，由，当时，显然成立；当时，平方可得成立，则定义域为，，则为奇函数；又时， 为递增函数，由复合函数的性质：同增异减，可得为增函数，则具有性质；对于，在定义域内不单调，则不具有性质；对于，为奇函数，且在定义域内单调递增，则具有性质；>3553>3–√35–√5ln >ln 3–√35–√5>ln 33ln 55c =ln 5−ln 3≤01513c ≤0y =ln x x =，x ∈(0,e)，≥0y ′1−ln x x 2y ′∴x ∈(0,e)x ∈(e,+∞)≤0y ′∴x ∈(e,+∞)∴ln 5<ln 31513c <0∴c <a <b ∵y =πx R ∴<<πc πa πb D P x f (x)+f (−x)=0f (x),x 1x 2<x 1x 2f ()−f ()>f ()−f ()x 2x 2x 1x 2x 2x 1x 1x 1(−)(f ()−f ())>0x 2x 1x 2x 1f (x)A f (x)=ln(+x)1+x 2−−−−−√x +>01+x 2−−−−−√x ≥0x <0>−x1+x 2−−−−−√1+>x 2x 2R f(−x)+f(x)=ln(−x +)+ln(x +=ln 1=01+x 2−−−−−√1+)x 2−−−−−−√f (x)x >0x +1+x 2−−−−−√f (x)y =ln(+x)1+x 2−−−−−√P B y =tan x P C y ={，x ≥0x 22P性质.故选.10.【答案】A,B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱柱的结构特征空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：，假设直线与直线在同一平面上，所以在平面上，又在线段上，平面，所以与重合，与异于矛盾，所以直线与直线必不在同一平面上，即，，，四点不共面，故正确；，当点为线段中点时，，再取的中点，则且，四边形为平行四边形，所以，则直线与平面平行，故正确；，由题，但的移动会导致点到平面的距离在变化，所以的体积不是定值，故错；，过作于，因为平面平面，平面平面，所以平面．过作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以．若存在点．使得直线与直线垂直，平面，平面，，所以平面，所以与重合，与三角形是以为直角的三角形矛盾，所以不存在点使得直线与直线垂直．故选．11.【答案】A,CP AC A BE CF E BCF E BC BC∩BCF =C E C E C BE CF B E C F A B F BD EC =AD 12AB G EC//FG EC =FG ECFQ FC//EG CF BAE B C V B−ADC E B ACD B −ADC C D B BO ⊥AE O BAE ⊥AECD BAE∩AECD =AE BO ⊥AECD D DH ⊥AE H BAE ⊥AECD BAE∩AECD =AE DH ⊥BAE DH ⊥BE E BE CD DH ⊂AECD DC ⊂AECD DH ∩DC =D BE ⊥AECD E O ABE B E BE CD AB正弦函数的单调性终边相同的角【解析】从答案进行逐项分析，判定结论的正确性.【解答】解：对于，若代入，则，所以，或，解得或，从而，故符合题意；对于，若，则，所以，或，解得或，从而，故不符合题意；对于，若代入，则，所以，或，解得或，从而，故符合题意；对于，若，则，所以，解得，从而，故不符合题意.故选.12.【答案】B,D【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式三角形求面积A x =3–√sin()=2kπ+α453–√2=+2π2kπ+α45π3k 0=+2π2kπ+α452π3k 0α=15π+90π−2kπk 0α=30π+90π−2kπk 0C =2sin α=0A B x =−1sin()=−2kπ+α4512=−+2π2kπ+α45π6k 0=+2π2kπ+α457π6k 0α=−+90π−2kπ15π2k 0α=+90π−2kπ105π2k 0C =2sin α≠0B C x =−3–√sin()=−2kπ+α453–√2=−+2π2kπ+α45π3k 0=+2π2kπ+α454π3k 0α=−15π+90π−2kπk 0α=60π+90π−2kπk0C =2sin α=0C D x =2sin()=12kπ+α45=+2π2kπ+α45π2k 0α=+90π−2kπ45π2k 0C =2sin α≠0D AC【解析】【解答】三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】正态分布的密度曲线【解析】画出正态分布的密度函数的图象：由图象的对称性可得结果．【解答】解：画出正态分布的密度函数的图象如下图：由图象的对称性可得，∵，∴．故．故答案为：．14.【答案】＝0.3413N(0,1)N(0,1)ξ∼N(0,1)P(−1≤ξ≤0)=P(0≤ξ≤1)=Φ(1)−Φ(0)=0.8413−0.5=0.3413P(−1≤ξ≤0)=0.34130.3413(x −4+(y −2)2)28圆与圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，解得；当时，相减可得，，，可得，，所以，,，所以100101n =12−1=a 1−−√a 1=1a 1n ≥2{4=(+1，S n a n )24=(+1,S n−1a n−1)24=−+2−2a n a 2n a 2n−1a n a n−12+2=−a n a n−1a 2n a 2n−1−=2a n a n−1=1+2(n −1)=2n −1a n ==S n (+1a n )24n 2+1a n −1S n ==+2n −1n 21n −11n +1−++1a 2−1S 2+1a 4−1S 4+1a 6−1S 6−+⋯+(−1+1a 8−1S 8)51+1a 100−1S 100=(+)−(+)11131315+(+)−⋯−(+)151********故答案为：.16.【答案】【考点】归纳推理【解析】此题暂无解析【解答】观察等式右边第一列系数，易看出，，，所以；再看所有的系数，从上到下依次是，所以又观察①②③④式可知等式右边各项系数和为，所以，得，故．解决这类问题的关键是找准归纳对象．如的位置在最高次幂的系数位置，因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；是的系数，所以从的系数入手进行归纳．却不能从的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没有，缺少归纳的特征项．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】证明：因为平面，平面，平面平面，所以，同理可证，，所以．解：因为为等腰直角三角形，，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，因为为等边三角形，所以,取的中点，连结，，1001019622=218=2332=,128=2527m ==51229αcos 22×=2,−2×12=−8,2×=18,−2×=−32223242p =2×=50．521m −1280+1120+n +p −1=1n =−400m −n +p =962m p αcos 2αcos 2n αcos 4αcos 4(1)BE//ACFD BE ⊂BEFC BEFC∩ACFD =FC BE//FC AD//FC AD//BE (2)△ABC AC =BC =1AB =2–√∠ACB =90∘AD//BE AD =BE ABED DE =AB =2–√△DEF DE =EF =FD =2–√FC H DH EH因为，则，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，因为在中，，所以，即，所以，同理可证，所以，又因为，，平面，所以平面，同理平面，可得，为等腰直角三角形．则多面体的体积为：．【考点】两条直线平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质【解析】推导出，，由此能证明．推导出四边形为平行四边形，取的中点，连结、，推导出四边形为平行四边形，推导出，，，，从而平面，平面，由，能求出多面体的体积．【解答】FC =2FH =CH =1AD =HC AD//HC ACHD DH =AC =1△DHF D +F =D H 2H 2F 2∠DHF =90∘DH ⊥FC AC ⊥FC EH ⊥FC BC ⊥FC BC ∩AC =C BC AC ⊂ABC FC ⊥ABC FC ⊥DEH △DEH ≅△ABC ABC −DEF =+V 多面体ABC−DEF V 三棱柱ABC−DEH V 三棱锥F−DEH =⋅CH +⋅HF S △ABC 13S △DEH =×1×1×1+××1×1×1121312=+1216=23(1)BE//FC AD//FC AD//BE (2)ABED FC H DH EH ACHD DH ⊥FC AC ⊥FC EH ⊥FC BC ⊥FC FC ⊥ABC FC ⊥DEH =+V 多面体ABC−DEF V 三棱柱ABC−DEH V 三棱锥F−DEH ABC −DEF所以，同理可证，，所以．解：因为为等腰直角三角形，，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，因为为等边三角形，所以,取的中点，连结，，因为，则，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，因为在中，，所以，即，所以，同理可证，所以，又因为，，平面，所以平面，同理平面，可得，为等腰直角三角形．则多面体的体积为：．18.【答案】解：由题意可得，，BE//FC AD//FC AD//BE (2)△ABC AC =BC =1AB =2–√∠ACB =90∘AD//BE AD =BE ABED DE =AB =2–√△DEF DE =EF =FD =2–√FC H DH EH FC =2FH =CH =1AD =HC AD//HC ACHD DH =AC =1△DHF D +F =D H 2H 2F 2∠DHF =90∘DH ⊥FC AC ⊥FC EH ⊥FC BC ⊥FC BC ∩AC =C BC AC ⊂ABC FC ⊥ABC FC ⊥DEH △DEH ≅△ABC ABC −DEF =+V 多面体ABC−DEF V 三棱柱ABC−DEH V 三棱锥F−DEH =⋅CH +⋅HF S △ABC 13S △DEH =×1×1×1+××1×1×1121312=+1216=23(1)A ===2,f(x −f(x )max )min 26−22h ===4f(x +f(x )max )min 26+22ππ2π，为函数最大值， ，由得，故的解析式为；由得对称中心为．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的对称性【解析】由题意根据函数的图象的最值，可得，的值，再求函数的周期求的的值，又由为函数最大值，求得，即可得到函数的解析式.由三角函数的性质，令 ，进而得到对称中心的坐标.【解答】解：由题意可得，，，，为函数最大值， ，由得，故的解析式为；由得对称中心为．19.【答案】解：因为数列的前项和，所以当时，；当时，；当时，也适合上式，所以．ω==2π4π12f ()π2×+φ=+2kπ(k ∈Z)π212π20<φ<π2φ=π4f(x)f(x)=2sin(x +)+412π4(2)x +=kπ(k ∈Z)12π4(−+2kπ,0)(k ∈Z)π2A,h T w f ()π2φ=π4x +=kπ(k ∈Z)12π4(1)A ===2,f(x −f(x )max )min 26−22h ===4f(x +f(x )max )min 26+22T =[−(−)]×4=4π=π2π22πωω==2π4π12f ()π2×+φ=+2kπ(k ∈Z)π212π20<φ<π2φ=π4f(x)f(x)=2sin(x +)+412π4(2)x +=kπ(k ∈Z)12π4(−+2kπ,0)(k ∈Z)π2(1){}a n n =(n ∈)S n 3−n n 22N ∗n =1==1a 1S 1n ≥2=−=3n −2a n 3−n n 223(n −1−(n −1))22n =1=1a 1=3n −2a n因为，所以，解得或（舍去），所以．故数列的通项公式为，数列的通项公式为．设数列的前项和为，由，，得，故，，两式相减，得，所以，故数列的前项和为．【考点】等比数列的通项公式数列递推式数列的求和【解析】无无【解答】解：因为数列的前项和，所以当时，；当时，；当时，也适合上式，所以．设等比数列的公比为，且，由，得，因为，所以，解得或（舍去），所以．故数列的通项公式为，数列的通项公式为．设数列的前项和为，由，，得，故，，两式相减，得=2b 1+q −6=0q 2q =2q =−3=b n 2n {}a n =3n −2a n {}b n =b n 2n (2){⋅}a 2n b 2n−1n T n =6n −2a 2n =b 2n−14n 2⋅=(3n −1)×a 2n b 2n−14n =2×4+5×+8×+⋯+(3n −1)×T n 42434n 4=2×+5×+8×+⋯+T n 424344(3n −4)×+4n (3n −1)×4n+1−3=2×4+3×+3×+⋯+T n 42433×−(3n −1)×4n 4n+1=−4−(3n −1)×12×(1−)4n 1−44n+1=−(3n −2)×−84n+1=T n (3n −2)+84n+13{⋅}a 2n b 2n−1n (3n −2)+84n+13(1){}a n n =(n ∈)S n 3−n n 22N ∗n =1==1a 1S 1n ≥2=−=3n −2a n 3−n n 223(n −1−(n −1))22n =1=1a 1=3n −2a n {}b n q q >0+=12b 2b 3(q +)=12b 1q 2=2b 1+q −6=0q 2q =2q =−3=b n 2n {}a n =3n −2a n {}b n =b n 2n (2){⋅}a 2n b 2n−1n T n =6n −2a 2n =b 2n−14n 2⋅=(3n −1)×a 2n b 2n−14n =2×4+5×+8×+⋯+(3n −1)×T n 42434n 4=2×+5×+8×+⋯+T n 424344(3n −4)×+4n (3n −1)×4n+1−3=2×4+3×+3×+⋯+T n 42433×−(3n −1)×4n 4n+1所以，故数列的前项和为．20.【答案】解：由直方图可知，抽出产品为合格品的频率为：，即抽出产品为合格品的概率为，从产品中随机抽取件，合格品的个数的所有可能取值为，，，，，且，，，，，所以的分布列为：故数学期望．随机抽取件，全是合格品的概率为，依题意，故的最大值为．按方案随机抽取产品不合格的概率是，随机抽取件产品，不合格个数；按方案随机抽取产品不合格的概率是，随机抽取件产品，不合格个数，依题意，，解得，，因为，所以应选择方案．【考点】两点分布二项分布超几何分布的期望与方差生活中概率应用离散型随机变量的期望与方差=T n (3n −2)+84n+13{⋅}a 2nb 2n−1n (3n −2)+84n+13(1)(0.75+0.65+0.2)×0.5=0.8454ξ01234P (ξ=0)==()1541625P (ξ=1)=⋅⋅=C 1445()15316625P (ξ=2)=⋅⋅=C 24()452()15296625P (ξ=3)=⋅⋅=C 34()45315256625P (ξ=4)==()454256625ξξ01234P 16251662596625256625256625E (ξ)=4×=45165(2)n ()45n≥0.3()45n n 5(3)A a 15X ∼B (15,a)B b 25Y ∼B (25,b)EX =15a =2EY =25b =4a =215b =425<215425A离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：由直方图可知，抽出产品为合格品的频率为：，即抽出产品为合格品的概率为，从产品中随机抽取件，合格品的个数的所有可能取值为，，，，，且，，，，，所以的分布列为：故数学期望．随机抽取件，全是合格品的概率为，依题意，故的最大值为．按方案随机抽取产品不合格的概率是，随机抽取件产品，不合格个数；按方案随机抽取产品不合格的概率是，随机抽取件产品，不合格个数，依题意，，解得，，因为，所以应选择方案．21.【答案】解：将代入双曲线的方程得，，在中，，(1)(0.75+0.65+0.2)×0.5=0.8454ξ01234P (ξ=0)==()1541625P (ξ=1)=⋅⋅=C 1445()15316625P (ξ=2)=⋅⋅=C 24()452()15296625P (ξ=3)=⋅⋅=C 34()45315256625P (ξ=4)==()454256625ξξ01234P 16251662596625256625256625E (ξ)=4×=45165(2)n ()45n≥0.3()45n n 5(3)A a 15X ∼B (15,a)B b 25Y ∼B (25,b)EX =15a =2EY =25b =4a =215b =425<215425A (1)x =c y =±b 2a A(c,)b 2aRt △AF 1F 2tan =30∘b 2a 2c −22–√即，解得.由得，设双曲线的方程为，设直线的方程为，将其代入双曲线方程消去，得，，解得，，将，代入①，得，，故，，故，∴，∴双曲线的方程为．【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】（1）将代入双曲线方程求出点的坐标，通过解直角三角形列出三参数，，的关系，求出离心率的值；（2）设双曲线的方程为，直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，求出线段的长，利用，求双曲线的标准方程．【解答】解：将代入双曲线的方程得，，在中，，即，解得.由得，设双曲线的方程为，设直线的方程为，将其代入双曲线方程消去，得，，解得，，将，代入①，得，，=−c 2a 22ac 3–√3e ==c a 3–√(2)(1)b =a 2–√−=1x 2a 2y 22a 2AB y =(x −a)3–√33–√y 5+2ax −9=0x 23–√a 2=−a x 13–√=a x 233–√5x 1x 2=−2a y 1=−a y 225A(−a,−2a)3–√B(a,−a)33–√525|AB |=(a +(a 83–√5)285)2−−−−−−−−−−−−−−√=a =16165a =5−=1x 225y 250x =c M a b c −=1x 2a 2y 22a 2AB A B AB |AB |=16(1)x =c y =±b 2a A(c,)b 2aRt △AF 1F 2tan =30∘b 2a 2c =−c 2a 22ac 3–√3e ==c a 3–√(2)(1)b =a 2–√−=1x 2a 2y 22a 2AB y =(x −a)3–√33–√y 5+2ax −9=0x 23–√a 2=−a x 13–√=a x 233–√5x 1x 2=−2a y 1=−a y 225(a,−a)3–√故，，故，∴，∴双曲线的方程为．22.【答案】解：，当时，，∴在上递减.当时，令，即，当时，，在上递减，当时，，在上递增，综上，时，的减区间是，时，的减区间是，增区间是.由知，有两个零点，则且，且由时，，时，，解得，∴的范围是.不妨令，则，∴，故，，又，∴，∴，即，∵在上递减，∴，即.【考点】A(−a,−2a)3–√B(a,−a)33–√525|AB |=(a +(a 83–√5)285)2−−−−−−−−−−−−−−√=a =16165a =5−=1x 225y 250(1)(x)=2ax −=(x >0)f ′1x 2a −1x 2x a ≤0(x)<0f ′f(x)(0,+∞)a >0(x)=0f ′x =12a −−−√0<x <12a −−−√(x)<0f ′f(x)(0,)12a−−−√x >12a −−−√(x)>0f ′f(x)(,+∞)12a −−−√a ≤0f(x)(0,+∞)a >0f(x)(0,)12a −−−√(,+∞)12a −−−√(2)(1)f(x)a >0f(x =f ()=+<0)min 12a −−−√12ln 2a 2x →0f(x)→+∞x →+∞f(x)→+∞0<a <12e a (0,)12e <x 1x 20<<<x 112a −−−√x 2<=⋅2a <⋅<1x 22a −−√12a −−−√12a −−−√1e 12a−−−√x 1∈(0,)1x 212a−−−√f ()=+ln 1x 2ax 22x 2ln >ln >ln >0x 212a−−−√e √f ()>01x 2f ()>f()=01x 2x 1f(x)(0,)12a−−−√0<<1x 2x 1>1x 1x 2利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题函数恒成立问题【解析】无无【解答】解：，当时，，∴在上递减.当时，令，即，当时，，在上递减，当时，，在上递增，综上，时，的减区间是，时，的减区间是，增区间是.由知，有两个零点，则且，且由时，，时，，解得，∴的范围是.不妨令，则，∴，故，，又，∴，∴，即，∵在上递减，∴，即.(1)(x)=2ax −=(x >0)f ′1x 2a −1x 2xa ≤0(x)<0f ′f(x)(0,+∞)a >0(x)=0f ′x =12a−−−√0<x <12a −−−√(x)<0f ′f(x)(0,)12a −−−√x >12a −−−√(x)>0f ′f(x)(,+∞)12a −−−√a ≤0f(x)(0,+∞)a >0f(x)(0,)12a −−−√(,+∞)12a −−−√(2)(1)f(x)a >0f(x =f ()=+<0)min 12a −−−√12ln 2a 2x →0f(x)→+∞x →+∞f(x)→+∞0<a <12e a (0,)12e <x 1x 20<<<x 112a −−−√x 2<=⋅2a <⋅<1x 22a −−√12a −−−√12a−−−√1e 12a−−−√x 1∈(0,)1x 212a−−−√f ()=+ln 1x 2a x 22x 2ln >ln >ln >0x 212a −−−√e √f ()>01x 2f ()>f()=01x 2x 1f(x)(0,)12a −−−√0<<1x 2x 1>1x 1x 2。
2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版(2019)月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，，若，则的值为( )A.B.C.D.2. 若是虚数单位，则( )A.B.C.D.3. 已知是焦点为的抛物线：上一点，为坐标原点，直线与抛物线的准线相交于点，直线与抛物线相交于另一点，若，则等于( )A.B.C.D.4. 已知，那么用表示是( )A ={3,2ln x}B ={x,y}A ∩B ={2}y 12e1ei =i −123i −+4i 13−4i 13+4i 13−−4i 13P(m,n)F C =8x y 2O PO C A PF C B |OB|=|AB||PF|2468=23a 8−26log 3log 3aA.B.C.D.5. 设，，则“”是“且”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.即不充分也不必要条件D.充分必要条件6. 设向量与的夹角为 ，则等于（ ）A.B.C.D.7. 已知 是偶函数，直线 与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 ，则( )A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递增8. 空间三点、、，下列向量中，与平面垂直的向量是（ ）A.a −25a −23a −(1+a)23a −a 2x y ∈R x +y −4<0x <0y <0()a →b →θ,=(2,1),a →+3=(5,4)a →b →sin θ10−−√1013310−−√1045f(x)=sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ),ω>0,|φ|<,f(x)π2y =2–√f(x)π2f(x)(,)π83π8f(x)(0,)π4f(x)(0,)π4f(x)(,)π83π8A(1,1,0)B(0,1,0)C(,,)121212ABC (1,0,1)(0,1,1)B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知双曲线的一个焦点坐标为，且渐近线方程为，则下列结论正确的是( )A.的方程为B.的离心率为C.焦点到渐近线的距离为D.两准线间的距离为10. 设表示平面，，表示两条直线，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，则或D.若，，则11. 已知函数，则下列说法正确的是A.的最大值是B.向左平移个单位后为奇函数C.的图象关于对称D.在上是递增的12. 已知函数满足，且是奇函数，则下列说法正确的是( )A.是奇函数B.是周期函数C.D.是奇函数(0,1,1)(1,0,−1)(1,1,0)C (5,0)y =±x 43C −=1x 29y 216C 543185αm n m//αn//αm//nm ⊥αn ⊂αm ⊥nm ⊥α,m ⊥n n//αn ⊂αm//αm ⊥n n ⊥αf (x)=sin 2x −cos 2x ( )f (x)2f (x)π8f (x)x =3π8f (x)(0,)π2f (x)f (x +1)+f (1−x)=0f (x −1)f (x)f (x)f (1)=0f (x +1)卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列定义：，若，则事件的概率为________．14. 的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 15. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点，则________．16. 已知函数若对于任意的，，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 设等差数列的前项和为，公差，若 ，则（ ）A. B.C. D. 18. 已知，，分别为内角，，的对边，．证明：；请问角是否存在最大值？若存在，求出角的最大值；若不存在，说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上一点（端点除外）．12{}a n ={a n 1(第n 次投掷出现正面)−1(第n 次投掷出现反面)=++...+(n ∈)S n a 1a 2a n N ⋅>0S 4(3x −2−1)x 23x xOy αOx (，y)12sin α=f (x)={,x ≥0,x 3−,x <0,x 2x ∈R |f (x)|≥ax a ={}a n n S n d =3=14a s =S n S n+37m =5678a b c △ABC A B C sin B +2sin C cos A =0(1)−=2a 2c 2b 2(2)B B P −ABCD AP AB AD AD =AP =4AB =BC =2AD//BC M PC –√若异面直线，所成角的余弦值为，求的长；求二面角的平面角的余弦值．20. 年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利．某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资．某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续天的日生产量（单位：十万支，，，，）数据做了初步统计，得到如图所示的散点图及一些统计量的数值：注：图中日期代码分别对应这连续天的时间；表中，，，，，．从这天中随机选取天，求这天中恰有天的日生产量不高于三十万支的概率；由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求关于的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支．参考公式：回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式为： ，．参考数据：．21. 已知抛物线的焦点，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且．求的值；已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标． 22. 设函数．求曲线在点处的切线方程；若函数有两个极值点，求实数的取值范围.(1)BM AP 6–√3PM (2)B −PC −D 20219y i i =12⋯9y ¯¯¯z¯¯¯∑i=19t i y i ∑i=19t i z i 2.7219139.0910951∼99=z i e y i i =12⋯9=z ¯¯¯19∑i=19z i(1)9332(2)y =ln(bt +a)y t y =ln(bt +a)=u +v ˆb ˆa ˆ==b ˆ(−)(−)∑i=1n u i u ¯¯¯v iv ¯¯¯∑i=1n (−)u i u ¯¯¯2−n ∑i=1nu i v i u ¯¯¯v ¯¯¯−n ∑i=1n u 2i u ¯¯¯2=−a ˆv ¯¯¯b ˆu¯¯¯≈54.6e 4C :=2px(p >0)y 2F y =4y P C Q |QF |=2|PQ |(1)p (2)T(t,−2)C M N C T TM TN −83MN f(x)=x ln x (1)y=f(x)(1,f(1))(2)F(x)=f(x)−ax 2a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算集合的确定性、互异性、无序性【解析】由与的交集，确定出属于且属于，即可确定出的值．【解答】解：∵，，且，∴且，对于集合，若，此时，，不满足，舍去；若，此时，，满足题意.故选.2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】无【解答】解：．故选．3.【答案】A B 2A B y A ={3,2ln x}B ={x,y}A ∩B ={2}2∈A 2∈B B x =2A ={3,2ln 2}B ={2,y}A ∩B ={2}y =2A ={3,2}B ={e,2}B =i −123i (i −12)i 3i 2==+4i −1−12i −313CC【考点】抛物线的标准方程抛物线的性质【解析】【解答】4.【答案】A【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】由，知，再由，能求出其结果．【解答】解：∵，∴，∴．故选．5.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】分析二元一次不等式所对应的平面区域及且所对应的平面区域，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”可得答案．=23a 2=a log 38−26=32−2(2+3)log 3log 3log 3log 3log 3=23a 2=a log 38−26=32−2(2+3)log 3log 3log 3log 3log 3=3a −2a −2=a −2A x +y −4<0x <0y <0【解答】解：表示直线下方的所有点构成的集合，且表示第三象限的点构成的集合，∵，故“”是“且”的必要不充分条件.故选6.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算同角三角函数间的基本关系【解析】根据题意利用向量的坐标运算可得的坐标，然后利用向量夹角公式求得的值，进而利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.【解答】解：，解得，因此，所以，∵，∴.故选.7.【答案】B【考点】同角三角函数基本关系的运用三角函数的周期性及其求法【解析】x +y −4<0x +y −4=0P x <0y <0Q Q ⊊P x +y −4<0x <0y <0B.b →cosθ+3=(2,1)+3=(5,4)a →b →b →=(1,1)b →⋅=3,=,=a →b →∣∣a →∣∣5–√∣∣∣b →∣∣∣2–√cos θ===⋅a →b →∣∣a →∣∣∣∣∣b →∣∣∣3×5–√2–√310−−√10θ∈[0,π]sin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√10−−√10A本题主要考查三角函数的图象和性质．【解答】解：由题意得. 为偶函数，且， ， ， ， ，. 直线与的相邻横坐标之差绝对值为， ， ，， ，，，取， ， 在上单调递减．故选．8.【答案】B【考点】空间向量运算的坐标表示【解析】选择题可用逐一检验法进行检验，将四个选项分别与面上的向量求数量积，看是否为零，从而选出正确结果．【解答】解：，，与平面垂直的向量应与上面的向量的数量积为零选项中的向量不合题意，选项中的向量与上述向量的数量积为零，合题意，选项中的向量不合题意，选项中的向量不合题意，故选二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）f(x)=sin(ωx +φ+)2–√π4∵f(x)|φ|<π2∴φ+=π4π2∴φ=π4∴f(x)=sin(ωx +)=cos ωx 2–√π22–√∴cos ωx =2–√2–√∴cos ωx =1∵y =2–√f(x)π2∴T =π2∴=2πωπ2ω=4∴f(x)=cos 4x 2–√∴2kπ≤4x ≤π+2kπk ∈Z ∴k =0∴0≤x ≤π4∴f(x)(0,)π4B =(−1,0,0)AB −→−=(,−,)BC −→−121212=(−,−,)AC −→−121212ABC A (1,0,1)⋅(−1,0,0)=−1≠0B (0,1,1)C (1,0,−1)⋅(−1,0,0)=−1≠0D (1,1,0)⋅(−1,0,0)=−1≠0B9.【答案】A,D【考点】双曲线的准线方程双曲线的渐近线双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】设出双曲线方程，利用渐近线方程，推出，的方程，然后利用离心率，转化求解，即可得到双曲线方程．【解答】解：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，即，又由双曲线的一个焦点为，从而，解得，故正确；由双曲线方程可知，，，从而离心率，故错误；焦点到渐近线的距离为，故错误；两准线方程为，从而两准线的距离为，故正确.故选.10.【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用两条直线平行的判定直线与平面垂直的性质a b a b y =±x 43=y 2169x 2−=λ169x 2y 2−=1x 2λ916y 2λC (5,0)λ+λ=25916λ=16A a =3b =4c =5e ==c a 53B (5,0)y =x 43=420+4232−−−−−−√C x =±=±a 2c 95185D AD直线与平面平行的判定【解析】由，，则或与异面；若直线与平面垂直的定义可知，若，则垂直与面内的任意直线；若，，则或；若，，则、相交或或，从而可判断【解答】解：，，则或与异面或与相交，故错误；由直线与平面垂直的定义可知，若，则垂直于面内的任意直线，故正确；若，，则或，故正确；若，，则和相交或或，故错误.故选11.【答案】B,C【考点】正弦函数的单调性正弦函数的对称性正弦函数的定义域和值域函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】解析：首先看到题目，就是考查三角函数的最值，奇偶性，对称轴，递增递减区间，周期性等知识点，只要一步一步计算即可得到答案。
2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版(2019)月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设复数，则 A.B.C.D.2. 已知集合，，且，若，则（ ）A.B.C.D.3. 年湖南等省公布了高考改革综合方案，将采取“”模式，即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择门，然后在政治、地理、化学、生物中选择门．则某同学选到物理、地理两门功课的概率为( )A.B.C.D.4. 已知非零向量满足，且，则的夹角为( )z =1−i =z 3()−2+2i 2+2i −2−2i 2−2i A ={x |−5x −14≤0}x 2B ={x |m +1<x <2m −1}B ≠∅A ∪B =A −3≤m ≤4−3<m <42<m <42<m ≤4201983+1+21218151413，a →b →||=4||b →a →⊥(2+)a →a →b →与a →b →A.B.C.D.5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的最大值是（ ）A.B.C.D.6. 已知圆锥的表面积为，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为( )A.B.C.D.7. 已知，若函数在区间上不单调，则求实数的取值范围为( )A.B.C.D.8. 设，， ，则的大小关系为（ ）A.322π35π6+=1(m >0)x 225y 2m 2−=1(n >0)x 27y 2n2m +n 3618363ππ3–√6π3–√3π3–√2π3–√f (x)=ax +sin x (a ∈R)g(x)=f (x)+(x)f ′[−,]π2π2a (−2,1)(−∞,1)(−,1)2–√(−,+∞)2–√a =()12−13b =ln 1000−−−−√c =ln 5−ln 31513，，πa πb πc <<πc πb πa<<bacB.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若函数同时满足：①对于定义域内的任意，恒有，②对于定义域上的任意，当时，恒有；则称函数具有性质．下列函数中具有性质的是（ ）A.B.C.D.10. 已知，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若则11. 下列结论中正确的是（ ）A.终边经过点的角的集合是；B.将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是；C.若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；D.，，则．12. 在中，内角，，所对的边分别为b ，，已知．若，则的面积可能为（ ）A.B.<<πb πa πc <<πa πc πb <<πc πa πbf (x)x f (x)+f (−x)=0,x 1x 2<x 1x 2f ()−f ()>f ()−f ()x 2x 2x 1x 2x 2x 1x 1x 1f (x)P P y =ln(+x)1+x 2−−−−−√y =tan x y ={,x ≥0x 2−,x <0x 2y =−1x m n α,βm//αn//αm//n m ⊥α,m ⊥βα//βα//β,m//α,n//βm//nα⊥β,m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n (a,a)(a ≠0){α|α=+kπ,k ∈Z}π410π3αα22αM ={x |x =+k ⋅,k ∈Z}45∘90∘N ={y |y =+k ⋅,k ∈Z}90∘45∘M ⊆N △ABC A B C a c A =,a =π36–√a −b =c cos B −c cos A △ABC 23–√3–√6–√C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若某班名同学某次考试数学成绩（满分分）近似服从正态分布，已知，则可估计该班分以上的人数约为________.15. 已知数列的前项和为，对任意都有，且，则的取值集合为________.16. 给出下列等式：，，，请从中归纳出第个等式：________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．证明平面；求三棱锥的体积．18. 已知函数的图象如图所示.6–√33–√240X 150N (90,)σ2P (60<X <90)=0.35120{}a n n S n n ∈N ∗4=S n 3a n +360≤||≤200S m m =2cos 2–√π4=2cos 2+2–√−−−−−−√π8=2cos 2+2+2–√−−−−−−√−−−−−−−−−−−√π16n(n ∈)N ∗=2+⋯+2+2–√−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−√ABCD −A 1B 1C 1D 12E F G AB BC CC 1(1)//A 1C 1EFG (2)−EFG A 1f(x)=A sin(ωx +φ)+h(A >0,ω>0,0<φ<)π2求的解析式；求的对称中心．19. 等差数列的前项和为，已知，为整数，且.求的通项公式;设，求数列的前项和.20. 为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业．为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到）；为进一步了解学生的学习效率，平台随机选择位高三备考学生进行一次测试，记选出的学生中每天完成数学作业的时间不超过分钟的人数为，以统计的频率作为概率，求的期望．21. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值． 22. 已知函数 ，为常数若当时，有三个极值点，，（其中 .求实数的取值范围；求证：.(1)f(x)(2)f (x){}a n n S n =10a 1a 2≤S n S 4(1){}a n (2)=b n 1a n a n+1{}b n n T n (1)50.01(2)10045X X F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−f(x)=−m(x −ln x)e x−1xm .x ∈(0,2)f(x)x 1x 2x 3<<)x 1x 2x 3(1)m (2)<x 1x 3x 22参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：.故选．2.【答案】D【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】条件的理解在于：是的子集，其中也可能是空集．先化简集合，根据是的子集列出不等关系，解之即得．【解答】解：，∵，∴．又，∴解得：故选．3.=(1−i =(1−i (1−i)z 3)3)2=(−2i)(1−i)=−2−2i C A ∪B =A B A B A B A A ={x |−5x −14≤0}={x |−2≤x ≤7}x 2A ∪B =A B ⊆A B ≠∅−2≤m +1m +1<2m −12m −1≤72<m ≤4D【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数，在所有选项中某学生选择考物理和地理包含的基本事件总数，由此能求出在所有选项中某学生选择考物理和地理的概率．【解答】解：由题意得，基本事件总数，某同学选到物理、地理两门功课包含的基本事件总数，所以某同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选.4.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知向量垂直得到数量积为，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足，且.设两个非零向量的夹角为，所以·，即，所以，，所以.故选．5.【答案】n ==12C 12C 14m ==3C 13n ==12C 12C 24m ==3C 11C 11C 13P ===m n 31214C 0，a →b →，a →b →||=4||b →a →⊥(2+)a →a →b →，a →b →θa →(2+)=0a →b →2+||⋅||cos θ=0a →2a →b →cos θ=−12θ∈[0,π]θ=2π3CB【考点】椭圆的离心率【解析】根据题意，由椭圆双曲线的几何性质，可得＝，变形可得：＝，进而由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】根据题意，椭圆与双曲线有相同的焦点，则有＝，变形可得：＝，又由，则有，即，则的最大值是；6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】首先根据圆锥表面积求出，，然后求出圆锥的高，最后利用圆锥体积公式求出结果.【解答】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，由，得.又∵，解得，∴，∴圆锥的高为，∴圆锥的体积为.故选．7.【答案】C25−m 27+n 2+m 2n 218+=1(m >0)x 225y 2m 2−=1(n >0)x 27y 2n 225−m 27+n 2+m 2n 218≥(+m 2n 22m +n 2)2(≤9m +n 2)2m +n ≤6m +n 6r l πl =2πr l =2r S =π+πr ⋅2r =3π=3πr 2r 2r =1l =2r =2h ==−2212−−−−−−√3–√V =πh =π××=π13r 213123–√3–√3B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意求出，再根据在区间上不单调，即在上有解，求出的值域即可．【解答】解：，，，函数在区间上不单调，即在上有解，，即．故选．8.【答案】D【考点】对数值大小的比较对数的运算性质【解析】无【解答】解：，，又，则，故，即，则．（另一种判断的方法：假设，则，时，函数单调递增；时，，g(x)=f (x)+(x)=ax +sin x +a +cos x f ′g(x)[−,]π2π2(x)=0g ′(−,)π2π2sin(x −)2–√π4f (x)=ax +sin x (x)=a +cos x f ′g(x)=f (x)+(x)=ax +sin x +a +cos x f ′g(x)=f (x)+(x)f ′[−,]π2π2(x)=0g ′(−,)π2π2(x)=a +cos x −sin x =a −sin(x −)=0g ′2–√π4a =sin(x −)∈(−,1)2–√π42–√C ∵a =(=∈(1,2)12)−132–√3b =ln =ln 10>ln =31000−−−−√3232e 2>3553>3–√35–√5ln >ln 3–√35–√5>ln 33ln 55c =ln 5−ln 3≤01513c ≤0y =ln xx=，x ∈(0,e)，≥0y ′1−ln x x 2y ′∴x ∈(0,e)x ∈(e,+∞)≤0y ′x ∈(e,+∞)时，函数单调递减．，即，，函数 是上的单调递增函数，．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】由条件知，在定义域内单调递增的奇函数具有性质，逐项判定即可.【解答】解：由对于定义域上的任意，恒有，可得是奇函数，对于定义域上的任意，当时恒有，即，可得为增函数；对于，，由，当时，显然成立；当时，平方可得成立，则定义域为，，则为奇函数；又时， 为递增函数，由复合函数的性质：同增异减，可得为增函数，则具有性质；对于，在定义域内不单调，则不具有性质；对于，为奇函数，且在定义域内单调递增，则具有性质；对于，函数在和是增函数，但不能说在定义域上是增函数，则不具有性质.故选.10.【答案】B,D【考点】∴x ∈(e,+∞)∴ln 5<ln 31513c <0∴c <a <b ∵y =πx R ∴<<πc πa πb D P x f (x)+f (−x)=0f (x),x 1x 2<x 1x 2f ()−f ()>f ()−f ()x 2x 2x 1x 2x 2x 1x 1x 1(−)(f ()−f ())>0x 2x 1x 2x 1f (x)A f (x)=ln(+x)1+x 2−−−−−√x +>01+x 2−−−−−√x ≥0x <0>−x 1+x 2−−−−−√1+>x 2x 2R f(−x)+f(x)=ln(−x +)+ln(x +=ln 1=01+x 2−−−−−√1+)x 2−−−−−−√f (x)x >0x +1+x 2−−−−−√f (x)y =ln(+x)1+x 2−−−−−√P B y =tan x P C y ={，x ≥0x 2−,x <0x 2P D f (x)=−1x(0,+∞)(−∞,0)P AC平面与平面平行的判定空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解题时要注意空间思维能力的培养．【解答】解：选项，若则与可能平行或异面，故错误；选项，若，则根据垂直于同一直线的两平面相互平行定理得，故正确；选项，若，则与可能平行或异面，故错误；选项，若，则与垂直，故错误；故选．11.【答案】A,B,D【考点】象限角、轴线角集合的包含关系判断及应用终边相同的角【解析】利用已知条件终边经过点的角，则角的终边在第一和第三象限的角平分线上，再利用终边相同的角的集合表示方法推出正确；将表的分针拨慢分钟，按逆时针旋转，从而求出分针转过的角的弧度数推出正确；因为是第三象限角，从而求出角的取值范围，进而求出角和角的取值范围，进而判断出角和角所在的象限，从而推出错误；利用集合和集合结合集合间的关系，从而推出为第一或第二象限角，进而推出正确，从而选出正确的结论选项．【解答】．终边经过点的角的终边在第一和第三象限的角平分线上，故角的集合是，正确；B ．将表的分针拨慢分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角的弧度数是，正确；C ．因为是第三象限角，即 ，所以，当为奇数时，是第四象限角，当为偶数时，是第二象限角；，所以的终边位置在第一或第二象限或轴非负半轴，所以错误；A m//α，n//α，m n AB m ⊥α,m ⊥βα//βBC α//β,m//α,n//βm n CD α⊥β,m ⊥α,n ⊥βm n D BD (a,a)(a ≠0)A 10B ααα22a a 22a C M N M ⊆N D A (a,a)(a ≠0){a|a =+kπ,k ∈Z}π410π3α2kπ+π<a <2k +,k ∈Z 3π2k +<<k +,k ∈∈Z π2a 23π4k a 2k α24kπ+2π<2a <4k +3π,k ∈Z 2a y M ={x|x =+k ⋅,k ∈Z}={x =(21+∘∈k ∈Z45∘90∘145∘D ． ，易知 ，所以正确；故答案为：．12.【答案】B,D【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式三角形求面积解三角形【解析】【解答】三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：∵考试的成绩服从正态分布．∴考试的成绩关于对称，∵，∴，∴该班数学成绩在分以上的人数为．故答案为：．M ={x|x =+k ⋅,k ∈Z}={x =(21+∘∈k ∈Z 45∘90∘145∘N ={y|y =+k ⋅,k ∈Z}={y =(2+k)⋅,k ∈Z 90∘45∘45∘M ⊆N ABD 6X N(90,)σ2X X =90P(60<X <90)=0.35P(X >120)=P(X <60)=(1−0.35×2)=0.15121200.15×40=6614.【答案】【考点】圆与圆锥曲线的综合问题【解析】由题意画出图形，先求出，再由＝列式求的离心率．【解答】如图，以为直径的圆的方程为＝，又圆的方程为＝，∴所在直线方程为．把代入＝，得，再由＝，得，即＝，∴＝，解得．15.【答案】【考点】数列的应用数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，2–√PQ |PQ ||OF |C OF +−cx x 2y 20O +x 2y 2a 2PQ x =a 2c x =a 2c +x 2y 2a 2PQ =2ab c |PQ ||OF |=c 2ab c 4(−)a 2c 2a 2c 4e 22e =2–√{4,5}n =14=3+3a 1a 1解得.当时，，两式相减得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，代入条件，得，则，，，，，，.因为，所以的取值集合为．故答案为：.16.【答案】【考点】归纳推理【解析】通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第个等式即可．【解答】解：因为，，，等式的右边为系数是，角成等比数列，且公比为角的余弦值，角满足，所以，故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】证明：连接，如图所示，11=3a 1n ≥24=3+3S n−1a n−1=−3a n a n−1=−3a n a n−1{}a n 3−3=−a n (−3)n =[1−]S n 34(−3)n =3S 1=−6S 2=21S 3=−60S 4=183S 5=−546S 6⋯60≤||≤200S m m {4,5}{4,5}2cos π2n+1n =2cos 2–√π4=2cos 2+2–√−−−−−−√π8=2cos 2+2+2–√−−−−−−√−−−−−−−−−−−√π16⋯212π2n+1=2+⋯+2+2–√−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−√2cos π2n+12cos π2n+1(1)AC∵在正方体中，与平行且相等，∴四边形为平行四边形，∴．∵，分别是，的中点，∴为的中位线，∴，∴平面．解：∵平面，∴．∵，分别是，的中点，，∴．在正方体中，平面，∴．∴三棱锥的体积为．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】无无【解答】证明：连接，如图所示，∵在正方体中，与平行且相等，∴四边形为平行四边形，∴．∵，分别是，的中点，∴为的中位线，ABCD −A 1B 1C 1D 1AA 1CC 1A C A 1C 1AC//A 1C 1E F AB BC EF △BAC EF//A 1C 1//A 1C 1EFG (2)//A 1C 1EFG ==V −EFG A 1V −EFG C 1V E−FG C 1E F AB BC BC =C =2C 1=×1×1=S △FG C 11212ABCD −A 1B 1C 1D 1EB ⊥FG C 1==⋅EB ⋅V −EFG A 1V E−FG C 113S △FG C 1=×1×=131216−EFG A 116(1)AC ABCD −A 1B 1C 1D 1AA 1CC 1A C A 1C 1AC//A 1C 1E F AB BC EF △BAC EF//A C∴，∴平面．解：∵平面，∴．∵，分别是，的中点，，∴．在正方体中，平面，∴．∴三棱锥的体积为．18.【答案】解：由题意可得，，，，为函数最大值， ，由得，故的解析式为；由得对称中心为．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的对称性【解析】由题意根据函数的图象的最值，可得，的值，再求函数的周期求的的值，又由为函数最大值，求得，即可得到函数的解析式.由三角函数的性质，令 ，进而得到对称中心的坐标.【解答】解：由题意可得，，，EF//A1C1//A 1C 1EFG (2)//A 1C 1EFG ==V −EFG A 1V −EFG C 1V E−FG C1E F AB BC BC =C =2C 1=×1×1=S △FG C 11212ABCD −A 1B 1C1D 1EB ⊥FG C 1==⋅EB ⋅V −EFG A 1V E−FG C 113S △FG C 1=×1×=131216−EFG A 116(1)A ===2,f(x −f(x )max )min 26−22h ===4f(x +f(x )max )min 26+22T =[−(−)]×4=4π=π2π22πωω==2π4π12f ()π2×+φ=+2kπ(k ∈Z)π212π20<φ<π2φ=π4f(x)f(x)=2sin(x +)+412π4(2)x +=kπ(k ∈Z)12π4(−+2kπ,0)(k ∈Z)π2A,h T w f ()π2φ=π4x +=kπ(k ∈Z)12π4(1)A ===2,f(x −f(x )max )min 26−22h ===4f(x +f(x )max )min 26+22T =[−(−)]×4=4π=π2π22πω==2π1， 为函数最大值， ， 由得，故的解析式为；由得对称中心为．19.【答案】解：由为整数，知等差数列的公差为整数，又，故，于是，解得，因此，故数列的通项公式为;,于是.【考点】数列的求和数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：由为整数，知等差数列的公差为整数，又，故，于是，解得，ω==2π4π12f ()π2×+φ=+2kπ(k ∈Z)π212π20<φ<π2φ=π4f(x)f(x)=2sin(x +)+412π4(2)x +=kπ(k ∈Z)12π4(−+2kπ,0)(k ∈Z)π2(1)=10,a 1a 2{}a n d ≤S n S 4≥0,≤0a 4a 510+3d ≥0,10+4d ≤0−≤d ≤−10352d =−3{}a n =13−3n a n (2)==(−)b n 1(13−3n)(10−3n)13110−3n 113−3n =++⋯+T n b 1b 2b n =[(−)+(−)+⋯+(−)]13171101417110−3n 113−3n=(−)=13110−3n 110n 10(10−3n)(1)=10,a 1a 2{}a n d ≤S n S 4≥0,≤0a 4a 510+3d ≥0,10+4d ≤0−≤d ≤−10352d =−3{}因此，故数列的通项公式为;,于是.20.【答案】解：由频率分布直方图，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间为：(分钟)，占自主学习时间的比例为；以统计的频率作为概率，每个高三备考学生每天完成数学作业的时间不超过分钟的概率为,所以，得.【考点】两点分布二项分布超几何分布的期望与方差众数、中位数、平均数、百分位数频率分布直方图【解析】利用频率分布直方图求出平均数，再除以总时间即可求解；求出频率落在时间段的频率即可求解.【解答】解：由频率分布直方图，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间为：(分钟)，d =−3{}a n =13−3n a n (2)==(−)b n 1(13−3n)(10−3n)13110−3n 113−3n =++⋯+T n b 1b 2b n =[(−)+(−)+⋯+(−)]13171101417110−3n 113−3n=(−)=13110−3n 110n 10(10−3n)(1)30×0.01×10+40×0.018×10+50×0.03×10+60×0.025×10+70×0.012×10+80×0.005×10=52.6≈0.1852.65×60(2)450.010×10+0.018×10=0.28.X ∼B (100,0.28)E (X)=100×0.28=28(1)(2)[25,45](1)30×0.01×10+40×0.018×10+50×0.03×10+60×0.025×10+70×0.012×10+80×0.005×10=52.60.1852.6占自主学习时间的比例为；以统计的频率作为概率，每个高三备考学生每天完成数学作业的时间不超过分钟的概率为,所以，得.21.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．22.【答案】≈0.1852.65×60(2)450.010×10+0.018×10=0.28.X ∼B (100,0.28)E (X)=100×0.28=28(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−x)=−m(1−)(x −1)x−1解：由，得或.等价于，即函数与直线 在 上有两个交点，由，得时， 单调递减；时， 单调递增,作图分析：所以.由中分析，函数与直线交点的横坐标为，其中.于是要证，即证.∵，∴.设，其中，联立 得即证 ，其中 ，变形得，即变为，即证.令，其中，(1)(x)=−m(1−)f ′(x −1)e x−1x 21x =(−mx)=0x −1x 2e x−1−mx =0e x−1x =1−mx =0e x−1=m e x−1x g(x)=e x−1x y =m x ∈(0,1)∪(1,2)(x)=g ′(x −1)e x−1x 2x ∈(0,1)g(x)x ∈(1,2)g(x)m ∈(1,)e 2(2)(1)g(x)=e x−1x y =m ,x 1x 3=1x 2<x 1x 3x 22<1x 1x 3=e −1x 1x 1e −1x 3x 3==x 3x 1e −1x 3e −1x 1e −x 3x 1=t x 3x 1t ∈(1,+∞)，=t e −x 3x 1 −=ln t,x 3x 1=t,x 3x 1 =,x 1ln t t −1=,x 3t ln t t −1⋅<1ln t t −1t ln t t −1t ∈(1,+∞)t <ln 2(t −1)2t ln t <=−t −1t √t √1t √ln t −+<0t √1t √=m t √m ∈(1,+∞)(m)=2ln m −m +<0,m >11即证函数.∵ ，∴函数在上单调递减，∴函数，∴，则【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得或.等价于，即函数与直线 在 上有两个交点，由，得时， 单调递减；时， 单调递增,作图分析：所以.由中分析，函数与直线交点的横坐标为，其中.h(m)=2ln m −m +<0,m >11m (m)=−1−=h ′2m 1m 2−+2m −1m 2m 2=<0−(m −1)2m 2h(m)m ∈(1,+∞)h(m)<h(1)=0ln t −+<0t √1t√<.x 1x 3x 22(1)(x)=−m(1−)f ′(x −1)e x−1x 21x =(−mx)=0x −1x 2e x−1−mx =0e x−1x =1−mx =0e x−1=m e x−1x g(x)=e x−1x y =m x ∈(0,1)∪(1,2)(x)=g ′(x −1)e x−1x 2x ∈(0,1)g(x)x ∈(1,2)g(x)m ∈(1,)e 2(2)(1)g(x)=e x−1x y =m ,x 1x 3=1x 2<2于是要证，即证.∵，∴.设，其中，联立 得即证 ，其中 ，变形得，即变为，即证.令，其中，即证函数.∵ ，∴函数在上单调递减，∴函数，∴，则<x 1x 3x 22<1x 1x 3=e −1x 1x 1e −1x 3x 3==x 3x 1e −1x 3e −1x 1e −x 3x 1=t x3x 1t ∈(1,+∞)，=t e −x 3x 1 −=ln t,x 3x 1=t,x 3x 1=,x 1ln tt −1=,x 3t ln tt −1⋅<1ln t t −1t ln tt −1t ∈(1,+∞)t <ln 2(t −1)2t ln t <=−t −1t √t √1t√ln t −+<0t √1t √=m t √m ∈(1,+∞)h(m)=2ln m −m +<0,m >11m (m)=−1−=h ′2m 1m 2−+2m −1m 2m 2=<0−(m −1)2m 2h(m)m ∈(1,+∞)h(m)<h(1)=0ln t −+<0t √1t √<.x 1x 3x 22。
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全国高中数学联赛模拟试题（九） 新人教A 版
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集
（D ）所有形如4k +3的数集
2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966
（B ）16975
（C ）16984
（D ）17009
3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1
0n i i a 等于
（A ）2 （B ）-1
（C ）1 （D ）0
4、已知、是方程ax 2
+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，
β
α2
是实数，则∑=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛5985
1k k
βα的值是
（A ）1 （B ）2
（C ）0
（D ）3i
5、已知
a +
b +
c =abc ，()()()()()()ab
b a ac
c a bc
c b A 2
2
2
2
2
2
111111--+--+--=
，则A
的值是 （A ）3
（B ）-3
（C ）4
（D ）-4
6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2
11
+=
∑=n n x n
i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4
（B ）6
（C ）8
（D ）9
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线
A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使
n
n h a h a h a +++ 22
11（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．
2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．
3、已知()2
cos 22
sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、
∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、
，F (a ,)的最大值和最小值分别是 ．
4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．
5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．
6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n
+x +1被x k
+x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．
三、（20分）
过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求
最小
最大S S 之值．
四、（20分）
数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．
五、（20分） 已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．
证明：
27
13
≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．
一、（50分）
已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC
的半周长．证明：IK⊥MN．
二、（50分）
M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4
个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．
三、（50分）
实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．
第一试
一、选择题：
二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5； 3、32+，32-； 4、9；
5、5，8；
6、(k ,k )或(3m +2,2)（m ∈N +）．
三、3
3
2． 四、7．
五、证略．
第二试
一、证略；
二、证略．
三、 有．。