08-质心系

第三章
动力学
§3.5 质心参照系
5.1 质心系是零动量参照系 5.2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 系 系 5.3 相对于一质点系的质心的外力 转) 矩与该质点 相对于一质点系的质心的外力(转 系内部角动量的关系。 系内部角动量的关系。 5.4 质点系统相对于 系、C系的动能间的关系 质点系统相对于L系 系
ɺ ɺ ∴m r '+m r '= 0 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2 ∴E = m v ' + m v2' + (m +m )vC k 1 1 2 1 2 2 2 2 de f 质点系相对于质心系 1 1 2 2 E内 ≡ mv ' + m v ' k 1 1 2 2 的动能叫做内动能。 的动能叫做内动能。 2 2 12
r = C
∑mr
i
i i
m
; 不代撇
C系 r C = 系 C
∑mr '
i i
i
m
=0
r '= C
∑mr '
i i i
m
= 0代撇
C系 v = 系 C C
∑mv '
i i i
m
=0
vC'=
∑mv '
i i i
m
= 0代撇
5
5.2 质点系相对于实验室参照系 系)的角动量与它 质点系相对于实验室参照系(L系 的角动量与它 相对于质心参照系(C系 的角动量之间的关系 相对于质心参照系 系)的角动量之间的关系
zm 1
C x' r ' m 2 O 2
r C
r' 1
y'
vC'= 0
y
系中： 在L系中： 系中
v1 = v1'+vC
v2 = v2'+vC
11
系中： 在L系中： 系中
v = v '+vC 1 1
v2 = v2'+vC
1 1 1 1 2 2 2 E = m v1 + m v2 = m (v1'+vC ) + m (v2'+vC )2 k 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 = m v1' + m v2' + (m +m )vC +(m v1'+m v2')⋅ vC 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ɺ ɺ 为零 m r '+m r ' m r '+m r ' 1 1 2 2 2 2 r =0 ∵ c'= 1 1 r = 0 ∵ɺ '= c m +m m +m 1 2 1 2
1 mm mm 2 1 2 E内= u 令： = 1 2 称为折合质量 µ k 2 m +m m +m 1 2 1 2
2 2
2 1
1 2 称为两个质点系 E 内= µ u k 的相对动能 2
高能粒子与静止靶 上粒子的碰撞， 上粒子的碰撞，可 用来研究其结构和 相互作用以及反应 机制。 机制。
∵E = E 内+ E k k kC
2
§3.5 质心参照系 5.1 质心系是零动量参照系 质心系是零动量参照系 考虑由质量分别为m 考虑由质量分别为 1、m2、… mn 的N个质点 个质点 组成的质点系，每个质点相对于任一点O的位置 组成的质点系，每个质点相对于任一点 的位置 矢量分别为 rO,r O......r O 其质心相对于 点的 1 2 n ；其质心相对于O点的 定义为： 定义为： m i ∑mri i r ≡ i ; ri ' C m r i m 其中m为质心系的总质量 m 为质心系的总质量， 其中 为质心系的总质量， = ∑ i
*若质点系所受的外力是重力，按质心的定义，合外力 若质点系所受的外力是重力，按质心的定义，
矩为： 矩为：
M = ∑ i ×m g = ∑ i r × = r ×m r mi g C g i 外
i i
上式表明， 上式表明，重力的合力矩与系统的全部质量集中在 质心上所受到的力矩等价。 质心上所受到的力矩等价。 若取质心为参考点， 若取质心为参考点，则有r '= 0，即重力对质心 C 的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 只受到重力的质点系角动量守恒。 只受到重力的质点系角动量守恒。 下面的学习中请注意这点。 下面的学习中请注意这点。
13
例1：求两个质点系统相对于质心的动能与 ： 相对速度间的关系
∵v1 = v1'+vC
∵v2 = v2'+vC
∴v2'= v1'−u m 质心系是零动量参照系 m v 1+m v 2 = 0 ∴v'1 = − 2 v'2 1 ' 2 ' m 1
u≡ v12 = v1 −v2 = v1'−v2'
m 2 u ∴v'1 = m +m 1 2
*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍
然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系 然成立 质心相对质心的速度为零）。无论质心系 质心相对质心的速度为零）。 是惯性系还是非惯性系。（证明从略） 。（证明从略 是惯性系方便。见刚体力学。 所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。
1 2 系中： 在L系中：∴E = E 内+∑ m vC 系中 k k i i 2
相对于质心的 质心的平动运动 内部运动 *例如抛一手榴弹，它相对于地面的总能量等 例如抛一手榴弹， 于两部分之和： 于两部分之和： 相对于质心的内动能（固有动能）。 相对于质心的内动能（固有动能）。 质心平动动能（轨道动能） 。 质心平动动能（轨道动能） 动能 *一个体系的内能就是指： 一个体系的内能就是指： 内能=质点系各质点 相对于质心的内动能 内能 质点系各质点 相对于质心的内动能 +质点间相互作用的内势能 质点间相互作用的内势能 质点间相互作用的
i
c
每一个位矢 r ，动量可写为 mvi i i
o
r C
ri = r +ri ' (1) C
m vi = m vC +m vi ' (2) i i i
3
riC viC表示的第 个质点相对于质心 的位矢和速度。 个质点相对于质心C的位矢和速度 、 表示的第i个质点相对于质心 的位矢和速度。 因为质心相对于质心的位矢恒为零， C , 因为质心相对于质心的位矢恒为零，即 r C = 0 所以 在质心系中质心的速度也恒为零 vCC = 0
10
5.4 质点系统相对于实验室参照系 系)的动能与它相 质点系统相对于实验室参照系(L系 的动能与它相 质心参照系(C系 的动能 内动能）之间的关系： 的动能（ 对于质心参照系 对于质心参照系 系)的动能（内动能）之间的关系：
以两个质点的系统为例
z'
系中质点m 在L系中质点 1、m2及其 系中质点 质心的速度分别为 v v2v 、 、C 1 系中质点m 在C系中质点 1、m2及其 系中质点 质心的速度分别为 v1' v2'、 x 、
以两个质点的系统为例
系中质点m 在L系中质点 1、m2及其 系中质点 质心的速度分别为 v v2v 、 1 、 C 在C系中质点 1、m2及其 系中质点m 系中质点 质心的速度分别为 v1、 2、 'v'
z'
zm 1
C x' r ' m 2 O 2
vC'= 0
r C
r' 1
y'
L= r × p +r2 × p2 1 1
x
y
p = mv1 = mv1'+mvC 1 1 1 1
p2 = m v2 = m v2'+m vC 2 2 2
6
L= (r '+r )×( p '+m vC ) +(r '+r )×( p '+m vC ) 1 C 1 1 2 C 2 2
L= (r ' p '+r ' p ' +r ×( p '+p ' 1× 1 2 × 2） C 1 2） （ 11 + m r +m r )×vC 2 2
rC = C
∑mr '
i i i
m i
=0
r i
ri '
m
i i
vCC =
∑mv '
i
c
r C
m
=0
o
也就是说，所有质点相对于质心的总动量为零， 也就是说，所有质点相对于质心的总动量为零， 零动量参照系。 质心系是零动量参照系。
4
为了方便书写下面作以下符号代换： 为了方便书写下面作以下符号代换：
L系 系
∵ i = ri '+r r C
∴M= M +r ×F C C 外
外力对质心的转矩 外力对质心的转矩
M = ∑ i '×F r C i
i
合外力作用在 质心上对 O的转矩 质心上对 的
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∵M= M +r ×F C C 外
∵L= L +r ×(m +m )vC C C 1 2
d L ∵M = d t
L r dC p d L d C dC = + ×(m + m )vC + r × 1 2 C d t d t d t d t
−m 1 u ∴v'2 = m +m 1 2
de f
1 1 2 E 内 ≡ mv 1+ m v 2 相对质心的动能： 相对质心的动能： k 1 ' 2 ' 2 2 2
1 mm mm 2 1 2 E内= [ ]u + k 2 2 2 (m +m ) (m +m ) 1 2 1 2
2 2
2 1
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1 mm mm 2 1 2 E内= [ ]u + k 2 2 2 (m +m ) (m +m ) 1 2 1 2
dC r ∵ ×(m +m )vC = 0 1 2 dt dL d C p C ∴M +r ×F = +rC × C C 外 dt d t 定理在质心系中也成立。 d C 角动量 定理在质心系中也成立。 p ∵ C ×F = r × r C 外 d 而不论质心系是否为惯性系。 t 而不论质心系是否为惯性系。 dL ∴M = C C 9 dt 以上证明具有普遍性。 以上证明具有普遍性。
∵ p '+p2' = 0 质心系是零动量参照系 ( 1 ）
∵ mr +m r2)×vC = r ×(m +m )vC （ 11 2 C 1 2
质心定义
∴L= L +r ×(m +m )vC C C 1 2
相对质心的角动量 内部角动量 相对L系的角动量 相对 系的角动量 外部角动量
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相对于L系的外部角动量， 相对于 系的外部角动量，就好象这系统 系的外部角动量 的全部质量都集中在质心上一样。 的全部质量都集中在质心上一样。
1 1 2 2 ∴E = µu + (m +m )vC k 1 2 2 2
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孤立系统 参照系用带撇量表示： 选C参照系用带撇量表示：质心动能碰撞前后不变。 参照系用带撇量表示 质心动能碰撞前后不变。
∵m v10'+m v20'= m v1'+m v2'= 0 1 2 1 2
2 1 1 m (m v10'2 +m v20'2 ) +Q= (m + 1 )v '2 10 20 1 1 2 2 m 2
1 2 ∵E 内 = µu k 2
m 2 ∵v'1 = u m +m 1 2
1 1 2 2 µ0u +Q= µu 0 2 2 µ0 = µ
反应前后质心动能不变， 反应前后质心动能不变， 真正有用的的能量就是 相对动能。如正、 相对动能。如正、负电 陆果书上pp79 子对撞机陆果书上
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质量为m 的两个小球，用长为l、 例3.23 质量为 1和m2的两个小球，用长为 、质量和伸 缩量都可忽略不计的细杆联接， 缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平桌面 作匀速圆周运动， 开始时m 固定不动， 上，开始时 2固定不动， m1绕m2作匀速圆周运动， 线速率为v 突然失去约束，求杆中张力？ 线速率为 0 ，如果 突然失去约束，求杆中张力？ 失去约束前后， 解：m2失去约束前后，m1和m2 m 组成的系统是孤立系统， 组成的系统是孤立系统，只 1 有杆中内力相互作用， 有杆中内力相互作用，系统 l1 C l2 动量守恒。杆中张力提供向心力。 动量守恒。杆中张力提供向心力。 vo 质心系中
∴L= L +r ×(m +m )vC C C 1 2
5.3 相对于一质点系的质心的外力 转) 矩与该 相对于一质点系的质心的外力(转 质点系内部角动量的关系。 质点系内部角动量的关系。
以两个质点的系统为例
M = r ×F + r ×F 1 1 2 2 M= r ' F +r ' F +r ×(F + F ) 1× 1 2× 2 C 1 2
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质心系的引入
• 什么是质心系？（质点系统的质心为参考原点） 什么是质心系？ 质点系统的质心为参考原点） • 质心系有什么特征？（一般情况下为非惯性系） 质心系有什么特征？ 一般情况下为非惯性系） • 质心系与惯性系有什么关系？ （ 要考察哪些参量 质心系与惯性系有什么关系 ？ 这些参量在两个参考系下变换关系是什么？ ？这些参量在两个参考系下变换关系是什么？） • 质心系下的力学规律与惯性系下的力学规律有什 么可比性？ 具有相同的形式） 么可比性？（具有相同的形式） • 这种特性有什么用途？（刚体模型） 这种特性有什么用途？ 刚体模型）