2020高考数学立体几何练习题

O S B A C

08高考数学立体几何练习题

1．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，

⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且1PA AD DC ===，

2AB =，M 是PB 的中点．

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小．

2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =，

E 为PD 的中点.

（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，

并求出点N 到AB 和AP 的距离．

3．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中

14,2,3,1AB BC CC BE ====．

（Ⅰ）求BF 的长；

（Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离．

4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移动. （Ⅰ）

证明：11D E A D ⊥；

（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；

（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4

π

.

5．（xx 福建•理•18题）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，

D 为CC 1中点．

（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；

（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离． 6．（xx 宁夏•理•19题）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与

侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．

（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．

7．（xx 陕西•理•19题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中//AD BC ，

,90︒=∠ABC 平面⊥PA ABC ，32,2,4===AB AD PA ,BC =6．

(Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面； (Ⅱ)求二面角D BD P --的大小．

D C

B

A

V

立体几何练习题参考答案

1．以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M .

（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故

由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC

.

510

|

|||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故

（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=

..2

1

,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC

要使14

,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得

),5

2

,1,51(),52,1,51(,.

0),5

2

,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ

ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角.

30304||,||,.

5

2

cos(,).3||||2

arccos().

3

AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r

u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为

2．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、

(3,0,0)B 、(3,1,0)C 、(0,1,0)D 、

(0,0,2)P 、1

(0,,1)2

E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC

设PB AC 与的夹角为θ，则

,14

737

23|

|||cos =

=

⋅=

PB AC θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为147

3.

（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则

)1,2

1

,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021

3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.

0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(

，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为3

1,. 3． 解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B

1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .

∵1AEC F 为平行四边形，

.

62,62||).

2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,

11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴

（II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，

)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然