概率论课件第四章随机变量的数字特征.ppt

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随机变量的数字特征与特征函数(课堂PPT)

性4：质X 若与 Y独立 EX且 ,EY存在X，的 Y 则数学期望
EXY EXEY
注：性质3和4可推广到任意有限个随机变量的场合。
7
性质5，6为不等式→
性5质：如 EX 果 2,EY2存在且0,则不有等
EXY2 EX2 EY2
柯西-许瓦兹不不等式
性质 6：若X0，EX存在，则对b任，何有实数 PXbEX
性质4可由契比雪夫不等式推出,见p151
契比雪夫不等式
10
矩→
三、矩
随机变量的矩是常见的数字特征。数学期望和方差是它的特例。
定义：设X为随机变量，对任意正整数k，分别称
E X k
E X k
E X E X k
K阶原点矩 K阶原点绝对矩 K阶中心矩
EX E X k
K阶中心绝对矩
11
N维随机变量也可以定义其数学期望和方差。以二维为例,有协方差、相关系数。→
量纲化)的，XDE X X ,YDE Y Y
问：后者能用前者的线性函数表示吗？近似程度如何？
讨论：设后者能用前者的线性变换表示，其形式为
YD E Y Y tX D E X X 其中t为常数
用所产生的均方差来衡量近似程度。所产生的均方差为
E Y D E Y Y tX D E X X 2 ，定 t,义则为
三、随机变量函数的数学期望定理4.1.1
要确定Y=g(X)的数学期望，因Y也是随机变量，可先确定Y的分布再求Y的均值，但Y的分布确定比较复杂。可否直接用X的分布来求Y=g(X)的均值？
(1)设离散型随机变量X的分布律为 P X x p ,k 1 , 2 ,
k
k
又 YgX,若 gxp收敛，则

2019年概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征第一节数学期望.ppt

一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
三、随机变量函数的数学期望
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？
于是
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k n 2 n 2 k 1
n
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分
绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分
发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
随机变量的数字特征
第一节数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
E (5 X ) 5 E ( X ) 5 0.45 2.25 (元).
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 x 0. 0, 试求该商店一台家用电器收费 Y 的数学期望.
二、连续型随机变量的数学期望
1 x 10 0.1 1 e 0.0952, dx 解： P{ X 1} e 0 10 2 1 x 10 P{1 X 2} e dx 1 10 e 0.1 e 0.2 0.0861,

北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征

北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征

k
到最小值．此时得到最好的分组方法．
若 N 1000 ，此时以 k 4 分组，则按第二种方案平均只需化验
1 4 1000 1 0.9 594 (次 )， 4
这样平均来说，可以减少 40%的工作量．
2014年8月30日星期六
13 / 102
§4.1 数学期望
解 : E ( X ) 1 p 0 (1 p ) p ．
2014年8月30日星期六
7 / 102
§4.1 数学期望
[ 例 1-3] 设随机变量 X ~ B (n, p ) ，求 E ( X ) ．
解由于随机变量 X 只取有限个值，所以 E ( X ) 一定存在．而
2014年8月30日星期六
10 / 102
§4.1 数学期望
解各人的血呈阴性反应的概率为 q 1 p ．因而 k 个人的混合血
k k q 1 q 呈阴性反应的概率为，而呈阳性反应的概率为．
设以 k 个人为一组时，组内每人化验的次数为 X ，则 X 是一个随机变量，其分布律为
X
pk
1 x k p k ( 1) ln 2 虽然有，但是随机变量 X 的数学期 k k 1 k 1
k
望是不存在的．因为
| x k p k |
k 1

1 ． k 1 k

[例 1-1] 常数 C 数学期望等于它本身，即随机变量 X 是单点分布， X C 的概率为 1，则 E (C ) C ． [ 例 1-2] 设随机变量 X 服从 (0-1) 分布，求 E ( X ) ．
b
[ 例 1-7]
设随机变量 X 服从参数为的指数分布，求 E(X ) ．

概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节随机变量的数学期望
第二节方差
第三节协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
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第一节随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +

随机变量的数字特征 PPT课件

计算乙的平均成绩：
8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
所以甲的成绩好于乙的成绩。
5
4.1 数学期望 (一) 数学期望定义定义：设离散型随机变量X的分布律为
xk pk , 则称级数 xk pk 若级数 k 1 k 1 的值为X的数学期望，记为E(X)，即
23
0.1 sin
(1 0)
0.15
例1.9 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
x (1 y ) x e , x 0, y 0, f ( x, y ) 其他, 0,
求E(X),E(XY).
解：E ( X )

解：N的分布函数为FN ( x) 1 (1 F ( x))2 ,
2 e 2 x , x 0, 因此，密度函数为f N ( x) x 0. 0,
由上例，E ( N ) E (min( X , Y )) 1 . 2
14
M的分布函数为FM ( x) (F ( x)) ,
求E(X),E(XY).
解：E ( XY )

0

xyf ( x, y)dydx

0
xy xe x (1 y ) dydx
0
0
xe [
x
y xe xy dy]dx

0
xe
x
1 dx e x dx 1. 0 x
25
xf ( x, y)dydx

0

概率论与数理统计随机变量的数字特征课件

03
通过数值模拟方法可以直观地展示随机变量的分布情况，帮助理解概率论与数理统计中的概念和理论。
06
总结与展望
主要内容回顾
随机变量的概念与分类
常见随机变量的性质与分布
01
02
03
随机变量的数字特征：均值、方差、协方差等
04
大数定律和中心极限定理的应用
存在的问题与不足之处
学生对概念的理解不够深入，容易混淆不同概念之间的
掷骰子
假设掷一个六面体的骰子，每个数字出现的概率为1/6。通过数值模拟方法计算在掷n次骰子时，每个数字出现的次数。
结果解释与讨论
01
对于投掷硬币的实例，当n逐渐增大时，正面和反面出现的次数逐渐接近，符合理论上的期望值。
02
对于掷骰子的实例，当n逐渐增大时，每个数字出现的次数也逐渐接近理论上的期望值。
相关系数
相关系数是协方差与两个随机变量方差的比值，用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
意义
协方差和相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相关，值为0表示无关。
03
随机变量的矩与特征
矩的定义
01
矩：对于实随机变量X，其k阶原点矩定义为E[X^k]
，k为非负整数。
概率论与数理统计随机变量的数字特征课件
目录
• 随机变量的基本概念 • 随机变量的期望值与方差 • 随机变量的矩与特征 • 随机变量的函数与变换 • 随机变量的数值模拟与实例分析 • 总结与展望
01
随机变量的基本概念
随机变量的定义
定义
设E是随机试验，S是样本空间，对于E的每一个样本点e ，都有唯一的实数X(e)与之对应，则称X(e)为随机变量。

概率论及数理统计随机变量的数字特征-.ppt

k1(k1)!
e-e
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),
在数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落
在小区间[xi, xi+1)的概率是
xi1 f (x)dx xi
阴影面积
近似为
f (xi )xi
f(xi)x (i1xi)
f(xi)xi
小区间[xi, xi+1)
与 0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3 进行比较.
1 101 32 0 23 0
下面我们一起来看计算机模拟的结果.
对于一个随机变量，若它可能取的值是 X1,X2, …, 相应的概率为 p1,p2, …, 则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.
但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近
X0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
下面我们用计算机进行模拟试验.
1 101 32 0 23 0
输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算
M (n )0n 01n 12n 23n 3 nn n n
第五章
随机变量的数字特征与极限定理
第一讲数学期望
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.
| x|f(x)dx

概率论课件第四章随机变量数字特征

(3) E f (X ) g(Y ) Ef (X ) Eg(Y )
特别地 E( X Y ) EX EY
E(aX bY c) aEX bEY c
(4) 如X ,Y 相互独立，则E( XY ) EX EY (5) 如a X b,则EX 存在，且a EX b
注：这些性质可以推广到多个随机变量上。
为偶数为奇数如果绝对收敛则数学期望存在且有1离散型随机向量函数的数学期望设二维离散型随机向量xy的分布律为设二维连续型随机向量xy的密度函数为如果绝对收敛则fxy的数学期望存在且有2连续型随机向量函数的数学期望dydx例12设服从半圆域内的均匀分布求和dxydyydydxdxdyxdydxdxdy二维随机变量xy其协方差定义为ov421由定义xyxeyyexexeyxyexeyexeyexeyxyexeyxyexeyczacccovaxczacexzbceyzacexezbceyezaccovxyexeyxyexeyexeyexey证明随机变量xy的相关系数rxy简记为r0表示xy不线性相关相关系数只是x与y间线性关系程度的一种量度
e
2 2 dx
2
令u x a ，得
D 2
u
2e
u2 2
du
2
2
u2
ud(e 2 )
2
2 2
u2
(ue 2 )
2 2
u2
e 2 du
2
1
u2
e2
du
2
2
D
例7 设随机变量ξ服从参数为λ的指数分布，求
Dξ。
解：E 2 x2 exdx x2d (ex )
D npq
例2 设ξ～P(λ)，试求Dξ。
解
E 2

《概率与统计》第四课时随机变量的数字特征资料

(3) 泊松分布
(4) 均匀分布
(5) 指数分布 (6) 正态分布
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定义4.2
第二节方差
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2.方差的性质设随机变量X与Y的方差存在，则
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3.常用分布的方差
X0 1 P 1-p p
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5、偏度系数
1 =
E( X - E( X ))3
3
E( X - E( X ))2 2
当1 0时，分布为正偏或右偏；
当1 0时，分布关于其均值E( X )对称；
当1 0时，分布为负偏或左偏。
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6、峰度系数
2
=
E(X E ( X
- E(X ))4
-
ห้องสมุดไป่ตู้
E(
X
E（Z）=E（X）-E（Y）=22.40-22.50=-0.10, D(Z)=D(X)+D(Y)=0.032+0.042=0.052, 即Z~N（-0.10,0.052）,故有
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第三节协方差与相关系数
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若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i, j=1,2,…
))2
2
-
3
v4 (v2 )2
-
3
为X的分布的峰度系数。峰度系数也用于描述分布的形状特征，但
峰度系数与偏度系数的差别是：
偏度系数刻画的是分布的对称性，而峰度系数刻画的是分布的陡峭性。
当2 0时，则低峰度；当2 =0时，与正态分布相当；当2 0时，高峰度。

(精品)概率论课件：随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
数学期望方差协方差、相关系数其它数字特征
1
问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
2
例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。
k 1
k 1
的值为X的数学期望，记为E(X)，即
E( X ) xk pk k 1
6
定义：设连续型随机变量X的概率密度
函数为f(x)，若积分
+
x
f (x)dx ,
则称积分
+
xf (x)dx
的值为X的数学期望，
记为E(X)，即
+
E( X ) xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
7
n
n
E(c0 ci X i ) c0 ci E( X i )
i 1
i 1
31
4.设X,Y是相互独立随机变量, 则有 E(XY)=E(X) E(Y),
推广到任意有限个相互独立随机变量之积：
n
n
E( i 1
X
i
)
i 1
E(
X
i
),
其中Xi，i 1,..., n相互独立.
32
证明：
1. C是常数，P(X C) 1, E(X ) E(C) 1C C
33
4. E(XY )
xyf (x, y)dxdy
xyfX (x) fY ( y)dxdy

[考研数学]概率论和数理统计第四章随机变量的数字特征课件全面版

为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即
E(X) xk pk
k1
设连续型随 X具机有变概量率 f(x)，密度
若xf(x)d绝 x 对收 ,则敛称积 x分 f(x)d为 xX的
数
学
期
望E(， X)，记即 E为 (X)
xf(x)dx
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E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称 E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称为分布的均值.
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例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可期望获利多少？
解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布
率为
X 5 2 -4
E (X ) k e ee 2 -4
k ! (k 1 )! 随机变量函数的数学期k 望：0
k 1
k 0
设n维随机变量(X1,X2,···Xn) 的1+1阶混合中心矩
6第元四，E 章还(是随X 有机利变2可量)图的的数。字E 特征[X(X1)X]E[X(X1)]E(X)
例7：设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。
P X k 2 -4
第四节矩、协方差矩阵随机变量数学期望的性质：
k !
k0 ,1 ,2 , ,0
若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为
设n维随机变量(X1,X2,·· ·Xn) 的1+1阶k 混合中心矩

概率论4-1

第四章随机变量的数字特征
分布函数能完整地描述随机变量的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道随机变量的某些特征. 例如判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度又要看纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好. 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写
本章内容
随机变量的平均取值 —— 数学期望随机变量取值平均偏离均值的情况 —— 方差描述两随机变量间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
§4.1 数学期望 Mathematical Expectation
引例甲乙两射手进行射击训练，100次射击命中环数与次数记录如下：乙：甲：环数 8 9 环数 8 9 10 10
解、抛掷一对均匀的骰子一次，抛出双6的概率为1/36, 设在一次抛掷中，张三的赢钱数为X，李四的赢钱数为Y，则X和Y的概率分布为
X P
1 35/36
－30 1/36
Y
P
－1
35/36
30
1/36
E( X ) 1 (35 / 36) 30 (1/ 36) 5 / 36 E(Y ) 1 (35 / 36) 30 (1/ 36) 5 / 36
连续型随机变量的数学期望E(X)
连续型随机变量
定义设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
若广义积分 X 的数学期望