FR共轭梯度法
fr共轭梯度法matlab程序
fr共轭梯度法matlab程序简介在优化问题中，求解大型的线性方程组是一项基本的任务。
共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种迭代法，用于求解形如Ax=b的线性方程组，其中A是一个对称正定矩阵，b是一个向量。
fr共轭梯度法是共轭梯度法的一种变形，它引入了Fletcher-Reeves公式，可以更快地收敛到解。
本文将详细介绍fr共轭梯度法的原理，并给出基于Matlab的实现示例，帮助读者更好地理解和应用该算法。
fr共轭梯度法原理共轭梯度法回顾在介绍fr共轭梯度法之前，我们先回顾一下共轭梯度法的原理。
共轭梯度法是一种迭代法，用于求解形如Ax=b的线性方程组。
它的基本思想是通过不断迭代的方式逼近线性方程组的解。
具体步骤如下：1.初始化：令x0为一个初始向量，r0=b-Ax0为初始残差，p0=r0为初始搜索方向。
2.迭代更新：根据一定的更新规则，计算新的搜索方向pk和步长αk，用于更新解向量xk+1。
3.残差更新：计算新的残差rk+1=b-Axk+1。
4.判断终止条件：如果满足终止条件，算法停止；否则返回步骤2。
共轭梯度法的关键在于如何选择搜索方向和步长。
在每次更新解向量时，搜索方向选择为残差的线性组合，即pk=rk+βkpk-1，其中βk由Fletcher-Reeves公式确定。
步长选择为使目标函数在搜索方向上取得最小值的约化步长。
fr共轭梯度法改进fr共轭梯度法是对共轭梯度法的一种改进，它引入了Fletcher-Reeves公式。
Fletcher-Reeves公式是通过计算两次迭代时的梯度向量的内积得到的。
具体表达式如下：βk = (rk+1’ * rk+1) / (rk’ * rk)其中rk为残差向量。
通过引入Fletcher-Reeves公式，fr共轭梯度法在选择搜索方向时更加准确，可以更快地收敛到解。
fr共轭梯度法的Matlab实现在Matlab中，我们可以通过编写相应的程序来实现fr共轭梯度法。
运筹学实验共轭梯度法
共轭梯度法一、实验目的(1).熟悉使用共轭梯度法求解无约束非线性规划问题的原理；(2).在掌握原理的基础上熟练运用此方法解决问题；(3).学会利用计算机语言编写程序来辅助解决数学问题；(4).解决问题的同时分析问题，力求达到理论与实践的相统一；(5).编写规范的实验报告.二、问题描述自选初始点开始迭代三、算法介绍<算法原理>：共轭梯度法为求解线性方程组而提出。
后来，人们把这种方法用于求解无约束最优化问题，使之成为一种重要的最优化方法。
共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。
根据共轭方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。
在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。
其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
共轭方向无约束最优化方法的核心问题是选择搜索方向.在本次实验中,我们运用基于共轭方向的一种算法—共轭梯度法<算法流程图>：四、程序%¾«È·ÏßËÑË÷,ÌݶÈÖÕÖ¹×¼Ôòfunction [ m,k,d,a,X,g1,fv] = GETD( G,b,c,X,e,method)if nargin<6error('ÊäÈë²ÎÊý±ØÐëΪ6');endn=length(G);if n==2format long e%ratsyms x1x2f=1/2*[x1,x2]*G*[x1;x2]+b'*[x1;x2]+c;g=[diff(f,x1);diff(f,x2)];g1=subs(subs(g,x1,X(1,1)),x2,X(2,1));d=-g1;a=-(d'*g1)/(d'*G*d);% a=-((X(:,1)'*G*d+b'*d)/(d'*G*d)); a=g1(:,1)'*g1(:,1)/(d(:,1)'*G*d(:,1));X(:,2)=X(:,1)+a*d;g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,2)),x2,X(2,2))];m1=norm(g1(:,1));m=norm(g1(:,2));i=2;k=zeros(1);switch methodcase'FR'while m>=ek(i-1)=(m/m1)^2;d(:,i)=-g1(:,i)+k(i-1)*d(:,i-1);a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i));%a1(i)=-((X(:,i)'*G*d(:,i)+b'*d(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i)));a (i)=g1(:,i)'*g1(:,i)/(d(:,i)'*G*d(:,i));X(:,i+1)=X(:,i)+a(i)*d(:,i);g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,i+1)),x2,X(2,i+1))];m1=m;m=norm(g1(:,i+1));i=i+1;endcase'PRP'while m>=ek(i-1)=g1(:,i)'*(g1(:,i)-g1(:,i-1))/(norm(g1(:,i-1)))^2;d(:,i)=-g1(:,i)+k(i-1)*d(:,i-1);a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i));X(:,i+1)=X(:,i)+a(i)*d(:,i);g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,i+1)),x2,X(2,i+1))];i=i+1;endcase'HS'while m>=ek(i-1)=g1(:,i)'*(g1(:,i)-g1(:,i-1))/(d(:,i-1)'*(g1(:,i)-g1(:,i-1))); d(:,i)=-g1(:,i)+k(i-1)*d(:,i-1);a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i));X(:,i+1)=X(:,i)+a(i)*d(:,i);g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,i+1)),x2,X(2,i+1))];m=norm(g1(:,i+1));i=i+1;endcase'DY'while m>=ek(i-1)=g1(:,i)'*g1(:,i)/(d(:,i-1)'*(g1(:,i)-g1(:,i-1)));d(:,i)=-g1(:,i)+k(i-1)*d(:,i-1);a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i));X(:,i+1)=X(:,i)+a(i)*d(:,i);g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,i+1)),x2,X(2,i+1))];m=norm(g1(:,i+1));i=i+1;endcase'LS'while m>=ek(i-1)=g1(:,i)'*(g1(:,i)-g1(:,i-1))/(d(:,i-1)'*(-g1(:,i-1)));d(:,i)=-g1(:,i)+k(i-1)*d(:,i-1);a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i)); %a(i)=-((X(:,i)'*G*d(:,i) +b'*d(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i)));X(:,i+1)=X(:,i)+a(i)*d(:,i);g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,i+1)),x2,X(2,i+1))];m=norm(g1(:,i+1));i=i+1;endcase'CD'while m>=ek(i-1)=g1(:,i)'*g1(:,i)/(d(:,i-1)'*(-g1(:,i-1)));d(:,i)=-g1(:,i)+k(i-1)*d(:,i-1);a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i));X(:,i+1)=X(:,i)+a(i)*d(:,i);g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,i+1)),x2,X(2,i+1))];i=i+1;endcase'WYL'while m>=ek(i-1)=g1(:,i)'*(g1(:,i)-(m/m1)*g1(:,i-1))/(m1^2);d(:,i)=-g1(:,i)+k(i-1)*d(:,i-1);a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i)); %a(i)=-((X(:,i)'*G*d(:,i) +b'*d(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i)));X(:,i+1)=X(:,i)+a(i)*d(:,i);g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,i+1)),x2,X(2,i+1))];m1=m;m=norm(g1(:,i+1));i=i+1;endendfv=subs(subs(f,x1,X(1,i)),x2,X(2,i));endl1=X(1,i);l2=X(2,i);w1=X(1,1);w2=X(2,1);v1=min(l1,w1)-abs(l1-w1)/10:abs(l1-w1)/10:max(l1,w1)+abs(l1-w1)/10;v2=min(l2,w2)-abs(l2-w2)/10:abs(l2-w2)/10:max(l2,w2)+abs(l2-w2)/10; [x,y]=meshgrid(v1,v2);s=size(x);z=zeros(size(x));for i=1:s(1)for j=1:s(2)z(i,j)=1/2*[x(i,j),y(i,j)]*G*[x(i,j);y(i,j)]+b'*[x(i,j);y(i,j)]+c;endend[px,py] = gradient(z,.2,.2);contour(v1,v2,z), hold on, quiver(v1,v2,px,py)[C,h] = contour(x,y,z);set(h,'ShowText','on','TextStep',get(h,'LevelStep')*2)x1=X(1,:);y1=X(2,:);plot(x1,y1,'r*:');五、计算结果如图所示，输入>> G=[2,-1;-1,2];>> b=[2;-4];>> c=0;X=[1;1];e=1e-3;method='FR';表示正定矩阵为G，b为一次元系数矩阵，c为常数0，X是初始迭代点，e 为精度，method为共轭梯度的公式方法。
共轭梯度法
•基本思想:把共轭性与最速下降法相结合,利用已 知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿着这组方 向进行搜索,求出目标函数的极小点
4.4共轭梯度法
先讨论对于二次凸函数的共轭梯度法,考虑问题
min f (x) 1 xT Ax bT x c
3, giT d (i) giT gi (蕴涵d (i) 0)
证明: 显然m1,下用归纳法(对i)证之.
当i 1时,由于d (1) g1,从而3)成立,对i 2时, 关系1)和2)成立,从而3)也成立.
4.4共轭梯度法
设对某个i<m,这些关系均成立,我们证明对于i+1
也成立.先证2),
因此
2 / 3 1 5/ 9
d (2)
1/ 1
3
1 9
2 0
5/9 1
从x(2)出发,沿方向d (2)进行搜索,求步长2,使满足 :
f
( x (1)
2d (1) )
min
0
f
(x(2)
d (2))
2 0
4.4共轭梯度法
显然, d (1)不是目标函数在x(1)处的最速下降方向.
下面,我们用FR法构造两个搜索方向.
从x(1)出发,沿方向d (1)进行搜索,求步长1,使满足 :
f
( x (1)
1d (1) )
min
0
f
( x (1)
d (1) )
得1 2 3
A正定,故x是f(x)的极小值点.
共轭梯度法
必有
p
T j
∇f
(X
n
)
=0(源自j=0,1,L,
n
− 1)
因为A正定，所以f (X ) 是凸函数，故 X n 是惟一的全局 极小点。
从而
∇f (Xk ) = AXk + b
=
AX
j+1
+
λ* j+1
Apj+1
+L+
λ* k −2
Apk−2
+
λ* k −1
Apk
−1
+
b
=
∇f
(X
⎡6 ⎢⎣17
12⎤ 17⎥⎦
⎢⎣⎡−
90 289
−
210⎤ 289⎥⎦
T
−
210⎤⎡ 3 289⎥⎦⎢⎣−1
−11⎥⎦⎤⎢⎣⎡−
90 289
−
210⎤T 289⎥⎦
= 17 10
X2
=
X1
+
λ1 p1
=
⎡ 26 ⎢⎣17
38 ⎤ T 17 ⎥⎦
+ 17 10
⎢⎣⎡−
90 289
−
210 ⎤ T 289 ⎥⎦
= [1
1]T
∇f ( X 2 ) = [0 0]T
练习： 试用共轭梯度法二次函数
min
f
(x)
=
x12
+
1 2
x22
+
1 2
x32
的极小点。取初始点为x( 0 ) = (1,1,1)T
3 、非二次函数的共轭梯度法
一般地，我们有：
⎧ X k+1 = X k + λk pk
共轭梯度法
2 2 min f ( x ) = x1 + 2x2 x
⎛1⎞ 给定初始点 x (0) = ⎜ ⎜1⎟ ⎟。 ⎝ ⎠
13
⎛ 2 x1 ⎞ ⎛ 2 0⎞ 2 首先， ∇f ( x ) = ⎜ ⎜ 0 4⎟ ⎟ ，以下利用(4.14)确定 β k 。 ⎜ 4x ⎟ ⎟ ，H= ∇ f ( x ) = ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ k=0：
0
k +1
) 与搜索方向 s 0 ," , s k 均正交。同时，利用引理 4.1 马上
设 H ∈ R n×n 是对称正定阵，s ," , s
0
n −1
0
n −1
是非零 G—共轭方向组，x ∈ R 。 若对问题(UQP)，
0
n
从 x 出发，依次沿 s ," , s
0
进行最优一维搜索，最终得到 x ，则 x 是(UQP)的最优解。
为保证 H-共轭性，在 x 处必须取 s 为搜索方向，而不能取 α s (α > 0) 为搜索方向。
k k
k
利用定理 4.3，马上得到上述算法的有限终止性。 定理 4.4 设 H ∈ R n×n 是对称正定阵。若用凸二次规划的共轭梯度法求解 (UQP) 时产生迭代点
x1 ," , x K ，则 x K 是(UQP)的最优解，并且 K ≤ n 。
首先由(4.7)知， g = ∇f ( x ) ( j = 0, " , k -1)是 s ," , s 的线性组合，因此根据定理 4.2，
j j 0 j
( g k )T g j =0， j = 0, " , k -1
由于
(整理)16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点.
16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点？梯度法又称最速下降法，基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向，求目标函数的极小值，特点；迭代计算简单，只需求一阶偏导数，所占的存储单元少，对初始点的要求不高，在接近极小点位置时收敛速度很慢，共轭的特点为在梯度法靠近极值点收敛速度放慢时，它可以构造共轭方向使其收敛速度加快，迭代计算比较简单，效果好，在每一步迭代过程中都要构造共轭的、方向，比较繁琐。
17迭代终止准则有哪三种？1）当设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小时，可用相邻两点的矢量差的模作为终止的判据，2）当相邻两点目标函数值之差达到充分小时，可用两次迭代的目标函数之差作为终止判据。
3）当迭代点逼近极值点时，目标函数在该点的梯度已达到充分小时，可用梯度的模作为终止判据。
18.无约束设计法，1）powell法，它是在下降迭代过运算中只需计算和比较目标函数值的大小，不需计算偏导数的方法，是较好的一种直接搜索算法。
2）梯度法，又称最速下降法，它是采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向来求目标函数的极小值。
3）共轭梯度法，又称FR法，是利用目标函数的梯度确定共轭方向，使得计算简便而效果好，只需利用相邻两点的梯度就可以构造一个共轭方向，这种方式产生共轭方向并进行迭代的算法称为共轭梯度法。
4）变尺度法，又称DFP法，为了得到既有快速收敛的性质，又能避免计算二阶导数矩阵及逆矩阵，减少计算工作量。
迭代公式X=X+aS,19有约束设计法？1）复合形法，在可行域中选取k个设计点作为初始复合形的顶点，然后比较复合形个各项目标函数值的大小，其中目标函数值最大的点为坏点，以坏点之外其余各点的中心为映射中心，寻坏点的映射点，以映射点替换坏点，并与原复合型除坏点之外其余各点构成就k 顶点的新的复合型，这样反复迭代直到达到精度找到最优点，2）简约梯度法，用来解决线性约束非线性规划问题。
3）罚函数法，是把一个有约束的问题转化为一系列无约束的问题求解，逐渐逼近最优值。
FR共轭梯度法的理论推导
∴ pm +1与p0， pm-1 , A共轭 ...,
k = 0,1, 2,...., n − 1 ∇f ( X ( k +1) )T pk = 0,
∴[∇f ( X ( k ) ) + λk Apk ]T pk = 0, [∇f ( X ( k ) )]T pk [ pk ]T ∇f ( X ( k ) ) λk = − =− T pk Apk pk T Apk
但还需证明pm +1与p0， pm-1 , A共轭 ...,
0 ≤ j ≤ m −1 Q pm +1T Ap j = [−∇f ( X ( m +1) ) + α m pm ] Ap j = −∇f ( X ( m +1) )T Ap j Q λ j pm +1T Ap j = λ j [−∇f ( X ( m +1) )T Ap j ] = −∇f ( X ( m +1) )T λ j Ap j = −∇f ( X ( m +1) )T [∇f ( X ( j +1) ) − ∇f ( X ( j ) )] =0
∴∇f ( X ( n ) ) = 0 ∴ X ( n )为f ( X )的极小点X *
2 FR公式推导
X ( k +1) = X ( k ) + λ k p k , 其 中 ： λk = − pT ∇f ( X (k ) ) k p k Ap k
( k +1)
T
, (λk =
∇f ( X (k ) ) p Ap k
T k
2
)
(1)
k = 0,1, ..., n − 1
p
k +1
= −∇ f (X
共轭梯度法
, k 1 ）
（1）
同样由前一节共轭方向的基本定理有：
T gk di 0
（ i 0,
, k 1 ），（2）
T 再由 g i 与 d i 的关系得： gk gi 0 （ i
0,
i 0,
, k 1 ）
(3)
将（2）与（3）代入（1）得：当 而
i 0 , k 2 时，
第 2次迭代：
5 2 8 T ( 8 , 4 )T ( , ) 18 9 9
g1 (
8 2 16 2 ) ( ) || g1 || 9 9 4 . 0 || g 0 ||2 82 4 2 81
2
8 16 T , ) . ||g1 || 9 9
解：
4 1 f ( x) ( x1 , x2 ) 2 0
0 x1 , 2 x2
4 0 G . 0 2
f ( x) ( 4 x1 , 2 x2 )T .
第1 次迭代：
令
而
d (0) g0 f ( x(0) ) ( 8 , 4 )T ,
一、共轭梯度的构造 （算法设计针对凸二次函数） 设
f ( x)
1 T x Gx bT x c 2
其中 G 为 n n 正定矩阵，则
g ( x) Gx b
对二次函数总有 1）设
gk 1 gk G xk 1 xk k Gdk
，令 x1 x0 0 d0 （ 0 为精确步长因子）
dk 1 f ( xk 1 ) dk
|| f ( xk 1 ) ||2 || f ( xk ) ||2
令k=k+1;返回4.
共轭梯度法
3. 算法的 MATLAB 实现
在 MATLAB 中编程实现的共轭梯度法函数为： min GETD 功能：用共轭梯度法求解多维函数的极值。
调用格式： [ x, min f ] min GETD( f , x0, var, eps) 其中， f ：目标函数；
x0 ：初始点； ：自变量向量； var x ：目标函数取最小值时的自变量值；
（6） 若 k 1 n ，令 x(0) x( n ) ，转步骤（3） ，否则转步骤（7） ；
（7） 令 p
( k 1)
f ( x
( k 1)
) k p
(k )
， k
f ( x ( k 1) ) f ( x )
(k )
2 2
， 置 k k 1， 转步骤 （4） 。
t 0
(k ) ( k ) （4） 用 一 维 搜 索 法 求 t k ， 使 得 f ( x kt p ) m i n f
( ) 5； x( k 1 ) x k( ) kt p k，转步骤
k( ) x
) 令， tk p( ，
（5） 若 f ( x
( k 1)
) ，停止，极小值点为 x ( k 1) ，否则转步骤（6） ；
1 f ( X ) d1 + x1 -x1* 2 1 =d1 + x1 -x1* 2
2
*
2
1 d1 a x1 -x1* 2
2b x1 -x1*
x -x c x -x
2
2b x1 -x1*
共轭梯度法原理
共轭梯度法原理共轭梯度法是一种用于求解大型稀疏线性方程组的优化算法。
它是一种迭代法，通过寻找一个搜索方向，并在该方向上进行搜索，逐步逼近最优解。
共轭梯度法在优化问题中有着广泛的应用，尤其在求解大规模线性方程组时表现出色。
共轭梯度法的原理可以从最小化函数的角度进行解释。
假设我们要最小化一个二次函数f(x)，其中x是一个n维向量。
共轭梯度法的目标是找到一个搜索方向d，使得沿着这个方向移动能够让函数值最小化。
在每一步迭代中，我们需要找到一个合适的步长α，使得沿着搜索方向d移动后能够使函数值减小最快。
共轭梯度法的核心思想是利用历史信息来加速收敛。
在每一步迭代中，共轭梯度法会根据历史搜索方向的信息来选择当前的搜索方向，以便更快地找到最优解。
这种方法可以在较少的迭代次数内找到最优解，尤其对于大规模问题来说，可以节省大量的计算资源。
在实际应用中，共轭梯度法通常用于求解线性方程组Ax=b，其中A是一个对称正定矩阵。
共轭梯度法的迭代过程可以通过以下步骤进行描述：1. 初始化，选择一个初始解x0，计算残差r0=b-Ax0，选择初始搜索方向d0=r0。
2. 迭代更新，在第k步迭代中，计算步长αk，更新解xk=xk-1+αkd，并计算残差rk=b-Axk。
然后根据历史搜索方向的信息，计算新的搜索方向dk= rk+βkdk-1，其中βk是一个根据历史信息计算得到的参数。
3. 收敛判断，在每一步迭代中，可以根据残差的大小来判断算法是否已经收敛。
如果残差足够小，可以停止迭代并得到近似解x。
共轭梯度法的优点在于它对存储和计算资源的要求相对较低，尤其适用于大规模稀疏线性方程组的求解。
同时，由于共轭梯度法利用了历史搜索方向的信息，可以加速收敛，节省计算时间。
然而，共轭梯度法也有一些局限性。
首先，它只适用于对称正定矩阵，对于一般的线性方程组可能不适用。
其次，共轭梯度法可能受到舍入误差的影响，在迭代过程中可能会出现数值不稳定的情况。
总的来说，共轭梯度法是一种高效的优化算法，特别适用于求解大规模稀疏线性方程组。
非线性共轭梯度法的文献综述
非线性共轭梯度法的文献综述研究摘要：共轭梯度法最早是由Hestenes 和Stiefel 于1952年提出来的，用于解正定系数矩阵的线性方程组，在这个基础上，Fletcher 和Reeves 于1964年首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。
由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，于是，共轭梯度法的理论研究受到了人们的关注，现在共轭梯度法已经广泛地应用与实际问题中。
关键词：共轭梯度法，非线性最优化，线性搜索，收敛性1.共轭梯度法共轭梯度法最早是由计算数学家Hestenes 和几何学家Stiefel 在20世纪50年代初为求解线性方程组,n Ax b x R =∈而独立提出的。
他们奠定了共轭梯度法的基础，他们的文章详细讨论了求解线性方程组的共轭梯度法的性质以及它和其他方法的关系。
当A 对称正定时，上述线性方程组等价于最优化问题1min 2n T Tx R x Ax b x ∈-基于此，Hestenes 和Stiefel 的方法可视为求解二次函数极小值的共轭梯度法。
1964年，Fletcher 和Reevse 将此方法推广到非线性优化，得到了求一般函数极小值的共轭梯度法。
而本书中，戴彧虹和袁亚湘介绍了多种类型的共轭梯度法，各方法的区分主要在于每次迭代的方向上，并且他们检验了每种方法在不同搜索下的全局收敛性。
在他们的研究中，目标函数连续可微有下界，导数满足Lipschitz 条件，他们通过对Zoutendijk 条件的判断，通常用反证的方法来考察全局各共轭梯度法的全局收敛性问题。
对于无约束优化问题min ()nx Rf x ∈一般给出一初值1x ，经由算法迭代产生23,,x x 。
在第k 次迭代，当前迭代点为kx ，用一种方法产生一搜索方向nk d R ∈。
然后下一迭代点为：1k k k kx x d α+=+其中，迭代方向kd 的不同选取产生了不同的共轭梯度法，kα为步长因子，步长的不同选取产生了不同的搜索准则。
FR算法
则称这组方向是关于 A共轭的，也称它们是一 组A共轭方向。
注： 如果A是单位矩阵，则
d
1T
I d 0d
2
1T
d2 0
d1 d 2
共轭是正交的推广。
定理 1. 设 A是 n阶对称正定矩阵， d 1 , d 2 ,, d k 是 k 个 A 共轭的非零
向量，则这个向量组线 性无关。
在许多应用领域如电力分配石油勘测大气模拟航天航空等提出来的优化问题规模往往很大这时由于拟牛顿方法需要存储大型矩阵而往往失败而共轭梯度法只需存储几个n维矩阵就显得特别有效因而研究共轭梯度法具有很强的应用背景
FR共轭梯度法和DFP算法
小组成员： 齐昌霞 张志兰 富 倡 杨苹景 任翠环 张景莎
共轭梯度法的研究背景
共轭梯度法的收敛速度是介于最速下降法 和牛顿法之间的一个方法，它仅需一阶导 数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺 点，又避免了牛顿法需要存储和计算 Hesse矩阵并求逆的缺点。 共轭梯度法最早是用于解正定系数矩阵的 线性方程组，在此基础上，Fletcher和 Reeves首先提出了解非线性最优化问题的 共轭梯度法。
3 2 1 2 min f ( x) x1 x2 x1 x2 2 x1 2 2
解 易知
3 1 2 A 1 1 , b 0
第一次迭代： d (1) g1 f ( x (1) ) ( Ax (1) b) (12,6)T
f ( x ) ( 4 x1 , 2 x 2 )T .
第 1 次迭代：
令 d (1) g1 ( 8 , 4 )T ,
8 (8,4) T (1 ) g1 d 5 4 而 1 (1 ) T 4 0 8 18 d Ad (1) ( 8, 4) 4 0 2
fr共轭梯度
fr共轭梯度
共轭梯度（Conjugate Gradient）是一种有效的迭代算法，用于求解线性方程组。
与传统的高斯消元方法和LU分解方法不同，共轭梯度方法是一种可适用于大型稀疏矩阵的算法。
共轭梯度算法的基本思想是应用一组“共轭”的方向来最小化目标函数。
每一次迭代，共轭梯度算法选择一个新的方向，从上一次迭代的解向量沿该方向以获得一个新的解向量。
这个新的解向量被用作下一次迭代的起点，继续以寻找更好的解。
构造一个好的方向是共轭梯度算法的关键。
对于一个对称正定矩阵A 和一个非零初始向量b，共轭梯度算法选择一个方向p，使得每一次迭代后，p和所有之前的方向都是共轭的（即对于所有的i≠j，p_i某A某
p_j=0）。
共轭梯度算法的一个优点是它能够重复利用方向。
由于每一次方向都是共轭的，所以共轭梯度算法可以在k次迭代中精确解出k维线性空间中的向量。
这对于大型矩阵来说非常重要，因为每次迭代都需要在内存中存储矩阵和向量，而矩阵的存储开销可能十分巨大。
共轭梯度算法并不是所有线性方程组的最优求解方法，但对于特定的矩阵和起始向量，它可以比传统的求解方法更快速地达到收敛。
共轭梯度算法通常应用于稀疏矩阵和大型系统，特别是在计算机图形学中的一些问题，如三维模型渲染和图像处理。
总之，共轭梯度算法是一种强大且高效的非线性方程解法，对于大规模的问题的求解更为便捷，能够有效地优化计算资源的分配，为科学和工程计算提供了一个有力工具。
梯度法和共轭梯度法
极小点，其中Bk{ x Nhomakorabeax k
id (i) ,i
R}
i 1
是由 d (1) , d (2) ,, d (k) 生成的子空间。特别地，当k n时，x(n1)是
f ( x)在Rn上的唯一极小点。
推论 在上述定理条件下，必有 f ( x(k1) )T d (i) 0, i 1, 2,, k。
3、共轭方向法
i
g
i
T 1
(
gi1
gi
)
d (i)T ( gi1 gi )
||
gi1 ||2 d (i)T gi
|| gi1 ||2 || gi ||2
(4)
FR算法步骤：
1. 任取初始点x(1) ，精度要求 ，令k 1。 2. 令g1 f ( x(1) ),若 || g1 || ,停止，x(1)为所求极小点；
上式两边同时左乘d jT A，则有
k
id
jT Ad i
0,
i 1
因为d 1 , d 2 ,, d k 是 k 个 A共轭的向量，所以上式可化简为
j d jT Ad j 0 .
因为d j 0,而 A是正定矩阵，所以d jT Ad j 0，
所以
j 0, j 1, 2,, k。
因此 d1 ,d 2 ,,d k 线性无关。
2. 共轭方向
定义 设 A 是 n n的对称正定矩阵，对于Rn中的两个非零向量 d1 和 d 2， 若有 d1T Ad 2 0，则称d 1和d 2关于A共轭。 设 d1 , d 2 ,,d k 是 Rn 中一组非零向量，如果它们两两关于A 共轭，即 d iT Ad j 0, i j , i , j 1, 2,, k。 则称这组方向是关于A共轭的，也称它们是一组A共轭方向。
fr共轭梯度
fr共轭梯度Fr共轭梯度是一种用于求解线性方程组的迭代方法，它是由Hestenes和Stiefel于1952年提出的。
共轭梯度方法主要应用于对称正定矩阵的线性方程组。
相比于其他迭代算法，Fr共轭梯度方法具有更快的收敛速度。
1. 算法介绍：Fr共轭梯度方法是一种迭代方法，它通过在每次迭代中选择一组共轭方向来逐步逼近线性方程组的解。
共轭方向的选择基于最速下降法的思想，但是Fr共轭梯度方法在每次迭代中通过一个修正因子来使共轭方向相互正交，从而加快了收敛速度。
2. 算法步骤：(1) 初始化：选择一个起始点x0和一个初始共轭方向d0。
(2) 迭代更新：对于第k步迭代，计算当前解xk和残差rk，然后计算一个修正因子βk，得到新的共轭方向dk+1。
接着，计算步长αk，并更新解xk+1。
(3) 终止条件：当残差rk的范数小于给定的阈值或达到最大迭代次数时，停止迭代。
3. 算法细节：在每一步迭代中，共轭方向dk+1的计算是Fr共轭梯度方法的核心操作。
具体而言，Fr共轭梯度方法中的修正因子βk等于当前残差rk与上一步残差rk-1的内积除以上一步共轭方向d的范数的平方。
这个修正因子的引入使得新的共轭方向与之前的共轭方向相互正交，从而避免了共轭方向不正交而导致收敛速度慢的问题。
4. 算法优点：Fr共轭梯度方法具有如下一些优点：(1) 收敛速度快：相比于其他迭代方法，Fr共轭梯度方法的收敛速度更快。
(2) 内存消耗低：Fr共轭梯度方法只需要存储两个解向量和一个残差向量，所以内存消耗较低。
(3) 适用范围广：Fr共轭梯度方法适用于求解对称正定矩阵的线性方程组。
5. 算法应用：Fr共轭梯度方法在科学计算和工程领域有广泛的应用。
例如，在有限元分析中，Fr共轭梯度方法被应用于求解大规模结构力学问题。
在图像处理中，Fr共轭梯度方法可用于图像恢复和图像去噪等问题。
总结：Fr共轭梯度方法是一种求解线性方程组的迭代方法，它通过选择一组共轭方向来逐步逼近线性方程组的解。
fr共轭梯度法求解无约束优化问题
在数学和计算机科学领域，无约束优化问题一直是一个热门的研究课题。
而fr共轭梯度法作为一种求解无约束优化问题的重要方法，在实际应用中展现出了强大的优化能力。
本文将就fr共轭梯度法求解无约束优化问题进行全面评估和探讨。
1. 无约束优化问题的定义无约束优化问题是指在没有约束条件的情况下，寻找一个函数的最小值或最大值的问题。
数学上通常用以下形式表示：\[ min\ f(x) \]\[ s.t.\ x \in R^n \]其中，\( f(x) \)为目标函数，\( x \)为自变量。
无约束优化问题在实际应用中广泛存在，比如在机器学习、信号处理、金融等领域都有着重要的应用价值。
2. fr共轭梯度法的基本原理fr共轭梯度法是一种常用的无约束优化方法，它主要用于求解二次型函数的极小值点。
其基本原理是通过迭代的方式，利用fr共轭方向进行搜索，从而逐步逼近最优解。
具体来说，fr共轭梯度法的迭代公式为：\[ x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k \]其中，\( x_k \)为第k次迭代的解，\( d_k \)为fr共轭方向，\( \alpha_k \)为搜索步长。
3. fr共轭梯度法的优势和局限性fr共轭梯度法相对于其他优化算法具有一定的优势，比如收敛速度较快、内存占用小等。
但是，它也存在一些局限性，比如对非二次型函数的性能表现不佳、依赖初始点选取等。
在实际应用中需要结合具体问题特点来选择合适的优化算法。
4. fr共轭梯度法在深度学习中的应用在深度学习领域，优化算法对于模型训练的收敛速度和性能表现有着重要影响。
fr共轭梯度法作为一种优化算法，被广泛应用于深度学习模型的训练过程中。
它可以有效地加速模型的收敛速度，提高训练效率。
5. 个人观点和理解从我个人的角度来看，fr共轭梯度法作为一种经典的优化算法，在实际应用中展现出了较高的效率和性能。
它在求解无约束优化问题时具有明显的优势，特别适用于二次型函数的优化。
fr共轭梯度法推导
FR共轭梯度法推导一、什么是FR共轭梯度法FR共轭梯度法（Fletcher-Reeves Conjugate Gradient）是一种迭代算法，用于求解非线性优化问题，它是一种梯度下降法，也称为共轭梯度法，是一种求解最优化问题的常用方法。
FR共轭梯度法可以用来求解函数f(x)的极小值，它是一种改进的梯度下降法，是一种全局搜索方法。
二、FR共轭梯度法推导1. 问题定义设有函数f(x)，其中x是实数向量，要求用FR共轭梯度法求解函数f(x)的极小值。
2. 步骤（1）设定初值令x_0为初值，计算梯度g_0=∇f(x_0)。
（2）迭代令k=0，令d_0=-g_0，计算步长α_k，更新x_{k+1}=x_k+α_kd_k，计算梯度g_{k+1}=∇f(x_{k+1})，更新搜索方向d_{k+1}=-g_{k+1}+β_{k+1}d_k，其中β_{k+1}为FR共轭梯度法的调整参数，取值为：β_{k+1}=\frac{(g_{k+1})^Tg_{k+1}}{(g_k)^Tg_k}（3）终止条件当满足终止条件，即||g_k||<ε时，停止迭代，输出解x_k。
三、FR共轭梯度法的优缺点1. 优点（1）FR共轭梯度法是一种全局搜索方法，可以求解多维优化问题；（2）FR共轭梯度法比一般梯度下降法收敛速度快；（3）FR共轭梯度法可以有效避免局部最优解，使搜索过程更加顺利。
2. 缺点（1）FR共轭梯度法需要计算梯度，而梯度的计算比较耗费时间；（2）FR共轭梯度法的调整参数β_k的选取也是一个比较复杂的问题，这也是FR共轭梯度法的一个缺点。
四、实例分析下面我们用一个具体的例子来说明FR共轭梯度法的求解过程。
假设我们要求解函数f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1的极小值，那么我们可以用FR共轭梯度法来求解。
（1）设定初值令x_0=(1，1，1)，计算梯度g_0=(2，2，2)。
运筹学实验报告(F-R共轭梯度法、Wolfe简约梯度法)
一、实验目的:1、掌握求解无约束最优化问题的 F-R 共轭梯度法，以及约束最优化问题 Wolfe 简约梯度法。
2、学会用MATLAB 编程求解问题，并对以上方法的计算过程和结果进行分析。
二、实验原理与步骤: 1、F-R 共轭梯度法基本步骤是在点)(k X 处选取搜索方向)(k d , 使其与前一次的搜索方向)1(-k d关于A 共轭，即(1)()(1),0k k k d d Ad --<>=然后从点)(k X 出发，沿方向)(k d 求得)(X f 的极小值点)1(+k X ,即)(m in )()()(0)1(k d X f X f k k λλ+=>+如此下去, 得到序列{)(k X }。
不难求得0,)1()(>=<-k k Ad d的解为)()1()1()()()()1(,,k k k k k k k d Ad d d AX b XX><>-<+=--+注意到)(k d 的选取不唯一，我们可取)1(1)()()(--+-∇=k k k k d X f d β由共轭的定义0,)1()(>=<-k k Add 可得： ><><-=----)1()1()1()(1,,k k k k k Ad d Ad r β共轭梯度法的计算过程如下：第一步：取初始向量)0(X , 计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=><><-=-=-∇==(0)0(0)(1))0()0()0()0(0(0)(0)(0)(0)d X X ,,X )X (r d λλAd d Ad r A b f第1+k 步：计算⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=><><-=+=><><-=-=-∇=+------(k)0(k)1)(k )()()()()1(1(k))()1()1()1()(1(k)(k)(k)d X X ,,r ,,X )X (r λλββk k k k k k k k k k k k k Ad d Ad r d d Ad d Adr A b f2、Wolfe 简约梯度法Wolfe 基本计算步骤：第一步：取初始可行点 x 0∈X l ,给定终止误差ε>0 ，令k:=0；第二步：设 I B k是x k 的 m 个最大分量的下标集，对矩阵A 进行相应分解 A =(B k ,N k )；第三步：计算 ∇f(x k)=(∇B f(x k )∇Nf(x k )) ,然后计算简约梯度r N k=−(B k −1N k )T ∇B f(x k )+∇N f(x k )；第四步：构造可行下降方向 p k . 若||p k ||≤ε ，停止迭代，输出x k 。
一种新线搜索下的FR共轭梯度法
一种新线搜索下的FR共轭梯度法
平国庆;焦宝聪
【期刊名称】《数学进展》
【年(卷),期】2007(36)3
【摘要】基于传统的Wolfe线搜索,提出了一种新的非精确线搜索.在无需限制参数σ≤1/2的情况下(即σ的取值范围扩展至0＜σ＜1),证明了FR算法的全局收敛性.数值实验表明了这种线搜索下的FR算法的有效性.
【总页数】8页(P277-284)
【作者】平国庆;焦宝聪
【作者单位】天津财经大学数学系,天津,300222;首都师范大学数学科学学院,北京,100037
【正文语种】中文
【中图分类】O221.2
【相关文献】
1.一种新线性搜索下混合HS-DY共轭梯度法的全局收敛性 [J], 赵银明;
2.一种新线搜索下DY共轭梯度法的全局收敛性 [J], 赵银明
3.一种新线性搜索下的共轭梯度法 [J], 赵银明
4.一种新线性搜索下的杂交共轭梯度法 [J], 赵银明
5.一种新线搜索下DY共轭梯度法的全局收敛性 [J], 陈翠玲;李明;曾雯琪;李略因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。